第49讲高考数学分类讨论

1、1.点M （5,3）到抛物线2 axA-y12x2C. y36x2答案:解析:ax2化为1 a第四十九讲分类讨论的准线的距离为 6,那么抛物线的方程是（,y 12x2或 y12T- y不X或y2,当a>0时，准线36x21 2x361，一.y ,由已知得34a14a1, 一，=.当 a<0 时,12准线y14a,11,由已知得|3|4a6=6, a11,或-（舍去）.，抛物线方程3612112x2 或 y1 2一 x36,故选D.x>0,2.已知变量x,y满足的不等式组y>2 x,kx- y+1 >0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于（A.- B.

2、2C.0D. 2或 0答案：D解析：不等式组x>0,y>2x,kx-y+1 >o表示的可行域如图（阴影部分）所示，由图可知若不等式组x>0,y >2 x,kx y +1 > 0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y= kx+1与直线x=0垂直（如图）或直线y=kx+ 1与直线y=2x垂直（如图）时，平面区域才是直角三角形ix-j+H)一一、，.1由图形可知斜率 k的值为0或一2.133.某人根据自己爱好，希望从 W X, Y, Z中选2个不同字母，从0,2,6,8中选3个不同数字编拟 车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字 2不能排在首位，字母 Z和

3、数字2不能相邻，那么满 足要求的车牌号有()A. 198 个 B . 180 个 C . 216 个 D . 234 个答案：A解析：不选2时，有 A A2=72个；选2,不选Z时，有G2CA2A2 = 72个；选2时，2在数字的中间，有 A3dC1=36个，当2在数字的第三位时，Aa3= 18个.根据分类加法计数原理知，共有 72+72+36 + 18= 198个，故选 A.4.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x2) = f(x+2),当 0vxv2 时，f (x) = 1 log 2(x+1), 则当0<x<4时，不等式(x2)f(x) >0的解集是()A

4、. (0,1) U (2,3)B. (0,1) U (3,4)C. (1,2) U (3,4)D. (1,2) U (2,3)答案：D解析：当0vxv 2时，x-2<0,不等式可化为即解得1 vxv2,当2vx<4时，x-2>0,不等式可化为由函数f(x)是奇函数，得f ( - x) = - f(x),又 f (x 2) = f (x+ 2),则 f (x) =f (x-2 + 2) =f (x-2-2) = - f (4 - x),因为0V 4-x<2,不等式可化为解得2Vx<3,CD= 2, BCD勺面所以原不等式的解集为(1,2) U(2,3),故选D.5.

5、如图，在 ABB, / A= 30° , BC= 25, D是 AB边上的一点, 积为4,则AC的长为.答案：4或2y12 解析：设/ BCD= 0 ,则在 BC加,8bc-：x 2乖X2sin e =4,即 sin 0=25，则 cos 0 = ± g, bD= 20 + 48*x ±g=16 或 32,即 BD= 4 或 4/2.当 BD= 4时，-=-z,'sin 0 sin B即 sin B=哼,此时 一ACj= -BC7,即 AC= sin B BC 4;5 'sin B sin Asin 30'当BD= 4y2时，4/=2*&#

6、39; sin 8 sin B即sinB=曙，此时AC BCsin B sin ASi - sin B- BC 即AC= .。 =2成.综上,AC的长为4或2®siII3U6.(湖南省师大等2016届高三四校联考)若函数f(x) x2 ax 2在(0,值范围是.)上单调递增，则实数a的取答案：4,0.解析:f (x) x2 a | x 2 |, . f (x)x2 ax 2a, xx2 ax 2a, x2,又 f(x)在(0, 2)上单调递增,a2 a24 a 0 ,即实数a的取值范围是-4,0.7.已知2>0且2金1,若函数f (x) = log a( ax2x)在3, 4上

7、是增函数,则 a的取值范围.解析：由已知可得ax2- x>0在3 , 4上恒成立，故9a3>0,解得a>；3若0va<1,则y= log at在(0 , +°°)上单调递减，由题意知 t=ax2 x在3 , 4上为减函数，故2a4,解得aw 1,这与a>1矛盾，不合题意； 83若a>1,则y = logat在(0 , +8 )上单调递增，由题意知t=ax2x在3 , 4上为增函数，故-13,2a1 ，解得a>6，因为a>1,所以a的取值氾围是(1 ,).8.已知函数 f(x)= sin x(x> 0),g(x) = ax

