2020届湖南省常德市高三高考模拟考试(一)数学(理)试题

1、2020届湖南省常德市高三高考模拟考试（一）理科数学试卷一-7 -总分：150分时量:120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分, 一项是符合题目要求的）共60分.在每小题给出的四个选项中，只有1.已知集合P二 x | 5 x 6（桃源县第四中学）2,Q= x | x 5x 6 0 ，则 P Q=A、 x| 1 x 6B、 x| 1 x 6C、 x| 1 x 6D、 x| 1 x 6选C2.设复数z满足z+ 3= i（1- z）,则下列说法正确的是（）（桃源一中）A. z的虚部为2iB. z为纯虚数C. z = J5D.在复平面内，z对应的点位于第二象限答案：C3.设等差数列an的前n

2、项的和为Sn,若S5= 4a3 + 7 ,a1 二1 ,则a6 =（）（桃源-中）A. 37B.16C. 13D. -9答案：B4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.则下列说法不正确的是（）（桃源一中）A.这16日空气重度污染的频率为0.5B.该市出现过连续 4天空气重度污染C.这16日的空气质量指数的中位数为203D. 这16日的空气质量指数的平均值大于200答案：D5 .已知P为抛物线C ： y2 = 4x上一点，F为C的焦点，若PF = 4 ,则AOPF的面积为（）（桃源一中）A. 、3

3、B. 3C. 2 3D. 4答案：6 .函数f（x） Asin（ x ）的图象如图所示，将函数 f（x）的图象向右平移一个单位长度，得到 y g（x）的图像，则下列说法不正确的 12是（）（桃源一中）A.函数g（x）的最大值为3B.函数g（x）关于点(, 0)对称C.函数g（x）在（0,万）上单倜递增D .函数g（x）的最小正周期为 支答案：B7.已知向量a与a+b的夹角为60°,A. 0,3B.2| a |二1,3 C.-2| b |= J3 ,则 ab=()(桃源一中)-3D. 0 或-2答案：A8 .随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯

4、与亮绿灯的时间之和为100秒，且一次亮红灯的时间不超过70秒，一次亮绿灯的时间不超过60秒，则亮绿灯的时间不(C.)(桃源一中)113.10小于亮红灯的时间的概率为A. 6B.375答案：C3269 .(x3- 1)(Vx+ )6的展开式中的常数项为 ()(桃源一中)xA. 240 B. 180 C. - 60D. - 80答案：B10 .设函数f (x) ex1 一二，则不等式f (x) f (2x 1)的解集为()(桃源一中)(x 1)2, 11、A. (-1, 0) B.(- ? , -1) C.(- 1,-)D. (- 1,0)U(0R33答案：D11 .几何体甲与乙的三视图如右图，几

5、何体甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形，且等腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等，若几何体甲与乙的体积相等，则几何体甲的 外接球的表面积与几何体乙的表面积之比为()(桃源一中)3941+ .3.2. 4. 9.2答案：B?x2 + lx, x? 06612 .已知函数 f (x)= ?, g(x)= f (x)- ax(其lnxg> x> 0中a为常数)，则下列说法中正确的个数为()(桃源一中)函数f(x)恰有4个零点；对任意实数a,函数g(x)至多有3个零点；若a<Q则函数g(x)有且仅有3个零点；11、若函数g(x)有且仅有3个零点，则a的取值范围为(，0

6、 U-,)(桃源一中)6 2eA. 1B. 2C. 3D. 4答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡.中对应题号后的横 线上)13.已知函数f (x)=xex+ln(x+1),则曲线y= f (x)在x=0处的切线方程为_y= 2x_.(桃源一中)x y 1 03x y 3 0,14已知实数x,y满足约束条件x y 1 0则z=3x 2y的最小佰为 -215.已知数列an的各项为正，记Sn为an的前n项和,若an + 1 =3a2an+ 1 - 2an_ *(n? N ),则S5=121.(桃源一中)22x2 y2 1(a 0，b 0)16.已知双曲线C:

7、a b, O是坐标原点，F是C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为 AB，且 OAB为直角，记 OAF和OAB的面积分别为$。4和S OAF 1S OAB ,若S OAB 3 ,则双曲线C的离心率为 2.62.3答案：.3或亏三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题 12 分)已知向量 m= (sinx, - J3) , n =(1 , cosx),且函数 f (x) = mn.52(I )若 x? (0, ) ,且 f (x)=,求 sin x 的值； 63(n )在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a= 4,MBC的面积为473 ,

8、且f (A+/)=1csin B ,求 MBC的周长.(桃源一中)32(2解：(I ) f (x) = mn= (sinx,- 而 (1, cosx) = sin x- V3cosx = 2sin(x-43分)Q f(x)= I，5” 又 x?(°T , 6sin(x- 6=3x- 3? ( 3,，2)， cos(x-.=2 33 233(4分)所以 sinx= sin(x- )+ = 331?_1 2/2 ?V3 1+ 2 近(6分)1 csin B 即 4sin A = csin B 216 (8分)sinA= « ,又 A? (0,-)22,., 九 1一(H )因为

