2020版高考数学大二轮复习7.1计数原理、二项式定理学案(理)

1、第1讲计数原理、二项式定理考点1排列组合与计数原理的应用1 .分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果 需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.2 .名称排列组合相同点都是从n个小同兀素中取 m（mc n）个兀素，兀素尢重复不同点排列与顺序有关；两个排列相同，当且仅当这两个排列 的元素及其排列顺序完全相同组合与顺序无关；两个组合相同，当且仅当这两个组合的九系兀全相同例1 （1）2019 陕西西安模拟把15人分成前、中、后三排，每排 5人，则不同的排 法种数共有（）A15A 或 b. A

2、求oA5AC. A5 d. AN。（2）2019 安徽合肥质检某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成 5个区域，如图.社区准备从 4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各个区域中，要求每个区域种植 一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的）所种花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有（）A. 96 B. 114C. 168 D. 240【解析】（1）把位置从1到15标上号，问题就转化为15人站在15个位置上，共有A5种 情况.（2）先在a中种植，有4种不同的种植方法，再在 b中种植，有3种不同的种植方法，再在c中种植，若c与b同色，则d中有3种不同的种植方法，若 c与b不同色，则c中有2

3、 种不同的种植方法，d中有2种不同的种植方法，再在 e中种植，有2种不同的种植方法，所 以共有 4X3X1X3X2+4X3X2X2X2= 168（种）,故选 C【答案】（1） C （2） Cr6技法领悟、解排列、组合的应用题，通常有以下途径：（i）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.对接训练1. 2019 河南十所名校尖子生联考5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻且甲不站在两端的排法种数是（）A. 40 B. 36C. 32 D. 24解

4、析：由题可得，甲与乙相邻的排法种数为A4A2=48,甲站在两端且与乙相邻的排法种数为C2A3= 12,所以甲与乙相邻且甲不站在两端的排法种数是48 12= 36.故选B.答案：B2. 2019 广东六校联考从两个不同的红球、两个不同的黄球、两个不同的蓝球共六个 球中任取两个，放入红、黄、蓝三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同， 那么不同的放法共有（）A. 42 种 B. 36 种C. 72 种 D 46 种解析：分以下几种情况：取出的两球同色时，有 3种可能，取出的球只能放在与球的 颜色不同的两个袋子中，有&种不同的放法，故不同的放法共有3A2=6（种）；取出的两球不同

5、色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝 3种可能，由于球不同，所以取球的方法数为 3c2d=12（种），取球后将两球放入袋子中的方法有C3c2 3=3（种），所以不同的放法有 12X3= 36（种）.综上可得不同的放法共有 42种，故选A答案：A考点2二项式定理1 .通项与二项式系数Tr+1=Cnan rbr,其中 C（r =0,1,2 ,，n）叫做二项式系数.2 .各二项式系数之和（1） d+d+d+ C=2n.(2)十+= 0+d+i= 2“ i.例2(1)2019 全国卷出(1 + 2x2)(1 +x)4的展开式中x3的系数为()A. 12 B. 16C. 20 D. 24(2)2019

6、浙江卷在二项式(、/2+x)9的展开式中，常数项是 ,系数为有理数的 项的个数是.解析：(1)展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为 C4+2C1=4 + 8= 12.(2)该二项展开式的第k+1项为Tk+1= ©(42)9kxk,当k=0时，第1项为常数项，所以常数项为(、/2)9=16，2;当k=1,3,5,7,9 时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理 数的项的个数为5.答案：(1) A (2)16 '2 5r-®技法领悟 (1)利用二项式定理求解的两种常用思路二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者

7、特定项的系数均是利用 通项公式和方程解决的.二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根 据展开式的形式给变量赋值.(2)警示在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要 n与r确定，该项就随之确定；Tr + 1是展开式中的第r + 1项，而不是第r项；公式中，a, b的指数和为n,且a, b不能随便颠倒位置；对二项式(a b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.对接训练3. 2019 天津卷2x白8的展开式中的常数项为 8x解析：本题主要考查二项式定理的应用，考查的核心素养是数学运算.1 .1 .项展开式的通项Tr + i=G(2x) 83

