一轮复习万有引力与航天讲义

1、第六章万有引力要点提示: 一、开普勒行星三大定律1、开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上；2、开普勒第一定律（面积定律）：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等；3、开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道半长轴的三次方跟周期的平方的比值是常量；若用 R表示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则 K=k，其中k是一个与行星无关的常量。T2需明确： 在三大定律中，前两个作为了解，第三定律作为考试内容；Q）行星的轨道严格说来是椭圆，但在具体计算时通常视作匀速圆周运动；注意k是一个与行星无关的常量，但他与中心天体的质量有关

2、，另外不同中心天体的k值是不同的；开普勒第三定律与万有引力定律具有内在一致性，可以相互推导例1、（基本概念理解）关于公式F3/T2=k,下列说法中正确的是 （）A.公式只适用于围绕太阳运行的行星B.不同星球的行星或卫星，k值均相等C.围绕同一星球运行的行星或卫星，k值不相等D.以上说法均错例2、（运用开三定律计算）地球质量大约是月球质量的81倍，在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（）A. 1 : 27 B. 1: 9 C. 1: 3 D. 9: 1例例4、（2010 新课标卷）20.太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆

3、轨道.下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像.图中坐标系的横轴是lg（T /TO）,纵轴是lg（R/ RO）；这里T和R分另1J是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，TO和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是答案：B例5、（2011 新课标全国卷T19）卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为 3.8 X 105km,运行周期约为 27天，地球半径约为 6400km,无线电信号的传播速度为3X 108m/s,）A

4、.0.1s B.0.25s C.0.5s D.1s【答案】选B1例6、（2011 安徽高考 T22） （1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴3a的三次方与它的公转周期 T的二次方成正比，即ay=k, k是一个对所有行星都相同的常量。将行星T绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G,太阳的质量为M大。（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84父108 m,月球绕地球运动的周期为2.36父106 S,试计算地球的质量M地。-1122（G=6-67x10 N m /

5、kg ,结果保留一位有效数字）【答案】（1）-G2M太（2） M太二6父1024kg4 二二、万有引力定律1 .内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m和m2的乘积,与它们之间距离 r的二次方.2 .公式：F=,其中G为引力常量，G=6.67X10-11 N 吊/kg 2,由卡文迪许扭秤实验测定 .3 .适用条件：两个质点之间的相互作用.（1）质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中 r为两球心间的距离.（2） 一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中 r为质点到球心间的距离.需明确：用万有引力定律处理天体问

6、题，主要有两条解题思路：（1）在地面附近把万有引力看成等于物体受的重力，即F引=mg ,主要用于计算涉及重力加速度的问题;）.（万能公式）GMm 一，、一 mg= -Rp（g为星体表面处的重力加速度（2）把天体的运动看成是匀速圆周运动，且F引=F向心，主要用于计算天体质量、密度以及讨论卫星的速度、角速度、周期随轨道的变化而变化等问题。地面上物体的重力是由于地球对物体的万有引力引起的，但一般情况下这两者并不相等，因为地面上物体随地球自转的向心力也由万有引力的一个分力提供，不过这一分力却较小，实际计算中常常忽略。 22G= m- = mw 2r = m- - r = mar rT（3人造卫星中的物

7、体所受地球的万有引力全部提供卫星作圆周运动的向心力，因此卫星内部的物体处于完全失重状态。例1、（基本概念）对于万有引力定律的数学表达式F= GMm ,下列说法正确的是 （）R2A.公式中G为引力常数，是人为规定的B. r趋近于零时，万有引力趋于无穷大C. m、m之间的万有引力总是大小相等，与m、m的质量是否相等无关D. m、m之间的万有引力总是大小相等方向相反，是一对平衡力例2、（星球的重力加速度）物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6 ,这说明了（ ）A.地球的半径是月球半径的 6倍B.地球的质量是月球质量的6倍C.月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6D.物体在月球

8、表面的重力是其在地球表面的重力的1/6例3、太阳表面半径为 R',平均密度为p ',地球表面半径和平均密度分别为R和p ,地球表面附近的重力加速度为g0 ,则太阳表面附近的重力加速度g'（）r'£R P_RPA. Rg0B. Pg。C. RPg。D. RPg。例4、（1988年全国高考）设地球表面重力加速度为 g0,物体在距离地心 4R（ R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g,则g/g 0为（）A. 1B. 1/9C. 1/4D. 1/16例5、（注意新题型的特点）2012 课标全国卷假设地球是一半径 为R质量分布均匀的球体.一矿井深

9、度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为D.()A. 1 d B. 1 + d C.R R答案：21. A例6、（2010 上海物理）15.月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a,设月球表面的重力加速度大小为g1,在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2,则（A）g1=a（B）g2=a（C）g1+g2=a（D）g2-g =a解析：选B例7、（星球的质量）已知太阳光从太阳射到地球需时间500s,地球公转轨道可近似看成圆轨道，地球半径为6400km,试计算太阳质量M与地球质量m之比？例8、设在地球上和在 x天体上，以相同的初速

10、度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为K（均不计阻力），且已知地球和x天体的半径比也为 K,则地球质量与x天体的质量比为 （）A. 1B. KC. KD. 1/K例9、（星球的周期问题）假如地球自转速度达到使赤道上的物体“飘”起来（即完全失重），那么地球上一天等于多少小时？（地球半径取6.4 x 106 m）例10、（行星运行的轨道半径）飞船以a=g/2的加速度匀加速上升，由于超重现象，用弹簧秤测得质量为10 kg的物体重量为75 N.由此可知，飞船所处位置距地面高度为多大？（地球半径为6400 km, g=10 m/s2）三、三种宇宙速度宇宙速度数值Oe/G意义第一宇宙速度 （环缢速度）是

