东北三省三校2013届高三3月第一次联考数学理试题（解析版）

1、东北三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）2013届高三3月第一次联考理科数学全解析本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破

2、、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1已知全集,集合，则集合 （ ）AB CD解析：，故选C2命题“若则”的否命题是 （ ）A若，则B若，则C若，则D若，则 解析：命题“若则”的否命题是：若，则，故选C3在复平面内复数的对应点在（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：，而点在第二象限，故选B4已知数列是等差数列，且，则的值为（ ） ABC D解析：，故选C5与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ） A BC D解析：由题知：焦距为4，排除B,又焦点

3、在y轴上排除A，将代入C、D可得C正确，故选C6将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少名教师，则不同的分配方案的种数为（ ）A12 B36 C72D108解析：先从4名实习教师选出2名教师有种情形，再将选出的2名教师看成1名教师与余下的2名全排列有种情形，所以不同的分配方案的种数为：，故选B2,4,67按如图所示的程序框图运行后，若输出的结果是63，则判断框的整数M的值是 A=1，S=1A<M?S=2s+1A=A+1输出S结束开始否是 （ ）A5 B6 C7 D8解析：按框图推演可得：的值为：6，故选B8若的展开式中第四项为常数项，则（ ）A4 B5 C6D7解析：的展开式

4、中第四项为：，又第四项为常数项所以，从而，故选B9已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（ ）ABCD解析：由题得：，解得：又函数最小正周期为又直线是图像的一条对称轴故可得：符合条件，所以选D10点在同一个球的球面上，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为 （ ）A3 BCD 解析：，是直角三角形，的外接圆的圆心在边如图所示，若使四面体体积的最大值只需使点平面的距离最大，又平面,所以点是直线与球的交点最大。设球的半径为,则由体积公式有:在中，,解得：，故选C11若点在抛物线上，则点到点的距离与点到抛物线焦点的距离之差 （ ）

5、A有最小值，但无最大值 B有最大值但无最小值C既无最小值，又无最大值 D既有最小值，又有最大值 解析：做出抛物线及准线如图所示并作直线交抛物线于点,作过点作直线交准线与、交抛物线于点,过点作于由题可得：其中当且仅当重合时取等号，即：点到点的距离与点到抛物线焦点的距离之差取得最大值当点不与点重合时有：当点不与点重合时：有综上可知：点到点的距离与点到抛物线焦点的距离之差 既有最小值，又有最大值故选D12已知在处取最大值，以下各式正确的序号为（ ）ABCD解析：，在处取最大值，即：，设，则为增函数，而故选B第II卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13设满足约束

6、条件，则目标函数的最大值为 _解析：据线性约束条件画出如图所示的可行域，由图知：当直线经过点时， 的取得最大值为，目标函数的最大值为14已知是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率为 解析：由题知：此题是几何概型问题，从而15已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆直径为2，则该几何体的体积为_。解析：由视图知：所求的几何体体积等于一个长方体的体积减去半个圆柱的体积即：16在ABC中，则_。解析：又再由余弦定理得:将展开得：将左右两边同除以得：解得：或（舍）三、解答题（本大题共70分。解答应写出文字说明）17（本小题满分12分）已知数列的前n项和Sn满足（1）求数列的前三

7、项a1，a2，a3；（2）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式。解析：（）在中分别令 得： 解得： 3分（）由得：高考资源网两式相减得： 6分高考资源网 9分故数列是以为首项，公比为2的等比数列高考资源网 所以 12分18（本小题满分12分）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095 2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米 75毫克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天

8、的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值（微克/立方米）25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85频数311113（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；（2）从这10天的数据中任取3天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列；（3）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况，则一年（按366天算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。（精确到整数）解析：（）记“从10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件， 1分. 4分（）依据条件

9、，服从超几何分布：其中，的可能值为，其分布列为： 6分 8分（）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为，一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则 10分，一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级 .12分19（本小题满分12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA2底面ABC，ACB = 90°，E是棱CC1上动点，F是AB中点，AC = 1，BC = 2，AA1 = 4。（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF平面AEB1；（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角AEB1B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由。解析：（1）证明：取AB1的中点G

10、，联结EG，FG F、G分别是棱AB、AB1中点， 又FGEC， FGEC四边形FGEC是平行四边形， 4分CF平面AEB1，平面AEB1 平面AEB. 6分（2）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，4） 设，平面AEB1的法向量.则,由，得 8分 平面是平面EBB1的法向量,则平面EBB1的法向量 10分二面角AEB1B的平面角余弦值为，则解得在棱CC1上存在点E，符合题意，此时 12分20（本小题满分12分）已知点E(m,0)为抛物线内的一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于

11、点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点（1）若m = 1，k1k2 = -1，求三角形EMN面积的最小值；（2）若k1 + k2 = 1，求证：直线MN过定点。解析：（）当时，E为抛物线的焦点，ABCD设AB方程为，由，得，AB中点，同理，点2分4分当且仅当，即时，EMN的面积取最小值4 6分（）证明：设AB方程为，由，得，AB中点，同理，点8分 10分MN：，即直线MN恒过定点 12分21（本小题满分12分）已知函数，且在处的切线斜率为。（1）求a的值，并讨论在上的单调性；（2）设函数，其中m > 0，若对任意的总存在，使得成立，求m的取值范围解析：（） 2分 4分 则在上单

12、调递增；在上单调递减；6分（）当时，单调递增， 则依题在上恒成立 8分当时，在上恒成立，即在上单调递增，又，所以在上恒成立，即时成立 10分当时，当时，此时单调递减，故时不成立，综上 12分请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做题时请写清题号。22（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M。（1）求证：MD = ME；（2）设圆O的半径为1，MD = ，求MA及CE的长。解析：（）证明：连接，则 5分（）解：由（） 在中， 10分23（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（为参数）和（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM: = 与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求| OP | · | OQ |