专题09圆锥曲线中的探究性问题-2020高考数学尖子生辅导专题

1、专题九锥曲线中的探究性问题近年来，在圆锥曲线考查的题型中经常会出现探究性问题.探究性问题是一种开放性问 题，是指命题中缺少一定条件或无明确结论，需要经过猜测、归纳并加以证明的题型.圆锥 曲线的考题主要是结论探究的开放性问题，有探究位置关系的，有探究点是否存在直线是否 存在圆是否存在的，有探窕圆是否过定点直线是否过定点的，等等，有结论存在和结论不存 在两种情形.这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几何性质的同时，能很好地考查学生的运 算求解、推理论证等数学能力，对学生的综合能力要求较高.模块整理方法提升能力圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略有2种：一是先假设存在或结论成立，然后引 进未知数、参数并

2、建立有关未知数、参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结 论成立，否则表示不存在或结论不成立；另一种方法是在假设存在或结论成立的前提下，利 用特殊情况作出猜想，然后加以验证.601椭圆二+=1的左焦点为巴，右焦点为居，离心率e = !.过6的rr Zr2直线交椭圆于A、B两点,且匕的周长为8.（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线/： y = Ax + 】与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x = 4相交于点 Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点使得以尸。为直径的圆恒过点M?若存在，求 出点M的坐标：若不存在，说明理由.【解析】（1）因为|AB| + |A周+ |65| = 8,即.用

3、+怛用+ 口片+怛周=8,而用+ |从周=忸/| +也周=2，所以=8, a = 2 .又因为6 = =；，所以c = l, Cl z）2b2=a2-c2=3,所以椭圆E的方程为二+=1.43（2）法L假设平面内存在定点满足条件，由对称性可知点M必在x轴上，设M（f,O）.y = kx + m叫。143=1消去y可得（4二+ 3）V + 8切a + 4/- 12 = 0，因为直线/与椭圆有且只有一个公共点，所以A = 64/加2一4（4+3乂4病72）=0,即44一加+3=0.设P（个%）,mil4k巾4k z . ,3/ 4 3、=乙+ 小箭怎则.=- = - ， 3%=%+， =, 所以

4、P - , 联ALj，可倚4二+3m 0 mm m) 匕=4Q(4Ak+m). AL 1 因为 MP=L MQ = (4-1,4 + m),由 MP MQ = O 可得4r-4 = 0产一 + 3 = 0i m m)3Lf (4t) + _.(4A + M = 0,整理可得(4，-4)_ + / 4/ + 3 = 0,由 /min得1 = 1,所以存在定点M（LO）,使得以P。为直径的圆恒过点M.法2：假设平面内存在定点”满足条件，由对称性可知点必在x轴上.若直线/为y =小,则网0.6），Q（4,JI）,以PQ为直径的圆为M4 4） +0一6）卜JJ） = O,与x 轴交于点M（l,o）和1

5、%（3,0）.下面进行验证.由，y = kx + m22 + =1143消去y可得（4公+3）f +8如次+ 4/-12 = 0,因为直线/与椭圆有且只有一个公共点，所以 = 64A%/ -4（依2 +3）（W -12） = 0,即422 -m2 +3=0.设尸（光），mii4km 4k,3 4山142 3、”+卜=入+加普怎则不)=，yQ = kx() + in =一， 所以户 , 联乂= -M2 = (1,软+,)，所以 1.一共一3： + 上(软 + 加)工0. m m)m ) m综上所述，存在定点（1,0）,使得以PQ为直径的圆恒过点【点评】由对称性得到：如果存在定点M,则M一定在x轴

6、上，由此可减少未知数的引 入，降低题目的难度.法2是根据对称性和选取特殊情况P（0,/）,求出具体的圆与x轴的交 点：M（l，。）和/隹（3,0）,此时只需对这两个点进行检验，如果有满足条件的，则表示点M存在，如果都不满足，则表不点A7不存在.椭圆r + = l经过点P I，离心率e = :，直线/的方程为X = 4.T b2）2（1）求椭圆。的方程；（2） AB是经过右焦点厂的任一弦（不经过点P）,设直线AB与直线/相交于点/，记 PA. PB、的斜率分别为勺、&2、勺问：是否存在常数九，使得+4=&3?若存 在，求2的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）由尸二在椭圆上，所以，+ = =

