14第十四章数论之余数三大定理

1、龙校点招积分考试强化提升核心团队第十四章数论之余数三大定理概念一般地，如果a是整数，b是整数(bw。，若有a+b=q¥也就是a=bXq+r, 0 arb;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当r=0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当r#0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商三大余数定理1 .余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c 的余数。2 .余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。3 .同余定理若两个整数a、b被自然

2、数m除有相同的余数，那么称 a、b对于模m同余, 用式子表示为：amb ( mod m )左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b,模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a, b除以同一个数m得到的余数相同，则a, b的差一定能被m 整除用式子表示为：如果有a=b ( mod m)那么一定有ab=mk,k是整数，即m|(ab)例题1 .用某自然数a去除1992 ,得到商是46,余数是r ,求a和r。2 .甲、乙两数的和是1088 ,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。3 . 一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。4 .有两个自然数相除，商是17,余数是1

3、3,已知被除数、除数、商与余数 之和为2113 ,则被除数是多少？5 .用一个自然数去除另一个自然数，商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少？6 .（真题）三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31所得的 商相同，所得的余数也相同，这三个数是 , , 。7 . 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是 。8 .有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5人。如果把书全部 分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书

4、不够。问：第二组有多少人？9 . 一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数。10 .有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.11 .有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.12 .在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？（余数可以为0）13 .一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和 等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多 少，最小数是多少？14 .两位自然数ab与ba除以7都余1,并且a >b ,求茄乂而。15 .学校新买来118个乒

5、乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这 三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同。请问学校共有 多少个班？16 .在除13511, 13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是 1 7. 22003与20032的和除以7的余数是 o18 .（真题）在1995, 1998, 2000, 2001, 2003中，若其中几个数的和被 9 除余7,则将这几个数归为一组。这样的数组共有 组。19 .有一个整数，用它去除70, 110, 160所得到的3个余数之和是50,那 么这个整数是。20 .用自然数n去除63, 91, 129得到的三个余数之和为25,那么n=21 .号码分

6、别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比 赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打 了多少盘？22 .六名小学生分别带着 14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起 到新华书店购买成语大词典。一看定价才发现有 5个人带的钱不够，但 是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一 起恰好可买1本。这种成语大词典的定价是 元。23 .商店里有六箱货物，分别重15, 16, 18, 19, 20, 31千克，两个顾客买 走了其中的五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是

7、千克。24 .求 2461 M135 M6047 +11 的余数。25 .求478父296 M351除以17的余数。26 .求31997的最后两位数。27 . 2221U除以13所得余数是.2000 个"2"28 .求14389除以7的余数。29 . 12 +22 +32+20012 +2002除以7的余数是多少？30 . (3130 +3031 )被13除所得的余数是多少？2008 个 200831 .已知a =20082008： 2008 ,问：a除以13所得的余数是多少？32 . 77777除以41的余数是多少？1996 个 733 .11 +22 +33 +44+2

8、0052005除以10所得的余数为多少?34 .求所有的质数P,使得4P2+1与6P2+1也是质数。35 .在图表的第二行中，恰好填上8998这十个数，使得每一竖列上下两个 因数的乘积除以11所得的余数都是3。因数89909192939495969798因数36 . 3个三位数乘积的算式abcMbcaMcab =234235286 （其中a>b>c）,在校对时, 发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的abc是多少？37 .（真题）一个大于1的数去除290, 235, 200时，得余数分别为a, a+2, a+5,则这个自然数是多少？38 .一个大于1

9、0的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然 数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？39 .甲、乙、丙三数分别为603, 939, 393。某数A除甲数所得余数是A除 乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍。求A 等于多少？40 .（真题）一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a+5、2a、a,求这个自然数和a的值.41 .著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21这串数 列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？42 .有一串数：1, 1, 2, 3, 5, 8,，从第三个数起，每个数都是前两 个数之和，在这申数的

10、前2009个数中，有几个是5的倍数？43 .托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数。现知这三余数的和是15。试求该数除以18的余数。44 .一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100,父亲岁数最大，问：母亲是多少岁？45 .如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩l-跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，J希望一圈以后能跳回到 A孔。他先试着每隔2孔跳一步，结 ，果只能跳到B孔。他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个'；

