2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题14坐标系与参数方程理(含解析)

1、专题14坐标系与参数方程1 .【2019年高考北京卷理数】已知直线x13t,.l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线ly24t的距离是C.-5D. 652B.5x 1【解析】由题意，可将直线l化为普通方程： 二 3y 2 .-，即 4 x 13 y 20 ,即 4x 3y 2 0 ,4 一|4 0 2| 6所以点（1,0）到直线l的距离d l一，故选D.,42 325属于容易题，注重基础知识、【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离,基本运算能力的考查.2.【2019年高考全国I卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1 t1 t4t1 t2，（t为参

2、数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，l的极坐标方程为2 cos33 sin 11 0.（1）求C和l的直角坐标方程;（2）求C上的点到l距离的最小值.2【答案】（1） x2 匕 1（x1）； l的直角坐标方程为2x J3y 11 0； （2） J7.4【解析】（1）因为1 11 1,且x2-1 t222x2 y 1（x1）.4l的直角坐标方程为 2x J3y 11 0 .x cos .（2）由（1）可设C勺参数方程为y 2sin一y91 ,所以C勺直角坐标方程为1 t21 t2 2为参数，冗 冗）12cos 2 .3 sin11|Ch的点至U l的距离为 =,7花4cos

3、 113当2时，4cos - 11取得最小值7,故C±的点到l距离的最小值为33【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最 值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求 解问题.3.【2019年高考全国n卷理数】 在极坐标系中，O为极点，点M( °, o)( 0 0)在曲线C:4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为 P.(1)当0=时，求 °及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OMk时，求P点轨迹的极坐标方程.【答案】(1) 0 273, l

4、的极坐标方程为cos - 2 ；34cos ,【解析】(1)因为M 0, 0在Ck,当0 时，0 4sin - 2J3 . 33由已知得 |OP | | OA | cos- 2 .3设、(,)为l上除曲任意一点.在 RtzXOPQ中，cos一IOPI 2, 3经检验，点P(2,一)在曲线cos 一2上.33所以，l的极坐标方程为cos -2 .3(2)设P(,)，在 RtzXOAP 中，|OP| |OA|cos 4cos，即 4cos因为林线段OMt,且AP OM ,故 的取值范围是 一，一4 2所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记

5、公式即可，属于常考题型.4.【2019年高考全国出卷理数】如图，在极坐标系Ox中，A(2,0) , B(后-)，C(婢一)，D(2,),弧Ab，？c , Cd所在圆的圆心分别是(1,0) ,(1,-), (1,),曲线m1是弧ab ,曲线M2是弧BC，4曲线M 3是弧CD (1)分别写出Mi , M2, M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1，M2, M3构成，若点P在M上，且|OP| J3,求P的极坐标.【答案】(1) Mi的极坐标方程为。冗2sin一42cos 03，M 3的极坐标万程为42cosM2的极坐标方程为g6或石3或石金或可【解析】(1)由题设可得，弧 Ab, Bc,Cd所在圆的极

6、坐标方程分别为2cos2sin ,2cos所以M1的极坐标方程为2cos,M2的极坐标方程为花2sin 43冗 .一 ，M34的极坐标方程为2cos(2)设P(,),由题设及(1)知冗-一,贝U 2cos4花二；6冗T 一或3红,贝U 2sin若学 冗，则2cos 屈,解得5.综上，p的极坐标为 百,；或 73,:或 耳胃 或73,5?.【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.,直线l的方程为【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点A 3- ,B 22,42sin 3 .4（1）求A, B两点间的距离；（2）求点 由1直线l的距离.【答案】

7、（1）衽；（2） 2.【解析】（1）设极点为O在 OA中，A （3, -） , B （ J2 ,-）由余弦定理，得AB=. 32 （ ：2）2/2 cos( ) V5 .2 4（2）因为直线l的方程为 sin（3,则直线l过点（3板,一），倾斜角为234又B（72,）,所以点B到直线l的距离为2(372 扬 sin(3- -)2.【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.6.【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 a的参x 5 '10 cos数方程为一（为参数），以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标

