数学形态学及碎形维度於X光医学影像分析

1、國立台灣大學土木工程學研究所民國95年博士學位論文摘要數學形態學及碎形維度於X光醫學影像分析研 究 生:林啟豪指導教授:呂良正第一章 諸論 近年來，隨著電腦計算能力的提升，電腦影像處理技術及應用有著迅速的發展，並在各個科學研究及應用領域中得到廣泛的應用。例如在生物醫學工程領域中，癌細胞的識別、白血球分類、紅血球統計及手術方案的電腦影像確定等等。這些課題都涉及到影像處理中一個主要分支-影像分割(Segmentation)及描述(Description)。 影像分割的主要目的，在於將觀察者有興趣的區域自影像中分割出來。有別於傳統影像分割的方法，數學形態法是以一結構元素去度量和萃取影像中對應的特徵，

2、適合用於X光醫學影像的紋理特徵擷取。 影像描述是指以特徵資訊來代表影像特性，如在形容一個圓形時，半徑大小即為最佳的描述方法。有別於傳統歐氏幾何學之整數維度，碎形可具有分數維度，常用以表徵某些不規則的幾何形體。X光醫學影像紋理特徵形態複雜，有著與碎形結構類似的特性，非常適合以碎形維度來描述之。 數學形態學及碎形維度為影像分割及描述的新方法。研究分為以下三個部份來評估數學形態學及碎形維度於X光醫學影像分析時之可行性及限制性。第一部份:利用豬脊骨試體之Micro CT數位影像，模擬X光照射時可能產生的變異。討論照射角度、影像對比及幾何誤差的變異對分析結果所產生的影響。第二部份:以材料試驗機求得試體的

3、材料性質(楊氏系數及極限強度)，探討影像特徵之碎形維度與楊氏系數及極限強度之相關性。第三部份以臨床根管治療為例，以數學形態學擷取影像特徵，並配合碎形維度評估根管治療前後影像特徵的差異，以期做為早期根管治療成效的評估。另外，碎形維度常見的評估方法-方格計數法，於非整數分割時，所產生的平台效應，本研究亦提出修正公式來解決此一問題。第二章 數學形態學 以數學形態學的方法來描述及求取骨架時，設為歐幾里德空間上的集合，的骨架記為，為骨架的子集，即為中最大內切圓半徑為時所對應之骨架，以數學形態學的表示如下: (2.1) (2.1)式中指半徑為的圓，為具有微小半徑值的圓。在歐幾里德空間中，圓可近似為一個小的

4、結構元素B。而圓則可近似為離散半徑的圓，其中(次)。由此可得出另一種數學形態對骨架的定義形式: (2.2)Original Imagen=0n=1n=2n=15n=3n=4n=5圖2.1灰階影像的骨架分析(特徵擷取)第三章 碎形維度表3.1歐氏幾何與碎形幾何的比較盒子維度 對於一個複雜的幾何圖形，我們無法知道其局部與整體之間的相似比時，可以採用大小不同的方塊分別去覆蓋(或填充)被測對象，依方格大小統計覆蓋所需的方格數來計算其維度，這種方法稱為盒子計數法(Box Counting)又稱方格計數法( Majumdar, Weinstein and Prasad 1993)。用這種方法計算出的維度稱

5、為容量維度。 設想我們用一長度為的線去量測長度為的線段時，測得與之比值為。顯然值的大小與的長短有關，越小越大，即: (3.1) 如我們用一邊長為的正方塊去覆蓋面積為的平面時，測得與之比值為。顯然值的大小與正方塊的面積有關，越小越大，即: (3.2) 上述(3.1)、(3.2)式中的指數部份1及2分別為直線與平面的維度。將上述的討論加以推廣，對於容量維度為的物件用邊長為r的方塊去覆蓋時，可得到的個數為: (3.3) 一般來說，為了精確測量一個不規則物體，所用的尺度越小越精確，在極限情況下: (3.4) 對式(3.4)取對數得容量維度： (3.5) 由於在實際計算碎形體的容量維度時，我們不可能取長