11、一B A圆圈上共有多少个孔吗？46 .将12345678910111213 依次写到第1997个数字，组成一个1997位数， 那么此数除以9的余数是47 .设2n+1是质数，证明：12, 22,，n2被2n+1除所得的余数各不相同。48 .试求不大于100,且使3n+7n+4能被11整除的所有自然数n的和。49 .若a为自然数,证明10(a2005 -a1949)o50 .设n为正整数，k=2004n, k被7除余数为2, k被11除余数为3,求n 的最小值。51 .（真题）有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17 整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数。52

12、 .从1, 2, 3,，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为 13,则n的最大值为多少？53 .从1, 2, 3, 4,，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的 和能被15整除。N最大为多少？54 .将自然数1, 2, 3, 4依次写下去，若最终写到2000,成为12319992000 ,那么这个自然数除以99余几?55 .将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多 位数：12345678910111213,20072008,试求这个多位数除以 9的余数。56 .已知n是正整数，规定n!=1 X2-L Xn ,令m =1!父1+2!父2 +3!父3

13、+2007E2007 ,贝U整数 m除以2008的余数 为多少？57 . 1 M3M5 MM1991的末三位数是多少？58 .有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031,第一个数各 个位的数字之和是10,第二个数的各个位数字之和是 8,求两个三位数的和59 .设20092009的各位数字之和为A, A的各位数字之和为B, B的各位数字 之和为C , C的各位数字之和为D ,那么D =?60 .（真题）两数相除，商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于415,则被除数是<答案及解析答:因为1992是a的46倍还多r ,得到1992 T 46 =4314 ,得 1992

14、=46 X43 +14 ,所以 a =43 , r =14。61 答：（法1）因为甲=乙M11 +32 ,所以甲+乙=乙M11 +32 +乙=乙 X12 +32 =1088 ;贝U乙=（1088 32）+12 =88 ,甲=1088 乙=1000。（法2）将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从 1088中减 掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到乙数=1056 +12 =88, 甲数=1088 -88 =1000 062 答：本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把 余数问题一即 不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即 得到一个

15、除数的倍数；或者是用被除数加上一个除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。本题中 310-37=273,说明273是所求余数的倍数， 而273=3X7X13,所求的两位数约数还要满足比 37大，符合条件的有39, 91.63 答：被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113,所以被除数十 除数=2083,由于被除数是除数的17倍还多13,则由 和倍问题”可得：除 数=（2083-13） + （17+1） =115,所以被除数=2083-115=1968。64 答：本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y,可以得到x =40y 16x y 40 16 =

16、933，解方程组得J-x = 856y=21即这两个自然数分别是856, 21.65 答：设所得的商为 a,除数为 b。(19a+b)+(23a+b)+(31a+b) = 2001 , 73a +3b =2001 ,由b <19 ,可求得a =27 , b =10。所以，这三个数分别是 19a+b =523, 23a+b =631, 31a+b =847。66 答：设这个自然数除以11余a(0Ea<11),除以9余b(0Eb<9),则有11a +a =9 x3b +b ,即3a =7b ,只有a =7 , b=3 ,所以这个自然数为12 父7 =84。8 .答：由48+4=1

17、2, 48+5 =9.6知，一组是10或11人。同理可知48得3 = 16, 48+4=12知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只 能是15人，一组10人。9 .答：因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定大于 13父6=78,并且小于13 M(6+1)=91 ;又因为这个两位数除以11余6,而78 除以11余1,这个两位数为78 +5 =83。10 .答：这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但 是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除 这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。101 -45 =5

18、6 , 59 -45 =14 , (56,14) =14 , 14的约数有 1,2,7,14 ,所以这个数可能为 2,7,14 011 .答：(法 1) 39 3 =36, 147 3 =144, (36,144)=12, 12 的约数是 1,2,3,4,6,12 , 因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12 ；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。51 39 =12 , 147 39 =108 ,(12,108)=12,所以这个数是 4,6,12。12 .答：我们知道18, 33的最小公倍数为18, 33=198,所以每

