极值点偏移问题专题教学文案

1、极值点偏移问题专题（0）偏移新花样（拐点偏移）2例1已知函数f x 2ln x x x ,右正实数xi,X2满足fXi+fX2=4 ,求证：x1 x22。证明：注意到 f 1 =2 , f k +f x2 =2f 1f x1 +f x2 =2f 1r 2f x = - +2x 1 0 x.2f x = 2, f 1=0,则（1,2）是乂图像的拐点，右拐点（1,2）也是f x的 x对称中心，则有x1 x2=2，证明为x2 2则说明拐点发生了偏移，作图如下想到了 “极值点偏移”，想到了 “对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏 移”，仍可用“对称化构造”来处理.不妨设0为1 x2,要证x

2、1 x22x2 2 x1 1f x2f 2 x14 fxif 2 %4f x1f 2 x1f x f 2 x , x 0,1 ,则2x 12 2x1得F x在0,1上单增，有F xF 1214,得证。2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路1、极值点偏移（f %0）f x1f x2x22x x1x x2 2x0二次函数f x1f x2% ” 2x02、拐点偏移 f x00f x1 f x22f x0x1x22x0f x, f x22f x0x22x0 %x1x22x0极值点偏移问题专题（1）对称化构造（常规套路）例1 （2010天津）已知函数f xxxe（1）求函数f x的单调区间和极值;（2）已知

3、函数g x的图像与f x的图像关于直线 x 1对称，证明：当x 1时,(3)如果 Xi X2 ,且 f Xi f X2 ,证明:x1 x22.解：=小（1-工），得幻在（T1）上/，在（L）上,r无极小值：e（2 ） g的圉像与，（方的图像关于直线工工1对祢，贝!I门仁）的解析式为J二 2 一工），构造辅助团数产（工）=/任）-晨X）=Fa）-f（2-工）Kr（x）=Jf （x） + /F（2-x）=（l-x|+eT-1（x-l =工一 Y” ）当1时，x-l0 f小.0 ,则FA0，得产（工）在（Lm）上单骑.，F（x）F（l）=O f 即/ a浮.（3）由的）=三）1结合（句的单调性可设*

4、1式占将三代入（2）中不等式得/（三） J（2与）/又看）=电）,故外%）/（2一9）,又看1,2三在yd|上单塔,散的 2-巧r弱+叼2 .来源：微信公众号中学数学研讨部落点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法一一 对称化构造的全过程，直观展示如下：X例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数f x xe ,已知f X f x2 , x1 x2 ,证明XiX22 .再次审视解题过程，发现以下三个关键点:(1) Xi , X2 的范围 0X11 X2 ；(2)不等式 f x f 2 x x 1 ;（3）将X2代入（2）中不等式，结合 f X的单调性获证结论.把握

5、以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题.例2 （2016新课标I卷）已知函数 f X2 ex2有两个零点.（1）求a的取值范围;(2)设 Xi ,X2是f x的两个零点，证明:XiX22.解：（1） 0,(2)由(1),1上，在1,X1可设x11x2 .构造辅助函数1 ex2a2 xe2a1 时，x 1 0, ex,1，又F10,将X1代入上述不等式中得f X1f X22 x1 ，又 x2X11, fx1x22.通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解.但极值点偏移问题的结论不一定总是X1X22x0,也可以是x1x22.、X2，借鉴前面的解题经验，我们就可

6、给出类似的过程.求证:证明:已知函数fx1x2.exxlnx的图像与直线ym交于不同的两点A不，必1ln x 1,得 f x 在 0,- e上，在工ef x 0； f 10；当 X 1 时，f X 0；当 X 0 时，f x0 （洛必达法则）；1,当x 时，f x ，于是f x的图像如下，得0 X1 x2 1 . e（ii）构造函数F 用=刈一/,则1 + ln-J；e xj二（1+比工），一击iif i A当0父,-时，l+lnjf0 r得Fx|在0- ；上，.有尸仪。,即力“5y（。旧）.（ 1 %（血）将冏代人。）中不等式得/（福） -r - -.工）在；-.-HD |上/ r 故再 S=七茵/ft 七 ee Je再再.来溟：微信公众号中学数学研讨部落e小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步:stepl :求导，获彳导f x的单调性，极值情况，作出f x的图像，由f x1f x2得x1，x2的取值范围（数形结合）step2 :构造辅助函数（对结论x1 x22x0 ,构造 F x f x f 2