(北京卷)十年真题(2010-2019)高考数学真题分类汇编专题04导数及其应用文(含解析)

1、专题04导数及其应用历年高考真题汇编1.【2019年北京文科20已知函数f (x) =1x3-x2+x.(I)求曲线y=f (x)的斜率为l的切线方程；(n )当 x - 2, 4时，求证：x - 6< f (x) w x；(出)设 F (x) = |f (x) - ( x+a) | (aC R),记 F (x)在区间-2, 4上的最大值为 M (a).当 M (a)39由 f' (x) = 1 得x (x-p =0,nE工也0 ="得. .p </、, 声、&又 f (0) = 0, f (-)三百,E-3-8方-y即y= x和y= x一分；(n)证明：

2、欲证 x- 6<f (x) < x,只需证-6< f (x) - x< 0,令 g (x) = f (x) - x=" 一/，xC 2, 4,= |ra-2r =加工-5则 g' (x):8Q可知g' (x)在-2, 0为正，在(0,1)为负，在 ，4为正,qg>- g (x)在-2, 0递增，在0,1递减，在. 4递增，、364，、又 g( 2) = 6, g (0)= 0, g ()= -> 6, g(4)= 0,- - 6< g (x) < 0,1, x - 6< f ( x) & x；(m)由(n)

3、可得，F (x) = |f (x) - ( x+a) |=| f (x) - x - a|=I g (x) - a|.在-2, 4上，6<g (x) & 0,令 t = g (x), h (t) = 11 - a| ,则问题转化为当te-6, 0时，h (t)的最大值 M (a)的问题了,当 aw 3 时，M (a) = h (0) = | a| = - a,此时-a>3,当a=-3时，M (a)取得最小值3;当 a> 一 3 时，M (a) = h (6) = | 6 一 a|= |6+ a| ,-1 6+a>3, 1. M (a) = 6+a,也是a= -

4、3时，M (a)最小为3.综上，当M (a)取最小值时a的值为-3.2.【2018年北京文科 19设函数 f (x) =ax2- ( 3a+1) x+3a+2ex.(I)若曲线y=f (x)在点(2, f (2)处的切线斜率为 0,求a；(n)若f (x)在x=1处取得极小值，求 a的取值范围.【解答】解：(I)函数f (x) = ax2- ( 3a+1) x+3a+2ex的导数为f' (x) =ax2- (a+1) x+1 ex.曲线y=f (x)在点(2, f (2)处的切线斜率为 0,可得(4a-2a-2+1) e2=0,解得a= i；(n) f (x)的导数为 f' (

5、x)= ax2-(a+1)x+1ex=(x1) (ax1) ex,若 a= 0 则 xv 1 时，f' ( x) >0, f (x)递增；x> 1, f '( x) v 0, f(x)递减.x=1处f (x)取得极大值，不符题意；若 a>0,且a=1,则 f'(x)= (x-1)2ex>0,f(x)递增，无极值；若 a>1,则4 M1, f (x)在(L, 1)递减；在(1, +8), (-8,-)递增， traa可得f (x)在x= 1处取得极小值；若 0vav1,则工 A, f (x)在(1,4)递减；在(、，+8),(8, 1)递增，

6、 traa可得f (x)在x=1处取得极大值，不符题意；若a<0,则乙<1, f (x)在(=1)递增；在(1, +8),(-巴、)递减， aaa可得f (x)在x=1处取得极大值，不符题意.综上可得，a的范围是(1, +8).3.【2017年北京文科20已知函数f (x) = excosx-x.(1)求曲线y = f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(2)求函数f (x)在区间0, 一上的最大值和最小值.2【解答】解：(1)函数 f (x) = excosxx 的导数为 f' ( x) = ex ( cosx sin x) 1, 可得曲线y = f (x)在点(

7、0, f (0)处的切线斜率为 k= e (cos0-sin0 ) -1 = 0, 切点为(0, e°cos0-0),即为(0, 1),曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为 y=1;(2)函数 f (x) = excosx x 的导数为 f' ( x) = ex (cosxsin x) 1,令 g (x) = ex (cosx- sin x) - 1,.一一一一 一xx贝U g (x) 的导数为 g ( x) = e (cosx sin x sin x cosx) = - 2e ?sin x,当 xC 0 ,二,可得 g' ( x) = - 2ex?

