中考数学圆的综合的综合题试题含答案

1、中考数学圆的综合的综合题试题含答案一、圆的综合1 .如图，点P在。的直径AB的延长线上，PC为。的切线，点C为切点，连接 AC, 过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交。于点E.(1)如图 1 ,求证：/ DAC=Z PAC(2)如图2,点F (与点C位于直径AB两侧)在。O上，BF ?A，连接EF,过点F作AD 的平行线交 PC于点G,求证：FG=DE+DG在(2)的条件下，如图 3,若AE=2dG, PO=5,求EF的长.3【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) EF=3j2.【解析】【分析】(1)连接OC,求出OC/ AD,求出OC, PC,根据切线的判定推出即可；(2)连接

2、BE交GF于H,连接OH,求出四边形 HGDE是矩形，求出 DE=HG FH=EH即 可得出答案；(3)设OC交HE于M ,连接OE、OF,求出/ FHO=/ EHO=45 ,根据矩形的性质得出EH/ DG,求出 OM=1AE,设 OM=a,则 HM=a, AE=2a, AE=- DG, DG=3a, 23MO1CO 1求出 ME=CD=2a, BM=2a,解直角二角形得出 tan/MBO=tanP= 设BM 2PO 2OC=k,则PC=2k,根据OP=J5 k=5求出k=J5,根据勾股定理求出 a,即可求出答案.【详解】(1)证明：连接OC,.PC为。的切线, OCX PC, .ADXPC,

3、 .OC/ AD,Z OCA=Z DAC, .OC=OA,Z PAC4 OCA,Z DAC=Z PAC(2)证明：连接 BE交GF于H,连接OH,的1. FG/ AD, / FGD+/D=180 ；d D D=90 ；/ FGD=90 ；.AB为。的直径，/ BEA=90 ,°/ BED=90 ,°/ D=/HGD=/BED=90 ,°四边形HGDE是矩形，DE=GH, DG=HE, Z GHE=90 ,°Bf Af ,/ HEF=Z FEA=1 / BEA=- 90° =45 °, 22/ HFE=90 - / HEF=45 , &

4、#176;/ HEF=Z HFE, .FH=EH,.FG=FH+GH=DE+DG(3)解：设OC交HE于M,连接OE、OF1 . EH=HF, OE=OF HO=HO,2 .FHOAEHO,/ FHO=Z EHO=45 ；四边形GHED是矩形，.EH/ DG,/ OMH=/OCP=90 ；/ HOM=90 - / OHM=90 - 45 =45 ；/ HOM=/OHM,.HM=MO ,.OMXBE,.BM=ME,.OM= 1 AE,2设 OM=a,则 HM=a, AE=2a, AE=2DG DG=3a3'' / HGC=Z GCM=Z GHE=90 ；四边形GHMC是矩形，GC

5、=HM=a, DC=DG- GC=2a, DG=HE, GC=HM,ME=CD=2a, BM=2a,在 RtBOM 中，tanZ MBO=M0- - 1BM 2a 2' EH/ DP,/ P=/ MBO,CO 1tanP=-,PO 2设 OC=k,则 PC=2k,在 RtPOC 中，OP=*k=5,解得：k=5 , OE=OC= 5 ,在 RtOME 中，OM2+ME2=OE2, 5a2=5,a=1,HE=3a=3,在 RtHFE 中，/HEF=45, 1-EF=72 HE=372 -【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用 性质进行推理是

6、解此题的关键.2.如图，。是4ABC的外接圆，点 E为4ABC内切圆的圆心，连接 AE的延长线交 BC于 点F,交。O于点D；连接BD,过点D作直线DM,使Z BDM=Z DAC.(1)求证：直线DM是。O的切线；(2)若DF=2,且AF=4,求BD和DE的长.V D【答案】(1)证明见解析(2) 2 J3【解析】【分析】(1)根据垂径定理的推论即可得到ODLBC,再根据/BDM=/DBC,即可判定 BC/ DM,进而彳#到ODLDM,据此可得直线 DM是。的切线；(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到/BED=/EBD,即可得出DB=DE,再判定DBQ4DAB,即可得到 DB2=DF

