对称式与轮换对称式

1、竞赛专题对称式与轮换对称式1.基本概念【定义1】一个n元代数式f(xi, X2,gg& xn),如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即又于任意的i, j (1 i j n),都有f (xi,ggg 为,亚 Xj,gcg, Xn) f (Xi,cgg, Xj,cgg, Xi,cgg Xn)那么，就称这个代数式为n元对称式，简称对称式。X y 222例如，x y, Xy,x y z , Xy yz zx都是对称式。Xy如果n元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n元对称多项式。由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式f (x, y, z)中，若

2、有ax3项，则必有ay3, az3项；若有bx2y项，则必有bx2z ,.2.2.2.2by z, by x, bz x, bz y项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。根据对称多项式的定义，可以写出含n个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x, y, z的二次对称多项式的般形式是：/ 222、a(x y z ) b(xy yz zx) c(x y z) d【定义2】如果一个n元多项式的各项的次数均等于同一个常数r,那么称这个多项式为n元r次齐次多项式。由定义2知，n元多项式f(xi, X2,独 Xn)是r次齐次多项式，当且仅当对任意实数t有 rf(txi, tx2,gg

3、g tXn) t f(x1，X2,ggg, Xn)。例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：33 _322_22 _ _2_2a(x y z ) b(x y x z y x y z z x z y) cxyz。【定义3】一个n元代数式f(Xi, X2,c困Xn),如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i, j 1 i j n ,都有f(Xi,独 Xi,独 Xj,独 Xn)f(X1,cc0 Xj3 Xi,独 Xn)那么就称这个代数式为 n元交代式。例如，x y,(x y)( y z)(z x),-一y均是交代式。x y【定义4】如果一个n交代数式f (x1，x2,独 xn),

4、如果将字母x1，x2，曲 xn以x2代Xi , X3代X2，曲 Xn代Xni，为代Xn后代数式不变，即f （x1， x2， ggg， xn）f （x2， x3， ggg， xn， x1）那么称这个代数式为n 元轮换对称式，简称轮换式。显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，a（X2 y2 z2 ）是对称式也是轮换式；b（X2y y2z z2x）是轮换式，但不是对称式。对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：（ 1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；（ 2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式；（ 3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式；（ 4）两

5、个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式；（ 5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。【 定义 5】下面 n 个对称多项式称为n 元基本对称多项式。n1（ X1， X2， ggg， Xn）Xii1n2（X1， X2， ggg， Xn ）XiXj1ijn nk （ X1， X2， ggg，X n ）Xi1 Xi2 gggXik1 i1 i2 ggg i k nn （ X 1， X 2， ggg， X n ） X 1 X 2 ggg X n例如，二元基本对称多项式是指X y， Xy，三元基本对称式是指X y z， Xy yz zX， Xyz当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个n

6、 元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。2对称式、轮换式、交代式在解题中的应用为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形，只需作类似的处理即可。下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧( 1)若f (x， y， z) 是对称式，则在解题中可设x y z 。 (为什么？)(2)若f(x,y,z)是对称式，则当x,y满足性质p时，x,z;y,z也满足性质p。(3)若f(x, y, z)是轮换式，则在解题中可设 x最大(小)，但不能设x y z。(为什么？)(4)若f (x，y，z) 是轮换式，且x，y 满足性质p ，则

7、y，z；z，x 也满足性质p 。(5)若f(x, y, z)是交代多项式，则 x y, y z, z x是f(x, y, z)的因式，即其中g(x， y， z) 是对称式。f (x， y， z) (x y)( y z)(z x)g(x， y， z)其中g(x， y， z) 是对称式。在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用的。齐次对称多项式的一般形式：( 1)二元齐次对称多项式一次： a(x y) ，22二次：a(xy)bxy33三次：a(xy)bxy(xy)( 2)三元齐次对称多项式一次：a(xyz)222二次：a(xyz )b(xy yz zx)三

8、次：a(x3y3z3)b x2(y z) y2 (zx) z2(xy) cxyz判定 mx ny rz 是否为多项式f (x,y,z) ，的因式的方法是：令mx ny rz 0，计算f (x, y, z),如果f(x, y, z)=0，那么mx ny rz就是f(x, y, z)的因式，在实际操作时，可首先考虑mx ny rz 的如下特殊情形：x， x y， x y， x y z， x y z【例1】：已知多项式f(x, y, z) xy(x222222y ) yz(y z ) zx(z x )(1)求证：f(x, y, z)是齐次式；(2)求证：f(x, y, z)是轮换式;(3)求证：f(

9、x, y, z)是交代式；(4)分解因式f(x, y, z)。证(I)对于任意实数匕有=)=-(1丁尸4 (0)(牯)-"门,(也)(ix )(=)-2尸=/加小工).二/(工,上)是4次齐次式.(2) v /G=3：(/-/) + 二*式/ - J) + 灯(J,:.f(jr,九工)是轮换对称式.(3)；人)，工.£)二+ 第="9(？-?“+上,九±)± jy(/ - /> + 产 3 - ?) *-)=【打(/ 一 T)十 ”(/ -r1) 4- (/ - -) 三 /工，工)，)十服= -/(孙>/),二/(H,门事)是交代

10、式.(4) f (x, y, z)是交代多项式，x y y z z x是它的因式。又因为f(x, y, z)是4次齐次式，所以它还有一个一次对称式因式x y z。于是, f(x, y, z)可表示为零)二上(汇-y)(r-工)(.#)(工 +y + M).令工=0,?工1,”2,得卜2(r-7” Mo-1)。-2)(2-0)(0+ 1 + 2), 解得* = - 1.:，= Th - ?)(y-z)(jt)(H + y + 二).【例2】：分解因式f (x, y, z) x3 y3 z3 3xyz。解 显然/(叫外就是3次齐次对称多项式.令M + 7 +才=0.得3xy(x + y) = /