8、sin x< 0,施即有 g (x)在0 , 一递减，可得 g (x) w g (0) = 0,则f (x)在0 ,二递减，即有函数f (x)在区间0,巴上的最大值为f (0) =e0cos0-0=1;JJ订 亚 JT JT最小值为 f ()= 滋cos一 二 一一.222232 一4 .【2016年北东文科20设函数f (x) =x+ax+bx+c.(1)求曲线y = f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(2)设a= b=4,若函数f (x)有三个不同零点，求 c的取值范围；(3)求证：a2-3b>0是f (x)有三个不同零点的必要而不充分条件.【解答】解：(1)函数

9、f (x) = x3+ax2+bx+c 的导数为 f' (x) = 3x2+2ax+b,可得y=f (x)在点(0, f (0)处的切线斜率为 k=f ' (0) =b,切点为(0, c),可得切线的方程为 y= bx+c；(2)设 a= b=4,即有 f (x) = x3+4x2+4x+c,由 f (x) =0,可得c=x3+4x2+4x,由 g (x) = x3+4x2+4x 的导数 g' (x) = 3x2+8x+4= (x+2) (3x+2),当 x>一 :或 x< - 2 时，g' (x) >0, g (x)递增；当-2vxV :时，

10、g' (x) v 0, g (x)递减.即有g (x)在x= - 2处取得极大值，且为 0;g (x)在*=一号处取得极小值，且为一势.由函数f (x)有三个不同零点，可得 一等 v-c0,解得0 V cV掌则c的取值范围是(0,);(3)证明：若f (x)有三个不同零点，令 f (x) = 0,可得f (x)的图象与x轴有三个不同的交点.即有f (x)有3个单调区间，即为导数f' (x) = 3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点， 22,可得> 0,即 4a - 12b> 0,即为 a 3b>0；若a2-3b>0,即有导数f' (x) =

11、3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，2当 c= 0, a=b=4 时，满足 a - 3b>0,即有f (x) =x (x+2) 2,图象与x轴交于(0, 0), (- 2, 0),则f (x)的零点为2个.2故a - 3b>0是f (x)有二个不同零点的必要而不充分条件.5 .【2015年北京文科19设函数f (x)二一klnx, k>0.(1)求f (x)的单调区间和极值；(2)证明：若f (x)存在零点，则f (x)在区间(1,而上仅有一个零点.遍-5一化出承二四【解答】解：(1)由f (x)-£/ 、 文 2上f' (x) = x=由f'

12、 (x) = 0解得x二盛f (x)与f ' (x)在区间(0, +8)上的情况如下：X(0,嘉)诋(施，+ m)f' (x)-0+f (x)J1一臼出)T所以，f (x)的单调递增区间为( 房 +然),单调递减区间为(0, 瓜;f (x)在x=系处的极小值为f (腐)二削】产,无极大值.(2)证明：由(1)知，f (x)在区间(0, +8)上的取小值为 f (称f) = 2-因为f (x)存在零点，所以 2,从而k>e当k=e时，f (x)在区间(1, 近上单调递减，且f 或)=0所以x三痴是f (x)在区间(1,上唯一零点.<0当k>e时，f (x)在区间

13、(0,嘉)上单调递减，且/2,所以f (x)在区间(1,道)上仅有一个零点.综上所述，若f (x)存在零点，则f (x)在区间(1,国 上仅有一个零点.6.【2014年北京文科20已知函数f (x) =2x3-3x.(I)求f (x)在区间-2, 1上的最大值；(n)若过点 P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切，求t的取值范围；(只需写出(出)问过点 A (- 1,2),B (2,10),C (0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?结论)【解答】解：(I )由 f (x) = 2x3 3x 得 f ' ( x) = 6x2 3,令 f' ( x) =

14、0 得，x=一首或 x=¥，- f (2) = - 10, f (一考)= v,l, f (y)=-0, f (1) = - 1, .f (x)在区间-2, 1上的最大值为 镀.(n)设过点 P (1, t)的直线与曲线y=f (x)相切于点(x。，y。), 则yc=2r§ -3xc,且切线斜率为 k=6-4一3,，切线方程为 y- yc= ( 64-3) (x-x0),1-1 - yc= (64-3) (1 - x“，即4舄 6= t+3=0,3_2设 g (x) = 4x - 6x +t +3,则“过点P (1, t)存在3条直线与曲线y= f (x)相切"，