7、?DA,据此解答即可.【详解】(1)如图所示，连接OD.点 E 是 4ABC的内心，丁. / BAD=/CAD,Bd Cd ，OD，BC.又. / BDM=/DAC, /DAC=/DBC, . / BDM=/DBC, . BC/ DM, .1.ODXDM.又OD为。O半径，.直线DM是。的切线.(2)连接 BE. .£ 为内心，/ABE=/CBE / BAD=Z CAD, / DBC=Z CAD, . / BAD=Z DBC, . / BAE+Z ABE=Z CBEZ DBC,即 ZBED=Z DBE, . BD=DE.又/ BDF=/ADB （公共角），. DBFs DAB, 里

8、-DB 即 DB2=DF?DA. DB DA- DF=2, AF=4, . DA=DF+AF=6, . DB2=DF?DA=12, . DB=DE=2 J3 .【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注 意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心 到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.3.如图，AB是。的直径，弦CD)±AB,垂足为H,连结AC,过BD上一点E作EG/ AC 交CD的延长线于点 G,连结AE交CD于点F,且EG=FG连结CE.(1)求证：Z G=Z CEF(2)

9、求证：EG是。的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点 M ,若tanG =-, AH=3“，求EM的值.4,【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 空叵.8【解析】试题分析：(1)由AC/ EG,推出/G=/ACG,由AB± CD推出 Ad Ac ,推出/CEF=/ACD,推出/G=/CEF,由此即可证明；(2)欲证明EG是。的切线只要证明 EG± OE即可；(3)连接OC.设。的半径为r.在RtOCH中，利用勾股定理求出 r,证明一 AH HC AHCAMEO,可得 ，由此即可解决问题；EM OE试题解析：(1)证明：如图 1. AC/ EG,ZG=Z AC

10、G, / AB± CD, z. AD AC， . / CEF=/ACD, ，/G=/CEF, / ECF=/ ECG . . ECfF GCE(2)证明：如图2中，连接OE. GF=GE, . . / GFE=/GEF=/AFH,OA=OE,/ OAE=Z OEA, / AFH+Z FAH=90 ；/ GEF+ / AEO=90 :/ GEO=90 :GE± OE,.EG是。O的切线.(3)解：如图3中，连接OC.设。的半径为r.在 RtAHC 中，tan Z ACH=tan Z G= AH-= - , AH=3/3，HC=4 石 在HC 4RtA HOC 中,- OC=r

11、, OH=r-痂，HC=4j3,，（r 373）2 （4，3）2r2,，r=g6AH HC. GM/AC, ，/CAH=/M, / ZOEM=ZAHC, AHC MEO, . EM OE3 34.3EM2573，.,EM=25J8点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定 理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相 似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题.4.如图，点P是正方形 ABCD内的一点，连接 PA, PB, PC.将 PAB绕点B顺时针旋转 90°到P'CB的位置.(1)设AB的长为a,

12、PB的长为b(b<a),求 PAB旋转到 P'CB的过程中边 PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积;（2）若 PA=2, PB=4, /APB=135°,求 PC 的长.7T【答案】S阴影=M(a2-b2)； (2)PC=6.【解析】试题分析：(1)依题意，将/P' CB时针旋转90。可与4PAB重合，此时阴影部分面积 二扇 形BAC的面积-扇形BPP的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90。，可据此求出阴影部分的面积.(2)连接PP；根据旋转的性质可知： BP=BP；旋转角ZPBP'=90°,则4PBP是等腰直角三 角形，/BP&

13、#39;C=/ BPA=135, /PP'C=/ BP'C-Z BP'P=135 -45 =90°,可推出PP'C是直角三角 形，进而可根据勾股定理求出 PC的长.试题解析：(1)二,将4PAB绕点B顺时针旋转90°到AP' CB位置，.PABAP'CB,Sa pab=Sa p,cb,nS阴影=S 扇形BAC-S扇形BPP =4 (a2-b2)；(2)连接PP,根据旋转的性质可知：APBCP p .BP=BP '产P' C=PA=2 PBP' =90 ° PBP是等腰直角三角形，P'P