6、度的比例尺去測量，常用的方法是用幾個有限長度的比例尺多次量測，並將測量結果作雙對數圖。如果測量物件的確是碎形體，便會得到一條負斜率的直線，其斜率絕對值即為該物件的容量維度。第四章 修正修正型方格計數法1.直線的非整數分割 以方格計數法評估線寬為1 pixel直線之碎形維度時，因不當選取方格大小所產生非整數分割情形(圖4.1)。由方格計數法基本定義(直線D=1)，經由移項可得(為常數)，此時所代表意義為直線之總長。在此情況下我們可知C=9，。2.平面的非整數分割 以方格計數法評估平面之碎形維度時，因不當選取方格大小所產生非整數分割情形(圖4.1)。由方格計數法基本定義(平面D=2)，經由移項可得

7、 (為常數)，此時所代表意義為平面之總面積。在此情況下我們可知C=81，。 直線 平面圖4.1於非整數分割下評估直線、平面之碎形維度3修正公式推導 觀察直線及平面的理論解，我們發現可將理論解分成二部分: (4.1) (:完整方格區塊 , :非完整方格區塊) 完整方格區塊與傳統方格計數法計算方式完全相同，方格中若包含物件不論是一點或是填滿整個方格，則方格總數加1。在非完整方格區塊部份則以下列公式計算之:直線: (4.2) 平面: (4.3) (:有效長度 , :方格邊長 , :有效面積 , :方格面積) 觀察(2.2)、(2.3)式並將碎形維度導入，可將其改寫成:直線: (4.4) 平面: (4

8、.5) 經由以上整理我們可發現不論是直線或是平面，在非完整方格區塊部份所應貢獻的方格數都可看成是其特徵長度的碎形維度次方。當碎形物件維度介於12間時，配合線性內插公式可得下列近似公式: (4.6) (其中 , ) 當D=1時，=與式4.4相同。 當D=2時，=與式4.5相同。4.結果表4.1整數分割、非整數分割於四種圖紋之碎形維度值 *格線採180方格大小進行回歸分析第五章 照射條件之影響1.研究流程圖5.1研究流程圖2.結果 由表5.1可知，不論是相減法或是碎形維度法，分析區域越接近病變大小越能成功判讀病變之發生。所有因素中，病變大小影響判讀成功機率最大，於病變大小40 pixel及分析區域

9、80×80 pixel下相減法有70%以上成功判讀機率，而碎形維度法有著高逹95%以上的成功機率。然而在病變大小20 pixel及分析區域80×80 pixel下相減法有55%左右的成功判讀機率，而碎形維度法也僅有75%左右的成功機率。在三種不同照射條件變異中，相減法對幾何誤差最敏感而投影角度的影響最小，而碎形維度法則受投影角度的影響最大而影像對比的影響最小。然而不論是哪種照射條件之變異，碎形維度法均較相減法有著更高的判讀成功率。表5.1照射條件、分析區域及病變大小於相減法及碎形維度法之影響第六章 碎形維度與其材料性質之研究 由極限強度與楊氏模數的關係圖可知二者有中度的正相

10、關(R2=0.676)，對於醫療診斷上而言，極限強度的描述比楊氏模數更有其代表意義。從前、後面(AP View)及側面(Lateral View)所求得的碎形維度(D1、D2)，可知二者有中度正相關(R2=0.450)(圖6.10)。這也代表如果碎形維度與材料性質(極限強度與楊氏模數)相關的話，不同角度所產生的X光投影影像僅能部份解釋同一試體的材料性質，也代表著若能收集更多的投影資料則其預測能力將可提高。由碎形維度與極限強度的關係圖(圖6.1、6.2)可發現二者有中度的負相關性(R2=0.517、R2=0.623)。以變數D1及D2乘積對極限強度與楊氏模數做線性回歸，則碎形維度與極限強度的相關

11、性，可由中度相關提升至高度相關(R2=0.738)，而與楊氏模數的相關性則差異不大仍屬於中度相關 (R2=0.505)。回歸公式如表6.1所示。圖6.1 D1 V.S.極限強度圖6.2 D2 V.S.極限強度表6.1單、雙變數線性回歸Regression RelationshipR2 Value Maximum Stress VS. D1×D2 VS. D1 VS. D2 Youngs Modulus VS. D1×D2 VS. D1 VS. D2Y=-154.551X+460.960Y=-407.396X+712.633Y=-396.755X+687.169Y=-4378