15、等价于"g(x)有3个不同的零点”2- g (x) = 12x - 12x= 12x (x 1),，g (x)与g' (x)变化情况如下:x(-巴0)0(0, 1)1g' (x)+0-0g (x)t+3t+1(1) = t+1是g (x)的极小值.g(1, +°°)1. g (0) =1+3是9 (x)的极大值,当 g (0) =t+3<0,即 tw 3 时,g (x)在区间1和(1, +oo)上分别至多有一个零故g ( x)至多有2个零点.当g (1) =t+1>0,即t A - 1时，g (x)在区间(-8,0和(0, +oo)上分

16、别至多有一个零点，故g ( x)至多有2个零点.当 g(0) >0 且 g(1) V0,即一3vtv 1 时，g (1) = t 7V0, g (2) = t+11 >0,.g (x)分别在区间-1, 0), 0 , 1)和1 , 2)上恰有1个零点，由于g (x)在区间8,0)和1 , +OO)上单调，故g (x)分别在区间(-8,0)和1 , +OO)上恰有1个零点.综上所述，当过点过点 P (1, t)存在3条直线与曲线y= f (x)相切时，t的取值范围是(-3, - 1).(出)过点 A ( - 1, 2)存在3条直线与曲线 y=f (x)相切；过点B (2, 10)存在

17、2条直线与曲线y=f (x)相切；过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y= f (x)相切.7.【2012 年北京文科 18已知函数 f (x) = ax2+1 (a>0), g (x) =x3+bx.(1)若曲线y = f (x)与曲线y= g (x)在它们的交点(1, c)处有公共切线，求 a, b的值；(2)当a= 3, b=-9时，函数f (x) +g (x)在区间k, 2上的最大值为28,求k的取值范围.【解答】解：(1) f (x) = ax2+1 (a>0),贝U f' (x) = 2ax, k1=2a,g (x) =x3+bx,贝U g' (x)

18、= 3x2+b, k2= 3+b,由(1, c)为公共切点，可得：2a= 3+b又 f (1) = a+1, g (1) = 1+b,a+1 = 1+b,即a= b,代入式，可得：a=3, b= 3.(2)当 a= 3, b= 9 时，设 h (x) = f (x) +g (x) =x3+3x29x+12贝U h ( x) = 3x +6x- 9,令 h' (x) =0,解得：xi = 3, x2 = 1 ；. k< - 3时，函数h (x)在(- 3)上单调增，在(-3, 1上单调减，(1,2)上单调增，所以在区间k, 2上的最大值为 h (- 3) =28-3vkv2时，函数

19、h (x)在区间k, 2上的最大值小于 28所以k的取值范围是(-国，38.【2011年北京文科18已知函数f (x) = (x-k) ex.(I)求f (x)的单调区间;(n)求f (x)在区间0, 1上的最小值.【解答】解：(I) f' (x) = (x k+1) ex,令 f' ( x) = 0,得 x= k - 1,f ' (x) f (x)随x的变化情况如下:x( 8, k 1)k - 1( k- 1, +8)k- 1一ef' (x)f (x) f (x)的单调递减区间是k- 1), f (x)的单调递增区间(k- 1, +00)；(n)当k- 1&l

20、t;0,即kw1时，函数f (x)在区间0, 1上单调递增，1. f (x)在区间0,1上的最小值为f (0) = - k;当0v k - 1 v 1,即1 v kv2时，由(I )知，f (x)在区间0 , k- 1上单调递减，f (x)在区间(k - 1,1上单调递增， .f (x)在区间0,1上的最小值为f (kT) =- ek1;当k- 1>1,即k>2时，函数f (x)在区间0, 1上单调递减，1. f (x)在区间0,1上的最小值为f (1) = ( 1 - k) e；1fe fc < 1综上所述f (x)Jt>2min9.【2010年北京文科18】设定函数