19、198个数一 次。1198之间只有1, 2, 3,，17, 198(余O)这18个数除以18及33所得 的余数相同，而999+ 198=59,所以共有5X18+9=99个这样的数。13 .答：设这个三位数为s,它除以17和19的商分别为a和b,余数分别为m和n,贝U s =17a+m =19b+n。根据题意可知a+m=b+n,所以s (a +m户s -(b +n ),即16a =18b ,得8a =9b。所以a是9的倍数，b是8的倍数。止匕时，由a+m=b+n知n_m=a_b=a_3a Ja。由于s为三位数，最 99小为 100,最大为 999,所以 100 <17a +m <99

20、9 ,而 1MmM6 ,所以 17a +1 <17a +m <999 , 100 <17a +m <17a +16 ,得到 5 <a <58 ,而 a 是 9 的 倍数，所以a最小为9,最大为54。当a =54时，n -m =1a =6 ,而n <18 ,所以m <12 ,故此时s最大为 917 父54 +12 =930 ;当a =9时，n_m=1a=1由于m之1 ,所以此时s最小为17黑9+1 =154。9所以这样的三位数中最大的是 930,最小的是154。14 .答：abba 能被 7整除，即(10a+b) (10b+a)=9M (ab)能被

21、 7 整除。所以只能有a-b =7,那么Ob可能为92和81,验算可得当 而=92时，0 =29满足题目要求，ab ba =92 29 =266815 .答：所求班级数是除以118,67,33余数相同的数。那么可知该数应该为 11867 =51和67 -33 =34的公约数，所求答案为17。16 .答：因为 13903-13511 =392, 14589 -13903 = 686, 由于13511, 13903, 14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两 之差必能被同一个数整除。(392,686)=98,所以所求的最大整数是98。17 .答：找规律。用7除2,22, 23 ,24,

22、25 ,26 ,的余数分别是2, 4,1, 2, 4, 1, 2, 4, 1,的个数是3的倍数时，用7除的余数为1; 2的 个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2; 2的个数是3的倍数多2时， 用7除的余数为4.因为220°3=23#67平，所以22003除以7余4。又两个数的积除 以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同。而2003除以7余1, 所以20032除以7余1。故22003与20032的和除以7的余数是4 +1 =5。18 .答：1995, 1998, 2000, 2001, 2003除以 9 的余数依次是 6, 0, 2, 3, 5。因为 2 +5 =2 +5 +

23、0 =7 , 2 +5 +3 +6 =0 +2 +5 +3 +6 =7 +9 , 所以这样的数组共有下面 4个：(2000,2003), (1998,2000,2003), (20002003,2001,1995), (1998,2000,2003,2001,1995 K19 .答：(70十110十160) -50 =290 , 50 -3 =162 ,除数应当是290的大于17 小于70的约数，只可能是29和58, 110 +58 =152, 52 >50 ,所以除数不 是58。70+29=212 , 110+29=323 , 160 +29=515 , 12 +23 + 15 = 5

24、0,所以 除数是29。20 .答：n 能整除 63 + 91 +129 25 =258。因为 25+3=81 ,所以 n 是 258 大 于8的约数。显然，n不能大于63。符合条件的只有43。21 .答：本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算 101, 126, 173, 193除 以3的余数分别为2, 0, 2, 1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2,0, 2, 1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。22 .答：六名小学生共带钱133元。133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除 以3余1。易知，这个钱数只能

25、是37元，所以每本成语大词典的定价是(14+17 +18 +21 +26) =3 =32 (元)。23 .答：两个顾客买的货物重量是3的倍数。(15+16+18+19 +20 +31)+(1+2) =119。3 =39.2 ,剩下的一箱货物重量除以 3 应 当余2,只能是20千克。24 .答：因为 2461 +11 =223.8 , 135 +11 =12.3, 6047 子11 =549.8 ,根据同余定 理(三)，2461 M135 M6047 +11 的余数等于 8 M3M8+11 的余数，而 8M3父8 = 192, 192+11=17.5 ,所以 2461 M135 父6047 *1

