(word完整版)高中数学竞赛讲义(免费)

1、高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000 年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适 当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1 .平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个 特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。 几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、 旋转。圆的哥和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。2 .代数周期函数

2、，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角 函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式 分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根多项式的插值公式*。n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程 *3 .初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函 数x,费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，

3、欧拉定理* ,孙子定理*。4 .组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用 *。注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。三、高中数学竞赛基础知识第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素X在集合 A 中，称X属于 A, 记为x A,否则称X不属于 A,记作X Ao例如，通常用 N, Z, Q, B, Q+分别表示自 然数集、整数集、有理数集、实数集、正

4、有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用 来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集 合的方法，如1 , 2, 3;描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数,XX 0分别表示有理数集和正实数集。定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集，记为A B ,例如N Z。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B 的子集，B 也是A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A,则 A

5、叫 B 的真子集。定义 3 交集，ABxxA且xB.定义 4 并集，ABxxA或xB.定义 5 补集，若A I,则C1A xx I,且x A称为 A 在 I 中的补集。定义 6 差集,A B xx A且x B o定义 7 集合xa x b,x R,a b记作开区间（a,b）,集合xa x b,x R,a b记作闭区间a,b,R 记作（，）.定理 1 集合的性质：对任意集合 A, B, C,有：(A B) (A C); (2) A (B C) (A B) (A C);CI(A B);(4) CIA CIB CI(A B).又xI ,所以x C1(A B),即C1A C1BC1(AC1（A B）

6、C1A C1B.定理 2 加法原理：做一件事有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N m1m2mn种不同的方法。定理 3 乘法原理：做一件事分n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N mm2mn种不同的方法。二、方法与例题1.利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。(1) A (B C)(3) CIA CIB【证明】这里仅证（ 1）、（3）,其余由读者自己完成。(1)若x A (BC),则xA,且xB或x C ,所以x (A B)或

7、x (A C),即x (A B) (A C);反之，x (AB) (A C),则x (AB)或x (A C),即x A且x B或xC,即x A且x (B C),即x A(B C).(3)若xCIA gB,则xCIA或xC1B,所以x A或x B,所以x(AB),B）,反之也有A B A, A C C ,求a,m.【解】【解】依题设，A 1,2,再由x2ax a 1 0解得x a 1或x 1,例 1 设M aa x2y2,x, y Z,求证:(1) 2k 1 M,(k Z); 4k 2 M ,(k Z);(3)若p M,q M ,则pq M .证明(1)因为k,k 1Z ,且2k 1 k2(k

8、1)2,所以2k 1 M.(2)假设4k 2 M (k Z),则存在x, y Z ,使4k 2 x2y2,由于x有相同的奇偶性，所以x2y2(x y)(x y)是奇数或 4 的倍数，不可能等于4k 2,假设不成立，所以4k 2 M .(3)设p x2y2,qa2b2,x, y,a,b Z ,则pq (x2y2)(a2b2)222. 22. 22 2/a a y bx by a (xa(因为xa ya Z,xb ya Z)。2.利用子集的定义证明集合相等，先证例 2 设 A, B 是两个集合，又设集合A M B M A B, A Byb)2(xb ya)2MA B,再证B A,则 A=BoM 满

9、足M AB,求集合 M (用 A, B 表示)。【解】【解】先证(A B) M,若x (A B),因为A MAB,所以x A M ,x M,所以(A B) M；再证M (A B),若xx A M A B ; 2)综上，M A B.3.分类讨论思想的应用。例 3A xx23x 2Mix A BM若x B,则x B M0, B xx2ax a 1A B.1)若x A,则A B。所以M (A B).0, C x x2mx 2 0,若因为A B A,所以B A,所以a 1A,所以a 1 1或 2,所以a 2或 3。因为A C C ,所以C A,若C，则m28 0,即202 m242 ,，则1 C或2