21、f (x) = |x3+bx2+cx+d (a>0),且方程f' (x) - 9x=0的两个根分别 为 1, 4.(I)当a=3且曲线y=f (x)过原点时，求f (x)的解析式；(n)若f (x)在(-°°, +oo)无极值点，求 a的取值范围.【解答】解：由得f' ( x) = ax2+2bx+cc + 2b +-9 = 0因为f' (x) 9x= ax2+2bx+c9x=0的两个根分另1J为1, 4,所以 八 L '一 ” (*)(I)当a=3时，又由(*)式得解得 b= - 3, c= 12又因为曲线y=f (x)过原点，所以

22、d= 0,32故 f( X) = x - 3x +12x.CO =卒工*+bx* + ex + d(n)由于a>0,所以“''在(-8, +oo)内无极值点”等价于"f' (x) = ax2+2bx+c>0在(-8, +OO)内恒成立”.由(*)式得 2b=9 5a, c=4a.2又匕=(2b) - 4ac= 9 (a-1) (a-9)(e>0解必=9。_1)值_9), 口得 ae 1 , 9即a的取值范围1 , 9考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题历年考题主要以解答

23、题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题为重点较佳最新高考模拟试题A , 1A- (2,0)e【答案】C.r<0x史BoL X若F(尤一值有3个零点，则k的取值范围为(1八1、B.(尤'0) C (0，%)1D. (0,) e【解析】1x<0由题意，函数，要使得函数 尸(幻=/(可一% 在R上有3个零点,=x>0.工In x当 x 0时，令 F（x）=，（克）-Ax= 0 ,可得 k -2-, xln

24、x要使得F x0有两个头数解，即y k和g x 2-有两个交点,x1 T11又由丁（兀1=-,令121口第=。，可得x je,当x （0, Je）时，g x 0,则g x单调递增；当上时，g x 0,则g x单调递减,所以当x Je时，g（工）口工，ln x1若直线y k和g x有两个交点，则k （0,），x2e1当x 0时，y k和gx 一有一个交点，则k 0, x L ，1 一，综上可得，实数 k的取值范围是（0,孤），故选C.【解析】 C.2D.由题意，/疝尸,sin仪 sin? 二>a *'/X、51nH( c芯、设M二o:-x)设一 一2.已知以产£（0:5）

25、，严圆口值一值更打产0 ,则下列不等式一定成立的是（二 H() = cos.r-xsiil X-C-O5 .¥ = -X5itl.Y< 0 ,g x在0,-单调递减，且式其”式曲二口 , 2f ' x 0,所以f x sin)在0,-递减， x 2sin d si口足一步/"/小,>/> /a 0,故选C.3 .已知函数， = 涵工一犬+二(a为大于1的整数)，若y f(x)与J- = f(y(x)的值域相同，则a的最小值是()(参考数据：1口2 附。6931 , hi31.0986 , In 5*1一9)94 )A. 5B. 6C. 7D. 8【

26、答案】A【解析】，(Q二口1口工一工+2= f (其=一1二0_,当x a时，f'(x)0 ,函数f (x)单调递减，当0 x a时,XXf'(x) 0,函数f(x)单调递增，故“工)工=/9) = m口口一口十2,又当工t。口：)t一工，所以函数f (x)的值域为(一工=口1口。一日+ 2,令. .- -1.-.wZ二工(白)0因此t(a)是单调递增函数，因此当 a 2,a Z时，r(a>r(2) = 21ii2>0 , f(x)=alax-x+2 = n 由上可知：n<alna a 2 ,> = /V0) = /8),由上可知函数f (n)在0 x

27、a时，单调递增，在 x a时，单调递减，要想=町)的值域为(一二口加心一口 + 2,只需£二口1口出_值+ 2 ,即4口/ 2。+ 230 ,设宫力+ 2 , a 2,a Z , g (口)二 1口门一1 ,所以当 a 3,a Z 时，函数 g(a)单调递增，虱工)-4<0,虱3)=引口4<0,g(4) = 41n4-6<0这(5)=51口5-8 >0 ,所以a的最小值是5,故本题选a.4 .已知实数a , b , c , d满足里坐二= 1 ,则S-翁+。一/)：的最小值为()0+1H3A. 8B. 4C. 2D. 2【答案】D【解析】lnu + 1占十1二