14、2=PB2+P'B2=32；又 / BP C= BPA=135,./PP' CBP'-aBP' P=1345°390 ；即 APP'是直角三角形.八 + PC1PC=L '十'J =6.考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质.5.如图，。是4ABC的外接圆，AC为直径，BD= BA, B已DC交DC的延长线于点 E(1)求证：BE是。的切线DBA【解析】分析：(1)连接OB, OD,根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到 /ADC=90,证得四边形 BED

15、F是矩形，即 /EBF=90可得出结论.(2)根据中点的性质求出 OF的长，进而得到 BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三 角函数求解即可.详解：证明：(1)连接BO并延长交AD于F,连接OD. BD=BA, OA= ODBF为线段AD的垂直平分线.AC为。O的直径/ ADC= 90 ° .BEXDC 四边形BEDF为矩形 / EBF= 90 ° .BE是。O的切线(2) ;。、F分别为AC、AD的中点13AE/ HM;275,AD= 11,求线段 AB的长.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) AB的长为10.【解析】OF= -CD= 22 .BF=

16、 DE= 1 + 3=43 5 . OB= OD= 4 2 23OF 2 3 . cos/ DBA= cos/ DOF= OD 5 52点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化6.如图，4ABC 内接于。O,弦 ADLBC 垂足为 H, / ABC= 2 Z CAD.(1)如图1,求证：AB= BC;(2)如图2,过点B作BMLCD垂足为M, BM交。于E连接AE、HM ,求证:(3)如图3,在(2)的条件下，连接 BD交AE于N, AE与BC交于点F,若NH分析：（1）根据题意，设/CAD=a然后根据直角三角形

17、的两锐角互余的关系，推导出 /BAC=/ ACB,再根据等角对等边得证结论；（2）延长AD、BM交于点N,连接ED.根据圆周角定理得出 ZN=Z DEN=Z BAN,进而根据 等角对等边，得到 DE=DN,BA=BN再根据等腰三角形和直角三角形的性质，求得 MH / AE;（3）连接CE,根据（2）的结论，由三角形全等的判定与性质证得HF=HC,然后结合勾股定理求出AG-AH2=CC2-DH2,解得CD=5,CH=4,AH=8最后根据锐角三角函数的性质得到AB.详解：（1）证明：设Z CAD=a,贝U / ABC=2aZ C=90 -a, / BAD=90 -2a,/ BAC=90 -2a+a

18、=90 -a ° / BAC=Z ACB.1. AB=BC证明：延长 AD、BM交于点N,连接ED. / DEN=Z DAB,/ N=Z BCD/ BCD=Z BAN/ N=Z DEN=Z BAN.DE=DN,BA=BN又 ; BH±AN,DM±ENEM=NM,HN=HA,MH / AE(3)连接CE./ BDA=Z BCA,Z BDM= / BAC,由(1)知/ BCA=Z BAC/ BDA=Z BDM,. . ABDMABDH,.DH=MH,Z MBD=Z HBD,.1.BDXMH又 MH / AE,.1. BD± EF. AFNBAENB,同理可证

19、 AAFHAACH/. HF=HC又FN=NENH / EC,EC=2NH -NH=2>/5, 1- EC=4V5/ EAC=2Z AEC=2a=/ ABC可证弧 AC=M EC, .AC=EC=4. 5设 HD=x, AH=11-x,/ ADC=2/ CAD翻折 CHD至 ACHG,可证 CG=CD=AGAH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又 AC2-AH2=cD2-DH2, (475 )2-(11-x)2=(11-2x)2-x2xi=3,x2=27 (舍去). CD=5,CH=4,AH=8.2AH CH又.二T 市 tan2al BH=6 -ab=VbMAH

20、8" 10 BH DH点睛：此题主要考查了圆的综合，结合圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的性质，综合性比较强，灵活添加辅助线，构造方程求解是解题关键，一 ，一一 一J ，一，一7 .如图1,延长。的直径AB至点C,使得BC/AB,点P是。上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结 OP, CP.（1） /C的最大度数为;（2）当。的半径为3时，4OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值； 若没有，请说明理由；（3）如图2,延长PO交。于点D,连结DB,当CP=DB时，求证：CP是。的切线.图1图？【答案】（1） 30。； （2）有最大值为9,

