人教版八年级上册数学讲义

1、八年级数学讲义第 11 章 三角形三角形的概念三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接.2 三角形的表示 ABC 中，边：AB, BC, AC 或 c, a, b 顶点：A, B, C 内角：/ A,ZB,ZC.三角形的边1.三角形的三边关系：（证明所有几何不等式的唯一方法）三角形任意两边之和大于第三边：b+ca（2）三角形任意两边之差小于第三边:b-ca时，就可构成三角形.确定三角形第三边的取值范围：两边之差 第三边 3，n 是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于 360多边形外角和恒等于360 ，与边数的多少无关

2、.多边形最多有 3 个内角为锐角，最少没有锐角(如矩形)；多边形的外角中最多有3 个钝角，最少没有钝角.5、 实现镶嵌的条件： 拼接在同一点的各个角的和恰好等于360 ;相邻的多边形有公共边。【考点三】判断三角形的形状8、若厶 ABC 的三边 a、b、c 满足(a-b)( b-c)( c-a) =0，试判断ABC 的形状 9、已知 a， b， c 是厶ABC 的三边，且满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断ABC 的形状三角形中至少有 2 个锐角可见一三角形中至多有 1 个钝角10、若厶 ABC 的三边为 a、b、c （a 与 b 不相等），且满足 a3-a2b+ab2-ac2+bc

3、2-b3=0,试判断ABC 的形状二、三角形角有关计算1.如图 ABC 中 AD 是高,AE、BF 是角平分线，它们相交于点解 AD 是厶 ABC 的高，/ C = 70 / DAC =180-90 -70 =20 / / BAC =50 / ABC =180-50 -70 =60 O,ZA= 50 ,ZC = 70 求ZDAC,ZAOB AE 和 BF 是角平分线/BAO =25 ,ZABO =30ZAOB =180 -25 -30 =1252.如图，ABC 中，D 是 BC 边上一点，Z仁Z2,Z3=Z4,解设1x0Q 12,20 x312 2x0又 Q3442x0又 Q24BAC 180

4、0ZBAC= 63，求ZDAC 的度数x 2x 6301800 x 390DAC 6303902403.已知：P 是厶 ABC 内任意一点.求证：ZBPOZA解涎丧BP支AC于点DV ZBPC是APDC的外角：ZPDC同理可4ZPDOZA7BD是AC边上的高:.ZBPCZA4.如图，Z1 =Z2,Z3=Z4,ZA= 100，求 x 的值?：VZ1=Z2 Z3=Z4AZABC=2Z2 ZACB2Z4&AABC tZA+ZABC+ZACB=lOeAZA+2(Z2+Z4H80T ZA= 100AZ2+Z4=J07Z2+Z4+x=180a5.已知 ABC 的/ B、/ C 的平分线交于点 0。

5、求证：/ BOC=90/ A （角平分线模型）证明；TBO、CO 是 ZB. Z?的平分线 A Z1=Z2Z3=Z4AABCM1中 ZIMH + Z2+ Z3= 1 Wl* AZ2+Z3=l( (r ZB(M在NIK 中 Z A+ Z VIK + ZAC B= 180AZA+2(Z2+Z3)=180oA ZA+2(l0dZBOC)=1807.AABC 中，/ ABC 的平分线 BD 和厶 ABC 的外角平分线 CD 交于 D，求证：/ A=2/ D （角平分线模型）ZBOC=9U + ZA6.已知：BP、CP 是厶 ABC 的外角的平分线，交于点 P。 求证：/ P=90 注明:： RP、CP

6、A 外角平分线 Z1=Z2 Z3=ZJ 7ZEBC是AE(啲外甬 :、ZEBC-ZA+ZA( B=ZA+(1NIID-Z3-Z4)A ZEBC=Z1+Z12Zl=ZA+(180* -2ZJ)iZI+lZA-ZA+IM0APBt 冲 ZP* / 汁 Z3=iS0e-ZI+Z3=lR0a-ZPZ.ZA+lNiP =2(lSir ZP)AZl9fl* - ZAA/ A （角平分线模型）证明：TBD、CDA角平分线:.Z2Z3=Z4在BDC中Z4-Z2+ZD二Z3=Z2+ZD在ABC中ZACE=ZA+ZABCA2Z3=ZA+2Z2 A2(Z2+ZD)= ZA+2Z2:.ZA=2ZI)8.AAOB 中，

