2020-2021中考数学圆的综合(大题培优)附答案解析

1、2020-2021中考数学圆的综合(大题培优)附答案解析一、圆的综合1 .如图，4ABC是。的内接三角形，点 合)，且四边形 BDCE为菱形.uuu .D在BC上，点E在弦AB上(E不与A重(1)求证：AC=CE(2)求证：BG - AC2=AB?AC；(3)已知OO的半径为3.AB 5.若=-,求BC的长；AC 3AB当为何值时，AB?AC的值最大?ACD3【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)BC=4后；一2【解析】分析：(1)由菱形知 /D=/BEC,由 / A+/D=/BEC+Z AEC=180 可得 / A=/AEC,据此得 证；(2)以点C为圆心，CE长为半径作OC,与

2、BC交于点F,于BC延长线交于点 G,则 _ . BE BG ndCF=CG=AC=CE=CDffiBEMBGA 得 ,即 BF?BG=BE?AB 将 BF=BC-CF=BC-BF BAAG BG=BC+CG=BC+A伏入可得；(3)设 AB=5k、AC=3k,由 BCAC2=AB?AC知 BC=276 k,连接 ED交 BC于点 M,1-:_RtA DMC 中由 DC=AC=3k MC=2BC=V6k 求得 DM=4cd2 CM 2 =3 k,可知 OM=OD-DM=3-£k,在 RtCOM 中，由 OM2+MC2=OC2可得答案. 设 OM=d ,则 MD=3-d ,MC2=Od

3、-OM2=9-d2,继而知 BC2= (2MC) 2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2= (3-d) 2+9-d2,由(2)得AB?AC=BC-AC2,据此得出关于 d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案.详解：(1)二.四边形EBDC为菱形，/ D=Z BEC四边形ABDC是圆的内接四边形,/ A+Z D=180 ,°又/ BEC+Z AEC=180,/ A=Z AEC,.AC=CEG,则(2)以点C为圆心，CE长为半径作OC,与BC交于点F,于BC延长线交于点CF=CG由（1）知 AC=CE=CD.CF=CG=AC四边形AEFG是。C的内接四边形,/ G+Z AEF

4、=180 , °又 / AEF+/ BEF=180,/ G=Z BEF, / EBF=Z GBA, .BEFBGA,BE BG 目口 ,即 BF?BG=BE?ABBF BA BF=BC- CF=BO AC BG=BC+CG=BC+AC BE=CE=AC （BC- AC） （ BC+AC =AB?AC,即 BC2 - AC2=AB?AC;（3）设 AB=5k、AC=3k, BC2 - AC2=AB?AC,BC=2,6 k,连接ED交BC于点M, 四边形BDCE是菱形， DE垂直平分BC,则点E、O、M、D共线，在 RtA DMC 中,DC=AC=3k MC=1 BC=T6 k2 -DM

5、= CD2 CM 2、3k,.OM=OD- DM=3 - 73k,在 RtACOM 中，由 OM2+MC2=OC2得（3 k） 2+ （店 k） 2=32,解得：k=2百或k=0 （舍），3.BC=2、6 k=4 .2 ；设 OM=d,则 MD=3 - d, MC2=OC2 - OM2=9 - d2, BC2= (2MC) 2=36 - 4d2,AC2=DC2=DM2+CM2= (3-d) 2+9-d2, 由(2)得 AB?AC=BC AC2 =-4d2+6d+182 812+ 4. 3、=4 (d )43 当 d=-,即4381OM=_时，AB?AC最大，最大值为 81 ,44DC2=,2.

