多元函数求极值拉格朗日乘数法

1、第八节多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、 求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。教学重点：多元函数极值的求法。教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数z f （x,y）在点（%,y0）的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于（x0，y0）的点，如果都适合不等式f（x, y）f（x0, y0） ，则称函数f（X，y）在点（X0，y0）有极大值f（X0，y0） 0如果都适合不等式f （x, y） f （x0 , y0） ，则称函数f（x,y）在点（x0,y0

2、）有极小值f（x0,y0）.极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。22例 1 函数 z 3x 4 y 在点（0， 0）处有极小值。因为对于点（0， 0）的任一邻域内异于（0 ， 0） 的点，函数值都为正，而在点（0， 0）处的函数值为零。从22几何上看这是显然的，因为点 （ 0， 0， 0） 是开口朝上的椭圆抛物面z 3x 4 y的顶点。例2函数z Vx y在点（0, 0）处有极大值。因为在点（0, 0）处函 数值为零，而对于点（0, 0）的任一邻域内异于（0, 0）的点，函数值都为负， 2 72点（0, 0, 0）是位于xOy平面下方的锥面z vx y的顶点。例3 函数z

3、xy在点（0, 0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0, 0）处的函数值为零，而在点（0, 0）的任一邻域内，总有使函数值为正 的点，也有使函数值为负的点。定理1（必要条件）设函数z f（x，y）在点（x0，y0）具有偏导数,且在点（x0，y0） 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证不妨设z f（x,y）在点（刈，丫0）处有极大值。依极大值的定义，在点（x0，yG 的某邻域内异于（x0, y0）的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取y %,而x 。的点，也应适合不等式这表明一元函数f（x，yo）在x x0处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面z f （x，y）在点

4、（x0，y0，z0）处有切平面，则切平 面成为平行于xOy坐标面的平面z z0 0。仿照一元函数，凡是能使fx（x,y） 0,fy（x,y） 0同时成立的点（x0，y0）称为函数 z f（x,y）的驻点，从定理i可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但 是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0, 0）是函数z xy的驻点，但是函 数在该点并无极值。怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。定理2 (充分条件)设函数z f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶 及二阶连续偏导数，又fx(x0, y0) 0, fy(x0, y0) 0， 令则f(x,y)在(x0,y

5、。)处是否取得极值的条件如下：2(1) AC B 2 0 时具有极值，且当A 0 时有极大值，当A 0时有极小值；2(2) AC B 2 0 时没有极值；2(3) AC B 2 0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理1、 2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z f ( x, y ) 的极值的求法叙述如下：第一步解方程组求得一切实数解，即可以得到一切驻点。第二步对于每一个驻点(x0, y0) ，求出二阶偏导数的值A， B 和 C。第三步定出ac B2的符号，按定理2的结论判定f(x0，y。)是否是极值、是 极大值还是极小值。3322例1求函数f(x, y) x

6、y3x3y9x的极值。解先解方程组求得驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0 )、(-3,2 )。再求出二阶偏导数在点(1,0)处，AC B2 12 6 0又A 0,所以函数在。0)处有极小值f(1,0)5；A f 2，一 ，-一在点(1,2)处，AC B 12 ( 6) 0,所以f(1,2)不是极值；在点(-3,0)处，AC B212 6 0,所以f(-3,0)不是极值；A f 2， -在点(-3,2)处，AC B12 ( 6) 0又A 0所以函数在(-3,2)处有极大值 f (-3,2)=31 。例2某厂要用铁板作成一个体积为2m的有盖长方体水箱。问当长、宽、高 各取怎样的尺寸时，才能使

7、用料最省。解设水箱的长为xm,宽为ym,则其高应为xy ,此水箱所用材料的面积A22、A2(xyyx)xyxy2 2 A 2( xy -)即x y (x 0, y 0)可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最 小值的点(x, y)。2人 Ax 2(y -) 0令x ,解这方程组，得：x V2, y 312从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。二、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法要找函数z f(x,y)在附加条件(x,y) 0下的可能极值点，可以先构成辅助函数其中 为某一常数求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联fx

8、(x,y)x(x,y) 0,fy(x, y)y(x,y) 0,(x,y) 0.( 1)由这方程组解出x, y及,则其中x, y就是函数f(x，y)在附加条件下(x, y) 0 的可能极值点的坐标。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数在附加条件(x, y,z,t)0，(x, y,z,t) 0(2)下的极值，可以先构成辅助函数其中 1 ，2均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2) 中的两个方程联立起来求解，这样得出的x、y、z、t就是函数f(x,y,z,t)在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本

9、身的性质来判定。2例3求表面积为a而体积为取大的长方体的体积。解设长方体的三棱长为x,y,z,则问题就是在条件2(x, y,z,t) 2xy 2yz 2xz a 0(3)下，求函数的最大值。构成辅助函数求其对x、v、z的偏导数，并使之为零，得到yz2(yz)0xz2(xz)0xy2(yz)0(4)再与(10)联立求解。因x、y、z都不等于零，所以由(11)可得x X z y x y y=y z, z=x z .由以上两式解得将此代入式(10),使得6ax y z= 6这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在， 所以最大值就在 2 .这个可能的极值点处取得。也就是说，表面积为a的长方体中，以棱长为J6a/6 的正方体的体积为最大，最