8、 = 8 , 2, Cx，令 84r = 0 可得 r = 2,1 C 。 c故常数项为一三X2 XC2=28. 8答案：284. 2019 浙江金华十校联考已知(x + 1)4+(x -2)8=a0+ai(x 1) +a?(x 1)2+ +8a8(x 1),则 a3=()A. 64 B. 48C. 48 D. 64解析：由(x + 1)4+ (x - 2) 8= (x 1)+24+(x 1) 1 8= ao + a1(x 1) + a2(x 1)2+ a8(x 1),得 a3 , (x - 1) = C4 , (x 1) , 2+ C8 , (x 1) , ( 1),.23=8C8= 48.

9、故选 C答案：C课时彳业17计数原理、二项式定理1. 2019 湘赣十四校联考有一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有 5名同 学只会用综合法证明，有 3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为 （）A. 8 B. 15C. 18 D. 30解析：由题意知本题是一个分类计数问题：证明方法分成两类，一是用综合法证明，有5种选法，二是用分析法证明，有3种选法.根据分类加法计数原理知共有3+5= 8种选法，故选A答案：A2. 2019 云南昆明一中检测从一颗骰子的六个面中任意选取三个面，其中只有两个面 相邻的不同的选法共有（）A. 20 种 B, 16

10、种C. 12种 D 8种解析：从一颗骰子的六个面中任意选取三个面共有C3= 20种选法，其中有三个面彼此相邻的有8种，所以只有两个面相邻的不同的选法共有208=12（种）.答案：C3. 2019-x 2河北唐山期末在晋一忑的展开式中，x2的系数为(15A 了B.15TC8D.解析:立 马6的展开式的通项公式为2 x2一再一”22r6x3T,令 r=1,可得x2的系数为(一1了*22"-63 .-.故选D8答案:其中选手甲不是第一个也不是最4. 2019 海南三亚华侨学校期末 六位选手依次演讲,后一个演讲，则不同的演讲次序共有 ()A. 480 种 B. 360 种C. 240 种 D

11、. 120 种解析：解法一因为六位选手依次演讲，其中选手甲不是第一个也不是最后一个演讲，所以甲有。种情况，剩余的选手有 A5种情况，所以不同的演讲次序共有C4-A = 480(种)，故选A解法二六位选手全排列有 A6种演讲次序，其中选手甲第一个或最后一个演讲有2戌种情况，故不同的演讲次序共有A62A5= 480(种).故选A答案：A5. 2019 河北保定期末(1 2x)5(2+x)的展开式中，x3的系数是()A. 160 B. 120C. 40D. 200解析：(1 2x) 5(2 + x)的展开式中x3的系数是(1 2x) 5的展开式中x3的系数的2倍与(1 2x)5的展开式中x2的系数的

12、和，易知(1 2x) 5的展开式的通项公式为 Tr + =( 2)rCxr,令r =3,得x3的系数为一8G5=80,令r = 2,得x2的系数为4c=40,所以(1 2x) 5(2 + x)的展 开式中x3的系数是80X2+ 40=- 120.故选B答案：B6. 2019 浙江七彩联盟联考若2x21n的展开式中，所有项的二项式系数之和为32,则该展开式的常数项为()A. 10 B. 10C. 5D. - 5解析：由二项式系数之和为32,知2n=32,可得n = 5,Tr + i=d(2x2)5r Jr=( 1)r-25x5r10-(-1)4X21xc5=10,故选 Arc5x2 .令10&#

