2020年高中数学必备考试技能之套用18个解题模板之模板03函数的零点问题(解析版)

1、高中数学必备考试技能之套用18个解题模板”原创精品【2020版】模板三：函数的零点问题模板构建利用零点存在性定理可以根据函数y=f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间种方法适用于不需要确定零点的具体值，只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为：堇区间-璃定函较y =定/喊.内两宴伊区间工.值 卜 i引一判断.必/ 的舒号,能德一事出事最在区间U编国抵妁事敏单若ftGNbkuJU晶用在小上至少有一个窣点；若 打加阻青豆上逑过我，在鱼找到清尾"G/X&K0的的僮(2020 湖北省高三二模)若函数f (x) ex x2ax1在区间1,2内有且仅有一个零点,典型例题

2、试题解析的取值范围是(a.H25 e2C-(5-,2则实数ae)B.,2 eD. 1522e ,2 e21 e . 、1 e令f(x) 0,即e x ax 1 0,分离参数可得 a x ，令g(x) x 一，则 x xx xg'(x)(x 1 ex)(x 1)x 0时 h(x)当 x 1,2时,一个零点，所以h(0)g(2)，令 h(x)0,所以当1g(x) g(1),2ea 2 e,2x 2 时 g'(x)xh'(x) 1 e ,当 x 0时 h (x)0,所以函数g(x)在(1,2)上单调递减，所以.5 e2即5-e- g(x) 2 e,又函数f(x)在区间1,2内

3、有且仅有5 e2故实数a的取值范围是,2 e,故选D.2题后反思本题主要考查了函数的导数与函数零点间的关系，具有一定的综合性，此题通过分离参数将函数零点问题转化为求函数值域问题，最大的难点在于导函数与0的关系需要进一步对导函数再次进行求导.针对训练*举一反三1. （ 2020北京首都师大二附高三三模）已知函数f(x)2xln x(x 0),且关于x的方程f(x) x a 0(x 0)有且只有一个实数根，则实数a的取值范围（A. 0,)B. (1,C.(0,D. ,1)a只有一个交点，作出图象如图,由图可知，a 1,故选：B.2. （2020宁夏回族自治区高三二模）已知函数一、ix，f(x)x2

4、 4x1,函数F(x) f(x) b有四个 0不同的零点xi, x2 , x3, x4,且满足：2乂2乂3人，则Xix34*2-一的值是（）A.4?B.3?C.2D.1【答案】A【解析】F(x) f(x) b有四个不同的零点xi, X2, X3, X4就是y f (x), y b图象交点横坐标，作出f(x)的函数图象如图所示：由图象知x1 x24,lOg3% lOg3 x4乂34 1 ,x.x24, Xx2，I 一， -4 .故2的值是-4.故选：A.*3*41*3x410gl x, x 033. (2020内蒙古自治区高三二模)已知函数 f(x) i x ,若关于x的方程ff(x) 0有且只

5、a ,x 03有一个实数根，则实数a的取值范围是()A. (,0)U(0,1)B. (,0)(1,)C. (,0)D. (0,1)(1,)【解析】设t f x ，则f t 0有且只有个实数根.0 ,由 f t 0 即 10g1t 0 ,解得 t 1,结合图象可知，此时当t 1时，得f x 1 ,xI .一 1当a 0时，此时当x 0时，f x a - 3则x是唯一解，满足题意；30,此时函数有无数个零点，不符合题意;x1当a 0时，当x 0时，f x a 13a, ,此时f x最小值为a ,0有且只有一个实数根，此时 a 1结合图象可知，要使得关于x的方程f f (x)综上所述：a 0或a 1

6、 .故选:A.4. （2020湖南省高三三模）已知函数f （x） sin x3,1 0）,f（X）攵在区间对于下列4个结论：在区间0,上存在Xi ,X2 ,满足X1f x22； .有1个最大值点；. f X在区间0,一上单调递增;1511 5的取值范围是，56 20, 上有且仅有2个零点,f x在区间0, 有且仅,其中所有正确结论的编号是（）B.D.【解析】Qx 0,由题意136因为zsin z3,上只能有两解136，故在（0,17,、,(*)6一上必有sin 一3sin 22）上存在Xi, X2满足f一开对应的X （显然在 0, 2X值有可能在Xi上）0,f X22 , 成立;定是最大值点,