8、(x>0).(1)若f(x)wg(x)恒成立，求实数a的取值范围；1 3(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)-f(x)<6x3.解析：(1)解 令 h(x)= sin x ax(x>0)则 h'x)=cosx a.若 a>1h'x)=cos xaw0h(x)= sin x ax(x>0弹调递减,h(x)由(0)= 0，则 sin xQx(x>0成立.右 0<a<1,存在 xoC 0, 2，使得 cos x0= a,当 xC (0,x(),h'x) = cos x a>0,h(x)= sin xax(xC (

9、0,xo)单调递增，h(x)>h(0) = 0，不合题意.若awcg合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意.综上可知，a的取值范围是1, + 8).(2)证明 当a取(1)中的最小值为1时,g(x) f(x)=x sin x.11 o设 H (x) = x sin x 6x3(x > 0则 H x) = 1 cos x /x2.1令 G(x)=1 cos x- 2x2，则 G x)=sin x- x< Qx> 0),1 c所以G(x)= 1-cos x-2x2在0,十 °°)上单倜递减,1 1 c此时 G(x)= 1-cos xgx2石(0)=

10、0，即 H x) = 1-cos x-2x2< 0,所以H(x)= x-sin x-6x3在xC0, + 8止单调递减.所以 H(x)= x-sin x-*3寺(0)= 0，则 x-sin x1x3(x> 0).所以，当a取(1)中的最小值时,g(x)-f(x) 4x3.x29. (2015年全国I局考理科)在直角坐标系xoy中，曲线C: y=z 与直线y kx a(a>0)父与M,N两点，(I )当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(H) y轴上是否存在点P,使彳3当k变动时，总有/ OPM=/OPN?说明理由。【答案】(I )VOx ya 0或«x y

11、a 0(H)存在解析：(I)由题设可得 M(2®>), N( 272, a),或M( 2&,N(2 行,a).x2, y -x,故y 乙在x = 2 J2a处的到数值为 & , C在(2V2a,a)处的切线方程为24y a 区(x 2八),即 Vax y a 0. 2故y x-在x=-2缶处的到数值为-a, C在(2V2a,a)处的切线方程为4y a迎(x 2 金),IP -Tax y a 0.故所求切线方程为Tax y a 0或向 y a 0.5分(n)存在符合题意的点，证明如下：设P (0, b)为复合题意得点，M(x1,y3 N(x2,y2),直线PM P

12、N的斜率分别为.将y kx a代入C得方程整理得x2 4kx 4a 0.x1 x2 4k, x1x24a., , k1 k2y1 b y2 b _ 2kx1 x2 (a b)(x1 x2)k(a b)x1x2x1 x2a当b a时，有ki k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故/OPM =OPN所以P(0, a)符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力110. (2015年全国I局考理科)已知函数 f (x) =x3 ax - g(x) In x4，(I)当a为何值时，x轴为曲线y f (x)的切线；(n)用min m,n 表示m,n中的最小

13、值，设函数 h(x) min f (x), g(x) (x 0),讨论h (x)零点的个数3 35 35【答案】(i)a；(n)当a或a时，h(x)由一个零点；当a或a时，h(x)4 44445 3有两个手点；当 a 时，h(x)有三个零点.6 4【解析】试题分析：(I)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；(n)根据对数函数的图像与性质将x分为x 1,x 1,0 x 1研究h(x)的零点个数，若零点不容易求解，则对a再分类讨论.31cx0 ax0 0试题斛析：(I)设曲线y f(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0) 0, f (x0) 0,即4,23x0

14、 a 0-13斛得x0,a 一.2 43 因此，当a时，x轴是曲线y f(x)的切线.5分4(n)当 x(1,)时，g(x) ln x 0,从而h(x) min f(x),g(x)g(x) 0,h(x)在(1, +8)无零点.5 一5当 x=1 时，若 a ，则 f(1) a 0, h(1) min f (1),g(1) g(1) 0 ,故 x=1 是 h(x)的零 44一# 5 一5点；右 a ，则 f(1) a 0, h(1) min f(1),g(1) f (1) 0,故 x=1 不是 h(x)的零点.44当x (0,1)时，g (x) In x 0 ,所以只需考虑f (x)在(0,1)