10、C ,解得m 3.综上所述，a 2或a 3；m 3或2/2m 272。4 .计数原理的应用。例 4 集合A,B, C 是 I=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0的子集，（1）若A B I ,求有序集合对（A, B）的个数；（2）求 I 的非空真子集的个数。【解】【解】（1）集合 I 可划分为三个不相交的子集；AB, BA,A B,I中的每个元素恰属于其中一个子集，10 个元素共有 310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有 310个。（2）I 的子集分三类： 空集， 非空真子集， 集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一步， 1 或者属于该子集或者不

11、属于，有两种；第二步，2 也有两种，第 10 步，。也有两种，由乘法原理，子集共有2101024个，非空真子集有 1022 个。5 .配对方法。例 5 给定集合I 1,2,3, ,n的k个子集：A1, A2, , Ak,满足任何两个子集的交集非空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k的值。【解】【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得2n 1对，每一对不能同在 这k个子集中，因此，k 2n 1；其次，每一对中必有一个在这k个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为 C1A 与 A,并设A A1,则A1C1A,从而可以在k个子元素，也必有一个抽屉放有

12、不多于m个元素；将无穷多个元素放入n个抽屉必有一个抽屉集中再添加C1A ,与已知矛万6.竞赛常用方法与例问题。定理 4 容斥原理；用A表;ABC ABC推广到n个集合的情况，即nnAAAi 1i 1i j定义 8 集合的划分：若A1这些子集的全集叫 I 的一个 r 定理 5 最小数原理：自然数4定理 6 抽屉原理：将mn 1，所以k 2n1。综上，k 2n；集合 A 的元素个数，则A BA B A C B C AAjAAjA1 i j k n&AnI,且A Aj1-划分。!的任何非空子集必有最小数。个元素放入n（n 1）个抽屉，必有一A IB lA B,B C,需要 xy 此结论可以n

13、(1)n1A .i 1(1 i, j n,i j),则个抽屉放有不少于m 1个放有无穷多个元素。例 6 求 1, 2, 3,，100 中不能被 2, 3, 5 整除的数的个数。【解】记I1,2,3, ,100, Ax1x 100，且x能被2整除(记为2x),B x1100,3 x,Cx1100,5x,由容斥原理,100210031005100610010100151003074 ,所以不能被2,3, 5 整除的数有S 是集合1 ,多含有多少个元素？【解【解】 将任意连续的26个。2, 2004 的子集,S 中的任意两个数的差不等于4 或 7,问 S 中最11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条

14、件可知每相邻两个数至多有一个属于 S,将这 11 个数按连续两个为一组，分成 6 组，其中一组只有一个数，若 S 含有这 11 个数中至少 6 个，则必有两个数在同一组, 又因为 2004=182X 11+2,所以 S 一共至多含有与已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 个数。182X5+2=912 个元素，另一方面，当S rr 11k t,t 1,2,4,7,10,r 2004, kN时，恰有S912,且 S 满足题目条件,所以最少含有 912 个元素。例 8 求所有自然数n(n2),使得存在实数a1,a2, ,an满足:aiaj1 i j n1,2,n(n 1).【解】 当n 2时，a10

15、,a21;当3时，a10,a21,a33；当n 4时,a10,a22,a35, a41。下证当n5时，不存在a1，a2,an满足条件。令0ala2ann(n1)所以必存在某两个下标iaiajan1,所以anan 1a1an 1或an1 ana2 ,即a2所以ann(n 1)2,an 1an1或ann(n 1)a21n(n 1),an 11,考虑an2 an 2或anana2，即a2an2,则an 1an 2anan 1,导致矛盾，故只有a22.考虑an3,有anan 2或an3 ana3,即a3an 1an 22 a2a0,推出矛盾，设a3an 11 a3a2 ,又推出矛盾,(ii)右an -

16、 -,a21,考虑an2,有an2 ani或an2 ana3,即2a32,这时a3a2a2ai,推出矛盾，故an ian2。考虑an3 ,有an3 an 2或an3 ana3,即a3=3,于是a3a?anan 1,矛盾。因此an 2an3 ,所以an 1an21a2a1,这又矛盾，所以只有an2a2,所以n 4。故当n5时，不存在满足条件的实数。例 9 设 A=1 , 2, 3, 4, 5, 6, B=7 , 8, 9,，n,在 A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合Ai ,i 1,2,20, AiAj2,1 i j20.求n的最小值。【解】【解】nmin16.设 B 中每个数在所有