8、系，曲y 10 sin线C2的极坐标方程为4cos（1）求曲线G与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin（ 一） 2J2 ,直线l与y轴的交点为M ,与曲线Ci相交于A, B4两点，求MAMB的值.5一【答案】（1） cos -；（2） 9衣 21【解析】（1）曲线Ci的普通方程为：（x 5）2 y2 10,曲线C2的普通方程为：x2 y2 4x,即（x 2）2 y2 4,由两圆心的距离d 3 （J10 2jl0 2）,所以两圆相交，5所以两方程相减可得交线为6x 21 5 ,即x 5 .2 一，.、一5y 4 ,则与y轴的交点为M （0,4）,所以直线的极坐标

9、方程为cos -.（2）直线l的直角坐标方程：，带入曲线 C（x 5）2 y2 10 得 t2 9J2t 31 0 .x直线l的参数方程为y 4设A, B两点的参数为t1, t2,所以t1 t29拒，m 31,所以G, t2同号.所以 |MA MB t1| |t2| 1tl t2 9亚【名师点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题.7.【山东省郛城一中等学校 2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数x 3 cos方程为x（a为参数），在以坐标原点y sin的极坐标为 2亚',。一,直线l的极坐标方程为4（1）求直线

10、l的直角坐标方程与曲线 C的普通方程（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN勺中点，2【答案】（1） x y 4 0 , y21 ； （2）3【解析】（1）因为直线l的极坐标方程为sinO为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点Msin 242 0 .4求点P到直线l的距离的最大值.立,2即 p sin 0 p cos 0+4= 0.由 x= p cos 0 , y= p sin 0 ,可得直线l的直角坐标方程为x y4=0.将曲线C的参数方程x *cos ,消去参数a, y sin 2得曲线C的普通方程为 y2 1 . 3（2）设 N （ 173cos , sin a ） , a C 0

11、, 2 兀）.点M的极坐标（2J2，3/），化为直角坐标为（一2, 2）. 4则 P cos1,1 sin122近 1小公_:一 冗C所以点P到直线l的距离 22367V2，d,2.22所以当时，点M到直线l的距离的最大值为7.22【名师点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考 查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.【河南省周口市2018- 2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy中，直线l的x 4 t,参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

12、Cy 3 二t222的极坐标万程为（3 sin ） 12 .（1）求直线l的普通方程与曲线 C的直角坐标方程；PB PA（2）若直线l与曲线C交于A, B两点，且设定点 P（21）,求 的值.PA PB【答案】（1） l普通方程为x y 1 0, C直角坐标方程为王乙 1； （2） 86.437【解析】（1）由直线l的参数方程消去t,得普通方程为x y 1 0.2 , _2222_(3 sin ) 12 等价于 3 sin 12,将2 x2 y； siny代入上式，得曲线C的直角坐标方程为3(x2 y2) y2 12,22即土匕1.43x 2 t,(2)点P(2,1)在直线x y 1 0上，所

13、以直线l的参数方程可以写为2(t为参数)，y 1 二t222将上式代入殳L 1,得 7t2 2072t 8 0.43设A, B对应的参数分别为t1, t2，则t1 t2所以PBPAPAPBPA|2 |pb I2(|pa| |pb|)2 2|PA|PB|(M 也|)2 2也也"paIIpbRpapb|F®z 20 亚 2 9 8111 t2 | 2卜 t27786t1 t2|877【名师点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义.9.【河南省郑州市第一中学 2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系

14、的原点O为极点，x轴的 . 一、 . TT. . TT.正半轴为极轴.已知点P的直角坐标为(1 5)，点M的极坐标为(4, ) .若直线l过点P,且倾斜角为一，23圆C以M为圆心、4为半径.(1)求直线l的参数方程和圆 C的极坐标方程;(2)试判定直线l和圆C的位置关系.【答案】(1)1 -t2、35 t(t为参数)，8sin ; (2)直线l与圆C相离.x 1 cos t x 1 -t【解析】（1）直线l的参数方程32（t为参数），y 5 sin - t y 5 3t372M点的直角坐标为（0, 4）,圆C的半径为4,ccx cos圆C的方程为x2 (y 4)2 16 ,将代入,y sin得