7、1.又因为。= =,解得/=4,I 2；a1 4/ra 222川=3,所以椭圆C的方程为二十二=1.43（2）显然直线的斜率存在，设为攵，则直线钻的方程为y = A（x-l）.联立y = A（x-l）r 2消去y可得（依2+3卜2-8炉1+ 4（二一3）= 0,设A（%y）,见8,先）,则有+ = 11438 二4（二一 3）一,一%+9=彳厂-AjX2 =.点M 的坐标为（4,3k）,所以尤=4K I JQK 3X1 13k-k% =- = k 一一,于是4-121 233332向工2 -（24+1）（X+超）+ 2 k8A 22Z： + I）-4P73.3k +工用9一（内+入2）+14（

8、公一 3）弘2M二 y,一二 kxk 一二 kx、一k 一二21-221-24k2+3 4k2+3= 2k-1,又因为自=左g,所以仁+&=2&.所以存在常数/l = 2符合题意.【点评】引进直线钻的斜率攵，然后用攵去表示匕、右、攵3,将匕+&=4&转化为攵的方程，该方程有解，则说明实数丸存在，否则力不存在.我们也可以考虑特殊情况，让直线AB131的斜率攵=0,则有 A（2,0）, 8（2,0）, M （4.0）, kx=-.七=一另，& =一，此时之=2.也就是说，要么常数2不存在，要么常数；1 = 2.该猜测能使解题方向更为清晰明确.椭圆G：二+二=1的离心率为走，X轴被曲线g：，=/ 截

9、得的线 a b2段长等于G的长半轴长.(1)求孰、G的方程：(2)设g与)，轴的交点为M,过坐标原点O的直线/与G相交于点A、B，直线MA、A/3分别与G相交于。、E .(i)证明：MDLMEx(ii)记记、ME应的面积分别是S, .问：是否存在直线/,使得* = 11?S2 32请说明理由.【解析】(1)由题意知。= =豆，又因为2必=，a2=h2+c 解得。=2, b = l, a 22所以G、G的方程分别为:+/=1，y = x2-l.4【证明】(2)(i)由题意知，直线/的斜率存在，设直线/的方程为y =丘，A(mj),B(x”yJ ,由 得f 一船一 1 = 0,于是x+m=A, 总

10、=一1.又点M的坐标为 y 二广一1(0,-1),所以% 6 =让1 匕1=网 +1) +1)Jr +3 +工)+1 = X x2x1x2xx2Q + 炉 + -=-1,所以MDME.-1y = k x - 1【解析】(ii)设直线MA的斜率为占，则直线M4的方程为，=/-1,由： 可V = A - 1得x = 0或x = K，所以点A的横坐标为4.设直线M3的斜率为-l，同理可得点3的横坐标为力于是品斗四眼哈万不周.卜箫.由仁4 = 0 得(1 + 4卜2一知=0,解得工=0或人=QL所以点。的横坐标为.同理可得点E的横坐标为于是其=4叫阿可=；声不32(1 + 6)伙|(1 + %)仰+4

11、)因此由题意知三片=*解得心41k112或将.于是直线/的斜率为=匕-上，解得A = 力所以满足条件的直线/存在,4hk1233且有两条，其方程分别为y = 51和,，=一51, 乙乙【点评】引入直线M4的斜率仁，则A、B、D、E的坐标都能用4去表示，进而用人表示员，由Jl = 1Z得到有关的方程，该方程有解，则点A存在，从而直线/存在，否则点AS2 S2 32不存在，直线/也不存在.模块2练习巩固整合提升r*练习1：在直角坐标系xOy中，曲线C： y =与直线 =奴+。（a0）交于历、N 4两点.（1）当A =0时，分别求C在点M和N处的切线方程：（2） y轴上是否存在点P,使得当4变动时，