9、 f (A+ -) = csin B ,所以 2sin A= 32由正弦定理可知4a = bc,又a=4所以bc二 由已知 MBC的面积1bcsinA= 473,可得 2一 兀.A= (10 分)由余弦定理得 b2 + c2 - 2bccosA= 1 ,故 b2 + c2 = 32 ,从而(b + c)2 = 64所以MBC的周长为12 (12分)18.(本小题12分)如图，在四棱锥 P ABCD中，平面PAD 平面ABCD ,底面ABCD是直角梯 形，AD/BC, AB AD , AD 2BC 2AB,。是 AD 的中点.(I)在线段PA上找一点E ,使得BE /平面PCD ,并证明;(n)

10、在(1)的条件下，若PA PD一中)AD 2,求平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值.(桃源解：（I ）E是线段PA的中点，（1分）证明：连接BE, OE OBO是 AD的中点，. OE / PD,又 OE 平面 PCD, PD 平面 PCD,. OE/ 平面 PCD, （3分）又底面ABCD是直角梯形，AD 2BC 2AB , . OB/CD ,又 OB 平面 PCD, CD 平面 PCD, . OB/平面 PCD, （4分）. OE 平面 OBE, OB 平面OBE, OE I OB O,平面OBE/平面PCD,又 BE 平面 OBE, . . BE / 平面 PCD. （6分）（

11、也可通过线线平行来证明线面平行）(II).平面 PAD 平面 ABCD, PA PD AD 2,. PO AD, . . PO 平面 ABCD,且 OC 1 , PO V3 ,(8分)以。为原点，如图建立空间直角坐标系 O xyz,E 0,1 3 2,-2得 o 0,0,0 , B 1, 1,0 , P 0,0,73 , c 1,0,0 ,uur 13 uur得 OE 0, -, , OB 1, 1,0 , 2 2IT设m x, y,z是平面OBE的一个法向量，LT UUT_im OE _y 3z 0 _.则 u uuu ,得，取 x >/3 ,m OB x y 0得 m73,73,1

12、, (10分)T又易知n 0,1,0是平面POC的一个法向量，设平面OBE与平面POC所成的锐二面角为则cos即平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值为21.7(12 分)19.（本小题12分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名.某快递公司收取费的标准是：不超过1kg的包裹收费8元；超过1kg的包裹，在8元的基础上，每超过 1kg（不足1kg,按1kg计算）需再收4元.该公司将最近承揽（接收并发送）的100件包裹的质量及件数统计如下 （表1）：包裹质里（kg）(0, 1(1,2(2, 3(3,

13、 4(4, 5包裹件数43301584公司对近50天每天承揽包裹的件数（在表2中的件数范围”内取的一个近似数据）、件数范围及天数，列表 如下（表2）:件数范围I （0, 100（100, 200（200, 300（300, 400（400, 5002:天数5102555每天承揽包裹的件数50150250350450（I）将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在（100, 300内的概率；（n）根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用.目前，前台有工作

14、人员 5人，每人每天揽件数不超过 100件，日工资80元.公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人？（桃源一中）解：（I）将频率视为概率，样本中包裹件数在（100, 300内的天数为10 25 35,35 77,频率为f ,故该公司1天揽件数在（100 , 300内的概率为 一（2分）50 1010未来3天包裹件数在（100, 300内的天数X服从二项分布，即X : B（3,（）1891000所以未来3天内恰有1天揽件数在100 , 299内的概率为：(5分)所快43100包裹质量

15、（kg）(0, 1(1, 2(2, 3(3, 4(4, 5快递费（元）812162024包裹件 数433015841 8 30 12 15 16 8 20 4 2412(7分)（II）由题可知，样本中包裹质量（kg）、快递费（元）、包裹件数如下表所示:以每件包裹收取 递费的平均值为根据题意及，揽件数每增加1,公司快递收入增加12 （元）若不裁员，则每天可揽件的上限为 500件，公司每日揽件数情况如下:件数范围(0, 100(100,200(200,300(300, 400(400, 500天数5102555每天承揽包裹的 件数Y50150250350450概率P0.10.20.50.10.1每

16、天承揽包裹的件数 Y 的期望 E(Y)=50 >0.1+150 0.2+250 0.5+350 0.1+450 0.1=2401一公司每日利润的期望值为240 12 - 5 80 560兀（9分）若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如下:件数范围(0, 100(100, 200(200, 300(300, 400(400, 500天数5102555每天承揽包裹 的件数Y50150250350400概率P0.10.20.50.10.1每天承揽包裹的件数 Y 的期望 E(Y)=50 >0.1+150 0.2+250 0.5+350 0.1+400 0.1=235