7、上，故，结论错误;（*）得最52 ,所以二成立;z 一,一 ,3 15 3由于11652,故 z 3, 153此时sinz是增函数，从而 f x在0,而上单调递增.所以成立综上，成立，故选：B.5. (2020 全国高三二模)已知函数 f(x) cosx与 g(x) sin(2x )(0,)的图象有一个横坐标为 一31的交点，若函数 g(x)的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的,倍后，得到的函数在0,2 有且仅有5个零点，则的取值范围是()29 35A ., 24 2429 35 B., 24 2429 35C.,24 2429 35 D.,24 24【解析】已知 f(x) cosx与 g(x

8、) sin(2x )(0,.2 cos sin ,33)的图象有一个横坐标为 一的交点，则322525Q , -33336 '6g(x) sin 2x -若函数g(x)图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1一倍，则 y sin 2所以当 x? 0,2 时，2 x ,4666Q f(x)在0,2 有且仅有5个零点， 5 , 4292435一.故选：A.246. (2020浙江省高三二模)已知函数f x2ax1, xlnx, x> 0,下列关于函数 f f x m 0的零点个数的判断，正确的是(A .当 a= 0,m，R时，有且只有1个B.当 a>0,mw1时，者B有3个C.当

9、a<0,m< - 1时，都有4个D.当 a<0,-1 v m< 0时，都有4个【解析】令t0时,若m 1,则t 0或t e,即当m R时，不是有且只有1个零点，故A错误;0时,m 1时，可得t 0或t em e,可得x的个数为1 2 3个，即B正确;1或1 m 0时，由m0,且 m 1,可得零点的个数为1个或3个，故C, D错误.故选：B.7.(2020湖北省高三二模)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且满足f (x) f (2 x),当x 0,1时,一，、 一 x 4 .f(x) x,则函数F(x) f (x) 在区间9,10上零点的个数为()1 2xA. 9B.

10、 10C. 18D. 20x 4x 4【解析】函数 F (x) =f (x)在区间9,10上零点的个数等价于函数f (x)与g (x)图象在9,10上交点的个数， 由f (x) = f (2 -x),得函数f (x)图象关于x= 1对称, ，f (x)为偶函数，取 x= x+2,可得f (x+2) =f ( - x) = f (x),得函数周期为2.又.当 x，0,1时,f(x)=x,且 f(x)为偶函数，当x. 1, 0时，f(x)=- x,x 4 x 419g (x),1 2x 2x 12 4x 2作出函数f (x)与g (x)的图象如图:由图可知，两函数图象共 10个交点，x 4,即函数

11、F (x) =f (x) 上4在区间9,10上零点的个数为10.故选：B.8. (2020江苏省高三三模)设函数 f(x) x2 2ax b 2x,若函数y f(x)与函数y f(f(x)都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a的取值范围是 .4x 1【答案】(-2, 0【解析】假设 劭既是y f (x)的零点，也是y f (f(x)的零点,则 f (Xo) 0, f(f(X。) 0,即 f (0) 0,则 b=0,2f(x) x 2ax,令 f (x) 0 ,解得 xi 0 , x2 2a , f(f(x) 0,解得 f(x) 0或 f (x) 2a, 当a=0时，符合题意; 当awo时，方

12、程f(x) 2a无解，即方程x2 2ax 2a 0无解， 4a2 4( 2a) 0,解得 2 a 0,综上所述，-2 v aw瞰答案为：(2,09. (2020宁夏回族自治区高三二模)已知f(x)是奇函数并且是 R上的单调函数，若函数24 ,y f x 2 f 2x m只有一个零点，则函数g(x) mx (x 1)的取小值为 x 1【答案】5【解析】由题，f x2 22f 2x m 0只有一个零点，故f x 2f 2x m ,又f (x)是奇函数并且是R上的单调函数故 f x2 2f 2x m ,x2 2 2x m2x 2x 2 m0仅有一个零点41 2.x 14x 1- x 11 5，当且仅当x 1故 2242m0 m 1.取得等号.故答案为：50,若存在实数k,使得函数y02-x 2 ax a , x10. (2020江苏省高三二模)已知函数f x x 1e ex 2a , xx 3有6个零点，则实数a的取值范围为 .3 一【答案】,32【解析】由题得函数y f(x)的图象和直线y k有六个交点.显然有a 0, a a2 0.f(x) e 1a2, f (x) e (x2 1), (x 0), x 3x1 2所以函数在(0