26、1 的余数为 5。25 .答：先求出乘积再求余数，计算量较大。可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。478,296,351除以17的余数分别为2,7 和 11, (2 M7M11产17=9.1。26 .答：即考虑31997除以100的余数。由于100=4黑25,由于33 =27除以25余 2,所以39除以25余8, 310除以25余24,那么320除以25余1;又因为32除 以4余1,贝U 320除以4余1;即320 1能被4和25整除，而4与25互质，所 以320 1能被100整除，即320除以100余1,由于1997 =20 x99 +17 ,所以31997 除以

27、100的余数即等于317除以100的余数，而36 =729除以100余29, 35 =243除以100余43, 317 =(36)2 x35 ,所以317除以100的余数等于 29M29M43 除以 100 的余数，而 29 X29 X43 =36163 除以 100余 63,所以 31997 除 以100余63,即31997的最后两位数为63。27 .答：我们发现222222整除13, 2000毛余2,所以答案为22T3余9。28 .答:法一：由于143三3(mod7 )(143被7除余3),所以14389三389 (mod7 ) (14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等)而 3

28、6 =729, 729 三 1(mod7 ) (729 除以 7 的余数为 1), 8966655所以3 三3式3 2ci与乂3三3三5(mod7 )。14个故14389除以7的余数为5.法二：计算389被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：31323334353637 mod 73264513- .于是余数以6为周期变化。所以389三35三5(mod729 .答：由于 12 + 22 + 32+ 20012+ 2002=2002 M 20034005 1001 2003 1335 6而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故12 +22 +32 +20012 +20022

29、除以 7 的余数是 0；30 .答：31被13除所得的余数为5,当n取1, 2, 3,时5n被13除所得 余数分别是5, 12, 8, 1, 5, 12, 8, 1以4为周期循环出现，所以530被 13除的余数与52被13除的余数相同，余12,则3130除以13的余数为12;30被13除所得的余数是4,当n取1, 2, 3,时，4n被13除所得的余数 分别是4, 3, 12, 9, 10, 1, 4, 3, 12, 9, 10,以6为周期循环出现, 所以431被13除所得的余数等于41被13除所得的余数，即4,故3031除以13 的余数为4；所以(3130 +3031)被13除所得的余数是12

30、+413=3。31 .答：2008除以13余6, 10000除以13余3,注意到20082008 =2008 M10000 +2008 ;200820082008 =200820。8 父1000。 +20。8 ;2008200820082008 =200820082008 M10000 +2008 ；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008 除以 13 余 6M3 +6 13=11 , 200820082008除以 13 余 11M3+639 = 0 , 即200820082008是13的倍数。而2008除以3余1,所以a =20082008 一 2008除以13的余数与2008

31、除以13的 2008 个 2008余数相同，为6.32 .答： 找规律： 7041=7, 77+41=36, 777 3 41 =39 ,7777 子41 = 28 ,77777 +41 =口0 ,所以 77777是 41 的倍数，而 1996 +5 =3991 ,所以77777以分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7。1996 个 733 .答：求结果除以10的余数即求其个位数字。从1到2005这2005个数的 个位数字是10个一循环的，而对一个数的幕方的个位数，我们知道它总是 4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个（20是4和10的最小公倍数）一组，则不同组中

32、对应的个位数字应该是一样的。首先计算11 +22 +33 +44 +202°的个位数字，为 1 +4 +7 +6 +5 +6 +3 +6 +9 +0 +1 +6 +3 +6 +5 +6 +7 +4 +9 +0 =94 的个位数字， 为4,由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4 M100 =400 的个位数即 0,另外 5 个数为 20012001、20022002、20032003、20042004、 20052005 ,它们和的个位数字是1 +4 +7 +6 +5 =23的个位数3,所以原式的个 位数字是3,即除以10的余数是3。34 .答：如果p=5

