初中数学《最值问题》典型例题-(1)

1、1初中数学最值问题典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键通过转化减少变量，向三个 定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段.几何最值问题中的基本模型举例轴 对称 最值图形/BlA、/IIP1M N1原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A, B 为定点，1 为定直 线，P 为直线 1 上的一 个动点，求 AP+ BP 的 最小值A, B 为定点，1 为定

2、直线，MN 为直线 I 上的一条动线段，求 AM+BN 的最小值A, B 为定点，1 为定直线，P为直线 1 上的一个动 点，求AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定 直线l 的对称点先平移 AM 或 BN 使 M , N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线 I 的对称点作其中一个定点关于定 直线1 的对称点折 叠最 值图形ABNC原理两点之间线段最短特征在厶 ABC 中，M , N 两点分别是边 AB, BC 上的动点，将 BMN 沿 MN 翻折， B 点的对应点为 B，连接 AB，求 AB的最小值.转化转化成求 AB + BN+NC 的最小值、典型题型1.如图：点 P 是/ AOB

3、 内一定点，点 M、N 分别在边 OA、OB 上运动，若/ AOB=45 OP =3.2,则厶 PMN【分析】作 P 关于 OA, OB 的对称点 C,D .连接 OC,OD .则当 M,N 是 CD 与 OA, OB 的交点时， PMN 的周长最短，最短的值是 CD 的长根据对称的性质可以证得： COD 是等腰直角三角形，据此即可求解.【解答】解：作 P 关于 OA, OB 的对称点 C, D .连接 OC, OD .则当 M , N 是 CD 与 OA, OB 的交点时， PMN的周长最短，最短的值是 CD 的长. PC 关于 OA 对称，/ COP=2 / AOP , OC=OP同理，/

4、 DOP=2 / BOP , OP = OD2/ COD= / COP+ / D0P=2 (/AOP+ / BOP) =2 / AOB=90 OC=OD . COD 是等腰直角三角形.贝 U CD =2OC= Q $湮=6.A【题后思考】 本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解 PMN 周长最小的条件是解题的关键.2._ 如图，当四边形 FABN 的周长最小时，a=【分析】因为 AB, PN 的长度都是固定的，所以求出PA+NB 的长度就行了.问题就是 PA+NB 什么时候最短.把 B 点向左平移 2 个单位到 B 点； 作 B 关于 x 轴的对称点 B ， 连接 AB ， 交 x 轴于 P

5、,从而确定 N 点位置, 此时 PA+NB最短.设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，待定系数法求直线解析式即可求得a 的值.【解答】 解：将 N 点向左平移 2 单位与 P 重合，点 B 向左平移 2 单位到 B(2, - 1),作 B 关于 x 轴的对称点 B ”,根据作法知点 B (2, 1),设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,1 =2k b则，解得 k=4 , b= - 7.-3=k b y=4x- 7 .当 y=0 时，x=，即 P (, 0), a=.444故答案填：-.4Z 0?0)JlJ ,.0【题后思考】 考查关于 X 轴的对称点，两点之间线段最短等知识.33._ 如

6、图，A、B 两点在直线的两侧，点 A 到直线的距离 AM=4，点B 到直线的距离 BN=1，且 MN=4, P 为 直线上的动点，|FA- PB|的最大值为.N p【分析】作点 B 于直线 I 的对称点 B,则 PB=PB 因而|PA - PB|=|PA - PB 则当 A, B、P 在一条直线上时， |PA - PB|的值最大.根据平行线分线段定理即可求得 PN 和 PM 的值然后根据勾股定理求得 FA、PB的值， 进而求得|FA - PB|的最大值.【解答】 解：作点 B 于直线 I 的对称点 B,连 AB并延长交直线 I 于 P. B N=BN=1 , 过 D 点作 B D 丄 AM ,

7、 利用勾股定理求出 AB、=5 |PA- PB|的最大值=5 .【题后思考】 本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理等，熟知两点之间线段最短”是解答此题的关键.4.动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3, AD=5 .如图所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A 处， 折痕为PQ,当点 A 在 BC 边上移动时，折痕的端点 P、Q 也随之移动.若限定点 P、Q 分别在 AB、AD 边 上移动，则点 A 在BC 边上可移动的最大距离为E_C【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA 取最大或最小值时，点 P 或 Q 的位置经实验不难发现，分别求出点 P 与 B 重合时，BA 取最大值

8、3 和当点 Q 与 D 重合时，BA 的最小值 1 .所以可求点 A 在 BC 边上 移动的最大距离为 2.【解答】 解：当点 P 与 B 重合时，BA 取最大值是 3,当点 Q与 D重合时(如图)， 由勾股定理得 A C=4， 此时 BA取最小值为 1 . 则点 A在 BC边上移动的最大距离为 3 - 1=2 .故答案为：2E _CA.:-(O)【题后思考】 本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺 乏动手操作习惯，单凭想象造成错误.5._如图，直角梯形纸片 ABCD , AD 丄 AB, AB=8, AD=CD=4，点 E、F 分别在线段 AB、AD