28、-=JJIn 口十 1 ，一 , =1 = % = 1口 口 ,Hl= l= d= r + l d-3可以看成f(x) lnx和g(x) x 1之间的最小值1f (x)一x当工=1=工=1时，即点1,0到直线g(x)Xx 1的距离最小5.若函数/(工)=，一4-din4在区间1,上存在零点，则实数a的取值范围为()A 0，2B.l,e2C.0,D.【解析】 因为函数/(xj =工一瓜一口ki九，所以一lyjx X令g(4=2,一网一工心，因为E,Cx)2y/x 2lx当 x (1,)时，4«1>0,班>0 ,所以 g (x) 0所以g(x)在(1,)上为增函数，则g(x&

29、gt;>g(l)=l-2i ,当1 2a 0时，g(x) 0,所以f(x) 0,所以f(x)在(1,)上为增函数，则。，所以f(x)在(1,)上没有零点.10,当1 2a 0时，即a 一,因为g(x)在(1,)上为增函数，则存在唯一的x0 (1,),使得g(x0)2且当 x (1,xO)时，g(x) 0,当 x (x0,)时，g(x) 0；所以当x (1,x0)时，f (x) 0, f(x)为减函数，当x (x0,)时，f (x) 0, f(x)为增函数，当x x0时，力晨工)=/(%),因为 八9” /(D =。，当x趋于 时，f (x)趋于 ， 所以在x (x0,)内，f (x) 一

30、定存在一个零点 ,1所以a (-,),2故答案选D.6.已知函数y(x) = ： 2- eotx-,若对任意x (0,),都有/"»一寸 成立，则实数a的 XJX取值范围是()A.【解析】B. -X，2 可D.-2后也令鼠*)二一y(工)二(2主一1"r _皿二一2 ,则 £0)=0)+00,因为对任意x (0,),都有/(工)苣一以工工)成立,所以/=/(工)+才,住)之0在x (0,)上恒成立； 即，(工)=(2工+ 1)/+26之。在x (0,)上恒成立；即2a工二；2H，在x (0,)上恒成立;x k XJ令心。= 2 + - 建，x (0,),

31、 I-1 1 J , l'L x (2x2 + r-1)工则6(x)n-y总+, 2+ e p电,1由h（x）。得2m*+h一1 = 口，解得x 1 （舍）或x'- '2所以，当0 x 1时，2y / <0 ,方（工）=;2+1/单调递减；2k【工）当x 1时, *（力=（'亡+"1）/<0, feCr）-；2+-V单调递增；2/七 G所以卜3工把=hj= 4上 ,因为一2以工"业亡=；二+ 1炉在x （0,）上恒成立， H I 3所以只需 2a 4fe ,解得a2e .故选D7.已知奇函数f x是定义在R上的可导函数，其导函数为

32、f x ,当x 0时，有口门+y（乂）一,则不等式（x+2018）2/（+2018K4/（-2） <0 的解集为（）A 1一；:一.。飞！B. - 一C.,2018D,2016,0【答案】A【解析】设 g （%）=/,）,因为f x为R上奇函数，所以=（一工/（一工仁一一/（毛），即g x为R上奇函数对g x求导，得£1工）=工2八#）十必十明,而当x 0时，有+ w> f=0故x 0时，g x 0,即g x单调递增，所以g x在R上单调递增n不等式 一一一(工+ 2018)2 /(x+2018)< -4/(-2),(r+2018j2/(rt2018)<4/(

33、2)即- _1-所以 x+2018<2 ,解得 x 2016故选A项.8.已知函数/(戈)=1 + h-三十三-二，则使不等式f(x 1) 0成立的x的最小整数为()A. -3B. -2C. -1D. 0【答案】D【解析】丁 X'文" /I 3?三根据题意，函数 7X0 = 1+主+ + ，其导数35791113/x) =+ j? tW -.?c +/ ,x 0时，f (x)可以看成是1为首项，x2为公比的等比数列,则有 / (-<)= 1 -工 $+x3 - P* +P* => 0 ,1+x*函数f(x)在R上为增函数，又由八一1)=1+(-1)+(?：)