15、的零点个数.21(1)右 a3或 a 0,则 f (x) 3x a 在(0,1)无零点，故 f(x)在(0,1)单倜，而 f(0),4.5f (1) a ,所以当a 3时，f (x)在(0,1)有一个零点；当 a 0时，f (x)在(0,1)无零点.4(五)若3 a 0,则f(x)在(0,3)单调递减，在( JI，1)单调递增，故当x=J1时,f(x)取的最小值，最小值为 若 f (J a) >0,即 3< a < 0, f (x)在(0,1 )无零点 .34 若f(J a)=0,即a 3,则f(x)在(0,1)有唯一零点; :34 若 f(Ja)0,即 3 a 3,由于 f

16、(0) -, f (1) a 勺，所以当 -a 3 时，f(x)3444445 . 一 .在(0,1)有两个零点；当 3 a 时，f (x)在(0,1)有一个零点.他分43 5 35 综上，当a一或a一时，h(x)由一个零点；当a一或a一时，h(x)有两个零点；当4 4445 3一a一时，h(x)有二个零点.12分44考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想1. (2016内蒙古赤峰模拟)已知实数a>0,且a4,函数f(x)= loga|x|在(一,0)上是减函数，函数g(x)=ax1 _一 ，一一+ -x,则下列选项正确的是()aA.g(3)<g

17、(2)<g(4) B.g(-3)<g(4)<g(2)C.g(4)<g(3)<g(2)D.g(2)<g(-3)<g(4)a5 1答案：D 由函数y=loga|x|在(8, 0)上为减函数，可得a>1,故g(3) g(2) = (a1) =->0,所以g(a7 13)>g(2),又 g(4)-g(-3)=(a-1) x>0,所以 g(4)>g(-3),故有 g(4)>g(3)>g(2). a2 .已知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 O的球面上，AB=BC=CA=SA=SB=S睬心O到平面 ABC勺距离为1,则S

18、A与平面ABC所成角的大小为()A.30 °B.60 °C.30 ° 或 60°D.45° 或 60°答案：C解析：球心位置有以下两种情况 ：球心在三棱锥内部；球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时，三棱锥为正三棱锥，设O'为乙ABC勺中心，在 ABC43,可求得O'A二,所以可得OA2, SO'=3, SA与平面ABO成的角即为/ SAO,由tan / SAO'=得/ SAO'=60 .同理可得第二种情况中所成角为30°3 .(2015全国) 设函数f (x) =ex(2x 1) ax

19、 a ,其中aV 1,若存在唯一的整数X0,使得f(x0)< 0,则a的取值范围是()/，1 B. - -7)C. 、， D. 小 1【答案】D【解析】试题分析：设g(x) = ex(2x 1), y ax a ,由题知存在唯一的整数 x0,使得g(x0)在直线y ax a的下方.1 1一1因为g (x) e (2x 1),所以当x 一时，g(x)0,当x 时，g (x) >0,所以当x 一时，2 221g(x)max=-2e 2,当 x 0时，g(0) =-1 , g(1) 3e 0 ,直线 y ax a恒过(1,0 )斜率且 a,故 a g(0)1,且. 一 13g ( 1)

20、3e a a ,解得 一 < a < 1,故选 D.2e4.已知函数f x x2 4x数b的取值范围是( 、一2,右方程 f x bf xc 0恰有七个不相同的实根，则实A. 2,0B. 2, 1C. 0,1D. 0,2答案：B思路：考虑通过图像变换作出f x的图像(如图)，因为bf x c 0最多只能解出 2个f x ,若要出七个根，则f1 x1,f2 x 0,1 ,所以b fi x f2 x 1,2 ,解得：b 2, 15.已知等比数列an中，a2=1,则其前3项的和&的取值范围是()A. (8, - 1B. (8, 0) U (1 , +8)C. 3, +8)D. (

