2014级硕士研究生应用数理统计答案(B卷)

1、北京航空航天大学研究生课程试卷B2014 2015学年 第一学期期末试卷答案学号姓名成绩考试日期：2015年1月13日考试科目：应用数理统计（B层）、填空题（本题共16分，每小题4分）设OX2,，X2n是来自正态总体N（N,。2）的简单样本，则c=f 时，统计m- (x2k - X2k_0量”=c睛服从F-分布。- (x2k - X2k 1 )k 5 11 n c .2.设XX2,，Xn是来自正态总体N（0,。2）的简单样本，用62 = nX2= Xi）2估 n =计仃2,则均方误差 EO?2-2）2 = 2g4 （ 2-4/n ）。I2一 x. X 0 .设总体X的密度函数为p（X；e） =

2、 ,其中日0, me，儿是0, X 0,来自总体X简单样本，则q（e）=e2的矩估计b=_9x2或2三xi2 。4n y4.在双因素方差分析中，总离差平方和&的分解式为p q r其中 Se 2 m (Xjk -Xj)2i 1 j 1 k=1St = SaSbSa b a,1 .rXij =-Z Xijk，则 Se 的自由度是 pq(r1)或 n - pq r kd其中n二pqr 。、（本题12分）设总体X的密度函数为f（x*） = ；3 , x三（0,1）,其中日0,0, x-(0,1)-1 -北京航空航天大学研究生课程试卷B-4 -X1,X2，Xn是来自总体X的简单样本。（1）求e的

3、极大似然估计（2）求e的一致最小方差无偏估计；（3）问日的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证 明你的结论。解（1）似然函数为1 二Xi 尸 I0 ：X（1）当）：1（X1, X2，,Xn)对数似然函数为求导，有ln L(u) - -nln 1lnx In I0 凶独咨n)：1(X1,X2,)FlnL(旬c6令=0 ,可得日的极大似然估计为?= -11 ln Xi 。nn y（2）因为1 n 1 jf(X1,X2, ,Xn；U) n(| Xi 尸 I0 ：X(1)%n)：1(X1,X2, .，Xn)1 i 111 八、n .、=" I0 为1) Rn) ：1(X ,X2,Xn)eX

4、P( -1rjn Xi*.1,u,、1 , h(X) =I0 条1)国nV(X1,X2，Xn) , w(切=3 -1nT =£ In x ,由于 w(6) i 1n的值域（0,收）有内点，由定理2.2.4知T=£ 1nxi是完全充分统计量。而i 1114E(lnxJ(lnx)x dx 二 一口0 0所以nnEQ lnx)=< E(lnxi);一nui 1i 1nn因而?= -X 1nxi既是完全充分统计量T =2 1nxi的函数，又是后的无偏估计，由 n i 1i 11 n定理2.2.5知3=£ lnx是H 一致最小方差无偏估计。 n ij(3)由于 Var

5、 (的=1Var(ln x1),而 n.d1 dVar(ln x1) = E(ln x1)2 一(E(ln x1)2 = (In x)2x- dx - 2 -120所以Var（的=e2。 n2 一又因为当xw（0,1）时,从而 Var(3 二=- n nI ("F ln f (x;i)12 ,二工+丁此x ,所以F212。3I最3)二CJv1 n 一,即信息不等式等号成立，故 ?= L lnx是日的有效 n y估计。三、（本题12分）设x1,x2，xn是来自正态总体N（匕。；）的简单样本，其中式是 已知常数，N是未知参数。考虑假设检验问题Ho：-0 H1：o（1）求显著性水平a （0

6、<a <1）下的似然比检验；（2）求犯第二类错误的概率解：（1）当NMN。时，口的极大似然估计为f? = minNo,x似然比统计量为r 1,又下方supp（x1，x2，xn；N）1/ or 1 z x 0x2-1. L!（x1，x2， ,xn）- = exp-（ ） , x 0p（x1,x2，xn； %）2上（2. n,则北京航空航天大学研究生课程试卷B1, X . % ,(X1,X2, ,xn)13,expU , x 一。即1, U 0,(xi, x2, xn)12exp U , U < 02由于K(x1，”,，xn)的最小值是1,所以当Ho成立Mx)远离1时拒绝Ho,即

7、K(x)至c拒 绝Ho,只有在U <0时才能获得，因而有Pg (x)-G =P$U £G = ：又由于H0成立时，U服从N(0,1),因此C1 =Ua=-U1与。故似然比检验的统计量可取为U = 2=，拒绝域为 W( x1, x2,xn )： U F=0 - 一u1 4。:二 0：二0一,n n(2)二类错误的概率为：二0四、(本题10分)考虑某四因子二水平试验，除考察因子 A,B,C,D外，还需考察交互作用AMB, AxC o今选用表L8(27),表头设计及试验数据如表所示，所 考虑指标是越小越好。试用极差分析方法指出因子的主次顺序和较优工艺条件。111111111.0221

8、1122220.78312211221.06412222110.94521212121.12621221211.16722112210.85822121120.973.84.083.624.054.214.053.97K2j4.13.824.283.853.693.853.93Rj0.30.260.660.20.520.20.04因素影 响上次AMB , AM ; A, B , C ; D最优方 案A1 B1 C2 D2。BiB2A 1.82CiA 2.281.82C2Ai2.081.72A 1.972.13五、（本题10分）随机向量（X1，X2，X3）的相关系数矩阵6 P P）R= P 1 P<P1J（1）根据主成分75%的选取标准，若只选取一个主成分，求 P满足的条件-7 -北京航空航天大学研究生课程试卷B(2)试求第一主成分。解：(1)求特征根| I _R| =- -1-PP-P -1P-P-P -1=(' -1 )2( -1-2。)令| 川R| = 0,可得 =1+2P,=1P, %=1 P。若只选取一个主成分，只要12->