17、Ai中最多重复出现k次，则必有k 4。若不然，数m出现k次(k 4),则3k 12.在m出现的所有A中，至少有一个 A 中的数出现 3 次，不妨设它是1,就有集合1,a1，a2,m,b1”03仙也,1巾也,其中aiA,1 i 6,为满足题意的集合。ai必各不相同，但只能是 2, 3, 4, 5,6 这 5 个数，这不可能，所以k 4.例 10 集合1 , 2,，3n可以划分成n个互不相交的三元集合求满足条件的最小正整数n.n【解】【解】 设其中第i个三元集为xi,y,z，i 1,2, ,n/U1+2+-T3n4zi,i 1n4乙。当n为偶数时，有83n,所以n 8,当n为奇数时，有83n 1,

18、i 1所以n 5,当n 5时，集合1 , 11, 4, 2, 13, 5, 3, 15, 6, 9, 12, 7, 10, 14, 8满足条件，所以n的最小值为 5。所以an 2a2,n 4故当n 5时，不存在满足条件的实数。20 个Ai中，B 中的数有 40 个，因此至少是10 个不同的，所以n 16。当n16时,如下20 个集合满足要求：1 , 2, 3, 7, 8, 1 ,3, 4, 10, 11, 1 , 4,6, 13, 16, 2, 3, 6,14, 16, 3, 4, 5, 12,16,1 , 2, 4, 12, 14,1 , 3, 5, 13, 14,1 , 5, 6, 8,

19、11, 2,4, 5, 8, 10, 3, 4, 6,8, 9,1 , 2, 5, 15, 16,1 , 3, 6, 12, 15, 2,3, 4, 13, 15, 2 , 4,6, 7, 11, 3, 5, 6, 7,10,1 , 2, 6, 9, 10,1 , 4, 5, 7, 9,2, 3, 5, 9, 11,2, 5, 6, 12, 13,4 , 5, 6, 14, 15。x, y,z,其中x y 3z,所以3n(3n1)2第二章二次函数与命题一、基础知识1.二次函数：当a0 时，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴bb为直线 x=-

20、,另外配方可得 f(x)=a(x-xo)2+f(xo),其中 xo=,下同。2a2a2 .二次函数的性质：当 a0 时，f(x)的图象开口向上，在区间(-8, xo上随自变量 x 增大 函数值减小(简称递减)，在xo,-8)上随自变量增大函数值增大(简称递增) 。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及 ax2+bx+c0 时，方程有两个不等实根，设 xi,x2(xix2),不等式和不等式的解集分别是 x|xx2 和 x|xixx2, 二 次 函 数 f(x) 图 象 与 x 轴 有 两 个 不 同 的 交 点 ， f(x) 还 可 写 成f(x

21、)=a(x-xi)(x-x2).b2)当 4=0 时，万程有两个相等的实根xi=x2=xo= ，不等式和不等式的解集分别是2ax|x B和空集 ，f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。2a3)当 40 时，方程无解，不等式和不等式的解集分别是R 和.f(x)图象与 x 轴无公共点。当 a0,当 x=xo时，f(x)取取小值 f(xo)=-，右 a0),当4axoCm, n时，f(x)在m, n上的最小值为 f(x。)；当 x0n 时，f(x)在m, n上的最小值为 f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出)。定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结

22、词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合 命题。注 1“p 或 q”复合命题只有当 p, q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复合命题只有当 p, q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“ p”恰好一真一假。定义 2 原命题：若 p 则 q (p 为条件，q 为结论)；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则 q； 逆否命题：若非 q 则非 p。注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义 3 如果命题“若 p 则 q”为