6、AC=DC=36 ,2，AB=9l,此时空4AC点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性 质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点.2.如图，AB是半圆的直径，过圆心 。作AB的垂线，与弦 AC的延长线交于点 D,点E在OD 上 DCE B .（1）求证：CE是半圆的切线；22）若CD=10, tanB求半圆的半径.3【答案】（1）见解析；（2） 4 加【解析】分析：（1）连接CO,由 DCEB且OC=OB,导 DCEOCB ,利用同角的余角相等判断出/BCO+Z BCE=90,即可得出结论；（2）设AC=2x,由根据题目条件用 x分

7、别表示出OA、AD、AB,通过证明AODACB） 列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接 CO.D. AB是半圆的直径，/ ACB=90 :/ DCB=180 -°Z ACB=90 : / DCE+Z BCE=90.,.OC=OB,/ OCB=Z B.DCE= B,/ OCB=Z DCE/ OCE=Z DCB=90 : OCX CE .OC是半径， .CE是半圆的切线.(2)解：设 AC=2x, .在 RtACB中，tanBBC=3x.22AB 2x 3x .ODXAB,/ AOD=ZACB=90.°/ A=Z A, .AODMCB,AC AO.AB AD OA 1 A

8、B W3x.22AC 2BC 313x.AD=2x+10,2x13x解得x=8.2自2x 108 4 .13 .则半圆的半径为4.13.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形cRA作A 33.图1和图2,半圆O的直径AB=2,点P （不与点A, B重合）为半圆上一点，将图形延 BP折叠，分别得到点 A,。的对称点A', O',设/ABP=a.时；BA'与半圆O相切.当a=时，。点O'落在周上.O只有一个公共点 B时，求a的取值范围.(2)当BA'与半圆相切时，可知 OB，A' H则可知a =45；当O'在上"上

9、时，连接AO,则可知(3)1BO =AB,利用(2)得出满足条件的可求得/ O' BA=60可求得a =30；可知当a =30时，线段O' B与圆交于O',当a =45时交于点B,结合题意可 a的范围.却（1）当a =15时,过点 由.（2）如图2,当“二（3）当线段BO与半圆【答案】（1） A右半圆O相切；理由见解析；（2） 45； 30； （3） 0°< a< 30°或45° W”<90°.【解析】试题分析：（1）过。作OD,A什点D,交A行点E,利用含30°角的直角三角形的性 1 11质可求得 D

10、E+OE=A' B=AB=OA,可判定 A g半圆相切；试题解析：（1）相切，理由如下：如图1,过。作OD过。作ODLA'空点D,交A' B于点E,4DP周口a =15, A' / AB, /ABAZCA' B=3 0 .DE= 'A，£ OE=BE,1，DO=DE+OE= (A，E+BE2 AB=oa, A'与半圆。相切；(2)当BA'与半圆。相切时，则 OB，BA', / OBA' =2 a =90 °.a =45 °当O'在留上时，如图2,1连接AO ,则可知BO'

11、;弘B, / 0, AB=30 ° ./ABO' =60 °=30, °(3)二.点 P, A 不重合，a>0,由(2)可知当a增大到30°时，点O'在半圆上，.当0°v a< 30时点。'在半圆内，线段 BO与半圆只有一个公共点B;当a增大到450时BA'与半圆相切，即线段 BO与半圆只有一个公共点 B. 当“继续增大时，点 P逐渐靠近点B,但是点P, B不重合， a< 90 :当45 ° WB0线段BO与半圆只有一个公共点 B.综上所述 0°< a<30

12、76;或 45° wq90°.考点：圆的综合题.的中4.如图，已知4ABC内接于。O, AB是。的直径，点 F在。上，且点 C是 点，过点C作。的切线交AB的延长线于点 D,交AF的延长线于点 E.(1)求证：AE± DE;(2)若/BAF=60, AF=4,求 CE的长.D JT 5 li【答案】（1）证明见解析；（2） 2VH【解析】 试题分析：（1）首先连接 OC,由OC=OA 知二斤，易证得OC/ AE,又由DE切。O于 点C,易证得AE± DE;（2）由AB是。的直径，可得4ABC是直角三角形，易得 4AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的