34、+(!一：)一(：一)>°,2一，一 2sA12"止2)= 1 +(-2)- -一二：十:2i-一春 + 3一大0，则函数f(x)在(2, 1)上存在唯一的零点，设其零点为 t,/(x-1) >0=>x-l >r=>x>/+!,又由 2 t 1,则一1,故不等式f(x 1) 0成立的x的最小整数为0；故选：D.9.直线y ax是曲线y 1 lnx的切线，则实数a【答案】1【解析】1解：. y 1 ln x , y x1设切点为（m,1 lnm）,得切线的斜率为 一，m所以曲线在点 m,1 ln m处的切线方程为：y-ln rn -1 =X

35、（x-rn）.即： 一 .： ,一 它过原点，ln m 0 , m 1,1, , a 1 .m故答案为：1.10.函数，（xi=&/一-与gix）-JT-1的图象上存在关于 x轴的对称点，则实数 a的取值范围为【答案】【解析】£（）=*:-1-1关于*轴对称的函数为匕3=-/+91,因为函数工I ="夕一）与三|三）=T 一尤一 1的图象上存在关于 x轴的对称点, 所以/（6=。/一/与以力=一/ +工+1的图象有交点，方程口。V =-/+#+1有解，即aex x 1有解,a 0时符合题意，a 0时转化为/ =有解，a即尸=£工，>, =（第+1 j

36、的图象有交点， 口1j二一（工+ 1）是过定点1,0的直线，其斜率为-1,-a设尸=，尸=（1+1）相切时，切点的坐标为m,em ,me则m 1mea ,解得a 1 ,切线斜率为11a,厂1由图可知，当一1,即a 1且a a0时,""/- =；（工+1）的图象有交点,此时，壬1=4屋一与小（工）=一/+犬+1的图象有交点，函数 尤）=1产一工，与日（%）=/ 一当一 1的图象上存在关于 x轴的对称点，综上可得，实数 a的取值范围为a 1 ,故答案为a 1.11 .已知函数/£>=产-1,若存在实数a,b（a b）使得/（口）= /）,则a 2b的最大值为 3

37、2【答案】ln 3227【解析】由题意，令a,b为方程f（x） m的两个根，由图像易得由ex 1 m得ex 1 m ,解得工=由。+揖）或，=1口。一雨），因为 a b,所以 b = lnQ +制），口 = ln（l-附，因此 alb =InQ-加）+21n0 + wa）二山（】一叨乂1 一m）* ,令自（机）二。一次）（1一冽）：=7/-5,+加+1, 0 m 1,则 g'（ws）=-3初-2川+1=-（3次一 1）（由斗 D ,1，、-1因为0 m 1,所以由g （m） 0得0 m 一 ；由g （m） 0得一 m 1 ,33r 1 1即函数g（m）在0,-上单调递增；在 一,1上单

38、调递减； 33'S2二一, 27所以g（一32因此a 2b的最大值为ln *2.27.32故答案为ln32 2712 .已知实数a, b, c满足十3*匚川M十？小十1 （e为自然对数的底数），则a2 b2的最小值是5【解析】设 口（工）=er -（x+1）,贝U t/5） = J -1 ,所以函数u（x）的增区间为（0, + ）,减区间为（-,0）, 所以之认0） = 0，即ex x 1；可知g好+£-1+1 二曰+2匕+ 1 ,当且仅当仁=2Z? 仁一1 =。时取等;因为<dr+2i+l所以 + /“z = 0+22+1,白+。= 24 e 1 = 0.所以口一 T

39、nb -,号等取叱1-5C当仅且7.7 T (C - 1)一解得 口 f =C*+-41故答案为：一513 .已知直线x t与曲线门工户财工十小勤工方产分别交于M,N两点，则|MN的最小值为【答案】1.【解析】令励二则一/0)二-1吟+ 1),k(F)=目。)一/(。二/一一，显然为增函数，且h'(0)0r + 1所以当t ( 1,0)时，单调递减；当t (1,)时，印单调递增.所以1.故答案为1.14 .曲线y acosx在x 一处的切线l的斜率为-,则切线l的方程为.62【答案】一- 一二一一6【解析】解：曲线 y acosx,可得 v-asinx ,1曲线y acosx在x 一处