9、 上，将 AEF 沿 EF 翻折，点 A 的落点记为 P.当 P 落在直角梯形 ABCD 内部时，PD 的最小值等于 _.4EF 最大，且点 A 落在 BD 上时，PD 最小；根据勾股定理求出BD 的长度，问题即可解决.【解答】解：如图，当点 P 落在梯形的内部时，/ P=ZA=90四边形 PFAE 是以 EF 为直径的圆内接四边形，只有当直径 EF 最大，且点 A 落在 BD 上时，PD 最小, 此时 E 与点B 重合；由题意得：PE=AB=8,由勾股定理得：2 2 2BD =8 +6 =80, BD= 4.,5,以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为 动中求静，以静制动.

10、6.如图，/ MON=90 矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 0M , ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之 在 0M 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2 , BC=1，运动过程中，点 D 到点 0 的最大距离 为【分析】取 AB 的中点 E,连接 OD、0E、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得0E= AB ,2利用勾股定理列式求出 DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得0D 过点 E 时最大.【解答】 解：如图，取 AB 的中点 E,连接 OD、0E、DE ,/MON=90 , AB=2 OE=AE= AB=1,2/ BC=1，

11、四边形 ABCD 是矩形, AD=BC=1 , DE= .2 ,根据三角形的三边关系,ODvOE+DE,核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间, PD= 4.,5-8.25当 0D 过点 E 是最大，最大值为2+1 . 故答案为：.2+1 .【题后思考】 本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关 系，勾股定理，确定出 0D 过 AB 的中点时值最大是解题的关键.定理然后用配方法即可求解.【解答】 解：设 AC=x, BC=4- x,ABC, BCD 均为等腰直角三角形,/ ACD=45 , / BCD =45/ DCE=90 ,2 2

12、212122 2 DE =CD +CE = x +(4 - x) =x - 4x+8= (x - 2) +4,2 2根据二次函数的最值，当 x 取 2 时，DE 取最小值，最小值为：4.故答案为：2.【题后思考】 本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最 值.&如图，菱形 ABCD 中，AB=2, / A=120。，点 P, Q, K 分别为线段 BC, CD , BD 上的任意一点，则 PK+QK【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点 P 关于 BD 的对称点 P:连接 PQ与 BD 的交点即为所求的 点 K，然后根据直线外一点到直线的所有连

13、线中垂直线段最短的性质可知PQ 丄 CD 时 PK+QK 的最小值,然后求解即可.【解答】 解：如图，IAB=2，/ A=120 , PK+QK 的最小值为7.如图，线段 AB 的长为 4, C 为 AB 上一动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作等腰直角 ACD【分析】设 AC=x, BC=4 - x,根据等腰直角三角形性质，得出CD = x,2CD(4 - x),根据勾股 CD =2x，CD，=2-2(4 - x),和等腰直角 BCE,那么 DE 长的最小值是点 P 到 CD 的距离为 2X6【题后思考】 本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴

14、对称确定 最短路线的方法是解题的关键.9._ 如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为边 BC 上的任意一点（可与 B、C 重合），分别过 B、C、 D 作射线 AP 的垂线，垂足分别为 B、C、D,贝 U BB CC+DD 的取值范围是_ ._ _ - 一11【分析】首先连接 AC , DP 由正方形 ABCD 的边长为 1，即可得：SAADP= S正方形ABCD=,22111 _SAABP+ SAACP=SAABC=得 - AP? ( BBCC DD) =1，又由 1*PW. 2，即可求得2 2 2答案.【解答】解：连接 AC , DP.四边形 ABCD 是正方形，正方形 AB

15、CD 的边长为 1 ,-AB=CD , S正方形ABCD=1 ,111 SAADP= S正方形ABCD= , SAABP+SAACP= SAABC= S正方形ABCD=,2222- SAADP+SAABP+SAACP=1 ,1 1 ,122AP， 1*pw、2 ,当 P 与 B 重合时，有最大值 2; 当 P 与 C 重合时，有最小值2.尹缽尹住+ AP?DD=AP? (BB CC，DD =1 ,2故答案为：,3.7一2毛 BCCDDW2【题后思考】 此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题此题难度较大，解题的关键是连接W2AC,DP，根据题意得到SAADP+SAABP+SAACP=1，继而得到BB CCDDAP810._如图，菱形 ABCD 中，/ A=60 AB=3,0A、OB 的半径分别为 2 和 1, P、E、F 分别是边 CD、OA 和OB 上的动点，贝UPE+PF 的最小值是.【分析】禾 U 用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P