13、长，然后连接 OF,可得4OAF为等边三角形，知 AF=OA=AB,在4ACB 中，利用已知条件求得答案.试题解析：（1）证明：连接OC,.OC=OA,Z BAC=Z OCA,Z BAC=Z EACZ EAC玄 OCA, .OC/ AE,.DE切。O于点C, OCX DE, AEXDE;(2)解：.AB是。的直径， .ABC是直角三角形， / CBA=60 ,°/ BAC=Z EAC=30 , ° AEC为直角三角形，AE=3, .AC=2,连接OF,. OF=OA, /OAF=/ BAC+/ EAC=60 , .OAF为等边三角形，1，AF=OA= AB,在 RtA AC

14、B 中,AC=2J3, tan / CBA=P,BC=2, .AB=4, .AF=2.考点：切线的性质.5.阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半先构造 辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。解决问题：如图，点 A与点B的坐标分别是(1,0), (5, 0),点P是该直角坐标系内 的一个动点.(1)使/APB=30的点P有 个；(2)若点P在y轴正半轴上，且/APB=30,求满足条件的点 P的坐标；(3)设sin/APB=m,若点P在y轴上移动时，满足条件的点P有4个，求m的取值范 围

15、.【答案】(1)无数；(2) (0, 23 %7)或(0, 2石 77); ( 3) 0< m< 2 .3【解析】试题分析：(1)已知点A、点B是定点，要使Z APB=30°,只需点P在过点A、点B的圆 上，且弧AB所对的圆心角为 60。即可，显然符合条件的点 P有无数个.(2)结合(1)中的分析可知：当点 P在y轴的正半轴上时，点 P是(1)中的圆与y轴的 交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标.(3)由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角.要/APB最大，只需构造过点 A、点B且与y轴

16、相切的圆，切点就是使得 /APB最 大的点P,由此即可求出 m的范围.试题解析：解：(1)以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC,以点C为圆心，AC为半径作OC,交y轴于点P1、P2.在优弧 APiB 上任取一点 P,如图 1,则/APB=/ ACB=X 6030°, 使/APB=30°的点 P22有无数个.故答案为：无数.(2)点P在y轴的正半轴上，过点 C作CGJ±AB,垂足为 G,如图点 A (1, 0)，点 B (5, 0) , OA=1, OB=5, .-.AB=4.点 C 为圆心，CG± AB, /.AG=BG= AB=2, . 0G=0

17、A+AG=3.2 .ABC 是等边三角形，.-.AC=BC=AB=4, .CG=JAC2 AG2= 4V=2j3, 点 C 的坐标为(3, 2J3).过点C作CD,y轴，垂足为D,连接CP>,如图1.一点C的坐标为(3, 2百)， .CD=3, 0D=273 . P1、P2 是。C与 y 轴的交点，Z AP1B=Z AP2B=30 o. CP2=CA=4, CD=3, .DP2=41 3r = 77 .点 C 为圆心，CD±P1P2,P1D=P2D=V7 ,P1(0,2V3+V7) ,P2(0, 2 73-V7).(3)当过点a、B的。E与y轴相切于点P时，/APB最大.理由：

18、可证： /APB=/AEH,当/APB最大时，/AEH最大.由sinZAEhk-2-得当 AEae最小即PE最小时，/AEH最大.所以当圆与 y轴相切时，/APB最大./APB为锐角，.sin/APB随/ APB增大而增大，.连接EA,彳Ehl±x轴，垂足为H,如图2. OE与y轴相切于点P,PE10P. EHXAB, 0PX0H,Z EP0=Z P0H=Z EHO=90 ；，四边形 OPEH是矩形，. . OP=EH,22PE=0H=3,EA=3, sinZ APB=sinZAEH= , m 的取值范围是 0m一.33点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质

19、、矩形的判定与 性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强.同时也考查了创造性思维，有一定的难度.构造辅助圆是解决本题关键.6.四边形 ABCD内接于。0,点E为AD上一点，连接 AC, CB, Z B=Z AEC. （1）如图1,求证：CE=CDEl(2)如图 2,若/B+/ CAE=120, / ACD=2/ BAC,求/BAD 的度数;底（3）如图3,在（2）的条件下，延长 CE交。于点G,若tan/BAC= 5/3 , EG=2,求11AE的长.郅【答案】（1）见解析；（2） 60。； （3） 7.【解析】试题分析：（1）利用圆的内接四边形定理得到 ZCED=ZCDE.（2）作