15、圆C的极坐标方程为2 cos2（ sin 4）2 16 ,即8sin直线l的普通方程为0,圆心Miijl的距离为d4,，直线l与圆C相离.【名师点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题.10.【全国I卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐22.2 _ 2标万程为cos 3 sin 48,其左焦点F在直线l上.（1）若直线l与椭圆C交于A, B两点，求FA FB的值;（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值.x【解析】（1）将y【答案】（1） 4百;（2） 327

16、3.8s 代入 p &os2 a + 3 p 2sin 2 0 = 48,sin22得 x2+3y2=48, IP 148 16因为c2= 48 16=32,所以F的坐标为（472 , 0）,又因为F在直线l上，所以m 4收.把直线l的参数方程化简得 t24t -8=0,x 4.22t2 代入 x2+3y2 = 48,、zy Tt所以(2)FAFBt1t2-2't1t2)42J16 4 8 4/3 .由椭圆C的方程2x4821,可设椭圆16C上在第一象限内的任意一点M的坐标为(4，3 cos ,4sin所以内接矩形的面积S 8, 3 cos 8sin3273 sin 2 ,当

17、一时，面积S取得最大值32gL.4【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos,而极坐标方程转化为直sin角坐标方程的关键是利用公式tan22x yy ,后者也可以把极坐标方程变形,x2尽重广生， cos ,sin以便转化.另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标,从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.【河北衡水金卷 2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l的参数方程为X 1 tcos ,(t为参数，0y 1 tsin兀)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 c的极坐标方程为241 s

18、in.Tt(1)当a 时，写出直线l的普通方程及曲线6C的直角坐标方程;(2)已知点P1,1 ,设直线l与曲线C交于A, B两点，试确定 PA PB的取值范围.,3y 1 、30,巨亡 1； (2)1,1422所以 t 1 + t 2= 4, t 1t 2= 8,【解析】(1)当a 时，直线l的参数方程为 6d . 冗/展.x 1 tcos,X 1 一t,62y 1 t sin y i 1t672消去参数t得x/y 1志 0.由曲线C的极坐标方程为2一，得2 sin 2 4,1 sin222 22.22X y将X y ，及y Sin代入得x 2y 4,即一工 1 ；42X 1 tcos ,（2

19、）由直线l的参数方程为, （t为参数，0 九），y 1 tsin可知直线l是过点P（ - 1, 1）且倾斜角为的直线,22又由（1）知曲线C为椭圆上421 ,所以易知点P （ - 1, 1）在椭圆C内,心 X 1 t cos ,将代入y 1 tsin中，整理得,. 221 sin t 2 2sin cos t 1 0,设A, B两点对应的参数分别为t1, t2,则 t1 t2-,1 sin所以 PA PB1111t212,1 sin因为0 tt,所以sin201 ,所以 PA PB t1 t21221 sin所以PA PB的取值范围为1,1P（X0, y。），倾斜角为a的直线2【名师点睛】利用

20、直线参数方程中参数的几何意义求解问题.经过点, X X0 t cosl的参数方程为0（t为参数）.若A, B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1, t2,y Vo tsin线段AB的中点为M点M所对应的参数为t0 ,则以下结论在解题中经常用到：(1) t0 生上；(2)2PM | to| t1； (3) |AB = t2ti|; (4) |PA PB| = |tit2 .12.【河南省信阳高级中学 2018- 2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系 xOy中，以。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为2sin 2acos (a 0)；直线l的参数方程为