21、理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC与。相切时，/OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由4OPC的边OC是定值，得到当 OC边上的高为最大值时， 4OPC的面积最大，当PC>± OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB,根据等腰三角形的性质得到 /A=/C,得到CC=CB+CB=AB推出AP®4CPQ根据全等三角形的性质得到/CPC=/ APB,根据圆周角定理得到/APB=90,即可得到结论.试题解析：（1）当PC与。相切时，/CCP最大.如图1,所示：CP 2 1-. si

22、n / CCP= = - , / CCP=30CC 4 2 / CCP的最大度数为 30 °,故答案为：30°(2)有最大值，理由： OPC的边OC是定值，当OC边上的高为最大值时， OPC的面积最大，而点P在。上半圆上运动，当 P01OC时，取得最大值，即此时 OC边上的高最大,也就是高为半径长，最大值SxOPC=1OC?OP=1 x 6X 3=9 22(3)连结A巳BP,如图2,OA OD在4OAP与OBD 中，AOP BOD , AOAP AOBD), . . AP=DB,OP OB PC=DB,，AP=PG , PA=PC/ A=Z C,1.BC=1AB=OB,，C

23、O=OB+OB=AB2AP CP在 APB 和 CPO 中，AABC ,AAPBACPO, Z CPO=Z APB,CO. AB 为直径，/ APB=90 ,°/ CPO=90 ；PC切OO于点P,即CP是OO的切线.8.如图1,已知AB是。的直径，AC是。O的弦，过 O点作OF, AB交。O于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点 F,点G是EF的中点，连接 CG判断CG与。O的位置关系，并说明理由；(2)求证：2OB2=BC?BF;(3)如图2,当/DC曰2/F, C$3, DG=2.5时，求DE的长.【答案】（1） CG与。相切，理由见解析；（2）见解析；（3） DE=2【解析

24、】【分析】（1）连接C耳由AB是直径知4ECF是直角三角形，结合 G为EF中点知/ AEC / GE最/GCE 再由 OA=OC知/OCA=/OAC,根据 OF, AB 可得 / OCA/GC990 ；即OCX GC,据此即可得证；BC(2)证AB8 4FBO得BOAB，结合AB=2BO即可得;BFEC(3)证 ECDAEGC得，EGED，根据C曰3, DG= 2.5知ECDE 2.53得.【详解】解：（1） CG与。O相切，理由如下:.AB是。的直径，Z ACB= Z AC已 90 ,.点G是EF的中点， .GF=GE=GC, Z AEO ZGEC= Z GCE ,-0A=0C,Z 0CA=

25、 Z OAC,.OFXAB,Z OA&Z AEO=90 , Z OCMZ G出 90 ,即 OCX GC,CG与。O相切；(2) /AO/FCE9 90°, /AEO/FE。/ OAE= / F,又. ZB=ZB, .ABCAFBO,BC AB ,即 BO?AB= BC?BF,BO BF .AB=2BO, 2OB2 = BC?BF;(3)由(1)知 GC=GE=GF,/ F= / GCF/ EGC= 2/F,又 / DCE= 2/ F,/ EGC= / DCE, / DEC= / CEG .ECtDAEGC；EC ED 一 一， EG EC,. CE= 3, DG= 2.5,

26、3 DE , DE 2.53整理，得：DE2+2.5DE- 9=0,解得：DE= 2 或 DE= - 4.5 (舍)，故 DE=2.【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与 性质及直角三角形的性质等知识点.9.如图，AB是。的直径，D、D为。上两点，CF± AB于点F, CE±AD交AD的延长线 于点E,且CE=CF.(1)求证：CE是。的切线；连接CD CB,若AD=CD=a求四边形 ABCD面积.【答案】(1)证明见解析；(2)寸【解析】【分析】(1)连接OC, AC,可先证明AC平分/ BA匕结合圆的性质可证明 OC/ A