20、CH, DE 于 H,设/ECH=% 由（1） CE=CD 用 a 表示 / CAE，/ BAC,而 /BAD=/BAC+/CAE. （3）连接 AG,作 GNXAC, AM，EG,先证明 / CAG=/BAC,设 NG=5 J3m,可得AN=11m,利用直角n AGM, n AEM,勾股定理可以算出 m的值并求出AE长.试题解析：（1）解：证明：二.四边形ABCD内接于OO./ B+/D=180 ； / B=/AEC, / AEG / D=180 ；a A AEG / CED=180 ；/ D=Z CED，CE=CD(2)解：作 CH，DE于 H.图2设/ ECH= a,由(1) CE=CD

21、/ ECD=2 % / B= Z AEC, / B+Z CAE=120 ； / CAEnZ AEC=120 ,°/ ACE=180 - ZAEC- / ACE=60 °,/ CAE=90 - Z ACH=90 - (60 + a) =30 - a,/ ACD= / ACH / HCD=60 + 2 a, / ACD=2Z BAC,/ BAC=30 +a, / BAD=Z BAG / CAE=30 + a+30 - a=60 :(3)解：连接 AG,彳GN± AC, AM ± EG,图3 Z CED=ZAEG, ZCDE=Z AGE, /CED=/CDE

22、/ AEG=ZAGE,.AE=AG,1.EM=MG=-EG=1 ,2/ EAG=Z ECD=2 %/ CAG=Z CAD+Z DAG=30 - a+2a=/ BAC,5、；3. tanZ BAC=5-11. .设 NG=5 百m,可得 AN=11m, AG= Jag2_AM 2 =14m , / ACG=60 ；c CN=5m, AM=8Qm, MG = JaG2 AM 2 =2m=1,1 m=)2.CE=C=CG- EG=10m- 2=3,AE= Jam 2 EM 2 = Jl2+ (4疯2 =7.7.如图，抛物线 y=ax2+bx+c经过点 A (-2, 0)、B (4, 0)、C (0,

23、 3)三点.图图(1)试求抛物线的解析式；(2)点P是y轴上的一个动点，连接 PA,试求5PA+4PC的最小值；(3)如图，若直线l经过点T ( - 4, 0) , Q为直线l上的动点，当以 A、B、Q为顶点 所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l的解析式.3 23【答案】(1) y-x -x 3; (2) 5PA+4PC的最小值为18； ( 3)直线l的解析式84,3.3八为 y-x3或y x3.44【解析】【分析】(1)设出交点式，代入 C点计算即可(2)连接AG BC,过点A作AEL BC于点E,过PCPD4点P作PD)± BC于点D,易证CD/COB,得到比例式 ，得到P

24、D=- PC,所BC OB5以 5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 ( PA+PD ,当点 A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC= 5 5(PA+PD = 5AE最小，利用等面积法求出AE=18,即最小值为18 ( 3)取AB中点F,5以F为圆心、FA的长为半径画圆，当/BAQ= 90°或/ ABQ=90°时，即AQ或BQ垂直x轴， 所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/ BAQ= 90。或/ ABQ= 90°,即/ AQB= 90时，只有一个满足条件的点 Q, 直线l与。F相切于点Q时，满足/ AQB= 90。的点Q只有一个；此时，

25、连接 FQ,过点Q作QG±x轴于点G,利用cos/QFT求出 QG,分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接 l得到解析式即可【详解】解：(1) .抛物线与X轴交点为A ( - 2, 0)、B (4, 0). . y = a (x+2) ( x 4)把点C (0, 3)代入得：-8a=33 a =- 8.抛物线解析式为 y=- 3 (x+2) (x- 4) =- -X2+-X+3884(2)连接AC BC,过点A作AE，BC于点E,过点P作PD±BC于点D/ CDP= / COB= 90 ° / DCP= / OCB.,.CDFACOBPC PD BC OB