12、.00X+13292.46Y=-17009.71X+29735.18Y=-10426.24X+18350.220.7380.5170.6230.5050.5470.371圖6.8研究流程圖第七章 應用實例 根管治療一般俗稱抽神經，正確說來抽神經只是根管治療中的一部份。完整的根管治療包括牙髓腔的開擴、牙髓去除(抽神經)、根管的開創、消毒及充填。成功的根管治療可以撲滅根管內的病菌及毒素，治療牙根尖周圍組織的創傷，促使牙根周圍組織的修補及癒合(圖7.1) 使牙齒仍能以一種良好的健康狀態處於它的支持組織中。 (a) (b)圖7.1根管治療前後牙根尖週圍組織變化情形(a)根管治療前 (b)根管治療後結果

13、 從二十六例根管治療前後X光影像特徵之碎形維度變化可知，根管治療前牙根病灶處其影像特徵之碎形維度平均值為1.619，而成功的根管治療三個月後其碎形維度平均值提升至1.639。在二十六個病例中，有三個病例治療後之碎形維度值低於治療前。以無母數成對樣本Wilcoxon Signed Rank Test統計分析可知，治療前後牙根尖病灶處影像特徵之碎形維度值有顯著的變化(P<0.05)。圖7.4根管治療前後碎形維度之變化:(D1)治療前(D2)治療後之碎形維度第八章 結論 影像特徵擷取的正確與否，對於最終分析結果有著絕對的影響。以數學形態法擷取影像特徵時需先決定1.結構元素大小及形態2. 疊合影

14、像的處理次數。這兩項因素對於影像特徵擷取的正確與否有著重大的影響。文章中建議以5x5 pixel的圓形結構元素為擷取X光影像的基本結構元素單元，再視其影像特徵及處理上需求，調整疊合影像的處理次數。影像特徵較基本結構元素單元大時，取較高的處理次數影像疊合，而影像特徵接近於基本結構元素單元時，取較低的處理次數影像疊合，然而至少取n=1以上的處理影像疊合，以避免過多的高頻雜訊被引入。 在碎形維度計算方面，方格計數法為各種碎形維度的評估方法中，最常見也最易理解的計算方法。在眾多影響方格計數法結果之各種參數中，以方格大小範圍的選定最為重要(Chen, Keller and Crownover 1993;

15、 Chung et al. 1994; Nezádal, Zmeskal and Buchnícek 2001; Foroutan-pour, Dutilleul and Smith 2000)。以往在選定方格大小時，常受限於影像本身的大小及長寛比，合適的方格尺寸往往不能整數分割分析區域。有鑑於此本研究透過對直線及平面特殊碎形物件的觀察，提出【修正型方格計數法】。利用直線及平面所歸納出的結果，發現不論是直線或是平面，在非完整方格區塊部份所應貢獻的方格數都可看成是其特徵長度的碎形維度次方。配合線性內差可正確的推估碎形維度介於12間的任意碎形物件，於所選定之方格大小無法整數分割

16、分析區域時，無法完整覆蓋區域所應貢獻之方格數。 在結合數學形態法及碎形維度於X光影分析部份，數學形態學的主要功能在於影像特徵之擷取，能有效的減少影像冗餘的訊息量，當影像受到干擾時(如投影角度不同)，其主要特徵所受的影響較少。從擷取出的影像特徵來看，病變處所擷取出的紋理明顯少於其它正常部位。這個特點在照射條件變異時依然保留著，使得數學形態法在照射條件變異時能保有較高的診斷機率。相對於像素對像素、灰階值對灰階值的相減法(Subtraction) 使用了影像全部的訊息，使得影像中主要特徵之重要性相對地被降低。當照射條件擾動時這些次要特徵帶來大量的雜訊，致使在照射條件變異下大大的影響其病變之診斷。 從碎形維度與材料性質之研究中，可發現碎形維度與我們所較關心的材料極限強度有著較高的相關性。此外，從不同角度投影特徵之