33、,则4p2+1=101, 6p2+1=151都是质数，所以5符合题意。 如果P不等于5,那么P除以5的余数为1、2、3或者4, p2除以5的余数 即等于12、22、32或者42除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数, 只有1和4两种情况。如果p2除以5的余数为1,那么4P2+1除以5的余数 等于4黑1+1 =5除以5的余数，为0,即此时4P2+1被5整除，而4P2+1大于 5,所以此时4P2+1不是质数；如果p2除以5的余数为4,同理可知6P2+1不 是质数，所以P不等于5, 4P2+1与6P2+1至少有一个不是质数，所以只有p =5满足条件。35 .答：因为两个数的乘积除以11的余数

34、，等于两个数分别除以11的余数 之积。因此原题中的8998可以改换为1-10,这样上下两数的乘积除以11 余3就容易计算了。我们得到下面的结果：因数89909192939495969798因数37195621048进而得到本题的答案是:因数89909192939495969798因数9195899793949098929636 .答：由于 234235286 三2+3+4+2+3+5+2+8+6 三8(mod9),abc Mbca xcab 三(a +b +c)3(mod9),于是(a +b +c)3 三8(mod9),从而(用a +b +c 三0,1,2,.,8(mod9)代入上式检验)a+

35、b+c 三2,5,8(mod9)(1),对 a 进行讨论：如果a=9,那么b+c三2,5,8(mod9)，又cxa x b的个位数字是6,所以bMc的个位数字为4, bxc可能为4父1、7父2、8M3、6M4 ,其中只有(b,c) =(4,1),(8,3)符合(2),经检验只有 983 X839 X398 =328245326 符合题意。如果a =8,那么b+c三3,6,0(mod9)(3),又bxc的个位数字为2或7,则 bMc可能为2M1、4父3、6M2、7M6、7父1 ,其中只有(b,c) =(2,1)符合(3),经 检验，abc =821不合题意。如果a =7,那么b+c三4,7,1(

36、mod9)(4),贝Ub=c可能为4K2、 6 M3 ,其中没 有符合的(b,c)。如果a <6 ,那么b <5 , c<4 ,诙 MbcaMcab <700 父 600 M 500 =210000000 <222334586,因此这时 abc不可能符合题意。综上所述，abc =983是本题唯一的解。37 .答：根据题意可知，这个自然数去除 290, 233, 195时，得到相同的余数(都为a) 0既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0。那么这个自然数是290 -233 =57的约数，又是233 _195 =38的约数，因此就是

37、57和38的公约数，因为57和38的公约数只有19和1,而这个数大于1,所以这个自然数是19。38 .答：这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90 +164 =254后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254 220 =34的约数，又大于10,这个自然数只能是17或者是34.如果这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16,不符合题目条件；如果这个数是 17,那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16,符合题目条件，所以这个自然数是17。39 .答：根据题意，这三个数除

38、以 A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：603 - A =K1r1 939" A =K2r2 393" A =K3r3由于A =22 ,r2=23,要消去余数A,r2,r3 ,我们只能先把余数处理成相同的,再两数相减。这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4。于是我们可以得到下面的式子：603- A = K1r 939 2-力=2(2。(393父4广A=2(4r3这样余数就处理成相同的。最后两两相减消去余数，意味着能被A整除。939 M2 603 =1275 , 393 4 603 =969, (1275,969 )=5

39、1 =317。51的约数有1、3、17、51,其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A等于17。40 .答：将这些数转化成被该自然数除后余数为 2a的数：(429-5)x2 = 848, 791、500 m2 =1000 ,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是 2a ,故同 余.将这三个数相减，得到848 791 =57、1000 848 =152,所求的自然数一定是57和152的公约数，而(57,152)=19,所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、 791、500所得的余数分别为11、12、6, a=6

40、时成立，所以这个自然数是19,a =6 .41 .答：斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0第九项和第十项连续两个是1,与第一项和第二项的值相同且位置连续，所 以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8 的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数， 为0.42 .答：由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除 以5的余数。所以这串数除以5的余数分别为：1, 1, 2, 3, 0, 3, 3,

