中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合含答案

1、中考数学压轴题专题复习一一圆的综合的综合含答案一、圆的综合1 .如图，4ABC是。的内接三角形，点 合)，且四边形 BDCE为菱形.uuu .D在BC上，点E在弦AB上(E不与A重(1)求证：AC=CE(2)求证：BG - AC2=AB?AC；(3)已知OO的半径为3.AB 5.若=-,求BC的长；AC 3AB当为何值时，AB?AC的值最大?ACD3【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)BC=4后；一2【解析】分析：(1)由菱形知 /D=/BEC,由 / A+/D=/BEC+Z AEC=180 可得 / A=/AEC,据此得 证；(2)以点C为圆心，CE长为半径作OC,与BC交于点

2、F,于BC延长线交于点 G,则 _ . BE BG ndCF=CG=AC=CE=CDffiBEMBGA 得 ,即 BF?BG=BE?AB 将 BF=BC-CF=BC-BF BAAG BG=BC+CG=BC+A伏入可得；(3)设 AB=5k、AC=3k,由 BCAC2=AB?AC知 BC=276 k,连接 ED交 BC于点 M,1-:_RtA DMC 中由 DC=AC=3k MC=2BC=V6k 求得 DM=4cd2 CM 2 =3 k,可知 OM=OD-DM=3-£k,在 RtCOM 中，由 OM2+MC2=OC2可得答案. 设 OM=d ,则 MD=3-d ,MC2=O(?-OM2

3、=9-d2,继而知 BC2= (2MC) 2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2= (3-d) 2+9-d2,由(2)得AB?AC=BC-AC2,据此得出关于 d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案.详解：(1)二.四边形EBDC为菱形，/ D=Z BEC四边形ABDC是圆的内接四边形,/ A+Z D=180 ,°又/ BEC+Z AEC=180,/ A=Z AEC,.AC=CEG,则(2)以点C为圆心，CE长为半径作OC,与BC交于点F,于BC延长线交于点CF=CG由（1）知 AC=CE=CD.CF=CG=AC四边形AEFG是。C的内接四边形,/ G+Z AEF=180

4、 , °又 / AEF+/ BEF=180,/ G=Z BEF, / EBF=Z GBA, .BEFBGA,BE BG 目口 ,即 BF?BG=BE?ABBF BA BF=BC- CF=BO AC BG=BC+CG=BC+AC BE=CE=AC （BC- AC） （ BC+AC =AB?AC,即 BC2 - AC2=AB?AC;（3）设 AB=5k、AC=3k, BC2 - AC2=AB?AC,BC=2,6 k,连接ED交BC于点M, 四边形BDCE是菱形， DE垂直平分BC,则点E、O、M、D共线，在 RtA DMC 中,DC=AC=3k MC=1 BC=T6 k2 -DM= CD

5、2 CM 2、3k,.OM=OD- DM=3 - 73k,在 RtACOM 中，由 OM2+MC2=OC2得（3 k） 2+ （店 k） 2=32,解得：k=2百或k=0 （舍），3.BC=2、6 k=4 .2 ；设 OM=d,则 MD=3 - d, MC2=OC2 - OM2=9 - d2, BC2= (2MC) 2=36 - 4d2,AC2=DC2=DM2+CM2= (3-d) 2+9-d2, 由(2)得 AB?AC=BC AC2 =-4d2+6d+182 812+ 4. 3、=4 (d )43 当 d=-,即4381OM=_时，AB?AC最大，最大值为 81 ,44DC2=,2.AC=D

6、C=36 ,2，AB=9l,此时空4AC点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性 质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点.2.如图，AB为。的直径，AC为。的弦，AD平分/BAC,交。于点D, DEL AC,交 AC的延长线于点E.(1)判断直线DE与。的位置关系，并说明理由；(2)若AE= 8,。的半径为5,求DE的长.【答案】(1)直线DE与。相切(2) 4【解析】试题分析：(1)连接 OD, .AD平分/BAC,EAD= OAD , .OA = OD,ODA= OAD , ODA= EAD , ，EA/ OD, .DEX EA

7、, . DEL OD,又点D在。O上，直线DE与。O相切(2)不如图 1,作 DF，AB,垂足为 F,DFA= DEA =90 ,图1EAD = FAD, AD =AD , - AEADAFAD, .AF = AE=8, DF = DE , OA=OD=5,OF=3 ,在 RtDOF中， DF = JOD2 OF2=4,AF=AE=8考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推 出同旁内角相等.第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心 距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长.3 .不用圆规、三角板，