40、的切线l的斜率为 一，62一小一万I可得一曰皿口"=三，6 2所以a 1.所以切点坐标为：(一立),6'2则切线l的方程为：y+-=，一工 .即：工-上¥一出一e二口.故答案为：贯_坊_出_工=0 .6义2的最大值是21上< 0.15 .已知函数/0)二,. 若方程f(x)2 a恰有两个不同的实数根 。治，则x1I e, r > 0.【答案】31n 2 2【解析】作出f x的函数图象如图所示，由工)丁 =，可得6 >1 ,即 a 1,不妨设Xi X2 ,则词=。肛=6 ,令夜二风£ > 1),则局=毛=ln E ,二毛十七二1口一

41、,令鼠。=ln£-g ,则f ,当i t 8时，g't 0, g t在1,8上递增；当t>8时，g' t 0, g t在8, 上递减；当 t 8 时，g t 取得最大值 g(8)-ln8-2=31n2-2 ,故答案为31n 2 2.or- Ljc <016 .已知函数/(x)=;占 八的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围 ox+|x-2 , x > 0【答案】a 0或a 2【解析】1 ,所以函数f(x)的图象经过第二、三象限,(1)当a 0时，f(x)在(，0上单调递减，又f(0)0时,11 (o 1) .X- - 2.x3 -(d +l)x+

42、 2, 0 < x<所以* 二3必-( + 1)土玲2,0 <x<2若a41时，f (x) 0恒成立，又当x 0时，f(x) 2 ,所以函数f(x)图象在x 0时，经过第一象限，符合题意；若1 a 0时，f (x) 0在2,)上恒成立，当0 x 2时，令f (x) 0,解3但土!<L ,所Y 33(2)当a 0时，f(x)的图象在(，0)上，只经过第三象限，f (x) 0在(0,)上恒成立，所以f(x)的图象在(0,)上，只经过第一象限，故不符合题意；(0，)上的最小值fmin(x) 0,当0 x 2时，令f (x) 0 ,解得x Ja 若J/ 2时，即a 11时

43、，f(x)在(0, ，(用邛等用' 令/因HT用<。= 若，之2 = 口占11时，则f(x)在0 x 当x 2时，令f(x) 0,解得x jay 右 Js 2 011VbM 13 , f (x)在(2, 令白 >4 ,所以 11 a 13;二)上的最小值为口 >2 二 2 c口11 .:2时，单调递减，)上单调递增，故f(x)在(0,)上的最小值为，。)=8-2口，(3)当a 0时，f(x)在(，0)上单调递增，故f(x)的图象在(，0)上只经过第三象限，所以 f(x)在若.但二1之2 = 口之13，f(x)在2,区1上单调递减，在 J巳二：斗工|上单调递增，故f(x

44、)在(0,显然一手13;结上所述：a 0或a 2.17.已知函数次|-lnx(白0).(I)讨论f(x)的单调性；,、口2二 ln32 Inrr , (fi-lX2w+l)， c(n)比较l+- +一一+与一-的大小 n N 且口 2 ,并证明你的结论 2*3* f 海+1)，【答案】(I)见解析；(II )见解析【解析】工一1口工一金xA a(I)函数“*)可化为/00 =,日一工一M 国Ocxc口当0 x a时，/(咛二一1一<:0 ,从而f(x)在(0,a)上总是递减的， x JC 1当x a时，= 1-=-,此时要考虑a与1的大小.x x若a>1,则f(x) 0,故f(x)

45、在a,)上递增，若0 a 1,则当a x 1时，f (x) 0,当x 1时，f (x) 0,故f(x)在a,1)上递减,在(1,)上递增，而f (x)在x a处连续，所以当a>1时，f (x)在(0,a)上递减，在a,)上递增；当0 a 1时，f(x)在(0,1)上递减，在1,)上递增.()由(I)可知当ln23山3工,2x3 3x4ln x1In M-Ja 1, x 1 时，x-l-lnx;> 0，即 In x 1 x ,所以 1 一.所以 xx，一口一口"一上_+1) J12 w+L J2(ft + 1)In2 - 2-tt+125+1)18.已知函数= Iik !/