41、 1, 4, 0, 4, 4,3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 0,可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每 5个数中第五个数是5的倍数。由 于2009 +5 =4014,所以前2009个数中，有401个是5的倍数。43 .答：除以3、6和9的余数分别不超过2, 5, 8,所以这三个余数的和永远不超过2+5+8=15,既然它们的和等于15,所以这三个余数分别就是2, 5, 8。所以该数加1后能被3, 6, 9整除,而3,6,9 =18,设该数为a,则a=18m_1,即a=18（m1）+17 （m为非零自然数），所以它除以18的余数只能为1

42、7。44 .答：从任意三人岁数之和是 3的倍数，100除以3余1,就知四个岁数都 是3k+1型的数，又是质数。只有7, 13, 19, 31, 37, 43,就容易看出：父 43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁。45 .答：设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针方向顺次编号为2, 3, 4,，B孔的编号就是圆圈上的孔数。我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上 色艮容易看出应在1, 4, 7, 10,上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是 3的倍数加1。按题意，小 明最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1。同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1;

43、 而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数。如果将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数。这个15的倍数加上1就等于孔数，设孔数为a,则a=15m+1 （m为非零自 然数）而且a能被7整除。注意15被7除余1,所以15父6被7除余6, 15的 6倍加1正好被7整除。我们还可以看出，15的其他（小于的7）倍数加1者B 不能被7整除，而15M7 =105已经大于100。7以上的倍数都不必考虑，因此， 总孔数只能是15 X6 +1 =91 。46 .答：本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和19共有9个数字，1099共有90个两位数，共有数字：9

44、0 M 2 = 180 (个)，100999共900个三位数，共有数字：900 X3 =2700 (个)，所以数连续写，不 会写到999从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(1997 9 180)+3=6022,即有602个三位数，第603个三位数只写了它的 百位和十位。从100开始的第602个三位数是701,第603个三位数是9, 其中2未写出来。因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9 个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702 +9=78 (组)，依次排列后，它仍然能被 9整除，但702中2 未写出来，所以余数为9-2=7 o47 .答：假设有两个数a、b,

45、 (1 <b <a <n),它们的平方a2, b2被2n+1除余 数相同。那么，由同余定理得 a2b2 三0(mod(2n+1),即(ab)(a+b)三0(mod(2n+1),由于 2n+1是质数，所以 a+b 三0(mod(2 n+1)或 a b 三0(mod(2 n+1),由于 a+b , ab 均 小于2n+1且大于 0,可知，a+b与2n+1互质，a -b也与2n+1互质，即a+b, a-b都不能被2n+1整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证。48 .答：通过逐次计算，可以求出3n被11除的余数，依次为：31为3, 32为9, 33为5, 34为4, 35为1 ,

46、，因而3n被11除的余数5个构成一个周期：3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4,1,；类似地，可以求出7n被11除的余数10个构成一个周期：7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9,8, 1,；于是3n+7n +4被11除的余数也是10个构成一个周期：3, 7, 0, 0, 4, 0,8, 7, 5, 6,；这就表明，每一个周期中，只有第 3、4、6个这三个数满足题意，即 n =3,4,6,13,14,16,93,94,96 时 3n +7n +4 能被 11 整除，所以，所有满足条彳的自然数n的和为：3 +4 +6 +13 +14 +16 +93 +94 +96 =13

47、+43 +283 =1480。49.答：10=2X5,由于 a2005 与 a1949 的奇偶性相同，所以 2 (a2005 a1949)。a" -a1949 =a1949 (a56 -1),如果 a 能被 5 整除，那么 5 a1949(a56 -1);如果 a 不能被5整除，那么a被5除的余数为1、2、3或者4, a4被5除的余数为14、 24、34、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个 数除以5均余1,所以不管a为多少，a4被5除的余数为1,而a56=(a4)14, 即14个a4相乘，所以a56除以5均余1,贝U a56-1能被5整除，有I 194

48、9561匚 I” l / 20051949、5 a (a 1)。所以 5(a-a )。由于2与5互质，所以10|(a2005 -a1949 )。50 .答：2004被7除余数为2,被11除余数也为2,所以2n被7除余数为2, 被11除余数为3。由于21=2被7除余2,而23 =8被7除余1,所以n除以3的余数为1;由于28 =256被11除余3, 210 =1024被11除余1,所以n除以10的余数为8。 可见n+2是3和10的公倍数，最小为 且10】=30,所以n的最小值为28。51 .答：设三个连续自然数中最小的一个为n,则其余两个自然数分别为n +1 , n +2。依题意可知：15|n,