13、187; = 0,可得r=4,所以常数项为答案：A7. 2019 广东广州调研某电台做一校一特色访谈节目，分A, B, C三期播出，A期播出两所学校，B期、C期各播出1所学校.现从8所候选学校中选出 4所参与这三期节目 的录制，不同的选法共有（）A. 140 种 B. 420 种C. 840 种 D. 1 680 种解析：由题易知，不同的选法共有ddd=840（种）.故选C.答案：C8. 2019 河北定州模拟将“福” “禄” “寿”三个字填入如图所示的4X4小方格中，每个小方格内只能填入一个字，且任意两个字既不同行也不同列，则不同的填写方法有（）解析：依题意可分为以下 3步：（1）先从16个

14、格子中任选一格放入第一个字，有16种方法；（2）因为任意两个字既不同行也不同列，所以第二个字有9个格子可以放，有 9种方法；（3）第三个字有4个格子可以放，有 4种方法.根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有 16X9X4= 576（种）.故选 C.答案：C9. 2019 海南三亚华侨学校期末 在 ,十124的展开式中，x的指数是整数的项数是 3x（）A. 2 B. 3C. 4 D. 5一 5r1112-5r解析：Nx+24的展开式的通项公式为 +1 =以(JX)2"r 丁 r = CLx6，当r33 -xx= 0,6,12,18,24 时，x的指数是整数，故 x的指数是整数的有

15、5项，故选D答案：D10. 2019 第一次全国大联考若二项式x jxn的展开式中第 m项为常数项，则 m, n应满足()A. 2n=3(m1) B. 2n=3mC. 2n =(3m+1) D. 2n= m解析：由题意得,x-x n的展开式的通项公式为3rn-Tr+1 =( 1)rCx 2 ,当 n=2r,即 2n=3r时，为常数项，此时 r = m- 1,所以m n应满足2n=3(m1),故选A.答案：A11. 2019 甘肃兰州实战模拟某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念,他们站成两排，前排 11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站在前排并与中国

16、领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A. A8种B. A20种C. A2AA0种 d. A2A8种解析：中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站在前排并与中国领导人相 邻，有A2种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A18种站法.根据分步乘法计数原理,共有A2A8种不同的站法，故选 D答案：D12. 2019 辽宁营口模拟(1 +x)2n(n C N*)的展开式中，系数最大的项是 ()A.第2+ 1项B .第n项C.第n+ 1项D .第n项与第n+ 1项 2n*解析：在(1+x) (nCN)的展开式中，第r + 1项的系数与第r + 1项的二项式

17、系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有2n+1项，可得第n+1项的系数最大，故选 C.答案：C13. 2019 陕西西安质检如果把个位数是 1,且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有 个.解析：当相同的数字不是1时，有C3个“好数”；当相同的数字是1时，有C3C1个“好数”，由分类加法计数原理知共有 6+64= 12个“好数”.答案：1214. 2019 江西南昌重点中学段考（x y+2）6的展开式中y4的系数为 .解析：解法一 因为（x y+2）6= （ x+2） y6,所以展开式中含 y4的项为C4（x+2

18、）2y4 =15x2y4+60xy4+60y4,所以展开式中y4的系数为60.解法二 由于（xy + 2）6的展开式中y4项不含x,所以（xy+2）6的展开式中y4项就是（2 y）6的展开式中的y4项，所以C6X22（ y）4=60y4,所以（x y+2）6的展开式中y4的系数为 60.答案：6015. 2019 安徽示范高中高三测试现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法白种数为.解析：解法一 从16张不同的卡片中任取 3张，不同取法的种数为 C36,其中有2张红色 卡片的不同取法的种数为 C4XC12, 3张卡片颜色相同的不同取法的种数为 C4xc3,所以3张卡 片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1张的不同取法的种数为 C36-C2xc12-Cixc3 = 472.解法二 若取出的3张卡片中没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为C4X C；XC；=64;若仅有2张卡片的颜色相同，则不同取法的种数为 C3xc：xc4xc4=144.若红色卡片有1张，且剩余2张不同色时，不同取法的种 数为Cixc3xc4xc4= 192；若红色卡片有1张，且剩余2张同色时，不同