2019中考数学专题复习之最值问题典例分析

1、2019中考数学专题复习之最值问题典例分析2019中考数学专题复习之最值问题典例分析解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键. 通 过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几 何最值问题的高效手段.几何最值问题中的基本模型举例轴 对 称 最 值图形二一P1M N1原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系一特征A, B为定点，1 1 直线，P为直线 的一个动点， AF+BP的

2、最小值1上 求A, B为定点，1为定直 线，MNfe直线1上的一 条动线段，求AM+BN的 最小值A, B为定点，1为定 直线，P为直线1上的 一个动点，求|AP-BP 的最大值转化作其中一个定点关于定直线1的对称点先平移AM® BN使M N重合，然后作其中一 个定点关于定直线1的对称点作其中一个定点关于 定直线1的对称点折 叠 最 值图形A MX BNC原理两点之间线段最年豆特征在AABC, M N两点分别是边AB, BC上的动点，将 BMN& MNS 折，B点的对应点为B',连接AB',求AB'的最小值.转化转化成求AB'+B'N+

3、NC的最小值二、典型题型1.如图：点P是/AO时一定点，点 M N分别在边OA OB上运动，若/ 则 PMN勺周长的最小值为.分析：作P关于OA OB的对称点C, D.连接OC OD则当M N是CD与OA OB的交点时， PMN勺周长最短，最短的值是 CD的长.根据对称的性质可以证得：COM等腰直角三角形，据此即可求解.解：作P关于OA OB的对称点C, D.连接OC OD则当M N是CD 与OA OB的交点时， PMN勺周长最短，最短的值是 CD的长. PC关于OA寸称， / COP2/ AOP O(=OP同理，/ DO=2/ BOP OP=OD /COD/CO+/DO=2 (/AO+/ B

4、OP =2/ AO=90° , OC=OD .COD1等腰直角三角形.则 CD=J2OC=J2 X3j2=6.2 .如图，当四边形PABN勺周长最小时，a=.9 / 6分析：因为AB, PN的长度都是固定的，所以求出 PNNB的长度就行了 .问题就 是PA+NB什么时候最短.把B点向左平移2个单位到B'点；作B'关于x轴的对称点B，连接AB', 交x轴于P,从而确定N点位置，此时PA+NB最短.设直线AB'的解析式为y=kx+b,待定系数法求直线解析式.即可求得 a的值.解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B' (2,- 1)

5、,作B'关于x轴的对称点B，根据彳法知点B (2, 1),设直线AB'的解析式为y=kx+b,12kb则，解得 k=4, b=-7.3 k by=4x- 7.当 y=0 时，x=-,即 P (7, 0),4 47.4故答案填：7.43.如图，A B两点在直线的两侧，点 A到直线的距离AM=4,点B到直线的距 离BN=1,且Ml=4, P为直线上的动点，| PA- PB的最大值为 分析：作点B于直线l的对称点B',则PB=PB因而|PA PB | ,则当A, B'、P在一条直线上时，|PA- PB的值最 平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理 PA

6、 PB的值，进而求得|PA- PB的最大值.解：作点B于直线l的对称点B',连AB并延长交直线l 于P. .B' N=BN=1,过D点作B' D± AM-利用勾股定理求出AB =5| PA- PB 的最大值=5.B可移动的最大距离为4.动手操作：在矩形纸片 ABCLfr, AB=3, AD=5.如图所示，折叠纸片，使点 A落在BC边上的A处，折痕为PQ当点A在BC边上移动时，折痕的端点 P、Q也随之移动.若限定点 P、Q分别在AR AD4上移动,则点A在BC边上分析：本题关键在于找到两个极端，即 BA'取最大或最小值时，点 P或Q的位 置.经实验不难发

7、现，分别求出点 P与B重合时，BA'取最大值3和当点Q与 D重合时，BA'的最小值1.所以可求点A在BC边上移动的最大距离为2.解：当点P与B重合时，BA取最大值是3,当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得A C=4,止匕时BA取最小值为1.则点A在BC边上移动的最大距离为3-1=2.E、F分别在线段AR AD上，将4AEF沿EF翻折，点A的落点记为P.当P落在直角梯形ABCD分析：如图，经分析、探究，只有当直径 EF最大，且点A落在BD上时，PD最 小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决.解：如图，当点P落在梯形的内部时，/ P=ZA=90° , 一四边形PF

8、AE以EF为直径的圆内接四边形，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小, 此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8,由勾股定理得：BE2=82+62=80,BD=475,PD=475 8.DC6.如图，/ MON90。，夕!形ABCD勺顶点A、B分别在边OM ON上，当B在边 ON上运动时，A随之在OMi运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2, BC=1,运动过程中，点D到点O的最大距离为.口8口分析：取AB的中点E,连接OD OE DE根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半可得OEAB,利用勾股定理列式求出DE,然后根据三角形任意两边 之和大于第三边可得OD±

9、;点E时最大.解：如图，取AB的中点E,连接OD OE DE/ MON900 , AB=21.OE=AE=1AB=1,2vBC=1,四边形ABCM矩形,AD=BC=1, . DE &，根据三角形的三边关系,。女OEnDE,.当ODi点E是最大，最大值为V2+1.法 故答案为：2+17.如图，线段AB的长为4, C为AB上一动 °3V 点，分别以AC BC为斜边在AB的同侧作等腰直角 AC丽等腰直角 BCE那么DE< 的最小值是.分析：设AC=x, BC=4-x,根据等腰直角三角形性质，得出CD=返x, CD2(4-x),根据勾股定理然后用配方法即可求解. 2解：设 AC

10、=x, BC=4- x,ABC ABCID均为等腰直角三角形，22. C=2x, CD 二在(4-x), 22./ ACI=45° , / BCD =45/DC=90° ,/. DE2=CD)+CE2=-x2+- (4-x) 2=x2-4x+8= (x-2) 2+4, 22;根据二次函数的最值，当x取2时，DEM最小值，最小值为：4.故答案为：2.8 .如图，菱形 ABCM, AB=2, /A=120° ,点 P, Q, K分别为线段 BC, CQBD上的任意一点，则PK+QK勺最小值为.AD分析：根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P',连

11、接P' Q与BD的交点即为所求的点K,然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线 段最短的性质可知P' Q,CD时PK+QK的最小值，然后求解即可.解：如图，= AB=2, /A=120° ,.二点P'到CD的距离为2X = 73,2 PKbQK勺最小值为33 .故答案为：曲./、 yo9 .如图所示，正方形ABCD勺边长为1,点P为边BC上的任意一点(可与B、C 重合),分别过B、G D作射线AP的垂线，垂足分别为B'、C'、D',则BB' +CC +DD的取值范围是.分析：首先连接AC DP.由正方形ABCD勺边长为1,即可得：Saad=S正方形2abc= , Saabp+Sa AC=S AB=】S 正方形 abc=1 ,继而可得 1AP?(BB +CC +DD ) =1, 2222又由1&APC应，即可求得答案.解：连接AC DP丁四边形ABC此正方形，正方形ABCD勺边长为1, AB=CQ S正方形 abc=1,S ABp+Sa ACF=SaAB= S 正方形 ABC=22 Sa ad= S 正方形 ABC=,22 二 Saadp+Sa abp+Sa ac=1 ,.AP?