23、真，则记为 p q 否则记作 p q.在命题“若 p 则 q”中， 如果已知 p q,则 p 是 q 的充分条件；如果 q p,则称 p 是 q 的必要条件；如果 p q 但 q 不 p,则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不 q 但 p q,则 p 称为 q 的必要非充分条件；若 p q 且 q p,则 p 是 q 的充要条件。二、方法与例题1.待定系数法。例 1 设方程 x2-x + 1=0 的两根是 a , 3 ,求满足 f(a )= 3 ,f( 3 )= a ,f(1)=1 的二次函数 f(x).【解】【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a 0),则由已知 f(a)=3

24、,f(3)=a 相减并整理得(a -3) (a +3) a+b+1=0 ,因为方程 x2-x+1=0 中 4 0,所以 a 3 ,所以(a + 3 )a+b+1=0.又 a +3=1，所以 a+b+1=0.又因为 f(1)= a+b+c=1 ,所以 c-1=1 ,所以 c=2.又 b=-(a+1),所以 f(x)=ax2-(a+i)x+2.再由 f( a )= 3 得 a a2-(a+1)a+2= 3 ,所以 a a2-aa+2= a + 3 =1 ,所以a a2-a a +1=0.即 a( a2-a+l)+l-a=0,即 1-a=0,所以 a=1,所以 f(x)=x2-2x+2.2.方程的思

25、想。例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4Wf(l)w-l,-1 wf(2)w 5,求 f(3)的取值范围。【解】【解】因为-4w f(1)= a-cw -1,所以 1 w -f(1)= c-aw 4.p 85又-1 & f(2)=4a-c5+ 4,3 333所以 -1 wf(3)w 20.3 .利用二次函数的性质。例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cC R, a 0),若方程 年)=*无实根，求证：方程 f(f(x)=x 也无实根。【证明】若 a0,因为*)=*无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口向上，所以对任意的 x

26、C R,f(x)-x0 即 f(x)x,从而 f(f(x)f(x)。所以 f(f(x)x,所以方程 f(f(x)=x 无实根。注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。4 .利用二次函数表达式解题。1例 4 设一次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0),方程 f(x)=x 的两根XI,x2满足0XIX2一,a(I )当 xC (0,XI)时，求证：xf(x)x1 ;X1(n)设函数 f(x)的图象关于X=XO对称 求证：XO.2【证明】因为XI,X2是方程 f(x)-x=0 的两根，所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2),即 f(x)=a(x-X1)(x-x2)+x.(I)当 x (0

27、,XI)时,X-XI0, x-x20,所以 f(x)x.1一其次 f(x)-X1=(x-x1)a(x-x2)+1= a(x-x1)x-x2+ 0 ,所以 f(x)x1.a综上，xf(x)1 ,求证：方程的正根比 1 小，负根比-1 大。【证明】 方程化为 2a2X2+2aX+1-a2=0.构造 f(X)=2a2X2+2aX+1-a2,f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a2。，所以 f(X)在区间(-1,0)和(0, 1)上各有一根。即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。6 .定义在区间上的二次函数的最值。5.122，V 2(x21)2x212211919

28、y=5u -u+1=5u ,1020201一.19且当u即 X= 3 时，ymin= .1020例 7 设变量 x 满足 x2+bx-x(b-1),并且 x2+bx 的最小值是工，求 b 的值。【解】【解】 由 x2+bx -x(b-1),得 0 x -(b+1).22bb b1 )-b -(b+1),即 b-(b+1),即 b-2 时，x2+bx 在0, -(b+1)上是减函数,2所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1= - ,b=-.2 2,3所以X0=a(xX2) 12a12a所以XoX1当 X 取何值时，函数y=42XX 5(X21)2取最小值？求出这个最小值。1【解】【解】y=

29、1- -x1-一,所以 b2=2,所以b2例 8 已知不等式组x 2a 1的整数解恰好有两个，求a 的取值范围。u,贝 U 0u 1。综上,b=-27.一元二次不等式问题的解法。【解】【解】因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 xi=a, x2=1-a,若 aW0,则 xix2.的解集为 ax1-2a.因为 1-2a1-a,所以 aw 0,所以不等式组无解。1一 . .右 a0, 1)当 0a5 时，xx2,的解集为 ax1-a.因为 0ax1-a1时，a1-a,由得 x1-2a,2所以不等式组的解集为1-ax1 且 a-(1-a)w3,所以 1aW2,并且当 1aW2 时，不等式组恰有