46、-Gfd w R1 .2(1)讨论f x的单调性;(2)右xi,x2为f x的两个极值点，证明：.晨一二一一g“IjL【答案】(1)当a 2时，f x在0.为增函数，为增函数；当a 2时，f x在-a/a2 - 4 二 + 4r* 二40,为增函数.(2)证明见解析.减函【解析】(1) f x的定义域为0,j2 -or -1对于函数L二寸一 4T + 1, 1f/当3 =时，即 22时，上2十公+1占。在x0恒成立.A V +6LX + 1.二 r ( t)=在0,恒成立，f x在0,为增函数;当2时,2时，由f在0.x 0,得其E 士:五三或,二三三,0<lZ -4l2 + Ji -I

47、a -一&为增函数,a - yfa" - 4+-42，2减函数,f+Jcj - 4为增函数,当a 2时,由,X)二丁十吧 >0在0,恒成立,X0, 为增函数.综上，当a2时，f x在a为增函数,a -W q + Jc?；一4 1; 减函数,一口+Ju 4%为增函数;当a 2时，f x在0, 为增函数.（2）由（1）知a 2,且耳+工？=-。=%工2 =1 ,由（%）*；工：+力:工 +T5s5一m一人.a .令t一，故t 1 ,2原不等式等价于lnt<t-1对t 1成立,4(O = ln?-(f-lXg1« = <0 ,所以式。=比-(，-1)单调

48、递减，有 = 0得证.19 .已知函数，（工）=的（6 + 1） 工+ 1（日，1）.a 1时，求f （x）的最大值;()若对KW -1 = +工；恒成立，求实数 a的取值范围.(1) 1； (n) 1,e【解析】a 1时，/（幻=历（工+1）-工+ 1 ,定义域为（1,）.rw=令 f (x) 0,得 x 0.当x ( 1,0)时，f (x) 0, f(x)单调递增,当x (0,)时，f (x) 0, f(x)单调递减.所以-.,一 一 .时,f (x) 0, f(x)单调递增；当,+£时，f (x) 0, f(x)单调递减,依题意有In 口+工式土九,设=1口 口 +(口/1),

49、 。点a则g'g)二二一二二巴二20 ,所以g(a)在a 1,)上单调递增 ， 、 ,1 -1 "，,1 1U+l 一尸-r 、/ /又 g(e) = lne+ =,故 1口口+-W0 gsKg©1xae,eea ex x即实数a的取值范围为1,e.20 .对于函数y f x的定义域d,如果存在区间 m,n D，同时满足下列条件： f x在京琦+|gI上是单调函数；当 x m,n时，f x的值域为2m,2n ,则称区间，(工)+ |g(x)|是函数f x的“单a1nx-2x= x> 0 fa >0)(1)若a 2,求f x在点e, f e处的切线方程；(

50、2)若函数f x存在“单调倍区间”，求 a的取值范围.【答案】(1)5；(2) ； J；【解析】(1)当 a 2时，/(工)=21口”卬工>。)当 x 0时,/(,) 二二一二，则：/(0)二二一2,又/(白)=2-2百f x 在 e, f e 处的切线方程为：y-f2-2(?)=-2 '总即：tflnx- 2x x > 0-2a± x< 0J- 4X-1工卢xy 0(cj>0)当m n 0时，由f x在,0上单调递减，则有x<0列表如下:x,00,a2a2a2,f x0f x/极大值设函数f x存在“单调倍区间”是 + |g（刈两式相减得：./

51、.要使此关于 m,n的方程组在 m n 0时有解,则使得y 2a与卜=2/ 一工（工土0）的图象有两个公共点、“1 ,3 一0时，y1当 x 二时，ymin二，当x482结合两函数图象，则3 2a <1一,即：3一 a182164一 3 1即此时满足f x存在“单调倍区间”的 a的取值范围是 一，一16 4当0不小工五色区时，由f x在0,a上单调递增，则有-21 ln m即：a4m1 ln na 4n、儿ln xJ. - n、设g x ,则g (x)=、4x当x 0,e时，g x 0, g x为增函数当x e, 时，g x 0, g x为减函数ln xa7的图象在0,有两个父点1 In x1要使万程有两解，则y 与g x a4xa结合两函数图象，则a In22aa 4e解得：二,二 _ .，二 即此时满足f x存在“在单调倍区间”的 a的取值范围是 4e,2e2一 aa一 一 .%山布一2加二2注当一 m n时，由f x在二，上单倜递减，则有： 、飞22白也修一2月=口用两式相减得：鼻（出喟-hi库）=0 ,