2020年中考数学一轮专项复习——动点、最值问题(压轴题)(含详细解答)

1、2020 年中考数学一轮专项复习一一动点、最值问题(压轴题)1 . (2019眉山中考 第26题11分)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=- - x2+ bx+c经过点A ( - 5,90)和点 B (1 , 0).(1)求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；(2)点P是抛物线上 A、D之间的一点，过点 P作PE，x轴于点E, PG，y轴，交抛物线于点 G.过点G作GF，x轴于点F.当矩形PEFG的周长最大时，求点 P的横坐标；(3)如图2,连接AD、BD,点M在线段AB上(不与 A、B重合)，作/DMN = ZDBA , MN交线段AD于点N,是否存在这样点 M ,使得4DMN为等腰三角形？

2、若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由 .402. (2019绵阳中考第24题)在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2(a0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 x轴交于点A、B (点A在点B的左侧)，OA=1 ,经过点A的一次函数y=kx+b (kw0)的图象与y轴正半轴交于点 C,且与抛物线的另一个交点为D,小BD的面积为5.(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点 E在一次函数的图象下方，求 ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；3(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求 PE+-PA的最小值.备用图 一 . .

3、 , . . . .3. (2019攀枝花中考 第24题)在平面直角坐标系 xOy中，已知A (0,2),动点P在y = -x的图象上运动(不与O重合)，连接 AP.过点P作PQXAP,交x轴于点Q,连接AQ.(1)求线段AP长度的取值范围；(2)试问：点P运动的过程中，/ QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由.(3)当4OPQ为等腰三角形时，求点 Q的坐标.4 .已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线 x=1 ,其图象与x轴相交于A, B两点，与y轴相交于点C (0, 3)(1)求b , c的值；(2)直线1与x轴相交于点P.如图1,若l/y轴，且与线段 AC及抛物

4、线分别相交于点 E, F,点C关于直线x=1的对称点为点 D,求四边形CEDF面积的最大值；如图2,若直线1与线段BC相交于点Q,当APCQs/CAP时，求直线1的表达式.5 . (2019绵阳中考25题)如图，在以点 O为中心的正方形 ABCD中，AD=4 ,连接AC,动点E从点O出发沿O-C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点 C停止.在运动过程中， ADE的外接圆交 AB于点F,连接DF交AC于点G,连接EF,将4EFG沿EF翻折，得到 EFH.(1)求证：4DEF是等腰直角三角形；(2)当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；(3)设点E运动的时间为t秒，4EFG的面积为S,求S关

5、于时间t的关系式.第(2)问图备用图6 . (2019资阳中考 第24题)如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y = ax2- 2x+c与直线y=kx+b者B 经过A (0, -3)、B (3, 0)两点，该抛物线的顶点为 C.(1)求此抛物线和直线 AB的解析式；(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点 E,在射线EB上是否存在一点 M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点 M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当 PAB面积最大时，求点 P的坐标，并求 PAB面积的最大值.7 .在矩形ABCD

6、中，连结AC,点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着 B-A-C的路径运动，运动时间为t (秒).过点E作EF，BC于点F,在矩形 ABCD的内部作正方形 EFGH.(1)如图，当AB=BC=8时，若点H在MBC的内部，连结 AH、CH,求证：AH = CH;当0vtw8时，设正方形 EFGH与小BC的重叠部分面积为 S,求S与t的函数关系式；(2)当AB = 6, BC=8时，若直线 AH将矩形ABCD的面积分成1: 3两部分，求t的值.B(F) GCADBC备用图8. (2019金华中考 第24题 )如图，在等腰 RtAABC中，/ACB=90,AB= 14,2 .点D, E分别在边AB

7、, BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转 90。得到EE(1)如图1,若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O,求证：BD=2DO.(2)已知点G为AF的中点.如图2,若AD=BD , CE=2 ,求DG的长.若AD=6BD,是否存在点E,使得4DEG是直角三角形？若存在，求 CE的长；若不存在,图1图2试说明理由图39.(2019资阳中考 第24题13分)如图，抛物线 y=-工x2+bx+c过点A (3, 2),且与直线y=-x+工交于B、22C两点，点B的坐标为(4, m).(1)求抛物线的解析式;(2)点D为抛物线上位于直线 BC上方的一点，过点D作DEx轴交直线BC于点E