8、只用没有刻度白直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线.4J【答案】画图见解析.【解析】【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线【详解】解：画图如下：【点睛】本题考核知识点：作垂线 .解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线4 .如图，4ABC 内接于。O,弦 ADBC 垂足为 H, Z ABC= 2 Z CAD.（1）如图1,求证：AB= BC;（2）如图2,过点B作BMCD垂足为 M, BM交。于E连接 AE、HM ,求证：AE/ HM;（3）如图3,在（2）的条件下，连接

9、BD交AE于N, AE与BC交于点F,若NH=2Q ,AD= 11,求线段 AB的长.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） AB的长为10.【解析】分析：（1）根据题意，设/CAD=q然后根据直角三角形的两锐角互余的关系，推导出/BAC=/ ACB,再根据等角对等边得证结论；（2）延长AD、BM交于点N,连接ED根据圆周角定理得出 /N=/DEN=/ BAN,进而根据 等角对等边，得到 DE=DN,BA=BN再根据等腰三角形和直角三角形的性质，求得MH / AE;（3）连接CE,根据（2）的结论，由三角形全等的判定与性质证得HF=HQ然后结合勾股定理求出AC2-AH2=CD2-D

10、H2,解得CD=5,CH=4,AH=8最后根据锐角三角函数的性质得到AB.详解：（1）证明：设Z CAD=a,贝忆 ABC=2a/ C=90 -a, / BAD=90 -2a,/ BAC=90-2a+a=90 -a ° / BAC=Z ACB/. AB=BC证明：延长 AD、BM交于点N,连接ED. / DEN=Z DAB,/ N=Z BCD/ BCD=Z BAN/ N=Z DEN=Z BAN.DE=DN,BA=BN又,: BH±AN,DM±ENEM=NM,HN=HA,. MH / AE(3)连接CE./ BDA=/ BCA,/ BDM= / BAC,由(1)知/

11、 BCA=Z BAC/ BDA=Z BDM,. . ABDMABDH,.DH=MH,Z MBD=Z HBD,.1.BDXMH又 MH / AE,.1. BD± EF. AFNBAENB,同理可证 AAFHAACH/. HF=HC又FN=NE叫图外 . NH / EC,EC=2NH -NH=2/5, 1- EC=475/ EAC=2Z AEC=2a=/ ABC可证弧 AC=M EC,.AC=EC=4,5设 HD=x, AH=11-x, / ADC=2/ CAD翻折 CHD至 ACHG可证 CG=CD=AGAH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又 AC2-AH2=C

12、D2-DH2, (475 )2-(11-x)2=(11-2x)2-x2xi=3,x2= 27 (舍去). CD=5,CH=4,AH=8.2一AH CH. zr_-又'TTTtan2a,/BH=6 -AB=VBM2AH2J62 8210BH DH点睛：此题主要考查了圆的综合，结合圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性 质，解直角三角形的性质，综合性比较强，灵活添加辅助线，构造方程求解是解题关键5.如图1,等边4ABC的边长为3,分别以顶点 B、A、C为圆心，BA长为半径作 Ac、 CB、Ba，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对 称图形，设点l为对称轴的

13、交点.(1)如图2,将这个图形的顶点 A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段 MN的长为 ；(2)如图3,将这个图形的顶点 A与等边4DEF的顶点D重合，且AB± DE, DE=2tt,将它 沿等边4DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中 所扫过的区域的面积；(3)如图4,将这个图形的顶点 B与。的圆心O重合，。的半径为3,将它沿。的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为 （请用含n的式子表示）【答案】（1） 3q（2） 27兀；（3） 273n兀.【解析】试题分析：（1）先求出AC的弧长，继而

14、得出莱洛三角形的周长为3%即可得出结论；（2）先判断出莱洛三角形等边 DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形 的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和。重合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出.试题解析：解：（1）二.等边4ABC的边长为3, ，/ABC=/ ACB= / BAC=60°,603Ac Bc Ab，L =*= =兀，线段mn的长为180l Ac l Be lAB =3式故答案为3兀；（2）如图1.等边4DEF的边长为2兀，等边4ABC的边长为3, ，S矩形aghf=2兀X 3=6,兀2由题意知，AB± DE, AG±