21、8, 1 U 3 , +8)【答案】D设等比数列an的公比为q,则 S3 aI + a2+ a3 = a?+ 1 + q =1 + q + , qq，当 q>0时，S3=1 + q + q>1 + 2Jqp-q =3;11当 q<0时，S=1一 -q- q012 aj(-q)q =1.SC(00, 1 U3 , +8),故选 D.a 一一一-7,x<0,，、，-，6.已知函数f(x)= x1若关于x的万程f(f(x) =0有且只有一个实数解，则实数 alg x, x>0,的取值范围为.答案：(1,0) U(0, +00)解析：当a>0时，若 x>1,

22、f(x)>0, f (f (x) =f (lg x) = lg(lg x)=0?lg x=1,.x=10 成立.a a右 x<1, f(x)<0, f(f(x) =f - =-= 0无解.x 1 ad - 1x- 1a>0时f (f (x) = 0有且只有一个实数解.当a<0时，若 x>1, f(x)>0 ,f(f(x) =f(lg x)=lg(lg x) =0, .x=10成立.a右 0<x01, f(x)<0, f(f(x) =f(lg x) =-；=0 无解. ig x1右 x00, f(x)= ->0, .f (f (x) =

23、 lg 0? - = 1.x1x1 x 1.a= x-1. /x-K- 1,. a< 1 时有解.- 1<a<0 时无解.综上实数a的取值范围a>0或1<a<0.7 .(宁夏银川市唐徐回民中学2016届高三月考)已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0, aw1)的解集是x|xv。,命题q：函数y=lg( ax2x+a)的定义域为R,如果pVq为真命题，pAq为假命题，求实数 a 的取值范围.分析：当p和q均为真时分别求得相应 a的范围.根据p q为真命题，p q为假命题，可知 p和q真一假.命题为假时a取值范围是命题为真时取值范围的补集的定义

24、域为R,知不等式ax2- x+ a> 0的解集为R,则a 01 4a2解析：由关于x的不等式ax 1, a 0,a 1的解集是x|x< 0,知0 a 1；由函数y= lg(ax2- x+ a)1 一, 一一解得a -.因为p q为真命题,02a 1a 1 ;当p真，q假时，由p q为假命题，所以 p和q一真一假，当p假，q真时，由 1a -20 a 1111 0a一。综上，知实数a的取值范围是 0- U 1,a22218 . (2016年上海局考)已知a R,函数f(x) log2(- a).x(1)当a 5时，解不等式f (x) 0； 若关于x的方程f (x) log2( a 4

25、) x 2a 5 0的解集中恰好有一个元素，求 a的取值范围；1 一 . . . 一 ,一一 (3)设a 0,若对任意t 3,1,函数f(x)在区间t,t 1上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.12【答案】(1) x ， U 0,. (2) 1,2 U 3,4 . (3)-,.43.11(1)由 log2 50,得一5 1 ,xx-1 .解得 x , 1 U 0,.412一 a a 4 x 2a 5, a 4 x a 5 x 1 0,x当a 4时，x 1,经检验，满足题意.当a 3时，x x21,经检验，满足题意.1当 a3且 a4时，x1 ,x21,x1x2.a 4一、.一，1r

26、-x1是原方程的解当且仅当 一a 0,即a 2； 1 一- , x2是原方程的解当且仅当一 a 0,即a 1 .x2于是满足题意的a 1,2综上，a的取值范围为1,2 U 3,410g2 x21(3)当 0 x1 x2 时，一 ax1所以f x在0,上单调递减.函数f x在区间t,t 1上的最大值与最小值分别为ft f t 1log 2 - a log 2 - a2.、1即at a 1 t 1 0,对任意t 1,1成立.2,因为a 0 ,所以函数y at211a 1 t 1在区间一，1上单倜递增，t 一时，y223131有取小值一a ,由一a 0,得a4242故a的取值范围为 2, 3且过点(

27、1 ,9.已知椭圆 C:，+=1(2沔>0)的离心率为 当(1)求椭圆C的方程；C 3 3,(2)设与圆O: x2+y2=4相切的直线l交椭圆C于A, B两点，M为圆。上的动点，求 ABM面积的 最大值，及其取得最大值时，直线 l的方程.a2+3b2=1解：(1)由题意可得c=乖士一a2=b2+c2,解得：3所以椭圆C的方程是+ y2=1.b2=1,3(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x= 当,代入椭圆方程解得 y= 2,此时|AB|=43, ABM面积的最大值为2x3x3=3.当直线l的斜率存在时，设其斜率为k,直线l： y=kx + m.圆心(0, 0)到直线l的距离d =