30、两个整数解0, 1。综上，a 的取值范围是 1 0对一切实数 x,y,z 都成立，问 A, B, C 应满足怎样的条件？(要求写出充分必要条件，而且 限定用只涉及 A, B, C 的等式或不等式表示条件)【解】【解】 充要条件为 A, B, C0 且A2+B2+C2W2(AB+BC+CA).先证必要性，可改写为A(x-y)2-( B-A-C)(y-z)(x-y)+ C(y-z)20 若 A=0,则由对一切 x,y,zC R 成立，则只有 B=C,再由知 B=C=0,若 A 0,则因为 恒成立，所以A0,4=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2W0 恒成立， 所以(B-A-C)2-4

31、ACW0,即人2+32+020,O0,所以必要性成立。再证充分性，若 A0, B0, C0 且A2+B2+C2W2(AB+BC+CA),1)若 A=0,则由 B2+C2W2BC 得(B-C)2W0,所以 B=C,所以 =0,所以成立，成立。2)若 A0,则由知 0,所以成立，所以成立。综上，充分性得证。9 .常用结论。定理 1 若 a, b R, |a|-|b| |a+b|w |a|+|b|.【证明】 因为-|a| a |a|,-|b| b |b|,所以-(|a|+|b|) a+b0,则-mwxwm 等价于 |x|wm).又|a|=|a+b-b|w |a+b|+|-b|,即|a|-|b|w |

32、a+bL 综上定理 1 得证。定理 2 若 a,bC R,贝Ua2+b22ab;若 x,yC R+,贝tjx+y2，xy.(证略)注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。第三章 函数一、基础知识定义 1 映射，对于任意两个集合A, B,依对应法则 f,若对 A 中的任意一个元素 x,在 B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: A-B 为一个映射。定义 2 单射，若 f: A-B 是一个映射且对任意 x, yCA, x y,都有 f(x) f(y)则称之为单射。 定义 3 满射，若 f: A-B 是映射且对任意 yCB,都有一个 xC A 使得 f(x)=y,

33、则称 f: A-B 是 A 到 B 上的满射。定义 4 一一映射，若 f: A- B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从B 到 A 由相反的对应法则 f1构成的映射，记作 f-1: AfB。定义 5 函数，映射 f: AfB 中，若 A, B 都是非空数集，则这个映射为函数。 A 称为它的定 义域，若 xCA, y B,且 f(x)=y (即 x 对应 B 中的 y),则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集 合f(x)|xC A叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3 Vx -1 的定义域为xx0

34、,xCR.定义 6 反函数，若函数 f: A-B (通常记作 y=f(x)是一一映射，则它的逆映射f1: AfB叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x).这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解 x 得x=f-1(y),然后将 x, y 互换得 y=f-1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y= -1 的反函数是 y=1 - (x 0).1 xx定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称。定理 2 在定义域上为增(减)函数的函数，其反函数必为增(减)函数。定义 7 函数的性质。(1)单调性： 设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的XI, x2CI

35、 并且 x1 x2,总有 f(x1)f(x2),则称 f(x)在区间 I 上是增(减)函数，区间 I 称为单调增(减)区间。(2)奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D,且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的xCD,者 B 有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)是奇函数；若对任意的 xC D,者 B 有 f(-x)=f(x),则称 f(x)是偶 函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。(3)周期性：对于函数 f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当 x 取定义域内每一个数时，f(x+T 尸 f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如

36、果周期中存在最小 的正数TO,则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义 8 如果实数 ab,则数集xaxb, xC R叫做开区间，记作(a,b),集合xawxwb,x CR记作闭区间a,b,集合xaxwb记作半开半闭区间(a,b,集合x|awxa记作开区间(a, +),集合x|xw a记作半开半闭区间(-oo,a. 定义 9 函数的图象，点集(x,y)|y=f(x), xC D称为函数 y=f(x)的图象，其中 D 为 f(x)的定义 域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0); (1)向右平移a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；(2)向左平移 a

