中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习(含答案)含答案解析

1、中考数学 直角三角形的边角关系 培优易错难题练习（含答案）含答案解析一、直角三角形的边角关系1 .如图，在 4ABC中，/ABC=/ ACB,以AC为直径的。0分别交 AB BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且 / CAB=2/ BCP（1）求证：直线CP是。的切线.(2)若 BC=2/ sin/BCP=5 ,求点 B 至ijAC 的距离.（3）在第（2）的条件下，求 4ACP的周长.【答案】（1）证明见解析（2） 4 （3） 20试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2/CAN=/ CAB, /CAB=2/ BCP判断出/ ACP=90 即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可

2、.试题解析：（1）ZABC=Z ACB, .AB=AC,.AC为。0的直径，/ ANC=90 ； / CAN+/ ACN=90 ； 2/ BAN=2/ CAN=Z CAB, / CAB=2/ BCP, / BCP玄 CAN,/ ACP=ZACN+Z BCP之 ACN+Z CAN=90 ；点D在。O上，直线CP是。的切线；(2)如图，作BF,ACp,. AB=AC, /ANC=90；1.CN，CbW, / BCP玄 CAN, sin/ BCP=5 , 唧sin / CAN=，CN *5k丁.AC=5,.AB=AC=5,设 AF=x,贝U CF=5- x,在 RtABF 中，BF?=Ab2-AF2

3、=25-x2,在 RtCBF中，BF2=BC2C声=2O (5x) 2, .25-x2=2O- (5-x) 2,.x=3,. BF2=25 - 32=16,BF=4,即点B到AC的距离为4.考点：切线的判定2.如图，在。的内接三角形 ABC中，/ACB= 90, AC=2BC,过C作AB的垂线l交。OAP交l于点F,连接PC与于另一点D,垂足为E.设P是心上异于A, C的一个动点，射线PD, PD交AB于点G.(1)求证：PASPDF；(2)若AB=5,切，求PD的长;(3)在点P运动过程中，设 x的取值范围)AG=x, tan/AFD= y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出【答案】（1

4、）证明见解析;【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明 / AP况Z FPQ得到Z APC= Z FPD,又由/ PAG=ZPDC,即可证明结论.（2）由AC=2BQ设应用勾股定理即可求得 BC, AC的长，则由AC=2BC#C=2。，由ACuABC可求得AE, CE的长，由 矶国可知 APB是等腰直角三角形，从而可求得 PA的长，由4AEF是等腰直角三角形求得 EF=AE=4从而求得DF的长, PA AC由（1） PA8 4PDF得PC 即可求得PD的长.AD. 二2,由角的转换可得AP lam.ABP = = yAG AP,由AG24DGB可得RRDG AD,由AGDAPGB可得”； P

5、R（3）连接BP, BD, AD,根据圆的对称性，可得式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆0,得/FPO/B,又. /B=/AC曰90 /BCE, / AC曰/APD, . /APD= / FPC.Z APD+ Z DPC= Z FPC+ Z DPC,即 Z APC= Z FPD.又,/ PAG= / PDC, APACAPDF.(2)连接 BP,设= ZACB=90 , AB=5, .a2 + (2u)2 = 52n口 =./=y.AC = 2/呼 _ CE AC AE _CE _ 入5.ACEAABC,AC = BC = AB 即布一.一k /imE=2.ABXCD,.CE=

6、 DE = 2如图，连接BP, I4P.叫.APB是等腰直角三角形.Z PAB=45 , AEF是等腰直角三角形.EF=AE=4./. DF=6.5*2PA AC 2 253./T0一二一=Pl) = X( 1) APAGA PDF#PD 叫即 “)h2，PD的长为(3)如图，连接 BP, BD, AD, .AC=2BC,，根据圆的对称性，得 AD=2DB,即0月 . ABXCD, BP, AE, . / ABP= / AFD.AP tanLABP = = AG AP .AGPADGB,DG AD前=而 .AGDAPGB,.AG DG AP AD AG _ AP AD.丽而二而而，即布=话Bi

7、AG J.而一，.”尸 2与x之间的函数关系式为考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.(1)求证：PA是。的切线;3.如图，PB为。的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA,垂足为C,交。于点A, 连接PA, AO.并延长AO交。于点E,与PB的延长线交于点 D.OC 2（2）若* c=q, 且OC=4,求PA的长和tan D的值.p5【答案】（1）证明见解析；（2） PA =3, tan D= 【解析】试题分析：（1）连接OB,先由等腰三角形的三线合一的性质