26、,. B (4, 0) , C (0, 3)，OB=4, OC=3, BC= . OB2 OC2 =54 -.PD= - PC 5 -5PA+4PC=5 (PA+4PC) = 5 ( PA+PD 5 当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC= 5 (PA+PD = 5AE最小. A (2, 0) , OCX AB, AE± BC Sa abc= 1AB?OC= 1 BC?AE 22ABn OC 6 3 18AEBC 55 -5AE= 18 5PA+4PC 的最/J、值为 18.(3)取AB中点F,以F为圆心、FA的长为半径画圆当/BAQ= 90°或/ABQ= 90

27、76;时，即 AQ或BQ垂直x轴，只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/ BAQ= 90或/ ABQ= 90/ AQB= 90时，只有一个满足条件的点Q 当Q在。F上运动时(不与 A、B重合)，/AQB= 90 ° 直线l与。F相切于点Q时，满足/AQB= 90的点Q只有一个此时，连接FQ,过点Q作QGi± x轴于点G / FQ仁 90 °.F 为 A ( 2, 0)、B (4, 0)的中点 .F (1, 0) , FQ= FA= 3,. T ( - 4, 0).TF= 5, cos/QFT= FQ 3TF 5FG 3RtA FGQ 中，cos/ QFT

28、= 一FQ 53FG= FQ=5.9.XQ= 1 一 一54 ， QG= JfQ2 FG25112T4 12右点Q在x轴上方，则Q (,)5 5设直线l解析式为：y= kx+b4k4k012解得:5，直线1：4x 3若点Q在x轴下方，则45,12一）5，直线1： y3x 34综上所述，直线1的解析式为【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论8. AB是。直径，在AB的异侧分别有定点 C和动点P,如图所示，点 P在半圆弧 AB 上运动(不与 A、B重合)，过C作CP的

29、垂线CD ,交PB的延长线于 D ,已知AB 5, BC ： CA = 4 ： 3.(1)求证：AC CD = PC BC ;(2)当点P运动到AB弧的中点时，求 CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.【答案】(1)证明见解析；(2) CD=14Y2； ( 3)当PC为。直径时，APCD的最大面积50=.3【解析】【分析】(1)由圆周角定理可得 /PCD=/ ACB=90,可证ABC/PCD,可得上C 型,即可得CP CD证.(2)由题意可求 BC=4, AC=3,由勾股定理可求 CE的长，由锐角三角函数可求PE的长，即可得PC的长，由AC?CD=P

30、CBC可求CD的值；1 一 一 4一 一(3)当点P在AB上运动时，Svpcd PC CD ,由(1)可得：CD -pc ,可得2 3c1 一 4一2-2Svpcd PC -PC- PC ,当PC最大时， PCD的面积最大，而 PC为直径时最233大，故可求解.【详解】证明：(1) AB为直径, / ACB=90 PCX CD,/ PCD=90/ PCD=/ ACB,且 / CAB=Z CPB.ABCAPCDAC BCCP CD.AC?CD=PC?BC (2) AB=5, BC: CA=4: 3, ZACB=90°A当点p运动到AB的中点时,.BC=4, AC=3,过点 B作BE,

31、PC于点E点P是Ab的中点，/ PCB=45 ；且 BC=4八 '方-.CE=BE=一 BC=2 ,2 / CAB=Z CPBtanZ CAB=BC 4BE 1=tan / CAB=AC 3PE3 2.PE=-23 2.PC=PE+CE=+2 .2 = .AC?CD=PC?BC八 7.2 .-.3>CD=X4214 2.CD=31(3)当点 P在 Ab 上运动时，S*Apcc= >PC>CD, 2由（1）可得：CD=4 PC31422Sa pcd=- PC -PC = -PC2,233当PC最大时，APCD的面积最大，22 50当PC为。直径时， PCD的最大面积=-