15、AF,/ BAG=120°, ，S扇形bagm1203-=35图形在运动过360程中所扫过的区域的面积为3 （S矩形aghf+S扇形bag） =3 （6兀+3/=27k;（3）如图2,连接BI并延长交 AC于D. I是4ABC的重心也是内心，./DAI=30°,1 3AD= - AC= - , OI=AI= AD2= J3,，当它第1次回到起始位置时，点I2 2cos DAI cos30所经过的路径是以 。为圆心，OI为半径的圆周，.当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为n?2Tt?J3=2n7t.故答案为2«门兀.点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公

16、式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出 AC的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边4DEF扫过的图形，解（3）的关键是得出点I第一次回到起点时，I的路径，是一道中等难度的 题目.6.如图，4ABC内接于。O, /BAC的平分线交。于点D,交BC于点E （ BE> EQ ,且 BD= 2 J3 .过点D作DF / BC,交AB的延长线于点 F.（1）求证：DF为。的切线；（2）若/BA提60。，DE=用,求图中阴影部分的面积.【答案】（1）详见解析；（2） 9/3-2兀.【解析】【分析】（1）连结OD,根据垂径定理得到 ODLBC,根据平行线的性质得到 OD

17、LDF,根据切线的 判定定理证明；（2）连结OB,连结OD交BC于P,作BHLDF于H,证明OBD为等边三角形，得到 /ODB=60 ； OB=BD=2J3,根据勾股定理求出 PE,证明AB&4AFD,根据相似三角形 的性质求出AE,根据阴影部分的面积 =4BDF的面积-弓形BD的面积计算.【详解】证明：（1）连结OD, AD 平分 / BAC交。于 D,Z BAD=Z CAD,Bd = Cd ,ODXBC,1. BC/ DF,.ODSF,.DF为。O的切线；(2)连结 OB,连结 OD交BC于P,作BHXDFT H,F H D / BAC=60 ； AD 平分 / BAC,/ BAD

18、=30 ；/ BOD=2/ BAD=60 ,°.OBD为等边三角形，/ ODB=60 ； OB=BD=273 ,/ BDF=30 ；1. BC/ DF,/ DBP=30 ;1在 RtDBP中，PD=- BD=V3 , PB=®PD=3,在 RtDEP 中，.PD=, DE=V7, PE=(7)2 (.3)2=2, .OPXBC,BP=CP=3.CE=3- 2=1 , / DBE=Z CAE, / BED=Z AEC, .,.BDEAACE, .AE: BE=CE DE,即 AE: 5=1 :击，5 .7.AE=-71. BE/ DF,.ABEAAFD,5.7BEAE目.5&

19、quot;V,即厂,DFAD DF12 57解得DF=12,在 RtBDH 中，BH=- BD=V32，阴影部分的面积= BDF的面积-弓形 BD的面积=4BDF的面积-(扇形 BOD的面积- BOD的面积)=1 12 小 60 (2 同 昱(273)2 =973-2，23604【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键.7.如图1,已知。是AADB勺外接圆，/ADB的平分线DC交AB于点M,交。于点C,连接 AC, BC.(1)求证：AC=BG(2)如图2,在图1的基础上做。的直径C

20、F交AB于点E,连接AF,过点A作。的切线AH,若AH/BC,求/ACF的度数；(3)在(2)的条件下，若 AABD勺面积为6邪,AABDf A ABC勺面积比为2： 9,求CD 的长.图1图2【答案】(1)证明见解析；(2) 30。； (3) 2底【解析】分析：(1)运用 在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；(2)连接AO并延长交BC于I交。O于J由AH是。的切线且 AH/ BC得AILBC,易证/IAC=30,°故可得/ABC=60=2 F=/ACB,由CF是直径可得/ ACF的度数；(3)过点 D作DGLAB,连接 A0,知ABC为等边三角形，求出 AB> AE

21、的长，在 RtAAEO 中，求出AO的长，得CF的长，再求DG的长，运用勾股定理易求 CD的长.详解：(1) DC平分/ADB,ZADC=Z BDC, . AC=BC(2)如图，连接 AO并延长交BC于I交。于J.AH是。的切线且 AH/BC,AIXBC,.BI=IC,-.AC=BC,1.IC=-AC,2/ IAC=30 , °/ ABC=60 =°Z F=Z ACB.FC是直径，/ FAC=90, °/ ACF=180-90 -6030 :(3)过点D作DG AB,连接AO由(1) ( 2)知ABC为等边三角形,. Z ACF=30,°AB CF ,