17、1 一 一一公司每日利润的期望值为235 12 3 4 80 620兀因为560<620 ,所以公司应将前台工作人员裁员 1人.(11 分) (12 分)20.有一种曲线画图工具如图1所示.0是滑槽AB的中点，短杆ON<绕O转动，长杆MN1过1N处饺链与ON1接，MNi的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN ON 12DM 1 ,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕。转动，M处的笔尖画出的曲线记为C.以。为原点，AB所在的直线为清由建立如图2所示的平面直角坐标系.(I )求曲线C的轨迹方程;(2)设F2为曲线C的右焦点，P为曲线C上一动点，直线PF2斜率为k(k 0),且PF2与曲

18、线C的另一个交点为Q,是否存在点T(0,t),使得 TPQTQP,若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由.(芷兰实验学校谟兴明供题)解设火封则叫,0) |)2(2)设直线PQ的方程为y k(x 73),y2 * 4 1 ,得 1 4k28>/3k2X 12k2 4 0；Q X2, y2,线段PQ的中点为Xo,yo ,X0XX224,3k21 4k2 ,y°j kXo、32、3k2，1 4k4 .3k2-3k1 4k1 4k2因为TPQTQP所以直线TN为线段PQ的垂直平分线,3k - 6 -4kj_1_ k 4.3k2-13 -八3.30T ,3,34综上，存在点T ,使

19、得|TP TQ|,且t的取值范围为3,343.3412所以 TNPQ ,则 kTN kpQt 3 . 3k 3、. 3所以 4k2 11，104 K k 1 一当K 0时，因为4k 4,所以tK 1 一当k 0时，因为4k 4,所以tk21.(本小题12分)已知函数f(x) xex a(x lnx),其中e 2.71828L为自然对数的底数.(1)若f (x) 1 ,求实数a的值； (2)证明：x2exx(2 ln x) 2(1 sinx).(常彳惠市一中)解：(1)法一：当a 0时，h(1) a(1 ln1) aln 1与f(x) 1包成立矛盾，不合题意；2222222当 a 0 时，f&#

20、39;(x) (-)(xea) ,令 h(x) xex a ,则 h'(x) (x 1)ex0 ,x所以 h(x)在(0,)上递增，又 h(0) a0, h(a)aeaa a(ea1) 0故存在 凡(0,),使 h(x0) 0 ,且 xcex0a, lnx0/Ina当 x (0,x。)时，h(x) 0, f'(x) 0, f(x)递减，当 x (x0,)时，h(x) 0, f'(x) 0, f(x)递增所以 f(x)min f(%) xoe" a(lnx° x0) a alna故 f(x) 1,即 a aln a 1 0,令(a) a aln a 1

21、 ,则'(a) lna,知(a)在(0,1)上递增，在(1,)上递减,所以(a)max (1) 0,要使(a) a alna 1 0,当且仅当a 1综上，实数a的值为1法二：f(x) xex a(x ln x) elnx x a(x ln x),令 t x ln x,t R则f(x) 1等价于et at 1 0,对任意t R包成立，令h(t) etat 1 ,1当a0时，h(t)ea2e020与h(t) 0包成立矛盾，不合题意；当a0时，h(t)et1,h(1)e1 1 1 1 0与h(t) 0包成立矛盾，不合题意；e当a 0时，h'(t) et a ,卜(。在(，ln a)上

22、递减，在(ln a,)上递增，所以h(t)的最小值为h(ln a) a alna 1令(a) a alna 1,则'(a) In a ,知(a)在(0,1)上递增，在(1,)上递减,所以(a)max (1) 0,要使(a) a alna 1 0,当且仅当a 1(2)由(1)知，当 a 1 时，xex x ln x 1 ,即 xex x In x 1 ,所以 x2exx2 xln x x,下面证明 x2 xln x x x(2 In x) 2(1 sin x),即证：x2 x 2 2sin x 0令 g(x) x2 x 2 2sin x, g'(x)2x 1 2cosx当 0 x

23、 1 时，显然 g'(x)单调递增，g'(x) g'(1) 1 2cos1 1 2cos- 0, 3所以 g(x)在(0,1上单调递减，g(x) g(1) 2 2sin1 0 ,当 x 1 时，显然 x2 x ,2 2sin x 0,即 g(x) 0故对一切 x (0,),都有 g(x) 0,即 x2xln x x x(2 ln x) 2(1 sin x)故原不等式x2exx(2 lnx) 2(1 sin x)成立22.（本小题满分10分）x acos在平面直角坐标系 xOy中，直线C1： x+ y- 1= 0,曲线C2：（为参数，a 0）,以坐y 1 a sin标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系 .（I）说明C2是哪一种曲线，并将 C2的方程化为极坐标方