11、人造地球卫星的最乐速 度T也是人造地球卫星绕地球 的国周沅前峋最大环绕谏博.第二宇宙速度 脱离速度）使物体挣脱理度引力束缚的 星小发射速度-第三宇宙速度£逃逸速度）Itk T使物体挣脱里迪_引力 束缚的城小度射速度.需明确：根据考纲要求，第一宇宙速度要掌握，其他两个作为了解例1、月球的质量约为地球的1/81 ,半径约为地球半径的1/4 ,地球上第一宇宙速度约为7.9km/s,则月球上第一宇宙速度月为多少？例例4、我们在推导第一宇宙速度的公式V=gR时，需要做一些假设和选择一些理论依据，下列必要的假设和理论依据有（）A.卫星做半径等于地球半径的匀速圆周运动3B.卫星所受的重力全部作为其

12、所需的向心力C.卫星所受的万有引力仅有一部分作为其所需的向心力D.卫星的运转周期必须等于地球的自转周期四、天体质量和密度的计算估算中心天体的质量.从环绕天体出发：通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r,就可以求出中心天体的质量M.从中心天体本身出发：只要知道中心天体表面的重力加速度g和半径R,就可以求出中心天体的质量M.测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径T和周期T,由(%为天体的半径)若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径厂殳,则有(2)设天体表面的重力加速度为g,天体半径为R 则 mg= gR2m 即 g = R?或 GIM= gR2)若物体距星体表面高度为h,则重力mg' = G-

13、RMm-，即g'GMR2_R+ h 2=& h2g全力以赴，用拼的精神创造奇迹!【答案】ACD例2、“嫦娥二号”登月飞船在半径为 力常量为G由以上数据可以求出(A.C.月球的半径月球表面的重力加速度B.D.月球的质量月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度例3、据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的 b倍。已知近地卫星绕地球运动的周期约为T,引力常量为 G则该行星的平均密度为(A.3 二GT2B.兀-23T例4、登月火箭关闭发动机在离月球表面C.2 D.2aGT2bGT2112km的空中沿圆形轨道运动，周期是120.5min,月球的半径

14、是例1、“嫦娥一号”于 2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束.其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞, , 一，1 1，一，、一行.若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的6，月球半径为地球半径的1根据以上信息得()A.绕月与绕地飞行周期之比为小:5B.绕月与绕地飞行周期之比为J2 : J3C.绕月与绕地飞行向心加速度之比为1 ： 6D.月球与地球质量之比为1 ： 96T。已知引R的圆形环月工作轨道上做匀速圆周运动。测得其周期为 )1740km,根据这组数据计算月球的质量和平均密度。五、卫星的在轨

15、运行和变轨问题(1)圆轨道上的稳定运行Mm v2222G= m- = mrco = mri " r rT(2)变轨运行分析4 Mm v2 . 当卫星由于某种原因速度v突然改变时，受到的万有引力G懦要的向心力m不再相等，卫星将偏离原轨道运动.Mm v2 当G，>m-时，卫星做近心运动，其轨道半径 r变小，由于万有引力做正功，因而速度越来越大；反之， r rMm v2当Gt< m-时，卫星做离心运动，其轨道半径 r变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小.例1、2012 天津卷答案：C例2、2012 山东卷2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实

16、施了首次交会对接.任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接.变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R、R,线速度大小分别为V1V1、V2.则7等于()例3、2012 广东卷如图6所示，飞船从轨道1变轨至轨道V22.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动,考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的()A.动能大B.向心加速度大C.运行周期长答案：CD六、地球同步卫星、近地卫星、赤道上随地球自转的物体、极地卫星的特点赤道上随地球自转的物体：物体所受的重力与万有引力相同 同步卫星特点:(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.(2

17、)周期一定：与地球自转周期相同，即T=24 h =86 400 s.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.Mm 4招' /GMT2 1(j厂二 m亍畸 r = A=4.23 <10 km,h = r 收6R（为恒量）.(4)高度一定：据 T、加卫星离地面高度(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致.极地卫星和近地卫星特点：(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 7.9 km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心

18、例1、如图所示，北京飞控中心对“天宫一号”的对接机构进行测试，确保满足交会对接要求，在“神舟八号”发射之前20天，北京飞控中心将通过 3至4次轨道控制，对“天宫一号”进行轨道相位调整，使其 进入预定的交会对接轨道，等待神舟八号到来，要使“神舟八号”与“天宫一号”交会，并最终实施对接，“神舟八号”为了追上“天宫一号”().5A.应从较低轨道上加速B.应从较高轨道上加速C.应在从同空间站同一轨道上加速D.无论在什么轨道上只要加速就行【答案】A例【答案】选A、Q例例5、地球的同步卫星距地面高 h约为地千半径 R的5倍，同步卫星正下方的地面上有一静止的物体 A, 则同步卫星与物体 A的向心加速度之比是多少？若给物体 A以适当的绕行速度， 使A成为近地卫星，则同 步卫星与近地卫星的向心加速度之比为多少？例6、甲、乙 两颗人造地球卫星在同一轨道平面上的不同高度处同向运行，甲距地面高度为地球半径的 0.5倍，乙甲距地面高度为地球半径的5倍，两卫星在某一时刻正好位于地球表面某处的正上空，试求：（1）两卫星运行的速度之比；（2）乙卫星至少经过多少周期时，两卫星间的距离达到最大？七、双星模型1 .模型概述：在天体运动中，将两颗彼此相距较近， 且在相互之间万有引力作用下