2018高考数学二轮复习难点2.10解析几何中的定值定点和定线问题教学案文

1、解析几何中的定值、定点和定线问题解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，,该类问题知识综合性强，方法灵活，对运算能力和推理能力要求较高 ，因而成为了高中数学学习的重点和难点.主要以解答题形式考查，往往是试卷 的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定值、定点、定线问题，试题难度较大.定点、定值、 定线问题都是探求"变中有不变的量".因此要用全面的、联系的、发展的观点看待并处理此类问题.从整体上把握问题给出的综合信息，并注意挖掘问题中各个量之间的相互关系，恰当适时地运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元

2、等基本思想方法.在解答这类问题过程中，既有探索性的历程，又有严密的逻辑推理及复杂的运算，成为考查学生逻辑思维能力、 知识迁移能力和运算求证能力的一道亮丽的风景线，真正体现了考试大纲中“重知识，更重能力”的指导 思想.复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些 解方程（组）的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解 题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用.1解析几何中的定值问题在解析几何中，

3、有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点 去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定 一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定 理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思 路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确 定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解 决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形

4、式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索.如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效.例1【百校联盟2018届一月联考】已知点 F（0,2 ）,过点P（0,2）且与y轴垂直的直线为11 , l2 _Lx轴，交11于点N ,直线1垂直平分FN ,交于点M .（1）求点M的轨迹方程；2（2）记点M的轨迹为曲线E ,直线AB与曲线E交于不同两点 A（x,y1 ）,B（x2,y2 ），且X2 T = x1+m（m为常数），直线1 '与AB平行，且与曲线E相切，切点为C ,试问AABC的面积是否为定值.若为定值, 求出

5、 MBC的面积；若不是定值，说明理由 .思路分析：（1）根据抛物线的定义可得点 M的轨迹，根据待定系数法可得轨迹方程.（2）设直线AB的方程为y =kx+b ,与抛物线方程联立消元后可得 AB中点Q的坐标为（4k,4k2+b）.同样设出切线方程2y=kx+t,与抛物线方程联立消元后可得切点C的坐标为（4k,2k ）,故得CQ_L x轴.于是-1 _ _ .S四BC =-|CQ X2 -Xi ,由此通过计算可证得 AABC的面积为定值.试题解析： 由题意得向” =|孙,即动点M到点F（0）的距离和到直线t = -2的距离相等，所以点上看的轨迹是以F（0.2）为焦点，直线了 = -2为准线的抛物线

6、，根据抛物线定义可如点M轨迹方程为V - Znf + h<2）由题意知，直线MB的斜率存在，设其方程为F = h-弧由工 消去整理得V密鼬=0.则为+吃=胱芍设的中点为。贝原的坐标为（4七4炉十4.1' = Zrr + T由条件设切线方程为y = b+f，由； 八 消去y整理得/-8fcc-8r = 0.直线与抛物线相切， x* = 8vA=64k2 +32t =0,t=2k2, 切点 C 的横坐标为 4k, 点 C 的坐标为（4k,2k2）.2,22_2_22CQ _1_ x 轴. = X2 -Xi = m +1 ,，（x2 x1 ） =（x1 + x2 ） 4（8b 产 64

7、k +32b = （m +1 ）,2/2/223（m +1 ） -64k112（m +1）b =.S2ABe = CQ x2 -x, = （2k +b ）（x2 毛 卢, m为常数，32s 22'、'64AABC的面积为定值.点评：圆锥曲线中求定值问题常见的方法（1）从特殊 入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.（2）由题意得到目标函数，直接通过推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到目标函数的取值与变量无关，从而证得定值.定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似

8、，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外 关注图形的几何性质可简化计算 .2解析几何中的定点问题定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题，一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来， 再分析判断出其所过的定点.定点问题的难点是动直线（或曲线

9、）的表示，一旦表示出来，其所过的定点 就一目了然了.所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要.解题的关健在于寻找题中用来联系已 知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理， 变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.定点问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点问题的证明.难度较大.定点问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就 可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化 的量所影响的一个点，就是要求的定点.化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量

10、 积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.解析几何中的“定点”问题一 般是在一些动态事物（如动点、动直线、动弦、动角、动轨迹等）中，寻求某一个不变量 定点，由于这种问题涉及面广、综合性强.22例2【河南省中原名校2018届第五次联考】已知椭圆 E :与十22=1 （a Ab >0）的右焦点为F ,上顶点为 a b3G ,直线FG与直线x 73y =0垂直，椭圆E经过点P . 1,- .2（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点F作椭圆E的两条互相垂直的弦 AB,CD .若弦AB,CD的中点分别为 M ,N ,证明：直线 MN 恒过定点.思路分析：（1）根据直线FG与