32、X2=33【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求 出PC的长是本题的关键.9.如图，已知 AB是。的直径，P是BA延长线上一点，PC切。于点C, CD± AB,垂 足为D.(1)求证：/PCA=/ABC;(2)过点A作AE/ PC交OO于点E,交CD于点F,交BC于点M,若/ CAB= 2/B, CF =J3,求阴影部分的面积.【答案】(1)详见解析；(2) 633【解析】【分析】(1)如图，连接 OC,利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得/ PCA=Z OCB,利用等量代换可得 / PCA=Z ABC.(2)先求出 OCA是

33、等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分别求出AM、AC、MO、CD的值，分别求出Sa0e、S§形boe、S abm的值，利用 Sb影部分S A0E S扇形BOE S ABM ,然后通过计算即可解答【详解】解：(1)证明：连接OC,如图，. PC切。O于点 C, .,.OCX PC, / PCA+-Z ACO=90o,. AB 是。的直径，/ACB=/ ACO+OCB=90o/ PCA=Z OCB,-. OC=OB,.-. / OBC=Z OCB,Z PCA=Z ABC;(2)连接OE,如图， ACB 中,A ACB= 90o, / CAB= 2 /

34、 B,B= 30o,ZCAB= 60o/. OCA是等边三角形,. CDXAB,.1. / ACD+/ CAD= / CAD+ Z ABC= 90o,/ ACD= / B= 30o,. PC/ AEJ / PCA=/CAE= 30o,.,. FC=FA,同理，CF= FM, AM = 2CF=273,RtA ACM 中，易得 AC=3= OC, / B= ZCAE= 30o,.,. ZAOC=ZCOE=60o,/ EOB=60oJ / EAB=Z ABC=30oJ MA=MB, 连接OM,EGL AB交AB于G点，如图所示，. OA=OB,.1- MOXAB,.-. MO = OAX tan3

35、0o=3 ,.CDOAEDO(AAS)EG=CD=AC x sin60o=3 ,2c1 S ABM二 AB2同样，易求S aoeMO 3 3 ,9.3,460333602- S阴影部分S A0E3363.3【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难 度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.10.如图，四边形 ABCD内接于。O, /BAD=90°, AD、BC的延长线交于点 F,点E在CF 上，且/ DEG=Z BAC.(1)求证：DE是。的切线；【解析】【分析】(1)先判断出BD是圆O的直径，再判断出 BD± DE,即可得出结论

36、；(2)根据余角的性质和等腰三角形的性质得到ZF=Z EDF,根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3,根据勾股定理得到 CD J5E_CE Z BAF=Z BDE=90°,Z F+Z ABC=Z FDEZ ADB=90°.AB=AC,，/ABC=/ACB / ADB=Z ACB,/ F=Z FDE, ，DE=EF=3. CE=2, /BCD=90； Z DCE=90 ； . . CD Jde2 ce2 拆 娓,证明CDa4DBE,根据相似三 角形的性质即可得到结论.【详解】(1)如图，连接BD. ./BAD=90；，点 O 必在 BD 上，即：BD 是直径，. / BCD=

37、90 ；/ DEG/CDE=90 ： / DEC=Z BAC, / BAG / CDE=90 : / BAO/ BDC,/ BDG / CDE=90BDE=90 ;即：BD± DE. 点D在。O上，DE是。的切线； / BDE=90 ； CD± BE, ，/ DCE=Z BDE=90 :CDBD5335 一 Z DEC=Z BED, .CD&DBE, . . BD 45 3 35- ，。0 的半CE DE '22 '本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理, 求出DE=EF是解答本题的关键.11.如图，点 A, B

38、, C, D, E在。上，AB± CB于点 B, tanD=3, BC=2, H 为 CE延长线上一点，且 AH= .10 , CH 5. 2 .(1)求证：AH是。的切线；HF=HA;(2)若点D是弧CE的中点，且 AD交CE于点F,求证:(3)在(2)的条件下，求EF的长.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 而应【解析】【分析】(1)连接AC,由AB± CB可知AC是。的直径，由圆周角定理可得 / C=/ D, 于是得到tanC=3,故此可知 AB=6,在RtABC中，由勾股定理得：Ad= 40,从而可得ac2+ah2=ch2,根据勾股定理的逆定理可得AC&