8、可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB然后证明4PA必PBO,进而可得/PBO=/ PAO,然后根据切线的性质可得 / PBO=90 ,进而可得：/PAO=90,进而可证：PA是。的切线;0C 2（2）连接BE,由乂。%且OC=4,可求AC, OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求 OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值.试题解析：（1）连接OB,则OA=OB,.OPXAB,，AC=BC.OP是AB的垂直平分线，PA=PBPA = PRPO - PO.A c -Q月=onA 一人 -在PAO和 PBO 中，, .-.APAOAPBO ( SSS/ PBO=Z PAO,

9、 PB=PAPB为。的切线，B 为切点，/ PBO=90 / PAO=90 即 PAI OA,.PA是。O的切线；(2)连接BE,0C 2且 OC=4, .-.AC=6,AB=12,在RtMCO中，由勾股定理得：AO人附,榕= 2(13, .AE=2OA=4严，OB=OA=2/T3,在 RtAPO 中，AC OP, ，AC2=OCPC,解彳#： PC=9 . OP=PC+OC=13在 RtAPO 中，由勾股定理得： AP=J/V=3VT?.BE DE DE16JTJ二= - . 易证性DEB s力OP,所以所 DO川中龙，解得J 一弓一,3 6四PA 5AD = 2OA + DE = -tan

10、/? = _ = -则5 ，在 RIAADP 中， AD 12.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形.4.如图，湿地景区岸边有三个观景台且、E、C.已知4 = 1400米，川0=100。米，3点位于幺点的南偏西60一7”方向，C点位于且点的南偏东661*方向.求且3c的面积；（2）景区规划在线段BC的中点管处修建一个湖心亭，并修建观景栈道.试求为、D间的距离.（结果精确到米）（参考数据: 而七&QM, 3532”。用，而）-7,以0叩，cos6a.70.49 ,叫皈力。91, co&6（5.10.41 ,【答案】（1） 560000 （2） 565.6【解析

11、】试题分析：（1）过点C作CE_艮4交互巨的延长线于点E,然后根据直角三角形的内角和求出/ CAE,再根据正弦的性质求出 CE的长，从而得到 4ABC的面积；（2）连接，过点D作DF_ A3 ,垂足为尸点，则。尸# CE .然后根据中点的性质和余 弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可 .试题解析： 过点C作随_ 交&1的延长线于点E ,在MlAXEC 中，/04二1M16。一7-661 = 53所以 CE = AC - sin53.2 10000.8= 8C0 米.所以工但二8= Lx加。=560(1)求 tan/DBC 的值；(2)点P为抛物线上一点，且 二【答案】(1) tan

12、/ DBC=-;/DBP=45,求点P的坐标.5.如图，抛物线y= - x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上 且横坐标为3.考点：解直角三角形A、66、77【解析】试题分析：(1)连接CD,过点D作DEL BC于点E.利用抛物线解析式可以求得点B、C、D的坐标，则可得 CD/AB, OB=OC,所以/ BCO=Z BCD=Z ABC=45.由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4J2， BE=BC- DE32 .由此可知2工,通过解方程求得点 P的坐标为(-,66T7)DE 3tan / DBC=/7 二-； RE 5(2)过点P作PHx轴于

13、点F.由/ DBP=45及/ABC=45可得/ PBF=Z DBC,利用(1)中的结果得到：tan/PBF.设P (x, - x2+3x+4),则利用锐角三角函数定义推知试题解析：(1)令 y=0,贝U- x2+3x+4=- (x+1) (x-4) =0, 解得 xi= - 1 , x2=4 .A (T, 0) , B (4, 0).当 x=3 时，y=- 32+3 x 3+4=4.D (3, 4).如图，连接CD,过点D作DE，BC于点E. .CD/AB,/ BCD=Z ABC=45在直角 OBC中，-. OC=OB=4, BC=4/2 .在直角CDE中，CD=3.BE=BC- DE=.一D

14、E 3. tan / DBC=-=-;BE 5(2)过点P作PHx轴于点F. / CBF土 DBP=45 ；/ PBF=Z DBC, . tan / PBF.设 P (x, x2+3x+4),贝U t= j ,4-x 5解得 xi= - , x2=4 (舍去)，2 66-P ( - 7 ,丞).考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数6.我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一条幅，在乙楼顶部 C点测得条幅顶端 A点的仰角为45。，条幅底端E点的俯角为 甲、乙两楼之间的水平距离 BD为12米，求条幅AE的长度.(结果保留根号)副宣传30,若【答案】AE的长为(

15、12 4的【解析】【分析】在RtVACF中求AF的长，在RtVCEF中求EF的长，即可求解.【详解】过点C作CF AB于点F由题知：四边形CDBF为矩形CF DB 12在 RtVACF 中， ACF 45AFtan ACF1CFAF 12在 RtVCEF 中， ECF 30tan ECF EF CFEF .3123EF 4 3AE AF EF 12 4.3求得AE的长为12 4 J3【点睛】本题考查了三角函数的实际应用 ，中等难度，作辅助线构造直角三角形是解题关键7 .关于三角函数有如下的公式：sin ( a +E =sin a cos 3 +cos a sin 3cos ( a + 乃=co

