湖南省常德市2020届高三高考模拟考试(一)数学(理)试卷

1、湖南省常德市2020届高三高考模拟考试（一）数学（理）试卷总分：150分 时量：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的）1 .已知集合 P二x| 5x6, Q=x|x2 5x 6 0 ，贝（J P Q=（桃源县第四中学）x|x|A、 x|C、 x|答案：由已知得 Q=-1 ,6 P= （-5, 6）故P Q=-1 , 6故选C2 .设复数z满足z+ 3= i（1- z）,则下列说法正确的是（）（桃源一中）A. z的虚部为2i B. z为纯虚数C. |z= J5D. 在复平面内，z对应的点位于第二象限答案:C 由 z+3

2、= i(1- z)-3+ i z =得 1+ i=(-3+i)(1- i)=- 1+2iz = (- 1)2+22= , 53 .设等差数列an的前n项的和为Sn,若S5 = 4a3 + 7 , a1 二 1 ,则a6 =()(桃源一中）A. 37B.16C. 13D. -97 ,由 a1 1 得d = 3 ,空气质量指数（AQI）小于100表示空气200答案：B设等差数列%的公差为d,由S5=4a3+7得:5? (5 1)5a1 + 一一-d = 4(a + 2d)+ 7 ,将a1 = 1代入上式解得d = 3 ,故a6=阚+5d =1+15= 16(法-:S5 = 4a3 + 7 ,又 S

3、5 = 5a3 ,所以 a3故 a6 = a1 + 5d = 1+ 15 = 164 .如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图, 质量优良，空气质量指数大于 200表示空气重度污 染.则下列说法不正确的是 （）（桃源一中A.这16日空气重度污染的频率为0.5B.该市出现过连续 4天空气重度污染C.这16日的空气质量指数的中位数为203D.这16日的空气质量指数的平均值大于8.答案：D这16日空气重度污染的频率为8=0.5故A正确；12日，13日，1416日，15日连续4天空气重度污染，故B正确；中位数为：（192 214） 203,故1C正确；x= 200+ (14+ 75+ 43+ (

4、- 43) +6(-120)+ (- 48)+ 60+ (- 117)+ (- 40) +(-21)+ (- 62)+ 14+ 21+ 63+ 23+ (- 8)|(2x+1)-1I,解得：-1x 0桃源一中)对任意实数a,函数g(x)至多有3个零点；ln %、 Jn x、 1- ln x .P(X)，)，()& ,由x0X X2 2 k kx0得 辞 角12e若aW0,则函数g(x)有且仅有3个零点；11若函数g(x)有且仅有3个零点，则a的取值范围为(,0U,)(桃源一中)6 2eA. 1 B. 2 C. 3 D. 41答案：B当x0时，f(x)的图像为抛物线y x2 x的一部分61- l

5、n x 一当 x 0 时，当 x 0 时，f (x) =2，所以 x? (0, e)时，f (X) 0 , f (x)单x调递增，X? (e, ?)时，f伙)0, f(x)单调递减，画出f(x)的图像如图所示，由图可知f(x)恰有3个零点，故不正确；设f (x)的过原点的切线的斜率为k1 ,切点为y11一 一，6 2e“刈在*= 0处的切线12的斜率为o 1一1k2 = (x + -x)qx=0= (2x+ -) |x=0=66因为g(x)= f (x)- ax零点个数，即函数y = 乂)与丫= ax的交点个数， 1 1 _11由图可知：a 时，有1个父点；a 时，有2个父点；a 一，一)时，

6、有2e2e6 2e1 一a (0,)时，有4个父点；a (,0时，有3个父点.所以 不正确；正6确.(说明：显然x= 0是g(x)的零点，X 0时，也可转化为f0 = a零点的个数问x题，也可以画图得出答案) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答幽卡.中对 应题号后的横线上)13.已知函数f (x)=xeX+ln(x+1),则曲线y= f (x)在x=0处的切线方程为_ y = 2x_.(桃源一中)x y 1 03x y 3 0,14已知实数x，y满足约束条件x y 1 0则z=3x 2y的最小值为-215.已知数列an的各项为正，记Sn为an的前n项和，若an+1

7、=3a2an+1- 2an_ *(n? N ),a1 二 1 ,则 S5 = 121.(桃源一中)22F是C的右焦点,2 21(a 0, b 0)16 .已知双曲线C: a b, O是坐标原点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为 a，b，且OAB为直角，记 OAF和S OAF 10AB的面积分别为S 0AF和S 0AB ,若S OAB 3 ,则双曲线C的离心率为2 62.3答案：.3或3三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 .(本小题 12 分)已知向量 m= (sinx, - J3) , n=(1 , cosx),且函数 f (x) = mn4 -5兀、 2(I )右