11、直线x - J3y = 0垂直可得b = J3c ,从而得到a2=-b2 ,再由点p11,- I 3. 2在椭圆上可求得 a2,b2,即可得椭圆的方程.（2）当直线AB, CD的斜率都存在时，设 AB的方程为x = my +1 （m =0 ）,与椭圆方程联立消元后根据根据系数的关系可得点M的坐标，同理可得点 N坐标，从而可得直线 MN的方程，通过此方程可得直线过定点0 I.然后再验证当直线 AB或CD的斜率不存,7在时也过该定点.试题解析：1）因为直线FG与直线-抬尸=0垂直，所以（。为坐标原点，即b= J5c,所以口，=后*+c* = ir .因为点尸;1二；在椭圆E上，所以4 + 尸=1,

12、 3I 2 1a 45*、 *24 口。=b2 s-*f3Q =4y* v*由 5 ，解得,，所以椭圆E的标准方程为土十L二L19.=343（2）当直线CD的斜率都存在时，设直线.43的方程为，=叩+1用工0）,+ -=1. t XT则直线口的方程为M 二 + 由 4 3消去其整理得（3"+4炉+ 6缈9 = 0,设/（孙M）/（七佻%则M +乃=6加 _93"+4""=3班，+ 44 3m1由中点坐标公式得 M .一2，2 I,用代替点 M坐标中的 m可得3m 4 3m 4 m点N的坐标为/ 4m2 3m、4m2 +3，4m2 +3.所以直线 MN的方

13、程为.2.4 m -14x y 二7m74令y=0,得*=,所以直线74MN经过定点 一,0 I .当直线AB或CD的斜率不存在时，可知直线MN 7为x轴，也经过定点 P,0 /综上所述，直线 MN经过定点 P,oJ.点评：本题考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式，属难题；解决圆锥曲线定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运.算.定点定值

14、问题的实质为等式恒成立，方法为待定系数法.定点问题，关键在于寻找题中的已知量、未知量间的平行、垂直关系或是方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系的问题来解决 .定值问题，关键在于选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量 表示题中所涉及的定义、方程、几何性质，再用韦达定理等方法导出所求定值关系式需要的表达式，并将 其代入定值关系式，化简整理求出结果.圆锥曲线中的定点问题是高考中的常考题型，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是数形结合思想、分类讨论思想的考查.求 解的方法有以下两种：假设定点坐标，根据题

15、意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与 参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.3解析几何中的定线问题定线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法， 如定义法、消参法、交轨法等.2例3在平面直角坐标系xOy中,过点C (2,0 )的直线与抛物线y = 4x相交于A,B两点，A k, y，B X2, y2 .(1)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于 y轴的定直线被以 AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦 长；如果不存在，说明

16、理由.思路分析：(I)设出过点 C (2,0 )的直线方程，与抛物线方程联立消去未知数x,由根与系数关系可得yi y2 =4为定值；(n)先设存在直线l ： x = a满足条件，求出以 AC为直径的圆的圆心坐标和半径，利 用勾股定理求出弦长表达式 242 _d2 =5()” +8a-4a2 ,由表达式可知，当 a = 1时，弦长为定 值.试题解析：(1 >(解法D当直线,4B垂直于工轴时，必=2也通因此>定=-8徒侑),当1, = K x 12)直线ZB不垂直于，铀时，设直线的方程为F=仪工2),由" J . 得孙工一45-8k = 0,(F=4工/- -8因此有外匕二-

17、8为定值(解法2)设直线六的方程为阳二，-2,由4 得丁-4四-"。 二盟%二-g，因此有y =4x用当=-8为定值（U ）设存在直线f ： ”口满足条件，则-化的中点E（中,斗）,AC =、百一21十式,因此CUC 为直径的圆的半径/=J<C = 17-2）：+V =+7 ,又E点到直线x = a的距离d =|a叁L所以所截弦长为 W = *（4 + 4）一（号 =7： +4-（jq+2-2）2 =7-4（l-£r）xL + -V；当 1一。= 0即曰=1时，弦长为定值 2,这时直 线方程为丈=1，点评：本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直

18、线与圆的位置关系，属难题；解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.综上所述：解决圆锥曲线问题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题.解析几何中的定值问题是指某些几何量、线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.证明直线过定点的解题步骤可以归纳为：