22、.AE=BE SmbcAB2 27百，4 AB=6 6 ,AE 3 3 .在 RtAAE计，设 EO=x,贝U AO=2x, 222 AO2 AE2 OE2,2x 23用 2 x2, .x=6,。的半径为6, .CF=12.Smbd AB DG - 673 DG - 6近, 22 .DG=2.如图，过点D作DGCF ,连接OD. AB CF ,DG AB,.CF/DG,四边形GDGE为矩形，GE 2,CG GE CE 6 3 2 11, 在 RtAOGD 中，OG 5,OD 6,DG 布，CD . DG 2 CG 2,11 112 2 33点睛：本题是一道圆的综合题 .考查了圆的基本概念，垂径

23、定理，勾股定理，圆周角定理等 相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.8. AB是。O直径，在AB的异侧分别有定点 C和动点P,如图所示，点 p在半圆弧 AB 上运动(不与 A、B重合)，过C作CP的垂线CD ,交PB的延长线于 D ,已知AB 5, BC ： CA = 4 ： 3.(1)求证：AC CD = PC BC ;(2)当点P运动到AB弧的中点时，求 CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.【答案】(1)证明见解析；(2) CD=14Y2； ( 3)当PC为OO直径时，4PCD的最大面积350.3【解析】【分析】AC BC(1)由圆周角定

24、理可得 / PCD=/ ACB=90,可证ABO PCD,可得 即可得CP CD '证.(2)由题意可求 BC=4, AC=3,由勾股定理可求 CE的长，由锐角三角函数可求PE的长，即可得PC的长，由AC?CD=PC?B(CT求CD的值；1 ，4(3)当点P在AB上运动时，SVPCD PC CD ,由(1)可得：CD -PC ,可得2 3一1422SvpcdPC-PC PC ,当PC最大时， PCD的面积最大，而PC为直径时最233大，故可求解.【详解】证明：(1),. AB为直径，/ ACB=90 ° PCX CD,/ PCD=90 °/ PCD=/ ACB,且

25、/ CAB=Z CPB.ABCAPCDAC BCCP CD.AC?CD=PC?BC(2) AB=5, BC: CA=4: 3, ZACB=90°.BC=4, AC=3,当点P运动到AB的中点时，过点 B作BEX PC于点E点P是Ab的中点，/ PCB=45 ；且 BC=4CE=BE= _2 bc=2 2 / CAB=Z CPBBC .tan / CAB=AC3.2PE=2=tan Z CAB=-3PE.PC=PE+CE=32+2 2 =7-222.AC?CD=PC?BCX414 2CD=31(3)当点P在AB上运动时，Sapcd= - >PC>CD,2由(1)可得：CD=

26、 4 PC314 2 oSa pcd=PC PC = pC ,233当PC最大时，APCD的面积最大，22 50当PC为。直径时， PCD的最大面积=-x2=33【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识, 出PC的长是本题的关键.锐角三角函数，求9.如图，AB为。的直径，DA、DC分别切。于点A, C, (1)求 tan/AOD 的值.(2) AC, OD交于点E,连结BE.AB=AD.求/ AEB的度数；连结BD交。于点H,若BC=1 ,求CH的长.【解析】【分析】(1)根据切线的性质可得 /BAD=90,由题意可得 AD=2A0,即可求tan/AOD的值；(2)

27、 根据切线长定理可得 AD=CD, 0D平分/ADC,根据等腰三角形的性质可得DOXAC, AE=CE根据圆周角定理可求 /ACB=90°,即可证/ ABC=/ CAD,根据"AAST证 AB8 4DAE,可得 AE=BC=EC可求/ BEC=45；即可求 /AEB的度数；由BC=1,可求AE=EC=1 BE J2 ,根据等腰直角三角形的性质可求/ ABE=/ HBC,可证AB&4HBC,可求CH的长.【详解】(1) DA是。0 切线，/BAD=90.,. AB=AD, AB=2AO, . . AD=2A0, ，tan/AOD " 2;AO(2)DA、DC

28、 分别切。O 于点 A, C, AD=CD, OD 平分 / ADC, . DO, AC,AE=CE AB 是直径，/ ACB=90 ,°/ BAC+Z ABC=90，且/ BAC+Z CAD=90 ,°Z ABC=Z CAD,且 AB=AD, / ACB=/AED=90 AB8 DAE (AAS) , . CB=AE . CE=CB 且 / ACB=90 ,° / BEC=45=°Z EBC,/ AEB=135 ,° 如图， BC=1,且 BC=AE=CE . - AE=EC=BC=1 . . BE 72 AD=AB, / BAD=90 /