7、/ AOB=90 , / OAB 的平分线和W：VAP. RP 是荷平分践A Z1=Z2Z3=Z4在ABI*中 Z4=Z2+Zr /-Z3=Z2+ZP在 ARO 中ZOBD=ZO+ZOAB 2ZJ=ZO+2Z2 2(Z2+ZP)=ZO+1Z2:.ZO=2ZP:.ZP=45*9.如图：求证：/ A+ZB+ZC=ZADC （飞镖模型）证明:连接 BD 并建长 MEVZAE=ZABIHZAZCDE=zXBIH ZCZADC=ZABIHZCBD ZAB2AD.连接 AD 是中线 DC=DB在厶 CDE 和厶 BDA 中DE=AD/CDE=/ BDADC=DB CDEABDA(SASCE=AB在厶 AE

8、C 中 CE+ACAE CE=ABAB+ACAEvDE=ADAE=2ADvAB+ACAEAB+AC2AD证明：延长 CD 至，使DF=CD,连接 BF,在/ ADF 和/ BDC 中AD=BD倍长中线法的过程：延长 方法总结：遇中线，要倍长【例题精讲】例 1、如图1,在ABC 中， 分析：因为 AD 为中线，_,转移边、转移角/ADF=ZBDCFE HECEF 也 BEHEFC EHB,CF BH BG二EHBBGE，而BGE AGF AFGAGF又:EF II ADAFG CAD,AGF BAD例 4、如图，在ABC中，AD是BC边的中线，E 是 AD 上一点，且 BE= AC,延长 BE交

9、 AC 于点 F.求证:证明：延长 AD 到点 G，使 AD=DG,连结 BG.丁AD是BC边的中线在厶ADC 和厶 GDB 中AD=DG从/ ADC=Z GDB1DC=DB ADC GDB ( SSS/CAD=ZBGDBG=AC又/ BE=AC,BE=BG. / BED=ZG/ /BED=ZAEF,/AEF=ZCAD,_ _ _即：/ AEF=ZFAEAF=EF.AF= EFDC=DBDC二截长补短法截长:1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另 短边相等。补短:1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。【例题精讲】例 1.如图，AAB

10、C 中，/ ACB= 2 / B, / 1=Z2 求证：AB= AC+ CD证法一：(补短法)延长 AC 至点 F,使得 AF= AB在厶 ABD 和厶 AFD 中AB= AFZ1=Z2AD = AD:.ABHAAFD(SAS / B=Z F / AC吐2/ B / AC吐2/ F而/ AC吐/ F+ / FDC / F=Z FDC CD= CF而 AF= AC+ CFAF= AC+ CDAB= AC+ CD证法二：(截长法)在 AB 上截取 AE= AC,连结 DE在厶 AED 和厶 ACD 中AE = ACZl= Z2AD = ADi AEDAACD(SAS:.DE=DCfZAED=ZC：

11、AED = ZE +丄丄EDB, ZACB =2Z5/.2ZJ5= Z占十.EDB/. ZB=ZEDB：.EB = ED = DCAS = A + EB = AC + DC例 2、 如图，在 ABC 中，AD 为 BC 边上的高， / B=2/ C 求证：CD=AB+BD. 证明：在DC 上截取 DE=DB,连接 AE，在厶 ADB 和厶 ADE.中 DE=DB, / ADB=ZADE,AD=AD. ADE ADB ( SAS)i AE=AB,/AEB=ZB，/AEB=ZC+ZCAE,/B=2ZC,ED=BD,( /AEB=2/C. /C=ZCAE,故 CE=AE=AB. CD=CE+ED=A

12、E+ED=AB+BD.例 3、如图，ADABCAAD AD、/C/E)Z BAC ABD 也C B/AB定义 3如果一个图形沿一条直线折叠C直线两旁的部分能够互相重兔,BAD这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对AB 由ABDDAC2CEEBDABDABCD BCBDE轴D称/BD 2CEiAB ACAOCODPOP OPBA AD轴对称ABCBAD 180CEBA FDAEDEAA两个图形成轴C称2或一个AB形是轴对称图形AC,则对应线段性质(对折后重合的线段 j 相等；对应角(对折后重合的角3)相等！EADDC珂Z对称轴垂直平分Z接对应点的角DDED丄AB BAOEDDFCN 叫ZCC

13、3BD B图AEDDEDFBADBE垂ABC扁广定义：CD线段中RtC 且垂做这条线段的垂真平分线1性质0线段垂直平分线上的点与这条离相等ZBCFZFFBC CE FE图CF判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段C一直平分线上RtABAD 也 Rt CAF BDCF轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换作轴对称图形乂等腰三角形OPOEPPD用坐标表示轴对称A - AA一.1P(x, y)关于 x 轴的对称点的坐标为 P (x, - y) . A P(x,y)关于 y 轴的对称点的坐标为 P (-x, y) I /_J定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等