39、#177; AH,问题得证；(2)连接DE、BE,由弦切角定理可知 ZABD=Z HAD,由D是CE的中点，可得/ CED=Z EBD,再由圆周角定理可得 / ABE=Z ADE,结合三角形的外角即可证明/HAF=/ AFH,从而可证得 AH=HF;(3)由切割线定理可得 EH=J2，由(2)可知AF=FH=Ji0 ,从而可得 EF=FHF EH=Ji0-【详解】(1)如图1所示：连接AC.ABXCB,.AC是。O的直径, / C=Z D,tanC=3, .AB=3BC=3 X 2=6 在RtABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC?=40, 又.力112=10, CH2=50, .ac2

40、+ah2=ch2, .ACH为直角三角形， ACXAH, .AH是圆O的切线；(2)如图2所示：连接DE、BE,.AH是圆O的切线，/ ABD=Z HAD, D是CE的中点，Cd ?d，/ CED=Z EBD,又 Z ABE=Z ADE, / ABE+Z EBD=Z ADE+Z CED,/ ABD=Z AFE,/ HAF=Z AFH, .AH=HF;(3)由切割线定理可知：AH2=EH?CH,即(而)2=5J5eH,解得：EH=、2， 由(2)可知 AF=FH=J10 ,.EF=FHF EH=710-72 -【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切 割线定

41、理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添 加辅助线是解题的关键.312.如图，在 4ABC中，AC BC 10 , cosC ,点P是BC边上一动点(不与点 A,C 5重合)，以PA长为半径的e P与边AB的另一个交点为 D ,过点D作DE CB于点E.1当e P与边BC相切时，求e P的半径;2联结BP交DE于点F ,设AP的长为x , PF的长为y ,求y关于x的函数解析式, 并直接写出x的取值范围；3在2的条件下，当以PE长为直径的eQ与eP相交于 AC边上的点G时，求相交 所得的公共弦的长.【答案】(1) 40; (2) y 5xJx 8x 段 0 x

42、10 ； (3) 10 2展93x 20【解析】【分析】3 一(1)设。P与边BC相切的切点为 H,圆的半径为 R,连接HP,则HP, BC, cosC=,则5sinC=4, sinC=HP=R=4,即可求角军; 5 CP 10 R 5(2) PD/ BE,贝U EB = BFPD PFJx2 8x 80 y ,即可求解; y(3)证明四边形 PDBE为平行四边形，贝U AG=GP=BD即：AB=DB+AD=AG+AD=4/5 ,即可求解.【详解】(1)设。P与边BC相切的切点为 H,圆的半径为 R, 40R=；9HP R 4 sinC=一,斛得:CP 10 R 53(2)在 4ABC 中，A

43、C=BC=10 cosC=-,5设 AP=PD=x, /A=/ABC* 过点 B 作 BH, AC,3贝U BH=ACsinC=8同理可得:CH=6, HA=4, AB=4返，贝U： tan / CAB=2BP=j82DA=25x,则 BD=4V5-2-x, 55如下图所示，PA=PD / PAD玄 CAB=Z CBA=3,3),要tan 3 = 2 贝U cos 3 =-y= , sin 3,EB=BDcos 3=(4-25x) 5.PD/ BE,2-xPDPF5x整理得:y=5x"2 8x 800 x 10 ；(3)以30AC3x 20EP为直径作圆Q如下图所示,D,GD为相交两

44、个圆交于点G,则PG=PQ即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为 所得的公共弦， 点Q时弧GD的中点， DGXEP,.AG是圆P的直径，/ GDA=90 ； .EP/ BD,由（2）知，PD/ BC, 四边形PDBE为平行四边形，AG=EP=BD . AB=DB+AD=AG+AD=475 ,设圆的半径为r,在ADG中,2r4rAD=2rcos , DG=-y= , AG=2r,2r 一205J+ +2r=4 V5 ,解得：2r=娓1,贝U： DG=-=10-2 V5 ,相交所得的公共弦的长为10-2 J5 .本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中( 关键是根据