8、 x? (0,),且 f (x)=,求 sin x 的值； 63(n )在锐角 MBC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c ,若a = 4, MBC的面积为4瓜,且f (A+ = 1 csin B ,求AABC的周长.(桃源一中)32解:（I） f（x） = mn= （sinx,-向（1, cosx） = sin x- 73cosx = 2sin（x- -） 3（2分）r 2九 1Q f （x） = sin（x-）=（4分）3，33冗。/九%, 阳 2夜x- 7?（， cos（x- -）=33 233所以sin.-3)+打反等哼1+ 26（6分）（H ）因为 f （A+ ） = cs

9、in B 所以 2sin A = csin B 即 4sin A = csin B 322由正弦定理可知4a = bc ,又a = 4所以bc= 16 由已知AABC的面积lbcsinA= 4J3 ,可得sin A =衣22（8分）A 冗A=3（10 分）.2222由余弦定理得b + c - 2bccosA= 1 ,故b + c = 32 ,2从而（b + c） = 64所以MBC的周长为12（12 分）平面ABCD ,底面ABCD18.(本小题12分)如图，在四麴i P ABCD中，平面PAD是直角梯形， AD/BC, AB AD , AD 2BC 2AB, O是AD的中点.(I )在线段P

10、A上找一点E ,使得BE /平面PCD ,并证明；(n )在(1)的条件下，若PA PD AD 2 ,求平面OBE与平面POC所成的锐二面角 的余弦值.(桃源一中)又OB（4分）. OE平面又BE（1分）解：(I) E是线段PA的中点，证明：连接BE, OE OBO是 AD的中点,OE / PD,又OE 平面PCD, PD 平面PCD,OE/平面PCD, （3分）又底面ABCD是直角梯形，AD 2BC 2AB , . OB / CD ,平面 PCD, CD 平面 PCD, , OB/平面 PCD,平面 OBE, OB 平面 OBE, OEI OB O, OBE / 平面 PCD ,平面 OBE

11、,BE / 平面 PCD.（也可通过线线平行来证明线面平行）（II） .平面 PAD 平面 ABCD, PA PD AD 2,. PO AD, . . PO 平面 ABCD,且OC 1, PO 战，以。为原点，如图建立空间直角坐标系 O xyz, （8分）得。0,0,0 , B 1, 1,0 , P 0,0,73 ,C 1,0,0 , E 0,uur 13 uur得 OE 0, 1,岑,OB 1, 1,0 , 2 2ur设m x, y, z是平面OBE的一个法向量， ir uuin_m OE y . 3z 0则 U uuu ,得，取 x 73，m OB x y 0得m出，石,1,(10分)又易

12、知n 0,1,0是平面POC的一个法向量，设平面 OBE与平面POC所成的、.3.21- 万17，即平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值为 叵7(12 分)2018年中国快递量世界19.（本小题12分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人,第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名.某快递公司收取费的标准是：不超过 1kg的包裹收费8元；超过1kg的包裹，在8元的基础上，每超过1kg（不足1kg,按1kg计算）需再收4元.该公司将最近承揽（接收并发送）的100件包裹的质量及件数统计如下（表1）：包裹质里（kg）(0, 1(1, 2(2, 3(3, 4(4, 5

13、包裹件数43301584表1:公司对近50天每天承揽包裹的件数（在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据）、件数范围及天数，列表如下（表2）：件数范围(0 , 100(100 , 200(200 , 300(300 , 400(400 , 500天数5102555每天承揽包裹的件数50150250350450表2:（I）将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在（100 , 300内的概率；（n）根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用.目前，前台有工

14、作人员5人，每人每天揽件数不超过 100件，日工资80元.公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人？（桃源一中）解：（I ）将频率视为概率，样本中包裹件数在（100,300内的天数为10 25 35,(2频率为f 35 二，故该公司1天揽件数在（100, 300内的概率为50 1010分）未来3天包裹件数在（100, 300内的天数X服从二项分布，即X : B（3,）10所以未来3天内恰有1天揽件数在100 , 299内的概率为：P C1（1）（3）2里（5分）10 101000包

15、裹质量（kg）(0, 1(1, 2(2, 3(3, 4(4, 5快递费（元）812162024包裹件 数43301584（H）由题可知，样本中包裹质量（kg）、快递费（元）、包裹件数如下表所 示：平均值为所以每件 包裹收取 快递费的43 8 30 12 15 16 8 20 4 2412 （7分）100根据题意及，揽件数每增加1,公司快递收入增加12 （元）若不裁员，则每天可揽件的上限为 500件，公司每日揽件数情况如下:件数范围(0, 100(100,200(200,300(300, 400(400, 500天数5厂 1012555每天承揽包裹的 件数Y50150250350450概率P0.