12、总有NOPW=NO/W?说明理由.【解析】（1）不妨设M（2,a）, -2as.因为了 =9，所以尸.在x = 2&处 24的导数值为所以C在M（2而.）处的切线方程为y-.=石1-2&）,即2Rx-y-a = 0 . y = :在x = -26处的导数值为一所以C在N（-2尤,。）处的切线方程为3，_ = _而卜+ 26）,即、+），+ “ = 0.所以C在点M和N处的切线方程为 y/ax - y - a = 0 或 y/ax + y + a = 0 .（2）存在符合题意的点.设点P（0,）为符合题意得点，M（内,兄），N（巧,h）,直线PM、PN的斜率分别为人、力一 % _2白&+(“ 一

13、 )(+4)y = kx + a联立，/，消去y，可得%2-4一4=0,所以玉+%=伏，x1x2 = -4a ,于是k+k? =2A (-4a) + (a -b)(42) k(a + b).当人=一4时，有勺+勺=0,则直线AW的倾斜角与直线/W的倾斜角互补，所以NOPM=/OPN,所以0（0,一。）符合题意.练习 2：如图，C：二 十 二=1（ab0）的q- lr顶点为A、&、&、厚，焦点为石、尼，|A3j = J7,（1）求椭圆。的方程;（2）设是过原点的直线，/是与垂直相交于尸点、BxABzA2 x与椭圆相交于A、3两点的直线，O户=1，是否存在上述直线/,使丽 丽=1成立？若存在，求出

14、直线/的方程：若不存在，请说明理由.【解析】（1）由|4用=J7可得求+/?2 = 7 ,由%&% = 2s6/论巴可得。=2c ,又因为22a2=b2+c解得=4, =3,所以椭圆c的方程为J + = = L43设A,yJ、当/垂直于x轴时，P点就是右焦点（1,0）,此时A户直线/不满足条件.当/不垂直于x轴时，设/的方程为丁 =+机.由/与垂直相交于2点且OP=1可得J =1,即阳2=公+ 1 ,因为 Q.而=1且OP =1,所以。41.03,于是内心+必必=0 .由J1 +公x* ）厂彳+ 7 = 1消去了可得（3 + 4公卜2+8也a+ 4加12 = 0,于是占+&=是 y = kx

15、+ mxx-=, 于是+ 刈 =%x) +(kxi=+ 1)耳为 +km(x +x) + P3 + 4K-/. y 4， -12 f=(K +1)- + km I )3 +4k28km3 + 4?+/=0,即7/一1222-12 = 0.因为方程组7 一 12K 一口 二 无解，所以不存在满足条件的直线/. nr = K +1综上所述，不存在直线/,使AP,3 = 1成立.练习3:已知定点A（T,0）,尸（2,0）,定直线/： x = 1,不在x轴上的动点户与点厂的距离是它到直线/的距离的2倍.设点夕的轨迹为E,过点尸的直线交E于区、C两点，直线AB、AC分别交/于点M、N .(1)求E的方程

16、；(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标：若不存在, 说明理由.【解析】设尸(内)，依题意有2)2+)?=2 x -1，化简可得/ -=1 (尸0 ).(2)法1：假设以线段为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x轴上，设x = my + 2设直线BC的方程为x = ?y + 2,由、中 ,消去x可得X - = 13(3机2 7)* +y+ 9 = 0,由题意知3加1 = 0.设6(4X),。(4，出)，则x + %=3，y力=/因为直线筋的方程为y =匚(入+1)，所以点的坐 3厂 一 13厂 1xA +13y标为7 ，12 2(xt + l)J同理N12 2

17、(x2+1)J,于是DV/= D、122(x1+l)JDN=122( + l)J 1.由。M W = 0可得一一I12+”=0,即4(%+1)(犬 + 1)、81(I-1 +r-=0,即+1JM-1 =o,即24厂)1乃+3/(片+为)+ 912 J 9 _ 36厂93m2 1 3nr -1,1 丫 Q- = 0,解得7 = 2或1 = 一1,所以以线段为直径的圆过定点(2,0)和(1.0).法2：假设以线段MN为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x釉上.若垂直 于X轴，则8(2,3),直线钻方程为y = x+l,所以点M坐标为，9),此时以MN为直径1的圆的方程为A- 2+3、y + - =0,该圆与x轴交于点2(2.0)和。2(to).Z 7进行验证.x = my + 2设直线3c的方程为1=冲+ 2,由,消去X可得(3加1尸+ 12冲+ 9 = 0,