28、 *L = H3,所以4m2 = 3(1+k2)V1 + k22x2 °H y2 = 1,由方程组 3消去 y,得(1 + 3k2)x2+6km + 3m23= 0.y= kx+ m,y1), B(x2, y2),则 A= 12(3k2-m2+1)>0 , x +x2=x1x2=3m 3，1十3k1十3k11 + k2所以 iabi=qr*9k2 3 (1+k2)(1+3k2) 2 6km 12 (m2 1)r-2)22-=/1 + k1 + 3k21 + 3k279 (1 + k2) 121 + 3k227k4 * + 27k2 3 (13k2) +1 + 3k2(1+3k2

29、) 21 + k27k2+3(1 3k2 2*c 1 =1 + 6k2+9k41+ 10k2 + 9k4_1+ 6k2+9k4 =3/1+-因为2<g,故4ABM面积的最大值为 屹，此时4m2= 3(1+k2)=4,解得m= 土，经检验此时 A=12>0, 所以直线l的方程为y = 13x +或者y = 3x +.10.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：<2.V

30、设9k2+(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；当且仅当 M 9k2,即k= "3时等号成立. k31此时 ABM面积的最大值为-X2XV3=V3.(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的 4个球只能由标有面值 10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由 解(1)设顾客所获的奖励额为X.Cg 11(i)依题意，得P(X=60) = CCf=2,即顾客所获的奖励额为60兀的概率为2.1C3 1(ii)依题意，得X的

31、所有可能取值为20, 60.P(X=60)=2，P(X=20)=C2 = 2，即X的分布列为X206011P22所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)= 20X 1+ 60 X 2= 40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10, 10, 10, 50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不 可能为60元；如果选择(50, 50, 50, 10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是 (10, 10, 50, 50),记为方案1.对于面值由

32、20元和40元组成的情况，同理可排除 (20, 20, 20, 40)和(40, 40, 40, 20)的方案，所以可能的方案是(20, 20, 40, 40),记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1,即方案(10, 10, 50, 50),设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100P121 63612112 .一X1 的期望为 E(X1)= 20X6+ 60X3+ 100X6=60，X1 的万差为 D(X1)=(20 60)2X6+(6060)2X3+(100 60)2x6=1 6003对于方案2,即方案(20, 20, 40, 40),设顾客所获的奖励额为X2,则

33、X2的分布列为X2406080P121 636X2 的期望为 E(X2)= 40X1+ 60X2+ 80X1= 60, 636X2 的方差为 D(X2)=(40-60)2X(60-60)2x|+(80-60)2X6 = 40°.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案 1的小，所以应该选择方案2.1 .已知集合 A=(x , y)|x 2+y2<1, x, yCZ, B= (x , y)|x|<2, |y| <2, x, yCZ,定义集合 A® B= (x i + x2, yi + y2)|(x i, yi) A, (x2, y2)

34、 B,则 A B中元素的个数为()A. 77 B . 49 C . 45 D . 30答案：C解析：分类讨论：当 xi=0时，yi可取一1, 0, 1, y2和x2可取一2, 1, 0, 1, 2.此时xi + x2的值为 2, 1, 0, 1, 2; yi+y2 的值为一3, -2,1, 0, 1, 2, 3. .(xi + x2, yi + y2)共有 5X7 =35(个).当 xi=1 时，yi = 0, x2和 y2可取一2, 1, 0, 1, 2,此时 xi + x2的值为一1, 0, 1, 2, 3, yi + y2的 值为一2, 1, 0, 1 , 2.其中 xi + x2取一1

35、, 0, 1 , 2 时与上面重复，xi + x2=3, yi + y2 的值为一2, - 1 , 0, 1, 2.则(xi + x2, yi + y2)共有 5X1 = 5(个).当 xi=1 时，yi = 0,同 xi = 1, yi= 0 时.总个数为 35+5+5=45.2 .(安徽省示范高中2016届高三第一次联考)若£ x 2015sinx 2016cosx的一个对称中心为a,0 ,则a的值所在区间可以是()A. (0, 一) B. 一,一 C. 一,一 D. 一,44 33 22 4【答案】B解析：f(x) 2015sinx 2016cosx120152 20162 s