8、,点P为对称轴上一动点,当线段DE的长度最大时，求 PD+ PA的最小值;(3)设点M为抛物线的顶点，在 y轴上是否存在点Q,使/AQM =45 ?若存在，求点Q的坐标；若不存在,请说明理由.参考答案1 . (2019眉山中考 第26题11分)如图1 ,在平面直角坐标系中，抛物线y=- - x2+ bx+c经过点A ( - 5,90)和点 B (1, 0).(1)求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；(2)点P是抛物线上 A、D之间的一点，过点 P作PE，x轴于点E, PG，y轴，交抛物线于点 G.过点G作GF，x轴于点F.当矩形PEFG的周长最大时，求点 P的横坐标；(3)如图2,连接AD、BD

9、,点M在线段AB上(不与 A、B重合)，作/DMN = ZDBA , MN交线段AD于点N,是否存在这样点 M ,使得4DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由 .【解析】(1)抛物线的解析式为：y=- (x+5) (x - 1) = - - x2 - x+ 9999配方得：y= - - (x+2 ) 2+4，顶点D的坐标为(-2 ,94).3 分(2)设点 P 的坐标为(a, - - a2 - 16a+ 20 )999则 PE= - 4 a2 - 16a+ -20 , PG = 2( - 2 - a)= - 4 - 2a. 9994 .分 .矩形 PEFG 的周长=2(

10、PE+PG) =2( - 4a2- 16 a+ 20 -4 999-2a)68a 一93298=-(a+917 2J225186,分8v 0,9，当a=-时，矩形PEFG的周长最大,4此时，点P的横坐标为-174(3)存在.AD = BD,，ZDAB =/DBA. .MN+ ZDMN =/MDB+ /DBA,又. ZDMN =/DBA,.ZAMN =/MDB,，AMN ZBDM,AN AM -= 8,分MB DB易求得：AB =6, AD=DB = 5.绡MN 为等腰三角形有三种可能：当 MN = DM 时，则AAMN /BDM, .AM=BD=5,.,.AN = MB = 1;9分当 DN

11、= MN 时，贝U/ADM = ZDMN =/DBA,又/DAM =/BAD,，ZDAM ZDAB, 而/DAB=/DMN ,.ZDNM ZDMN ,，DN WDM.11分综上所述，存在点 M满足要求，此时 AN的长为1或竺.362.(2019绵阳中考第24题)在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2(a0)的图象向右平移1个单位，再向卜平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B (点A在点B的左侧)，OA=1 ,经过点A的一次函数y=kx+b (kw0)的图象与y轴正半轴交于点 C,且与抛物线的另一个交点为D,小BD的面积为5.(1)求抛物线和一次函数的解析式;(2)抛物

12、线上的动点 E在一次函数的图象下方，求 ACE面积的最大值，并求出此时点 E的坐标;(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求 PE+-PA的最小值.备用图2个单位，得到的抛物线解析式【解析】(1)将二次函数y=ax2 (a0)的图象向右平移1个单位，再向下平移为 y= a (x-1 ) 2-2 , ,. OA=1 ,.点A的坐标为(-1 , 0),代入抛物线的解析式得，4a-2=0 ,用二-,2，抛物线的解析式为y= _(*一). 2,即丫=-/一1一，令y=0 ,解得x1=-1 , x2=3 222. B (3,0), .-.AB=OA+OB=4 , ABD 的面积为 5, yo

13、=5 ,25S 1 2 i5，yD=-,代入抛物线解析式得，解得x1=-2 , x2=4 , .,.D (4,-),22 2224A + b = -设直线AD的解析式为y=kx+b,2 ,解得：，：,I fc + fc = 06 =-直线AD的解析式为y=Z + L22(2)过点 E作 EM /y 轴交 AD 于 M ,如图，设 E (a,-,则 M (a, -fl + -),2222 1.S4ACE= SMME- S/CME=,二二一一=-MMMM132531t，当2=-时，AACE的面积有最大值，最大值是此时E点坐标为（r,-）（3）作E关于x轴的对称点F,连接EF交x轴于点G,过点F作F

