最新初中数学动态几何探究题汇总大全

1、最新初中数学动态几何探究题汇总大全【题型特征】以几何知识为主体的综合题，简称几何综合题，主要研究图形中点与线之间白位置关系、数量关系，以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心，以圆为重点，常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.【解题策略】解答几何综合题应注意：(1)注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.【小结】几何计算型综合问题，是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要

2、特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决.【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是，在近年各地的中考试题中，几何论证型综合题的难度普遍下降，出现了一大批探索性试题，根据新课标的要求，减少几何中推理论证的难度，加强探索性训练，将成为几何论证型综合题命题的新趋势.为了复习方便，我们将几何综合题分为：以三角形为背景的综合题；以四边形为背景

3、的综合题；以圆为背景的综合题.类型1操作探究题1.在RtABC中，/C=90°,RtABC绕点A顺时针旋转到RtADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD,过点D作DF,AC于点F.(1)如图1,若点F与点A重合，求证：AC=BC;(2)若/DAF=/DBA.如图2,当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由;当点F在线段CA上时，设BE=x,请用含x的代数式表示线段AF.解：(1)证明：由旋转得，/BAO/BADDFLAC,/ CAD=90°./ BAG=/BAD=45°./ACB=90°,/ABC=45°.AC

4、=BC.(2)AF=BE.理由：由旋转得AD=AB,/ABD=/ADB. ./DAF=/ABD1/DAF=ZADB.AF/BD./.ZBAC=ZABD. ./ABD=/FAD由旋车专得/BAC=/BAD.，/FAD=/BAC=/BAD=1/3X180°=60°.由旋转得，AB=AD.ABD是等边三角形.，AD=BD.在AFD和ABED中：1./F=./BED=90;2.AD=BD;3.ZFAD=/EBD.AF®BED(AAS).AF=BE.如图由旋转得/BAC=ZBAD. /ABD=/FAD=/BAO/BAD=2/BAD由旋转得AD=AB,/ABD=/ADB=2/

5、BAD. /BA>/AB*/ADB=180°,，/BA>2/BAA2/BAD=180°./BAD=36°.设BAa,作BG平分/ABD/BAD=/GBD=36°.AG=BG=BD=a.DG=AD-AG=AD-BG=AD-BD. ./BDG=/ADBBD6ADB.BD/AD=DG/DB.1.BD/AD=（AD-BD）/BD，AD/BD=（1+根号5）/2。 ./FAD=/EBD/AFD=/BEDAFABED.BD/AD=BE/AF.，AF=BD/AD-BE=（1+根号5）/2*x.2.如图1,点O是正方形ABCLM对角线的交点，分别延长OD到点

6、G,OC到点E,使OG=2ODOE=2OC然后以OGOE为邻边作正方形OEFG连接AGDE.G图1E航求证：DELAQ(2)正方形ABCDK定，将正方形OEF磷点O逆时针旋转口角(0°va<360°)得到正方形OEF'G',如图2.在旋转过程中，当/OAG是直角时，求a的度数；若正方形ABCD勺边长为1,在旋转过程中，求AF'长的最大值和此时a的度数，直接写出结果不必说明理由.解：(1)证明：延长ED交AG于点H,点O是正方形ABCLM对角线的交点，.OA=ODOALOD.在AOGADOE中,1.OA=OD2./AOG=ZDOE=90°

7、;3.OG=OEAO®DOE.1./AGO=/DEO. /AGO/GAO=90°,GAG/DE(壬90°.，/AHE=90°,即DE±AG.(2)在旋转过程中，/OAG成为直角有两种情况：(I)”由0°增大到90°过程中，当/OAG=90°时， .OA=OD=1/2*OG=1/2*OG', 在RtOAG中,sin/AGO=OA/OG=1/2 ./AGO=30°.OALODOALAG',.OD/AG. ./DOG=/AGO=30°,即a=30°.(n)a由90°

8、增大到180°过程中，当/OAG=90°时，同理可求/BOG=30°，.=“=180°30°=150°.综上所述，当/OAG=90°时，a=30°或150°.AF'的最大值为2分子根号2+2,此时a=315°.提示：如图FlSu力4II/1jI当旋转到A,O,F'在一条直线上时，AF'的长最大， 正方形ABCM边长为1,.OA=OD=OC=OB=2分子根号2.,.OG=2OD，OG=OG=.OOF'=2.AF'=A»OF'=2分子根号2+