45、题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大.13.如图所示，ABC内接于圆O, CD AB于D；(1)如图1,当AB为直径，求证： OBC ACD;(2)如图2,当AB为非直径的弦，连接 OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明, 不成立说明由；(3)如图3,在(2)的条件下，作 AEBC于E,交CD于点F,连接ED,且【解析】【分析】(1)根据圆周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根据三角形内角和定理求出即 可；(2)根据圆周角定理求出 /BOC=2Z A,求出Z OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连

46、接 HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延长 CG 交AK于M,延长KO交。O于N,连接CN、AN,求出关于a的方程，再求出 a即可.【详解】(1)证明：.AB为直径，ACB 90 , CD AB 于 D,ADC 90 ,OBCA 90 , A ACD 90 ,OBCACD ;(2)成立，证明：连接OC,由圆周角定理得：BOC 2 A ,OC OB ,_ _ 1_1OBC 180 BOC 180 2 A 90 A , 22ADC 90 ,ACD 90 A ,OBC ACD ;(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK、CH、AK,AE BC,CDBA ,AECADC90 ,BCD

47、CFE 90 , BAH DFA 90 , CFEDFA,BCDBAH, 根据圆周角定理得：BAH BCH ,BCD BAH BCH,，由三角形内角和定理得：CHE CFE,CH CF, EH EF,同理DF DK ,DE 3,HK 2DE 6 ,6,在AD上取DG BD ,延长CG交AK于M,则AG AD BD 2DE BC GC,MCK BCK BAK ,CMK 90 ,延长KO交。O于N,连接CN、AN,则 NAK 90 CMK ,CM / /AN ,NCK ADK 90 , CN /AG ,四边形CGAN是平行四边形，AG CN 6,作OT CK于T, 则T为CK的中点， .O为KN的

48、中点，八 1 一 . OT CN 3,2OTC 90 , OC 5,由勾股定理得：CT 4,CK 2CT 8, 作直径HS,连接KGHK 6, HS 10,由勾股定理得：KS 8,tan HSK - tan HAK , 41，tan EAB tan BCD ,设 BD a,AD BDCD DK c 1-：.3a a 2 3 , 一 9 斛得：a 一,5 1DK a 2 3CF CK 21【点睛】3D 3a,2ED a 6, DKCK ,8,13一,526 14、 8 551 -AD2,本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识 点，能综合运用知识点进行推理是

49、解此题的关键，综合性比较强，难度偏大.14.对于平面内的OC和。C外一点Q,给出如下定义：若过点 Q的直线与OC存在公共点，记为点A, B,设k AQ BQ ,则称点A (或点B)是。C的“林目关依附点”，特别 CQ2AQ 八 2BQ地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ, k(或).CQ CQ已知在平面直角坐标系 xoy中，Q(-1,0), C(1,0), OC的半径为r.(1)如图1,当r J2时， 若Ai(0,1)是。C的“冰目关依附点”，求k的值.A 2(1 +J2，0)是否为OC的“外目关依附点(2)若。C上存在“相关依附点”点M,当r=1 ,直线QM与。C相切时，求k的值.当k J

50、3时，求r的取值范围.(3)若存在r的值使得直线yJ3x b与。C有公共点，且公共点时 OC的J3相关依附点”，直接写出b的取值范围.【答案】(1)应.是；(2)k 73;r的取值范围是1W r 2 ; (3)(1)如图1中，连接AC、QA1,首先证明QA1是切线，根据2AQ计算即可解决CQ问题；根据定义求出k的值即可判断；(2) 如图，当r 1时，不妨设直线 QM与eC相切的切点 M在x轴上方(切点 M在 x轴下方时同理)，连接 CM ,则QM CM ,根据定义计算即可； 如图3中，若直线QM与e C不相切，设直线 QM与e C的另一个交点为 N (不妨设 QN QM ,点N , M在x轴下方时同理)，作 CD