37、个单位得到 y=f(x+a)的图象；(3)向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象；(4)与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；(5)与函数 y=-f(-x) 的图象关于原点成中心对称；(6)与函数 y=f1(x)的图象关于直线 y=x 对称；(7)与函数 y=-f(x) 的图象关于 x 轴对称。定理 3 复合函数 y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减。例如 y= , u=2-x 在(-2 x8,2)上是减函数，y=-在(0, +OO)上是减函数，所以y=1在(-8,2)上是增函数。u2 x注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。

38、 二、方法与例题1 .数形结合法。例 1 求方程|x-1|二1的正根的个数.x1【解】【解】 分别回出 y=|x-1|和 y=1的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。x例 2 求函数 f(x)=jx3x26x13Jx4x21的最大值。【解】【解】 f(x)=J(x22)2(x 3)2J(x21)2(x 0)2,记点 P(x,x-2),A(0, 1),则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。因为|PA|-|PA| |AB|=53(2 1)24 而，当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2的交点时等号成立。所以 f(x)max=10.2 .函数性质的应用。,八

39、2_ _.、，(x 1)1997(x 1)1 +例 3 设 x, yC R,且满足 v，求 x+y.(y 1)31997( y 1) 1【解】【解】 设 f(t)=t3+1997t,先证 f(t)在(-8, +8)上递增。事实上，若 a0,所以 f(t)递增。由题设 f(x-1)=-1= f(1-y),所以 x-1=1-y,所以 x+y=2.例 4 奇函数 f(x)在定义域(-1, 1)内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)0,求 a 的取值范围。【解】【解】 因为 f(x)是奇函数，所以 f(1-a2)=-f(a2-1),由题设 f(1-a)f(a2-1)o又 f(x)在定义域(-1,

40、1)上递减，所以-11-aa2-11 ,解得 0a1。例 5 设 f(x)是定义在(-8, +oo)上以 2 为周期的函数， 对 kC Z,用 Ik表示区间(2k-1,2k+1, 已知当 xC I。时，f(x)=x2,求 f(x)在 Ik上的解析式。【解】【解】 设 xCk,则 2k-10,则由得 n0,设 f(t)=t(Vt24+1)，则 f(t)在(0,+8)上是增函数。又 f(m)=f(-n), 所以 m=-n,所以 3x-1+2x-3=0,所以 x=4.54 .ii)右 m0。同理有 m+n=0,x=,但与 m0 矛盾。5.4综上，方程有唯一实数解 x=-.53 .配方法。例 7 求函

41、数 y=x+十2x 1的值域。1【解】【解】 y=x+, 2x 1= 2x+1+2 一2x 1+1-1211 . 1=(v2x 1+1)-1 25 -1=-.222当 x=-1时，y 取最小值-1,所以函数值域是-1, +8)。2224 .换元法。例 8 求函数 y=(J1x+1 x+2)(V1 x2+1),xC 0,1的值域。【解】【解】令1x+ x=u,因为 xC 0,1,所以 2u2=2+2V1 x2W4,所以72 u2, 所以2 2 u22, 1u_2,所以 y=u2u2 0,解得 1y1.又当 y=1 时，存在 x=0 使解析式成立，1所以函数值域为1, 7。76.关于反函数。例 1

42、0 若函数 y=f(x)定义域、值域土匀为R,且存在反函数。若 f(x)在(-,+ 8)上递增，求证：y=f-1(x)在(-,+ 8)上也是增函数。【证明】设XIy2,则因为 f(x)在(-0,+8)上递增，所以XIX2与假设矛盾，所以 y1y2o即 y=f-1(x)在(-,+ 8)递增。4x 1例 11 设函数 f(x)=4-，解万程：f(x)=f-1(x).2)U - 1 , +8)；其次，设 x1, x2是定义域内变量，且Mn .-)=lOgaM- lOgaN； 4) lOgaMn=n lOgaM；,N0,ja。(请读者自己用定义证明)连续函数的性质：若 ab, f(x)在a, b上连续

