工程流体力学 chapter7-7-9

1、山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院7-7 速度势和流函数一、速度势函数 无旋流动也称为有势流动，简称势流 t , z , y, xvxdx+vydy+vzdz成为某一函数 的全微分的充要条件 ：0 Vzvyvyzxvzvzxyvxvxy山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院dzvdyvdxvdzzdyydxxdzyxzvyvxvzyx，gradkzjyixkvjvivvzyx 山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院速度势的特性 1流线与等势面相垂直 等势面的方程为 Ctzyx,在等势面上任取一微元矢量 kdzjdyidxrd 0 ddzvdyvdx

2、vkdzjdyidxkvjvivrdvzyxzyx0dsdv山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院2沿任一曲线切向速度的线积分等于曲线两端点速度势之差 ABBAzyBAxABdzzdyydxxdzvdyvdxv)()(3对于不可压缩流体，速度势是调和函数，满足拉普拉斯方程。 0)(ddzvdyvdxvzyx对于封闭周线：不可压缩流体连续性方程 0 V00202222222zyx山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院柱坐标系下 ：rvrrv1zvz0201122222222zrrrx山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院二、流函数 对于平面、不可压缩流体

3、 0yvxvVyx构造某函数 ),(yx使：dyvdxvdxy由数学知识，其充要条件为：yxvyxv0yvxvyx山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院0dyvdxvdyydxxdxyxvyvyx，山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院流函数的特性 1. 等流函数线为流线 0dyvdxvdyydxxdxyyxvdyvdx流线微分方程 山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院2. 流体通过两流线间单位高度的体积流量等于两条流线的流函数之差。 dlsinvcosvdlnvqBAyxBAnVdycosdldxsindl1221ddyvdxvqBAxyV山东大学

4、能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院3. 对于不可压缩流体的平面无旋流动，流函数是调和函数，满足拉普拉斯方程。 平面无旋流动 021yvxvxyz0yyxx022222yx山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院柱坐标系下 ：rvr1rv011222222rrrr山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院三、速度势函数和流函数的关系 对于不可压缩流体的平面无旋流动，速度势函数和流函数都是调和函数 柯西黎曼（CauchyRiemen）条件 yxvxxyvy0yyxx山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院等势线簇（=常数）和流线簇（ =常数）互相垂直的条

5、件，即正交条件。在平面上将等势线簇和流线簇构成处处正交网格，称为流网 山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院【例7-6】已知不可压缩流体平面势流，其速度势为：试求速度分量和流函数 xxyyx322122山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院7-8 几种简单的平面势流一、均匀等速流 流线平行且流速相等的流动jvivvyx00dyvdxvdyydxxdyx00yvxvyx00dyvdxvdyydxxdxyo0yvxvxy00山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院cos0 vvxsin0 vvycossinsincosyvxvyvxvxvyvyvxv,90,

6、0山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院压强在流场中处处相等 由于流场中各点的速度相同，流动又是无旋的，流场中各点都满足伯努利方程， Cpgz山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院二、点源和点汇 在无限大平面上，点源：流体从一点沿径向直线均匀地向外流出的流动。 点汇；流体沿径向均匀的流向一点 。点源点汇 山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院rvr0v根据流体的连续性，流体流过任意单位高度圆柱面的体积流量 都相等。 也称为源流或汇流的强度 vqvqrqvvvr2drrqvdrdv222ln2ln2yxqrqvv山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动

7、力工程学院rvvr10rvdqvrddv2xyqqvv1tan22pvp222228rqppv0rr 以上各式仅适用于 2/12208pqrv令 p=0 得： 山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院三、点涡 令直线涡束的半径 0br平面内的流动（除原点外）称为点涡或自由涡流 rrvrvr20dvrdd22山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院01rvrrvdrrdrvd2rln20rr 以上各式仅适用于 令 p=0 得： 2/12208pr2228rpp压强分布山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院7-9 简单平面势流的叠加势流叠加原理：任意多个平面势

8、流相加，仍为平面势流n321n3210321321nn0321321nnxnxxxnxvvvvxxxxxv321321ynyyynyvvvvyyyyyv321321山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院一、点汇和点涡叠加的流动螺旋流 )ln(2121rqv)ln(2121rqvrqrvvr2rrv21等势线流线 vqeCr1vqeCr2对数螺旋线 山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院压强分布 22228)(rqppv2/122208)(pqrrv适用范围 山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院二、源流和汇流叠加的流动偶极子流 MaqlimvqaV20M称为偶极矩 山东大学能源与动力工程学院山东大学能源与动力工程学院rMyxxMcos2)(222rMyxyMsin2222等势线： 21221)