16、s a cos-时n a sin 3 Una + tan/?./ 1 - tancirtan ( a +)3 =，利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：匕】450 + tan60 1 + w (1 + )(1 +、的tan105 =tan (45 +60 )一.有“ ta(1601 - 1 “5(】-,)(】+ 网=-(2+.根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端 D点的俯角a =60；底端C点的俯角3 =75；此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m,求建筑物CD的高.歹已【答案】

17、建筑物 CD的高为84米.【解析】分析：如图，过点 D作DE，AB于点E,由题意易得 /ACB=75, / ABC=90 , DE=BC=42m)/ ADE=60 ；这木在 RtA ABC和在RtA ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE得结果了 .详解：如图，过点 D作DE，AB于点E,由题意可得 /ACB=75, / ABC=90 , DE=BC=42m)CD=BE Z ADE=60, .二在 RtA ABC和 RtA ADEtan45D342 x= 42 x1 - tan450 tan304AB=BC?tan75 =42tan75 = 人匚 42

18、 X tanGO = 42Mm AE= ,. CD=AB-AE人 R4-42q*=日4 （米）.答：建筑物CD的高为84米.睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到RtA ABCRtA ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.8 .已知 RtABC, /BAC= 90 ,点 D 是 BC 中点，AD=AC, BC= 4 J3 ,过 A, D 两点作 OO,交AB于点E,(1)求弦AD的长；(2)如图1,当圆心 O在AB上且点 M是。上一动点，连接 DM交AB于点N,求当ON 等于多少时，三点 D、E、M组成的三角形是等腰三角形？(3)如

19、图2,当圆心 O不在AB上且动圆。与DB相交于点 Q时，过 D作DHLAB (垂 足为H)并交。于点P,问：当。变动时DP- DQ的值变不变？若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由.却)I蚯【答案】(1) 2J3(2)当ON等于1或J3 - 1时，三点D、E M组成的三角形是等腰三角形(3)不变，理由见解析【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；(2)连DE、ME,易得当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE DM,易得到 4ADC为等边三角形，得 /CAD=60,贝U / DAO=30 , / DON=6O ,然后根据含30的

20、直角三角形三边的关系得DN=1AD=J3, ON= DN=1;23当 MD=ME, DE 为底边，作 DHAE,由于 AD=2 J3 , / DAE=30,得到 DH=J3 ,/ DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1,又/M=/DAE=30, MD=ME,得到 / MDE=75 ,贝U / ADM=90 -75 =15,可得到/DNO=45；根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=J3,则ON=J3-1;(3)连AP、AQ, DPI AB,彳导AC/ DP,则/ PDB=/ C=6(J ,再根据圆周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,则/PAQ=60, /

21、CAQ=/ PAD,易证得AQCAPD,得到 DP=CQ贝U DP-DQ=CQ-DQ=CD而4ADC为等边三角形， CD=AD=253 ,即可得到 DP-DQ的 值.【详解】解：(1)Z BAC= 90。，点 D 是 BC 中点，BC= 4戊,.AD= -BC= 2M ； 2(2)连 DE、ME,如图， DM DE,当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰，OEXDM,又 AD= AC,.ADC为等边三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 ,在 RtADN 中，DN=1aD=2 ，在 RtA ODN 中，ON=叵 DN= 1 ,3 ， 当ON等于1时，三点D、E

22、M组成的三角形是等腰三角形；当MD=ME, DE为底边，如图 3,作DHXAE, . AD=2 J3 , ZDAE= 30, .DH=6，/DEA= 60 , DE= 2, .ODE为等边三角形，.OE=DE= 2, OH=1, . Z M = Z DAE= 30 ；而 MD=ME,/ MDE= 75 ,Z ADM =90 - 75 = 15 ,/ DNO= 45 ； NDH为等腰直角三角形，,-.nh=dh=石，ON = V3 - 1 ;综上所述，当ON等于1或73 - 1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形;(3)当。O变动时DP-DQ的值不变，DP - DQ= 2&.理由如下：连A

23、P、AQ,如图2,. / C= / CAD= 60 ;而 DPI AB,2 .AC/ DP,/ PDB= Z C= 60 ,又 / PAQ= / PDB,/ PAQ= 60 ,Z CAQ= / PAD,3 . AC=AD, /AQC=/P,4 .AQCAAPD,.DP= CQ,.DP- DQ= CQ DQ= CD= 2本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等.也考查了等腰三角形的性质以及含30的直角三角形三边的关系.9.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的 方在公路上的B处沿南偏西60。方向前进实施拦截，红方行驶A处朝

24、正南方向撤退，红1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45。方向前进了相同的距离，刚好在 D处成功拦截蓝方，求拦截点 D处到公路的距离（结果不取近似值）.D【答案】拦截点 D处到公路的距离是（500 + 500V2）米.【解析】 试题分析：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点 E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线，两线交于点 F,则/ E=Z F=90。，拦截点D处到公路的距离1 1DA=BE+CF 解 RtBCE 求出 BE=- BCj X 1000=50张；解 RCDF,求出CF=CD=500忘米，则 DA=BE+CF=（500+500百）米.