29、ABD=45，且/ EBC=45,/ ABE=Z HBC,且 / BAC=Z CHB,BC CH 1,2CH -CH 2CH12本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三 角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识 是解题的关键.10.如图，过。外一点P作。O的切线PA切。O于点A,连接PO并延长，与。交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接 AM交CD于点N,连接AC、CM.(1)求证：cm2=mn.ma；(2)若 / P=30°, PC=2,求 CM 的长.【答案】（1）见解析；（2） CM=2J2.【解析】

30、【分析】（1）由 CM DM 知 CAM DCM，根 /CMA=/NMC 据证得；1（2）连接 OA、DM,由直角二角形 PAO中/P=30知OA PO2求得OA=OC=2再证三角形CMD是等腰直角三角形得 CM的长.【详解】（1） QeO中，M点是半圆CD的中点，AAM6 ACMJ 即可1,一 PC CO ,据此 2CAM DCM ,又Q CMA NMC ，AMCs CMN,CMMNAMCM(2)连接 OA、DM ,Q PA是e O的切线，PAO 90 ,又 Q P 30 ,1 1OA - PO - PC CO2 2设e O的半径为r,Q PC 2 , 1 r -2 r , 2解得：r 2,

31、又Q CD是直径，CMD 90 ,QCM DM ,CMD是等腰直角三角形，在Rt CMD中，由勾股定理得 CM 2 DM 2 CD2,即2CM 2 2r 2 16 ,则 CM 2 8,CM 2我【点睛】本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点11.如图，四边形ABCD是。的内接四边形，AC为直径，?D AD, de，BC,垂足为E.(1)判断直线ED与。的位置关系，并说明理由；(2)若CE=1, AC=4,求阴影部分的面积.【答案】(1) ED与e O相切理由见解析；(2) S阴影=2J3.3【解析】【分析】(1)连结OD,如图，根据

32、圆周角定理，由 BD AD得到/BAD=/ACD,再根据圆内接 四边形的性质得 / DCE=Z BAD,所以/ ACD=/DCE；利用内错角相等证明 OD/ BC,而 DE± BC,则OD, DE,于是根据切线的判定定理可得DE为。的切线；(2)作OH, BC于H,易得四边形 ODEH为矩形，所以 OD=EH=2,则CH=HE- CE=1,于是 有/HOC=30。，得到/COD=60。，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCD- S»AOCD进行计算即可.【详解】(1)直线ED与。O相切.理由如下：连结 OD,如图，?D AD ,/BAD=/

33、ACD. / DC- BAD,/ ACD=Z DCE.-. OC=OD, . . / OCD=/ODC,而 / OCD=/DCE/ DCE=Z ODC, . .OD/ BC. DEXBC, .-.ODXDE, . DE为。的切线；(2)作OH，BC于H,则四边形 ODEH为矩形，OD=EH. CE=1, AC=4,OC=OD=2, . CH=HE CE=2- 1=1 .在 R匕 OHC 中，/ OC=2, CH=1 ,/OHC=90； / HOC=30 ；. / COD=60 ；，阴影部分的面积=S扇形 ocd- Saocd60223?223604本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直

34、于这条半径的直线是圆的切线.要证 某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即 可.也考查了扇形面积的计算.12.如图，AB是半圆。的直径，点 C是半圆。上的点，连接 AC, BC,点E是AC的中 点，点F是射线OE上一点.（1）如图 1,连接 FA, FG 若 /AFC= 2/BAC 求证：FAIAB;（2）如图2,过点C作CD,AB于点D,点G是线段CD上一点（不与点 C重合），连接FA, FG, FG与AC相交于点P,且AF= FG.试猜想/ AFG和/ B的数量关系，并证明； 连接OG,若OE= BD, /GOE= 90 °,。的半径为2,求EP

35、的长.图1【答案】（1）见解析；（2） 结论：/GFA= 2/ABC.理由见解析； PE=.6【解析】【分析】（1）证明 /OFA=/BAC,由 /EAO+/EOA= 90°,推出 Z OFA+Z AOE= 90°,推出 / FAO= 90。即可解决问题.(2) 结论：/GFA= 2 Z ABC.连接FC.由FC= FG= FA,以F为圆心FC为半径作OF,因为 AG AG，推出 ZGFA= 2/ACG,再证明 /ACG=/ABC图2-1中，连接 AG,彳Fhl± AG于H.想办法证明 Z GFA= 120 °,求出EF, OF, OG即 可解决问题.【