43、，且 f(a) f(b)0.【解】 首先 f(x)定义域为(-824x21 4x11x1x20,所以 f(x)在(-8, -2)上递增，同理 f(x)在-1, +8)上递增。在方程 f(x)=f-1(x)中，记 f(x)=f-1(x)=y,则 y0,又由 f-1(x)=y 得 f(y 尸 x,所以 x 0,所以 x,yC1-“右 x+ oo)y,设 xy,则 f(x)=yy 也可得出矛盾。所以 x=y.即 f(x)=x,化简得 3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3 x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因为 x0,所以 3x4+5x3+5x2+5x+10,所以 x=1.第四章几个初等

44、函数的性质一、基础知识1.指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a(0, +),当 0a1 时，y=ax为增函数,它的图象恒过定点(0,12.分数指数哥：anmVa,ann-am,a1m,aa1on ma3.对数函数及其性质：值域为 R,图象过定点4.1)2)对数的性质(M0,形如 y=logax(a0, a(1, 0)。当 0a0);1)的函数叫做对数函数，y=logax 为减函数，当 a1其定义域为(0,+8),时，y=lOgax 为增函数。ax=Mx=logaM(a0, a 1);lOga(MN)= lOgaM+ lOgaN；3) lOga5) lOganM= - lOga M；6)

45、 alOga MnlOgcb=M; 7) lOgab=-(a,b,c0, a, c 1).lOgca5. 函数y=x+亘(a0)的单调递增区间是x,jo和ja,单调递减区间为aa ,06.【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (xC (-1, 1),则 f(x)是关于 x 的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证 f(-1)0 且 f(1)0 (因为-1a0,f(1)= b+ c+bc+ a=(1+ b)(1+ c)0,所以 f(a)0,即 ab+bc+ca+10.nn例 2(柯西不等式)若 a1, a2,an是不全为 0 的实数，b1, b2,bnCR4U(司2)(aibii 1)

46、2,等号当且仅当存在R 使 ai=bi, i=1,2,，n 时成立。【证明】令 f(x)= (a2 ) x2-2(aibi)x+nbi2i 1n(aix bi)2,i1n因为i 12ai0,且对任意 x R, f(x)0,所以 二 4(naibii 1)-4a2n2(bi)(i 1aibi)2。等号成立等价于f(x)=0 有实根，即存在，使 ai=bi,i=1,2,，n。R+, x+y=c, c 为常数且(0, 2，1，一，y 的取小值。y【解】【解】u=xx=xy+ 一一y_yx xy+ +2 xyxy因为 0cW2,所以_c2所以 f(t)min=f(- )=y)242c、.一，设4所以c

47、24匕+ 4 ,所以4 c21 c2f(t)=t+ -,0t +44T+2.c又 a b0,所以一二-.pp 2例 5对于正整数a, b, c(a b1.由题设lOgaxlogaxlogac2logaxlogab因为 ac0, ac 1,所以 logab=logacc2,所以 c2=(acy0gab注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。3.指数与对数方程的解法。解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。性的应用和未知数范围的讨论。例 7 解方程：3x+4x+5x=6x.值得注意的是函数单调x一、一 I .1【解】 方程可化为 -2x551=1。设 f(

48、x)=62x5一,则 f(x)在(-68,+ oo)上是减函数，因为 f(3)=1 ,所以方程只有一个解 x=3.x y12xy例 8 解万程组：(其中 x, yCR+).x y3yx. 一 ，、，(x y) lg x 121g y【解】【解】两边取对数，则原方程组可化为力。(x y) lg y 3gix把代入得(x+y)21gx =361gx,所以(x+y)2-361gx=0.由 1gx=0 得 x=1,由(x+y)2-36=0(x, yC R+)得 x+y=6,代入得 1gx=21gy,即 x=y2,所以 y2+y-6=0.又 y0,所以 y=2, x=4.例 9 已知 a0, a 1,试