9、2./COE=45°,.此时a=315°.3.如图，矩形ABCD43,AB=4,AA3,M是边CD上一点，将ADM&直线AM寸折，彳#到4ANM.(1)当AN平分/MAB寸，求DM的长；(2)连接BN当DW1时，求ABN的面积；当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值.解：(1)由折叠可知AN阵ADM/MAN=/DAM.AN平分/MAB/MAN=/NAB./DA时/MAN=/NAB.四边形ABCD矩形，/DAB=90°./DA时30°.DM=AD-tan/DAM=3X3分子根号3=根号3。(2)如图1,延长MNAB延长线于点Q.四边形ABCD

10、矩形,AB/DC./DMA=/MAQ.由折叠可知AN晔ADM/DMA=/AMQAN=AD=3,MN=MD=1./MA=/AMQ.MQ=AQ.设NQ=x,则AQ=MQ=1+x.在RtANC,AQ2=AN平方+NQ平方，(x+1)平方=3的平方+x的平方.解得x=4.，NQ=4,AQ=5. .AB=4,AQ=5, .SANAB=4/5*S,ANAO4/51/2-AN-NQ=24/5.如图2,过点A作AFUBF于点H,则ABMBFG.BH/AH=CF/BC. AhKAN=3,AB=4,当点N,H重合（即AH=AN）时，DF最大.（AH最大，BH最小，CF最小，DF最大）此日M,F重合，B,N,M三点

11、共线，ABHABFC（如图3）,卜.（丽=出中一山=守一乎=也二DF的最大值为4根号7图2类型2动态探究题4.（2016自贡）已知矩形ABCD勺一条边AD=8,将矢I形ABC所叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.图I网2如图1,已知折痕与边BC交于点Q连接AP,OPOA若OC*4PDA的面积比为1：4,求边CD的长；（2）如图2,在（1）的条件下，擦去折痕AO线段OP连接BP.动点M在线段AP上（点M与点巳A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM连接MNPB于点F,彳M吐BP于点E.试问当动点MN在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律.若不变，求出线段EF

12、的长度.解：二.四边形ABC比矩形，/C=/D-90°. /AP>/DAA90°.由折叠可得/APO=ZB=90°, /APA/CPO=90°./CPO=/DAP.又.一/D=/C,OCmPDA./AOCFPDA的面积比为1：4,设OP=x,则CO=8-x.在RtPCO中，ZC=90°,由勾股定理得屋二（g-x+军(1)当x为何值时，OPLAP?(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)在点P的运动过程中，是否存在x,使OCM勺面积与/ABP的面积之和等于EMP勺面积.若存在，请求值；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意知O

13、A=BC=5,AB=OG=2,/B=/OCM=90°,BC/OA. OPLAP, /OPGF/APB=/APB/PAB=90°./OPG=/PAB.OP6PAB.CP_OCsnx_2'ABPB即丁齐？解得x1=4,x2=1(不合题意，舍去).当x=4时，OPLAP.(2)1.BG/OA/GPO/AOP./AOP=/COM1/GOIM=/GPO./OGM=/PGOOGMhPGO.CMCOsr,xy_2tc6cp，即2X.y=x4/x(2<x<5).存在x符合题意.过点E作ED±OA于点D,交MPT点F,则D已AB=2.OCMWABP面积之和等于E

14、MM面积，SAEOA=S矩形OABC=2X5=1/2-5ED.ED=4,EF=2.PM/OAEMPEOA.-EDOA即45-解得y=5/2.，由尸L比得X一xx2解得知=让等，制=蛆不合题意舍去).44二在点P的运动过程中,存在上=-使AOCMAABP面积之手喀于AESIP的面积.46 .如图1,矩形ABCM两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8,AB=6.如图2,矩形ABCDgOB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCM边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCDF口点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒.当t=5

15、时，请直接写出点D,点P的坐标；(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围;(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE±x轴，垂足为点E,当PEO430目似时，求出相应的t值.解：(1)D(4,3),P(-12,8).(2)当点P在边AB上时，BP=6-t.S=0.5BP-AD=0.5(6-t)-8=-4t+24.当点P在边BC上时，BP=t-6.S=0.5BPAB=0.5(t6)6=3t18.-4t+24(QWtWE)，ft-18(&.(3),D(一*，5，当点P在边AB上时，p(-&T劣.555当先费