36、详解】(1)证明：连接OC. . OA=OC, EC= EA, OFXAC,FC= FA,/ OFA= / OFC, / CFA= 2/BAC,/ OFA= / BAC, / OEA= 90 ; / EAO+Z EOA= 90 °, / OFA+Z AOE= 90 °,/ FAO= 90 ；AFXAB.(2) 解：结论：/GFA= 2/ABC. 理由：连接FC.OF垂直平分线段 AC,FG= FA, FG= FA,FC= FG= FA,以F为圆心FC为半径作OF.Ag Ag，/ GFA= 2/ACG,.AB是。的直径，/ ACB= 90 °, .CD±

37、AB, / ABO / BCA= 90 °, / BCD+Z ACD= 90 °,/ ABC= / ACG,/ GFA= 2/ABC.如图2 - 1中，连接 AG,彳Fhl±AG于H. BD= OE, / CDB= / AEO= 90 ； / B= / AOE, .,.CDBAAEO (AAS),.CD= AE, EC= EA, .AC= 2CD./ BAC= 30 ； / ABC= 60 °,/ GFA= 120 ； ，OA=OB= 2, .oe=i, ae=7s, BA=4, BD=OD=1, / GOE= / AEO= 90 °, .OG

38、/ AC,32.3DG ,OG ，33AG .DG2 AD2221 ,3 FG= FA, FHXAG,21一 AH = HG= , / AFH= 60 ,3AH2.7.AF=,sin 603在 RtAEF中，EF= TAf"_AE7 1 ,3八 八4 .OF=OE+EF= 一 ,3. PE/ OG,PE EFOG 0F1PE 3, , 23 4，丁 3PE= -3 .6【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三 角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决 问题.13.如图所示，ABC内接于圆O, CD A

39、B于D；(1)如图1,当AB为直径，求证： OBC ACD;(2)如图2,当AB为非直径的弦，连接 OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明, 不成立说明由；(3)如图3,在(2)的条件下，作 AE BC于E,交CD于点F,连接ED,且【解析】【分析】(1)根据圆周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根据三角形内角和定理求出即 可；(2)根据圆周角定理求出 /BOC=2Z A,求出Z OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延长 CG 交AK于M,延长KO交。O于N,连接CN、AN

40、,求出关于a的方程，再求出 a即可.【详解】(1)证明：.AB为直径，ACB 90 , CD AB 于 D,ADC 90 ,OBCA 90 , A ACDOBCACD ;(2)成立， 证明：连接OC,DE 3,OC OB ,1-1802 A 902_1“OBC 180 BOC2ADC 90 ,ACD 90 A ,OBC ACD ;(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK、CH、AK,AE BC,CD BA ,AECADC 90 ,BCD CFE 90 , BAH DFA 90 ,CFEDFA ,BCDBAH ,根据圆周角定理得：BAH BCH ,BCD BAH BCH,，由三角形内角

41、和定理得：CHE CFE,CH CF,EH EF,同理DF DK ,HK 2DE 6 ,在AD上取DG BD ,延长CG交AK于M,则AG AD BD 2DE6,BC GC,MCK BCK BAK ,CMK 90 ,延长KO交。O于N,连接CN、AN,则 NAK 90 CMK , CM / /AN ,NCK ADK 90 , CN /AG ,，四边形CGAN是平行四边形，AG CN 6,作OT CK于T, 则T为CK的中点， .O为KN的中点，八 1 一 . OT CN 3,2OTC 90 , OC 5,由勾股定理得：CT 4,CK 2CT 8, 作直径HS,连接KGHK 6, HS 10,由

42、勾股定理得：KS 8,3，tan HSK - tan HAK ,41，tan EAB - tan BCD ,3设 BD a, CD 3a,1 AD BD 2ED a 6, DK -AD 3CD DK CK ,c 1 c c3a a 2 8, 3, 一 9斛得：a 一,51. DK -a 2 3CF CK 2DK 8 .2,13555【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识 点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大.14.如图，已知四边形 ABCD内接于。0,点E在CB的延长线上，连结AC、AE,/ ACB= / BAE=45 :(1)求证：AE是。的切线；(2)若 AB=AD, AC=3s/2 , tan/ADC=3,求 BE的长.【答案】(1)证明见解析；(2) BE -2【解析】试题分析：(1)连接OA、0B,由圆周角定理得出 /A0B=2/ ACB=90,由等腰直 角三角形的性质得出/ OAB=Z OBA=45 ,求出 / OAE=Z OAB+Z BAE