36、in(x ),其中 tan 2016 ,且20150,因为f(x) 一个对称中心为(a,0),所以sin(a ) 0,a k (k Z),2a k , tan ,1 tanJ3,一，故一 k a 一 k,当 K=0 时，选择 B201543433 .(江苏省梆茶高级中学2015届高三)设函数 f (x)在R上存在导数f(x),对任意的x R,有2f ( x) f(x) x，且在(0,)上f (x) xWf(2 a) f(a) 2 2a,则实数a的取值范围为()A.1,) B. (,1 C. (,2D.2,)答案：B1 2解析：构造函数：h(x) f (x) -x2在(0,)为增函数。21 2.

37、1 2f (2 a) f(a) 2 2af(2-a) -(2 a) f (a) -a2 2152.1f( x) f(x) x f( x) 2( x)2 f(x)说明：h(x)f(x)函数。所以2是上的增函数。1 h(x) f(x) -x2所以，2 a a4.(河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试 )定义在R上的函数f满足等式A.0,2 时,1 2x2,0 x 1 24,2,12解析：由题意，当f(x)12,2,f(x)g( 4),10成立，则实数m的取值范围(,8312x 1时,又 f(x 2)f(x)，因此当8,2，即当 x 4,2)时,f (x) 8,2，2或x 0,由易得x 0是极

38、小值点，x2时,f(x)0,2)时,2,0)时,f(x)f (x)最小值为一2是极大值点,16 m m g(0),由题意 16 m 8, m 8.故选4,1，当 x 4,2)时,8, g'(x) 3x2 6x,令 g'(x) 0,g(0) m,C.-2+ln 2 0, 0vxw,_,.5.(2015江苏)已知函数f(x) = |ln x|,g(x)=卜2 4| 2 x> 1 则万程|f(x)+g(x)|= 1实根的个数为ln x, 0< x< 1,1 答案：4 解析：令 h(x)=f(x)+g(x),则 h(x)= -xx+ln x+ 2, 1<x<

39、; 2,当 1vxv2 时，h x)=-2x+- =xx2+ ln x 6, x>2,由图象可知|f(x)+g(x)|= 1的实根个数为4.212X6 .(河北省邯郸市第一中学2016届局三下学期研六考试)关于X的方程 X ln X有唯一的解，则实数aa的取值范围是答案：a 0或a 1解析：要使方程有意义，则x 0,2x设 f x x,ag x ln x ,若a 0 ,此时函数f x在x 0时,单调递减，g x lnx单调递增,此时两个函数只有一个交点，满足方程有唯一解；若lnx有唯一的解，则函数a设切点为(m, n),则f2 xf x与g x有相同的切线,1,2m2 m2m 1，同时2

40、mm ln m ,； 2 a得m1 2ln m ,即 m 1 2ln m , . y m1与y 2ln m只有一个根，解得m 1 ,当m1时，nln1 0 ,即切点为(1,0)，则f x与g x在(1,0)处相切，即此时f 1 0,即a 1 ,满足条件.故答案为：a 0或a 17 .随机将1,2,，2n(nC N*, n>2)这2n个连续正整数分成 A, B两组，每组n个数.A组最小数为a1，最 大数为a2； B组最小数为b1,最大数为b2,记 令a2 a1,b2b1.(1)当n=3时，求E的分布列和数学期望；(2)令C表示事件“ E与刀的取值恰好相等”，求事件 C发生的概率P(C);(

41、3)X(2)中的事件C,万表示C的对立事件，判断 P(C)和P("C)的大小关系，并说明理由.解：(1)当n=3时，己的所有可能取值为2, 3, 4, 5.将6个正整数平均分成 A, B两组，不同的分组方法共有C3=20种，所以E的分布列为2345P13315而10572.1 -33_ 1口2*3* 记+ 4xw+ 5X5=(2)卫和琛恰好相等的所有可能取值为:又E和刀恰好相等且等于 n- 1时,n 1, n, n+ 1,，2n2.不同的分组方法有 2种；E和刀恰好相等且等于n时，不同的分组方法有 2种;E和刀恰好相等且等于n+k(k=1, 2,，n 2)(n>3)时，不同的分