16、10.20.50.10.1每天承揽包裹的件数 Y的期望E(Y)=50X 0.1+150 X 0.2+250 X 0.5+350 X 0.1+450X0.1=2401一八公司每日利润的期望值为240 12 1 5 80 560兀（9分）若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如下:件数范围(0, 100(100, 200(200 , 300(300, 400(400, 500天数5102555每天承揽包裹 的件数Y50150250350400概率P0.10.20.50.10.1每天承揽包裹的件数 Y的期望E(Y)=50X 0.1+150 X 0.2+250 X 0.5+350

17、 X0.1+400X0.1=2351 一八公司每日利润的期望值为235 12 - 4 80 620兀(11分)因为560是滑槽AB的中点，短杆ONM绕O转动，长杆MNffi过N处较链与ON接，MN1的栓子D可沿滑槽AB滑动，且_1DN ON DM 1 .当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕口转动, 2M处的笔尖画出的曲线记为 C.以0为原点，AB所在的直线为立轴建立如图2所示 的平面直角坐标系.22(I )求曲线C的轨迹方程；(2)设F2为曲线C的右焦点，P为曲线C上一动点，直线PF2斜率为k(k 0),且PF2与曲线C的另一个交点为Q是否存在点T(0,t),使得 TPQ TQP,若存在

18、，求t的取值范围；若不存在，请说明理由.(芷兰实验学校谟兴明供题)解(1)设 M(x,y)则 D (2。，则：(x -)2 y2 1及 y2 152.245(2)设直线PQ的方程为y k(x 拒), 2将 y k(x 73)代入土 y2 1,得 1 4k2 x2 8V3k2x 12k2 4 0；4设 P x1,y1 , Q x2,y2 ,线段 PQ 的中点为 N %,丫。，xq4,3k21 4k2y。yy2k xq、33k2 ，1 4k4,3k2、,3k1 4k2,1 4k2因为 TPQTQP所以直线TN为线段PQ的垂直平分线,所以TN则 kTN kpQ1,3 . 3k3.3-3k t即可1_

19、t k143k k14k2 14k24k100时,因为4k一3.34, 所以 t 0,工,0时,因为4k-3,34-T，0 .使得|TP TQ| ,且t的取值范围为0 330K1221 .(本小题12分)已知函数f(x) xex a(x lnx),其中e 2.71828L为自然对数 的底数.(1)若 f(x) 1 ,求实数 a 的值；(2)证明：x2exx(2 ln x) 2(1 sin x).(常德市一中)解：(1)法一：当 a 0 时，h(1)a(1ln 1)aln 1与 f(x) 1 恒成立矛盾，不2222222合题意； x 、当 a 0 时，f(x) (xea) ,令 h(x) xex

20、 a ,则 h(x) (x 1)ex 0 , x所以 h(x)在(0,)上递增，又 h(0) a0 , h(a)aeaa a(ea1) 0故存在 x0 (0,),使 h(x0) 0 ,且xoe a, lnx0 x0ln a当 x (0,Xo)时，h(x) 0, f(x) 0, f(x)递减，当 x (Xo,)时，h(x) 0, f(x) 0, f(x)递增所以 f(x)mgf(Xo) Xoex0 a(lnxo x) a alna故 f (x) 1,即 a aln a 1 0,令(a) a aln a 1 ,则(a) lna,知(a)在(0,1)上递增，在(1,)上递减，所以(a)max(1)

21、0,要使 (a) a alna 1 0,当且仅当a 1综上，实数a的值为1法二：f(x) xex a(x ln x) elnx x a(x lnx),令 t x In x,t R则f(x) 1等价于et at 1 0,对任意t R包成立，令h(t) et at 1 , 1当a0时，h(t)e12e0 20与h(t) 0包成立矛盾，不合题意；当a。时，h(t)et1 ,h( 1)e1 1 1 1 0与h(t) 0包成立矛盾，不合题意；e当a 0时，h(t) et a , h(t)在(，lna)上递减，在(ln a,)上递增，所以h(t)的最小值为h(ln a) a aln a 1令(a) a a

22、lna 1,则(a) ln a ,知(a)在(0,1)上递增，在(1,)上递减，所以(a)max(1) 0,要使(a) a alna 1 0 ,当且仅当a 1(2)由(1)知，当 a 1 时，xex x ln x 1 ,即 xex x ln x 1 ,所以 x2ex x2 xln x x ,下面证明 x2 xln x x x(2 ln x) 2(1 sinx),即证：x2 x 2 2sin x 0令 g(x) x2 x 2 2sin x, g(x) 2x 1 2cosx当 0 x 1 时，显然 g(x)单调递增，g(x) g(1) 1 2cos1 1 2cos 0, 3所以 g(x)在(0,1上单调递减，g(x) g(1) 2 2sin1 0 ,当 x 1 时，显然 x2 x ,2 2sinx 0,即 g(x) 0故对一切 x (0,),都有 g(x) 0,即 x2 xln x x x(2 ln x) 2(1 sin x)故原不等式x2ex x(2 lnx) 2(1 sinx)成立22 .(本小题满分10分)x acos .,在平面直角坐标系 xOy中，直线C1： x+ y- 1= 0,曲线 C2 ：(为参y 1 a