11、+ 3iy(x + 丁)+/一(1 + y)J = (x + y)J(t + yY =0.工，+工是人工，的一个因式.故它的另一个因式必为二次齐次对称式所 以人工4")可寰示为”(零+ 了+ £)(/ 膏+才)+ 3(号T声+令 K = T = O*t = 1，得 4 = L再令.:0尸" i,得月=-1所以 /( K.3工)=(黑+ ?+)(£ 里 +,*/_ 个»一 3C ).【例 3】：分解因式f (x, y, z)2(x2 y2y2z2z2x2)(x4y4z4)。解/丁十丁/试芯是4次齐次赚声是4次齐次对称式，J A*/")是

12、4次齐次髭鱼.哥f，令 X+>7 = 0 潮.Axi J= 2/ + (/ + y：)(j + y产-z4 + y1 + (jt + y)* Jh -(£-/)' + & 2y . (T + 疗 = _(/-/ + (i + j)3-(x - v)s =0,，(落)有#+ y-二的因式,由轮倏对称性知，7一. T*y 一也是 /#,)的因式.从而(-)-M J八工)(工# ,-工)是，.工)的因式，困 为/为4次齐次轮换式*所以它还应有一个一次齐次因式k(x + V +工).于是/(4人3="X + y + *)( - X + y + 工)0 - 7

13、+ GG令工年二工二|.得3 = i(I + 1 + 1)( I 4 1 + 1)( J4 l)(i + | |),* 二工/(*，£)=(M + 7+ *)< 一落十,+ 5)(. 一 F+ :)(/ +y-工).【例 4】：分解因式 f (x, y, z) (x y z)5 x5 y5 z5解显然,为打y ,占的5次齐次对徐式. 令",=0,得八孙)工丁7二/7、-，_"工户=必,普) ¥是/G,人力的因式.由对称性知*祖是/.¥)的因式，于是t+yXy +刃(24 H)是/的因式，由于/是一个5次齐次对称式，所以还有一个二 次齐次对

14、称式因式,故可设/(rr,z) = (*4yXy + a)(j4x)4(x3+72 + ?) + B(«y+?i+ «)1 令 "0if=x1,得 2j4 + fl - 15,令 工二yMW=lii 得 4 + B = 10.联立解得4 = 8 = 5.: /(1) = 5(1+ r)(y+ 5)(jf + / + j3 + xy+ >=+«).【例5】：分解因式f (x, y) x4 y4 (x y)4。解 显然人工,”是关于工产的4次齐次对称式.它显然无皿+如=0的因式. 故A工只可能是两个二次齐次对称多项式的积于是可设y(xty) ?=+ A

15、ay + /)(x3 + / ).令 # = 0, y = I,得 # = 2.再令 h = y = 1;, = - y = 1,得2(A +2)(J? + 2) =,18t2(2-A)(2-B) = 2,解得X = B =于是=2(/ + 为t /)*【例6】：分解因式222222(y z )(1 xy)(1 xz) (z x )(1 yz)(1 yx) (x y )(1 zx)(1 zy)。解令已知多项式为/(明¥，餐),易验证，/(*人力是轮换对称式, 当y-£ = 0时，/=0+ (?- %2)(1 +祖)*(-)(1 号口卜("工) =。,所以J有因式，

16、-之.因此,由轮换对称性知J还有工兑建一 Y的因式.所以(耳. (y-JQ-G是/的因式*用这个闪式除/得商式应是一个三次隹蛔(不是齐次 的).故可设上/ = (x y)(y- x)fl(<s + y3 + ZJ) + /i + z2*) + c(x/ +z?)+妗+ “/+ /(到+产4注)+*于+工)+ A，其中n ,6 ", d,A为待定常数.因为左边式的最高次数是3,右边(工-y)(y注)中的工的最高次数是所以方括号内工的次数不能超过I.由轮换对称性知,右边方括号内7,工的次数也不能超过1.所以，Q = 8 = CN£ = 0*比较两边?y的系数，得A =0;

17、比较两边到的系数，得算二h比较两边/的系数，得八0;取工=3 = 2,工=L得d =1*故 fx, y, z x y y z z x xyz x y z10对称式与轮换对称式练习题：1 已知 f (x，y，z) (x y)5(yz)5(z x)51)求证：为 5 次齐次式；2)求证：f 为轮换式；3)求证：为交代式；4)分解因式f。2分解因式1)f (x，y)(x2xy22 y)24xy(xy2)2)f (x，y，z)(xz)444 xy( y z)4(zx)4 (xy)43)f(x，y，z)(xy)3yz4)f(x，y，z)xyyzzx x5)f(x，y，z)yz4yz6)f(x，y，z)yz33 x7)f(x，y，z)8)f (x，y，z)2xy2 xy2xz9)f(x，y，z)2 xy10)f (a， b， c，d)bcdyzxyz4 xz33 yz22 yz2 yzcdaxy2 xz2yz2 yz3xyzdab2 zxabc 2bc adcd ab2xyz2xyzdb ac练习答案与提示：1 5(x y)(yz)(z x)(x222y z xyyz zx)2 （ 1）可设 f2）可设fkxyz( x y z) ，可求出k 122222k(x Axy y )(x Bxy y ) ，可求得 k 1， A B3）可设fk(x y)(y z)(z