27、E,可得Z OCB= 90°,可证得结论；(2)可先证得四边形 AOCD为平行四边形，再证明 OCB为等边三角形，可求得 CRAB,利用梯形的面积公式可求得答案.【详解】(1)证明：连接OC, AC.-. CF±AB, CE!AD,且 CE= CF./ CAE= / CAB.1 .OC= OA,/ CAB= / OCA./ CAE= / OCA.2 .OC/ AE./ OC曰 Z AEC= 180 ；/ AEC= 90 ；/ OCE= 90 即 OCX CE,3 .OC是。O的半径，点C为半径外端，4 .CE是。O的切线.(2)解：-. AD=CD,/ DAC= / DCA

28、= / CAB,5 .DC/AB,6 / CAE= / OCA,.OC/ AD,四边形AOCD是平行四边形,.OC= AD= a, AB= 2a, / CAE= / CAB, ,-.CD=CB= a, .CB= OC= OB, .OCB是等边三角形，a在 RtA CFB 中，CF= JC尸F” 二尹H ,1.S 四边形 ABCD-j(DC+ AB) ?CF=【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径.10.如图，在 RtABC中，C 90 , AD平分/BAC,交BC于点D,

29、点O在AB上，。经过A、D两点，交AC于点E,交AB于点F.(1)求证：BC是。的切线；(2)若。O的半径是2cm, E是弧AD的中点，求阴影部分的面积(结果保留兀和根号)D C2【答案】(1)证明见解析 (2) J3 3【解析】【分析】(1)连接OD,只要证明OD/AC即可解决问题；(2)连接OE, OE交AD于K.只要证明4AOE是等边三角形即可解决问题.【详解】(1)连接OD. OA=OD,/ OAD=Z ODA. Z OAD=Z DAC,ZODA=Z DAC, ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ；OD±BC, . . BC是OO的切线.(2)连接OE, OE交

30、AD于K.Ae de ,OE± AD./OAK=/ EAK, AK=AK, Z AKO=Z AKE=90 ； .AK必AKE, ，AO=AE=OE, .AOE是等边三角形，ZAOE=60°, .SwS 扇形 oae- Sa aoe 602- - 22 V3 .36043【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、 全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型.11.如图，线段BC所在的直线 是以AB为直径的圆的切线，点 D为圆上一点，满足 BD= BC,且点C、D位于直径

31、AB的两侧，连接 CD交圆于点E.点F是BD上一点，连接EF,分 别交AB、BD于点G、H,且EF= BD.(1)求证：EF/ BC;(2)若 EH= 4, HF= 2,求？e 的长.2 -【答案】见解析；(2) 2 33 一【解析】【分析】(1)根据EF= BD可得 EF = ?D， 进而得到 Be = Df， 根据在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.(2)连接DF,根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据 荏同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 ”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出ZBHG,进而求出/BDE的度数，确定 BE所对的圆心角

32、的度数，根据 /DFH= 90°确定DE为直径，代入 弧长公式即可求解.【详解】 ; EF= BD,- Ef= ?D Be = ?f / D= / DEF又 BD= BC,/ D= / C, / DEF=Z C EF/ BC(2) .AB是直径，BC为切线,ABXBC又 EF/ BC,.ABEF,弧 BF=< BE,1GF= GE= /F+EHZ, HG=1DB 平分 / EDF,又 BF/ CD,/ FBD= / FDB= / BDE= / BFH.-.HB=HF= 2HG 1cos/ BHG= = , / BHG= 60 .HB 2/ FDB= / BDE= 30 

33、6;，/DFH= 90； DE为直径，DE= 4/3,且弧BE所对圆心角=60：1 2弧 BE= - X 45y3 = - J3 613.【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键12.如图，在4ABC中，AB= AC,以AB为直径的。与边BC交于点D, DE± AC,垂足为E,交AB的延长线于点F.求证：EF是。的切线；(2)若/C= 60°, AC= 12,求?D 的长.(3)若 tanC= 2, AE= 8,求 BF的长.J E C【答案】(1)见解析；(2) 2 ;兀1