14、HLAE于点H,交轴于点P,口 心J J 10 XG -4. E(蓝)，0A=1 , -AG=1+ -=, EG=/ 而pH EG 33. zAGE= ZAHP=90 SinZfAG二二二一二一，PH=P, . E、F关于 x 轴对称， AP 553IS . 15 .PE=PF, .-.PE+-AP=FP+ HP=FH,此时 FH 最小，. EF= -XZ= , ZAEG= ZHEF,584.ur_ AS FH 4rn 4 IS -3山EG二sinzHEF二一=二FH二一X一=3. pe+：pa的最小值是 3.EF 55 45升一一一，一 “一一，y一、一 一3. （2019攀枝花中考 第24

15、题）在平面直角坐标系 xOy中，已知A （0,2）,动点P在y = -x的图象上运动（不与O重合），连接 AP.过点P作PQXAP,交x轴于点Q,连接AQ.（1）求线段AP长度的取值范围;（2）试问：点P运动的过程中，/ QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由.（3）当4OPQ为等腰三角形时，求点 Q的坐标.【解析】（1）由丫=!知：ZPOQ=30 ,3当 APOP 时，AP 取得最小值=OA?sin/AOP=2sin60 =&G,（2）过点P作PHx轴于点H、交过点A平行于x轴的直线与点zAPQ=90 , . . AGP+ZAPG=90 , jAPG+ ZQPH =90 ,

16、. zQPH= ZPAG, PAGQPH, .tan ZPAQ =- = ,PA AC 耳 3贝 U/QAP =30（3）设：OQ = m,则 AQ2=m2+4=4 PQ2,当 OQ= PQ 时， 1即 PQ= OQ = m ,则 m2+4=4 m2,解得：m = + ； - 2当PO = OQ时，同理可得：m= 土（4+4 J3）；当PQ = OP时，同理可得：m = 28；故点Q的坐标为（0）或（-L, 0）或（4+4、8 0）或（-4-4寸弓，0）或（2的，0）或（-273 , 0） 22/06.已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线 x=1 ,其图象与x(1)求b , c的值；(

17、2)直线1与x轴相交十点P.如图1,若l/y轴，且与线段 AC及抛物线分别相交十点 E,CEDF面积的最大值；如图2,若直线1与线段BC相交于点Q,当APCQs/CAP日4V图1【解析】(1)由题意得：A，b=2 , c=3 , c = 3(2)如图1,二点C夭于直线x=1的对称点为点 D,.1.CD /OA, 1-3=- x2+2 x+3 ,解得：x1=0 , x2=2 , D (2, 3),抛物线的解析式为 y=-x2+2 x+3 ,，令y=0 ,解得x1二-1 , x2Qx轴相父于 A, B两点，与y轴相父于点 C (0, 3)F,点C关于直线x=1的对称点为点 D,求四边形寸，求直线1

18、的表达式.A图2=3 , , B (-1 , 0) , A (3, 0),设直线AC的解析式为y=kx + b,3,，直线 AC 的解析式为 y=- x+3 ,设 F (a, -a2+2 a+3 ) , E (a, -a+3 ), EF=- a2+2 a+3+ a-3=- a2+3 a,ii?四边形 CEDF 的面积=S在尸(+Szefdf-EF CD=-X ( 一 口.+3(1) X 2=-a2+3a=_2239，当2=-时，四边形CEDF的面积有最大值，最大值为/PAC=/PCQ, . PQ /AC,当PCQsZCAP 时，ZPCA= ZCPQ,C (0, 3) , A (3, 0) ,

19、.OA=OC,zOCA= ZOAC= ZPCQ=45图2ZBCO= ZPCA,如图 2 ,过点 P作 PM AC 交 AC 于点 M ,03 1抗浮.PG/M就固；产 一二设 PM=b,则 CM=3 b, AM = b, or 3 3 -AC二百百丽二3&, 力+ 3匕=3收，力二：也 4.国二防x%；OPm-PA二3-；二：.哈 0), *MMM33设直线l的解析式为y=-x+n, .- + n = 0, n-3，直线l的解析式为y=-x+_.25. (2019绵阳中考25题)如图，在以点 O为中心的正方形 ABCD中，AD=4 ,连接AC,动点E从点O出发沿O-C以每秒1个单位长度的速度匀