49、 17|(n+1), 19|(n+2),根据整除的性质对这三个算式进行变换：151n1512n 15| 2n -1517| n 1 >-.17 | 2n 2 j.17| 2n -15 =15,17,19| 2n -1519|(n +2 户 19 |(2n +4 尸 19|(2n 15)从上面可以发现2n15应为15、17、19的公倍数。由于15,17,19 =4845 ,所以 2n 15 =4845(2k 1 )(因为 2n 15 是奇数)，可得n =4845 k -2415。当k =1时n =2430 , n +1 =2431 , n +2 =2432 ,所以其中的一组自然数为 243

50、0、 2431、 2432。52 .答：被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、 66，其中只要取到两个相邻的，这两个数的差为 13;如果没有两个相 邻的数，则没有两个数的差为13,不同的同余序列当中不可能有两个数的 差为13,对于任意一条长度为x的序列，都最多能取x 12p个数，使得取 出的数中没有两个数的差为13,即从第1个数起隔1个取1个。基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为或卷"两个长度差为1的序列，要使取出的数中没有两个数的差为13,能够被取得的数的个数之差也不会超过1,所以为使57个数中任意两个数的差都不等于 13,则这57个数被

51、分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不 会超过1,那么13个序列有8个序列分配了 4个数，5个序列分配了 5个数, 则这13个序列中8个长度为8, 5个长度为9,那么当n最小为 8X8+9X5=109时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13,所以要 使任取57个数必有两个数的差为13,那么n的最大值为108。53 .答：取出的N个不同的数中，任意三个的和能被 15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0, 5或者10。在1 ：2007中，除以15的余数为0的有15父1 ,15父2 ,，15如33 ,共有133个；除以15的余

52、数为5的有15x0+5,15x1+5,，15x133+5,共有134个；除以15的余数为10的有15x0 + 10,15M1+10,，15x133十10 ,共有134个。所以N最大为134。54 .答：由于99=9X11 ,可以分别求这个数除以9和11的余数，进而求出它 除以99的余数。实际上求得这个数除以 9和11的余数均为3,所以这个数 减去3后是9和11的倍数，那么也是99的倍数，所以这个数除以99的余 数为3。下面介绍另一种解法。由于100a =99a+a ,所以100a除以99的余数等于a除以99的余数。同样， 10000 a, 1000000 a等数除以99的余数等于a除以99的余

53、数。可知，一 个自然数a,如果在它后面加上偶数个0,那么这个数除以99的余数等于a 除以99的余数。根据这一点，可以把12319992000分成若干个后面带有偶数个 0的数之和。 由于12319992000的位数是奇数，那么对于组成 12319992000的一位数1, 2, 3, ,9, 可以分成 100 00, 2300 00, 4500*00, 6700 00, 890000；对于其中的两位数10, 11, 12, ，98, 99,可以分成100000,1100 00, 1200 00, ,98003 00, 9900 00;对于其中的三位数100, 101, 102, 103,998,

54、999,两两一组，可 以分成 10010100 00 , 10210300 00, 10410500 00, , 99899900 00;对于其中的四位数1000, 1001, , 1999, 2000,可以分成10000000 , 100100 00 , 100200 00, ,19990000 , 2000。那么上面分成的所有数中，虽然每个数后面的 0的个数互不相同，但都是偶 数个，且它们的和恰好为12319992000 ,那么12319992000除以99的余数 就等于分成的这些数除以99的余数的和。由于这些数除以 99的余数分别为1, 23, 45, 67, 89; 10, 11, 12, 98, 99; 100101, 102103, 104105,998999; 1000, 1001, 1999, 2000,而其中 100101, 102103, 104105,998999是公差为 2002的等差数列，共450项，可知所有这些余数的和为：1 23 45 67 8910 11 12，：；+99100101 102103+9989991000 1001 - - 2000=22510 99 90-2100101 998999 45021000 2