34、.【解析】分析：(1)连接OD,根据等腰三角形的性质：等边对等角，得/ABC=/ C,/ABC=/ ODB,从而得到ZC=Z ODB,根据同位角相等，两直线平行，得到OD/AC,从而得证ODL EF,即EF是。的切线；1(2)根据中点的性质，由 AB=AC=12,求得OB=OD=3AB=6,进而根据等边三角形的判定得到OBD是等边三角形，即 ZBOD=600,从而根据弧长公式七届即可；(3)连接AD,根据直角三角形的性质，由在R9DEC中，tanCDECE2 设 CE=xBAE -DE=2x,然后由RtA ADE中，tan ADE 2 ,求得DE、CE的长，然后根据相似二DE角形的判定与性质求

35、解即可 .详解：(1)连接 OD AB=AC . / ABC玄 C,. OD=OB . . / ABC=/ ODB，/C=/ ODB . .OD/ AC又DE，AC OD± DE,即 OD± EF.EF是。O的切线，、八 i i 1(2) AB=AC=12 OB=OD AB =6由(1)得：/ C=/ ODB=6CC/ BOD=6CC即Bd的长2(3)连接 AD -. DEXAC Z DEC=Z DEA=9C0在 RDEC中，tanC 里 2 设 CE=x,U DE=2x CE AB 是直径/ ADB=Z ADC=9C0 / ADE+/ CDE=9Cf 在 RtA DEC中

36、，/ C+Z CDE=9(J一 AE 一/ C=Z ADE 在 RtA ADE 中，tan ADE 2 DE AE=8,DE=4 则 CE=2，AC=AE+CE=1C直径 AB=AC=10 贝U OD=OB=51.OD/AE AODFAAEFOFODBF 55 即：-AFAEBF 10 8解得：BF= 即BF的长为 点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及 相似三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思 想的应用.13.如图，在4ABC中，以AC为直径作。交BC于点D,交AB于点G,且D是BC中 点，DE，AB,垂足为E,交

37、AC的延长线于点 F.（1）求证：直线 EF是。的切线；（2）若CF=3, cosA=2,求出。的半径和BE的5长；（3）连接CG,在（2）的条件下，求 CG的值.EF【答案】（1）见解析；（2） 2, 9 （3） CG:EF= 4： 75【解析】试题分析：（1）连结OD.先证明OD是 ABC的中位线，根据中位线的性质得到OD/AB,再由DE，AB,得出ODLEF,根据切线的判定即可得出直线EF是。的切线;（2）先由OD/ AB,得出/COD=/ A,再解Rt DOF,根据余弦函数的定义得到,_ 0D 2 _ _ R 2 ，一 1。 -_ 20cos/ FOD而/,设。的半径为R,解方程百日不

38、，求出R=y,那么AB=2OD亍,解RtAEF,根据余弦函数的定义得到然后由BE=AB- AE即A AE 2十山人匚14cosA=._ =_ ,求出 AE=,Ar 5J可求解.试题解析：（1）证明：如图，连结 OD. . CD=DB, CO=O/ .OD是 ABC的中位线， .OD/AB, AB=2OD, .DEXAB, DEXOD,即 OD± EF, 直线EF是。O的切线；(2)解：.OD/ AB,/ COD=Z A.在 RtA DOF 中， Z ODF=90 ,. .cos/ FOD=77T=,设。的半径为R,则R+5 5'解得R=10- 20.AB=2OD=-.在 Rt

39、AEF 中， / AEF=90,cosA Ar14，Ak【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形中位线的性质知识点.要证某线 是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.14.如图，已知四边形 ABCD内接于。0,点E在CB的延长线上，连结AC、AE,/ ACB= / BAE=45 :（1）求证：AE是。的切线；（2）若 AB=AD, AC=3>/2 , tan/ADC=3,求 BE的长.一 、一一 ，一5【答案】（1）证明见解析；（2） BE 22【解析】试题分析：（1）连接OA、OB,由圆周角定理得出 /AOB=2/ ACB=90,由等腰直角三角形的性质得出/ OAB=Z OBA=45 ,求出 / OAE=Z OAB+Z BAE=90，即可得出结论；（2）过点 A作AFLCD于点F,由AB=AD,得到/ ACD=/ACB=45°,在RAFC中可求得 AF =3,在 RtAAFD 中求得 DF= 1 ,所以 AB= AD =屈,CD= CF+DF=4 ,再证明BE AB AB