20、速运动，到达点 C停止.在运动过程中， ADE的外接圆交AB于点F,连接DF交AC于点G,连接EF,将4EFG沿EF翻折，得到 EFH.(1)求证：4DEF是等腰直角三角形；(2)当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；(3)设点E运动的时间为t秒，4EFG的面积为S,求S关于时间t的关系式.第问图【解析】(1)证明：二.四边形 ABCD是止方形，. zDAC= ZCAB=45,. zFDE=/CAB, /DFE=/DAC,月产SzFDE= ZDFE=45 ,，DEF=90 ,，DEF 是等腰直角三角形；(2)设 OE=t,连接 OD, .ZDOE= ZDAF=90 , OED=ZDFA,XF

21、-B 备用图.OEs/DAF,OE _ OD _.彳二万，./F=at又.ZAEF= ZADG , ZEAF= /DAG ,. AEFs ADG,AE_#犷疝 /G,屈二AD/F5%,又. AE=OA+OE=2v2+t,2d 2+f, .EG=AE-AG=2V2H当点 H 恰好落在线段 BCZDFH= ZDFE+ ZHFE=45 +45 =90, . ADFZBFH,巴_巴_七曲F_扬 4f&_岳.而一万一丁，AF/D, .而一防T, .而一顽，. 4 一升日,解得：ti =m-Q t2=m+屹(舍去)，EG=EH=- ?：何/。噌(3)过点F作FKAC于点K,由(2)得 EG=292+r,

22、. DEmEF, ZDEF=90. zDEO=/EFK, . ZDOEzEKF (AAS) ,，FK=OE=t, . S成 fg 二/G，FK?6. (2019资阳中考 第24题)如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y = ax2 - 2x+c与直线y= kx+ b 都经过A (0, - 3)、B (3, 0)两点，该抛物线的顶点为 C.(1)求此抛物线和直线 AB的解析式；(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点 E,在射线EB上是否存在一点 M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点 M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设点P是直

23、线AB下方抛物线上的一动点，当 PAB面积最大时，求点 P的坐标，并求 PAB面积的最大【解析】(1) :抛物线y=ax2-2x+c经过A(0, - 3)、B(3, 0)两点,(%f+c=O ,c=-3，抛物线的解析式为y = x2 - 2x- 3 ,直线 y=kx+b 经过 A (0, - 3)、B (3, 0)两点,/3k+b=0 b=-3,解得:直线AB的解析式为y = x- 3,(2) . y= x2 _ 2x _ 3 = (x-1) 2-4,，抛物线的顶点C的坐标为(1, - 4),.CE/y 轴，E (1, -2),CE= 2,如图，若点 M在x轴下方，四边形 CEMN为平行四边形

24、，则 CE= MN ,设 M (a, a-3),则 N (a,a2 - 2a - 3),H，MN=a-3- (a2-2a-3)=-a2+3 a,-a2+3 a = 2,解得：a = 2, a = 1 （舍去），.M (2, 1),如图，若点M在x轴上方,四边形 CENM为平行四边形，则 CE= MN设 M (a, a 3),则 N (a,a2 2 a 3),. .MN = a2 2a 3 (a3)=a2 3a,解得：a =早，a=*Z（舍去），M(3-h/U -3+V17综合可得M点的坐标为（2, - 1）或（如叵 一以后）22（3）如图，作PG/y轴交直线AB于点G,设 P(m, m2- 2

25、m - 3),则 G(m, m 3),.PG= m - 3 - (m22m 3) = - m2+3 m ,APAB= SzpGA+ SzpGBi= -i-pQ 0B=4- X (一加之+舐)X 3 =(m/) 2+，NNNZ Z o.当m = ?时，MAB面积的最大值是 ?，此时P点坐标为（三，W）28228.在矩形ABCD中，连结AC,点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着 B-A-C的路径运动，运动时间为 t （秒）.过点E作EFL BC于点F,在矩形 ABCD的内部作正方形 EFGH.（1）如图，当AB=BC=8时，若点H在MBC的内部，连结 AH、CH,求证：AH = CH;当0vtw8时，设正