42、组方法有 2c2k种;4 2所以当 n = 2 时，P(C)=-= 6 3n 22(2Ckk)当 n>3 时，P(C)=kC2n1(3)由(2)知当 n=2 时，P(C)=-,因此 P(C)>P(C).3而当n>3时，P(C)<P(C),理由如下:P(C)<P(C)等价于 4(2n 2C2k) < C2n . k 1用数学归纳法来证明:1当n=3时，式左边1 、=4 (2+ C2 ) =4(2+2) =16,右边= c6=2。，所以式成立.2°假设n=m(m> 3)时式成立， 即4(2m 2C 2k )C2m成立，k 1那么，当n=m+1时,

43、左边=4(2m 1 2C2k)k 1 m 24(2 C2k)k 1(2m) !+m! m!4cm(r；1)<cmm+4cm(m1)4 (2m2) !(m-1) ! ( m-1) !(m+1) <(m+ 1) ! ( m+ 1) ! (m+ 1) m (2m) (2m 2) ! (4m1)(m+ 1) ! ( m+ 1) !(m+1) 2 (2m) (2m 2) ! ( 4m)<Cm(rn + 1)=右边.即当n=m+1时式也成立.综合1° , 2°得：对于n>3的所有正整数，都有 P(C)<P(C)成立.58.已知抛物线 C： y2 故MN的中

44、点为E彳+ 2m2+3, - m ,=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为 P,与C的交点为 Q ,且QF |=4|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线I'与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求I的方程.解：(1)设 Q(xo 4),代入 y2= 2px 得 Xo=8 所以 |PQ|=8, |QF|=p + X0=p + $ PP22 p由题设得p- + 8=4><8,解得p=2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x. 2 P 4 P(2)依题意知I与坐标轴不垂直，故可设 I的方程为

45、x= my+ 1(mw0).代入 y2= 4x 得 y2 4my 4= 0.设 A(x1，y1)、B(x2, y2),则 yI+y2=4m, y1y2= 4.故 AB 的中点为 D(2m2 + 1, 2m), |AB|= m2+1 y1 y2|= 4(m2+1).又I'的斜率为m,所以I'的方程为x=my+2m2+3.4八将上式代入y2 = 4x,并整理得y2 + my-4(2m2+3)=0.42 . N|MN|=U1 + m|y3-y4| =4 (m2+ 1) /2m2+ 1设 M(x3, y3)、N(x4, y4),则 y3+y4=m, y3y4= 4(2m + 3).1由

46、于MN垂直平分 AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于 |AE|= |BE|= 2|MN|,1 c 11从而 4|AB|2+|DE|2=4|MN2,即4(m2+1)2+ 2研 m + 信+24 (m2+ 1) 2 (2m2 + 1)m4化简得m21 = 0,解得m=1或m=1.所求直线I的方程为x y 1 = 0或*+丫1 = 0.9.设 a 0 ,函数 f(x) x2 a | In x 1|.(i)当a 2时，求函数f(x)的单调增区间;(n)若x 1,)时，不等式f(x) a恒成立，实数a的取值范围解：(1)当a 2时,2_-x2lnx2(0xe)2x2lnx2(xe)x e 时，f(

47、x)2x2 2x2 2f(x)在(1,e内单调递增;f (x) x2 2 ln x 10恒成立，故f (x)在e,)内单调递增;2当 x e 时，f (x) 2x xf(x)的单调增区间为(1,)。a(2)当 x e 时，f (x) x a In x a , f (x) 2x 一 (x e) xQa 0, f (x) 0恒成立，f(x)在e, 上增函数。故当 x e时，ymin f (e) e2。当 1 x e时，f(x) x2 a In x a ,a 2 a af (x) 2x (x )(x)(1 x e)x x 2,2(i)当 Ja 1,即0 a 2时，f (x)在x (1,e)时为正数，所以 f(x)在区间1,e)上为增函数。故当 x 1 时,ymin 1 a,且此时 f (1) f (e)(n)当 1Ja e,即2 a 2e2