16、，Ff?解得6LTo5或当压得寸亡解得£t65，=20时点P不在边AB上，不合题意.当点P在边BC上时？P(-14+工今+6).33当些二事寸，解得t=6若鼻强寸，,解得=也一OEBC14一:8OECDJ乜一a61355二飞WtW14?Jt=总寸，点P不在边RC上，不合题意一'.当工=6时APEO与BCD相似.类型3类比探究题7 .如图1,在正方形ABCD43,P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE,PE交CD于点F.(1)求证：PC=PE;(2)求/CPE的度数；如图2,把正方形ABC改为菱形ABCD其他条件不变，当/ABC=120°时，连接C

17、E试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.解：(1)证明：在正方形ABCM,AB=BC,/ABP=/CBP=45°,在ABP和CBP中，1.AB=BC;2.PB=PB;3./ABP=/CBPAB眸CBP(SAS).PA=PC.又PA=PEPC=PE.(2)由(1)知，AB眸CBPBAP=/BCP.ZDAP=/DCP. PA=PE,/DAP=/E.DCP=/E. /CFP=/EFD(对顶角相等)， .180°-ZPFO/PCF=180°-ZDFE-/E,即/CPF=/EDF=90°.在菱形ABCD43,AB=BC,ZABP=/CBP=60°

18、;,在ABP和CBP中，1.AB=BC;2.PB=PB;3./ABP=ZCBP.AB眸CBP(SAS).PA=PC,/BAP=/BCP. PA=PE,.1.PC=PE.，/DAP=ZDCP. PA=PE,/DAP=/AEP. ./DCP=/AEP. /CFP=/EFD(对顶角相等)， .180°-ZPFO/PCF=180°-ZDFE-ZAEP即/CPF=/EDF=180°/ADG=180°120°=60°. .EPC是等边三角形.PC=CE.AP=CE.8.已知AC,EC分别为四边形ABCDF口EFCG勺对角线，点E在ABC内，/CA

19、曰/CBE=90如图1,当四边形ABCMEFCG匀为正方形时，连接BF.求证：CACBF若BE=1,AE=2,求CE的长；(2)如图2,当四边形ABCDEFCG匀为矩形，且AB/BC=EF/FC=k时，若BE=1,AE=2,CE=3,求k的值；如图3,当四边形ABCDEFCG匀为菱形，且/DAB=/GEF=45°时，设BE=m,AE=n,CE=p,试探究mn,p三者之间满足的等量关系.(直接写出结果，不必写出解答过程)解：(1)证明：二.四边形ABCDF口EFCG匀为正方形，./ACB=45°,/ECF=45°./ACB-/ECB=/ECF-/ECB即/ACE=/

20、BCF.CACBF.:CAECBF7,./CAE=/CBF,AE/BF=根号2.BF=*R号2.又/CA曰/CBE=90°,/CB斗ZCBE=90°,即/EBF=90°.,CE:=2EF-=2tBE:+37-6.解得CEMR号6.(2)连接BF,AB/BC=EF/FC=k,/CFE=/CBA.CF匕CBA./ECF=/ACBCE/CF=AC/BC./AC9/BCF.，AC匕BCF.，/CA9/CBF./CA曰/CB990°,.CB斗/CB990°,即/EBF=90°，；.BC：AB：AC=1：k：*+,CF：EF：EC=1：ACBCA

21、EBF二*+L-,-BF=fe'露3詈显=争二3-Ua+Ft）解得仁华一（3万一加=2+例nfk*k*4-14题型2与圆有关的几何综合题E,9.(2016成都)如图，在RtABC中，/ABG=90°,以CB为半径作。C,交AC于点D,交AC的延长线于点连接ED,BE.(1)求证：ABDAEB(2)当BC(AB)=3(4)时，求tanE;在(2)的条件下，作/BAC的平分线，与BE交于点F,若AF=2,求OC的半径.解：（1）证明：./ABC=90°,.ABD=90°-ZDBC.DE是直径， ./DBE=90° ./E=90°-ZBDE.

22、 BC=CD.DBC=/BDE. ./ABD=/E. ./BAD=/DABABDAEB.(2)'.AB：BC=4：3，设AB=4k，BC=3k./.AC-AB:+BC=-5k/BC-CD=3k，.AD-AC-CD=2k.'?AABDAAEB/,独=迎=毁.AB：=ADAE.二=址AE=.AE=8kAEABBE在加DBE中“4岸会=g4(3以点F作FI1AE于点M由(2冻a，AB=4fc，BC=3k，AD=2k，AC=5k，则AE=8k,DE=6k.?AF平分NBAC，.除A£T=BFeAB：MF年.海斗；ME=2MF=g.AM=AE*=削，g乎二0c的半径为3y平一1