25、/E=90, /CBE=60,X 1000=50米； ZF=90, /DCF=45, CD=BC=1000米,试题解析：如图，过 B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点 E;过C作AB的 垂线，过D作AB的平行线，两线交于点 F,则ZE=Z F=90。，拦截点D处到公路的距离 DA=BE+CF 在 RtBCE 中，/ BCE=30,1 1 BE= BC= 22在 RtCDF 中，.CF=2CD=500j2 米，DA=BE+CF=（ 500+500 卢）米，故拦截点D处到公路的距离是（500+500尤）米.B考点：解直角三角形的应用 -方向角问题.10.如图，某人在山坡坡脚 C处测得一座

26、建筑物顶点A的仰角为63.4 ；沿山坡向上走到 P处再测得该建筑物顶点 A的仰角为53.已知BC= 90米，且B C D在同一条直线上，山 坡坡度i=5: 12.（1）求此人所在位置点P的铅直高度.（结果精确到0.1米）（2）求此人从所在位置点P走到建筑物底部 B点的路程（结果精确到0.1米）（测倾器的高度忽【解析】（2）从P到点B的路程约为127.1米分析：过P作PF BD于F,彳PE AB于E,设PF= 5x,在RtA ABC中求出AB,用含x 的式子表示出 AE, EP,由tan/APE,求得x即可；（2）在RtA CPF中，求出 CP的长.详解：过P作PF BD于F,彳PE AB于E,

27、斜坡的坡度i = 5:12,设 PF= 5x, CF= 12x,四边形BFPE为矩形，.BF= PEPF= BE在 RTA ABC 中，BC= 90,ABtan / ACB=BC.AB=tan63.4 BC= 2 x =9080,AE= AB BE= AB PF= 180 5x, EP= BC+ CF 90 120x.在 RTA AEP 中，tan / APE=AE 180 5x=EP 90+12x20 x=, 7PF= 5x=100714.3.答：此人所在P的铅直高度约为14.3米.由得CP= 13x,.CP= 13答 37.1, BC+ CP= 90+37.1= 127.1.7答：从P到点

28、B的路程约为127.1米.点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图 形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股 定理或三角函数求相应的线段长.11.如图，RtAABC, CABC, AC= 4,在AB边上取一点 D,使AD= BC,彳AD的垂直平 分线，交AC边于点F,交以AB为直径的。于G, H,设BC= x.(1)求证：四边形 AGDH为菱形；(2)若EF= y,求y关于x的函数关系式；(3)连结 OF, CG. 若4AOF为等腰三角形，求 。的面积；若BC= 3,则病CG+9=(直接写出答案)1c 16【答案】(1)

29、证明见斛析；(2) y= x2 (x0) ; ( 3)一兀或8兀或(2 J17 +2)83阳4 72T -【解析】【分析】(1)根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；一一 AE EF(2)只要证明AEM4ACB,可得 解决问题；AC BC(3)分三种情形分别求解即可解决问题；一GF CG 只要证明CF8 4HFA,可得 =,求出相应的线段即可解决问题;AF AH【详解】(1)证明：:GH垂直平分线段 AD,.HA=HD, GA= GD, AB 是直径，AB GH,EG= EH,.DG=DH,.AG= DG= DH= AH,四边形AGDH是菱形.(2)解：.AB是

30、直径，/ ACB= 90 ； .AEXEF7,/ AE曰 / ACB= 90 , / EA曰 / CAB, .AEFAACB,AE EFAC BC，1 - x 2_ 1，4 x.y=1x2 (x0).8(3)解：如图1中，连接DF.H二图：.GH垂直平分线段 AD, . FA= FD,丁当点D与。重合时，4AOF是等腰三角光 AC 8后 AB =）3o O的面积为16兀.3如图2中，当AF = AO时，数- AB= Vac2 bc2 =由6 x2 ,.OA= 16 x ,I22. af=Jef2 ae2 = J -x28 82, Jl6x2 _11 2212J x-，2V82解得x=4 （负根已经舍弃），.AB= 4