21、(t为参数).直线l与曲线C分别交于M , N两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若点P的极坐标为2,九，PMPN 5，2,求a的值.【答案】(1)曲线C的直角坐标方程为：x aa 2.22-y 1 a21,直线l的普通方程为y x 2.【解析】(1)由2sin2acos a 0 ,得 22 sin2a cos a 0 ,所以曲线C的直角坐标方程为x2 y2 2y 2ax ,22 o即x a y 1 a 1 ,直线l的普通方程为y x 2.2品(2)将直线l的参数方程2y 2ax并化简、整理,L 2代入x2乌2得t23.2 、2a t 4a 40.因为直线l与曲线C交

22、于M, N两点.所以3拒 J2a 2 4 4a 4由根与系数的关系，得t1 t2 3 2、,2a,乜2因为点P的直角坐标为2,0 ,在直线l上.所以PMPN t1 t2 372 V2a 572 ,解得a 2,此时满足a0.且 a 1 ,故 a 2.【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式(如2.2cos sin1等三角恒等式)消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式222x yx cos这类问题一般我们可以先把曲x cos , y等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化,y sin ' - tanx线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应

23、问题.13 .【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l的参数方程为x 1 ty 3 2t（t为参数），曲线C的极坐标方程为sin2 16cos 0 ,直线l与曲线C交于A B两点，点P（13）.（1）求直线l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程;,、，、11（2）求的值.PA PB【答案】（1） y 2x 1, y216x ；(2)8.而35【解析】（1）直线l的参数方程为x 1 ty 3 2tt为参数），消去参数，可得直线l的普通方程y 2x 1 ,222曲线C的极坐标万程为出in 0 16cos 8 0,即p sin 0 16 pcos 0 0 ,曲线C的直

24、角坐标方程为 y2 16x,15 1x 1 t5(2)直线的参数方程改写为5(t为参数)，Q 2 5 .y 3 t5代入 y2 16x, 4t2 4-5-t 7 0, t1 t2 石，t1t235,55411,t2| 8而PA PB M235 'xcos【名师点睛】由直角坐标与极坐标互换公式ysin,利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标222x y的相互转化.14.【河南省开封市 2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是x t匕 S/（t为参数），曲线C的参数方程是y t 1x 2 2cos_（为参数），以O为极点，x轴的非y 2sin负半轴为极

25、轴建立极坐标系.（1）求直线l和曲线C的极坐标方程;（2）已知射线OP:1 （其中0与曲线C交于0,P两点,射线OQ:2线l交于Q点，若 OPQ的面积为1,的值和弦长0P.【答案】（1） cos sin 10,4cos ； (2)【解析】（1）直线l的普通方程为1 0 ,极坐标方程为cos曲线C的普通方程为（x 2）4,极坐标方程为4cos（2）依题意，:兀(0,2), OP4cos ,0Qsin (cos (_1sin cosSAOPQ-|OP|OQ2coscos sin1 tan1,(0,-) ,-,OP 2x/2.24【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直

26、角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.15.【四川省成都市第七中学 2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数标t t. x e e方程为 t t （其中t为参数），在以 O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标 y et e t系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为sin - 匹.3（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求直线l与曲线C的公共点P的极坐标.【答案】（1）2cos24 2 2） 22.,446【解析】（1）消去参数t,得曲线C的直角坐标方程 x2 y2 4 x 2 .222

27、2- 2将 x cos , y sin 代入 x y 4 ,得 cos sin 4 .所以曲线C的极坐标方程为2cos24- -44将l与C的极坐标方程联立，消去得4sin2 -2cos2 .3展开得 3cos22V3sin cos sin22 cos2sin2 .因为 cos 0,所以 3tan22Z3tan1 0.于是方程的解为tan Y3,即 -.36代入sin 1 我可得2J2,所以点P的极坐标为 2衣彳.【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力.16.【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOyx 2t中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（ty 2 t为参数），曲线 C的极坐标方程为cos28sin .（1）求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线l与曲线C的交点分别为 M , N ,求|MN .【答案】（1）曲线C方程为x2 8y,表示焦点坐标