23、0.如图，在RtABC中，ZABG=90°,AC的垂直平分线分别与AGBC及AB的延长线相交于点D,E,F.。0是BEF的外接圆，/EBF的平分线交EF于点G,交。于点H,连接BD,FH.(1)试判断BD与。0的位置关系，并说明理由;(2)当AB=BE=1时，求。0的面积；在(2)的条件下，求HG-HB的值.解：(1)直线BD与。0相切.理由：连接0B.BD是RtABC斜边上的中线，DB=DC.DBC=/C.1-0B=0EOBm/OEB.又./OEB=/CEDOBE=/CED.DF，AC,CDE=90°.C+/CED=90°.DBO/OBE=90°.BD

24、与。O相切.(2)连接AE.在RtABE中，AB=BE=1,.人£=根号2.DF垂直平分AC,CE=AE=*R号2.BC=1+根号2.,/C+/CAB=90°,/DFA/CAB=90°,./ACB=/DFA.又/CBA=/FBE=90°,AB=BE,CA整FEB.BF-BC=1+P+。+馅=4+2事一(3)AB=BE,/ABE=90°,，/AEB=45°. EA=EC,.C=22.5°.，/H=/BEG=ZCED=90°22.5°=67.5 BH平分/CBF, ./EBG=/HBF=45°. .

25、/BGE=/BFH=67.5°.ABG=BE=1BH=BF=l+2.JHBHG=a/2X(1+)=2+a/5.11.如图，在ACE中，CA=CE/CAE=30°,OO经过点C,且圆白直径AB在线段AE上.试说明CE是。O的切线；(2)若4ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示。O的直径AB;设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD当1/2CD+OD的最小值为6时，求。O的直径AB的长.解：（1）证明：连接OC. CA=CE,/CAE=30°,，/E=ZCAE=30°,ZCOE=2/A=60°. ./OCE=90°. .

26、CE是。O的切线.I点C作CH1AB于点H，由题可得CH=h.在RiAOHC申，CH=0Cm/8H，/.h=OCnM60>=OCB祚OF平分/AOC交00于点“连接AF，CFDF®jZAOF=ZCOF=ZAOC=ix(lSO*-60")=50*.22;，OA=Or=O，；,AAOF-GCOf是等边三龟形.'.AF=AO=OC=FC;四边形AOCF是菱形.工根据对称性可谓DXDOJB点D作DXLLOC干点V，VOA=OC*Z,ZOCA=ZOAC=30°./.DM-DCj/nZDCM=DC0*=DC.D+OD=DM+FD.根据两点之或&段

27、4;短可得：当F，DM三点共?舸，DM+FD(即+。口漏小北时FM=QFm/FOV=*OFairEP=6'则Cff=4而，AB=2OF=83S|cD+OD的最小值为“寸，。的直控AB的长为列5.12.如图，已知AB是。的直径，BP是。O的弦，弦CC±AB于点F,交BP于点G,E在CD的反向延长线上,EG(1)求证：直线EP为。的切线；(2)点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF-BO试证明B8PG在满足(2)的条件下，已知。O的半径为3,sinB=根号3/3,求弦CD的长.解：(1)证明：连接OP.EP=EG/EGP=/EGP,又/EGP=/BGF，/EP&

28、;/BGF,OP=OB,，/OPB=/OBP.CDLAB,./BG斗/OBP=90°.ZEPOZOPB=90°,即/EP890°,，直线EP为。的切线.(2)证明：连接OGAP.BG2=BF-BQ，BG/BaBF/BG又/GB已/OBG.BFSBGO.BGF=/BOG/BGO=/BFG=90°./APB=ZOGB=90°,OG/AP.又AO=BQBG=PG.(3涟接AC，BC.苴，。叁苴，,00二卷一3OB3由。渭NEPG+/OPB=90*ZB4-ZBGF=ZOGF+ZBC*G=90°，又NBGF=NBOGNB=/OGKJ.sj>

29、;:ZOGF=y=-J,OF=l./.BF=BO-0F=3-1=2'FA=OF+OA=1+3=4.在RiABCA中，CF2=BFFA>.CF=-FFA=X4=2-.；,CD=2CF=4-.13.如图，在AOB中，/AO斯直角，OA=6,OB=8,半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒(0vtW5)以P为圆心，PA长为半彳5的。P与AB,OA的交点分别为C,D,连接CDQC.(1)当t为何值时，点Q与点D重合？(2)当。Q经过点A时，求。P被OB截得的弦长；若。P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围.解:在RtAAOB中，0A=6，0B=8>.AB=/OA2