49、求使方程 1oga(x-ak)=1oga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。222(x ak) x a【解】【解】由对数性质知，原方程的解x 应满足x ak 0.22x a 0若、同时成立，则必成立，22_2故只需解(x ak) x a.x ak 0由可得 2kx=a(1 + k2),一一a(1 k2)-1 k2当 k=0 时，无解；当 k 0 时，的解是 x=-(-)，代入得 - k.2k2k若 k1,所以 k0,则 k21,所以 0k1 时，an=Sn-Sn-1.定义 2 等差数列，如果对任意的正整数n,都有 an+1-an=d (常数)，则an称为等差数列，d 叫做公差。若三个数 a

50、, b, c 成等差数列，即 2b=a+c,则称 b 为 a 和 c 的等差中项，若公差 为 d,则 a=b-d, c=b+d.定理 2 等差数列的性质：1)通项公式 an=a+(n-1)d； 2)前 n 项和公式：所以方程组的解为x11x24Jy11y22则 an+am=ap+aq；5)对任意正整数 p, q,恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a)；6)若 A, B 至少有一个不n(a1an)Sn=2n( n 1)na12弓；3 an-am=(n-m)d，其中 n, m 为正整数；4)若 n+m=p+q,等比数列的性质：1) an=a1qn-1； 2)前 n 项和 Sn,当 q 1 时，&

51、amp; =巴 9 一 q-) ;当Sn=nai;3)如果 a, b, c 成等比数列，即 b2=ac(b 0),则 b 叫做 a, c 的等比中项;4) 若 m+n=p+q,贝 U aman=apaqo定义 4 极限，给定数列an和实数 A,若对任意的0,存在 M,对任意的 nM(nCN),都有|an-A| ,则称 A 为 n 一+8 时数列an的极限，记作lim anAn定义 5 无穷递缩等比数列，若等比数列an的公比 q 满足|q|1,则称之为无穷递增等比数 列，其前 n 项和 Sn的极限(即其所有项的和)为 一工(由极限的定义可得)1 q定理 3 第一数学归纳法：给定命题 p(n),若

52、：(1) p(no)成立；(2)当 p(n)时 n=k 成立时能 推出 p(n)对n=k+1 成立，则由(1), (2)可得命题 p(n)对一切自然数 nn。成立。竞赛常用定理定理 4 第二数学归纳法：给定命题 p(n),若：(1) p(n。)成立；(2)当 p(n)对一切 nno)可推出 p(k+1)成立，则由(1), (2)可得命题 p(n)对一切自然数 n n。成立。定理 5 对于齐次二阶线性递归数列Xn=aXn-1+ bXn-2,设它的特征方程 X2=ax+b 的两个根为a,3：(1)若a 3,则Xn=C1an-1+ C2 3n-1,其中c1, C2由初始条件 X1, X2的值确定；(

53、2)若a =3,则 Xn=(C1n+C2)an-1,其中 C1, C2的值由 X1, X2的值确定。二、方法与例题1.不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊一猜想一数学归纳法证明。例 1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明)；1) 0, 3, 8, 15, 24, 35,；2) 1, 5,19, 65,；3) -1, 0, 3, 8, 15,。【解】【解】1) an=n2-1；2) an=3n-2n;3) an=n2-2n.1例 2 已知数列an满足 a1= ,a1+a2+ +an=n2an,n

54、1,求通项 an.21O【斛】【斛】 因为 a1二一，又 a1+a2=22, a2,21 aa211所以 a2=- , a3=-2- -，猜想an-(n 1).3 2313 4n(n 1)证明；1)当 n=1 时，a1=,猜想正确。2)假设当 nw k 时猜想成立。2 1当 n=k+1 时,由归纳假设及题设，a1+ a1+a1=(k+1)2-1 ak+1,为零，则an是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义 3等比数列，若对任意的正整数，一，a一n,都有 q ,则an称为等比数列，q 叫做公an比。定理 3q=1 时,一,111所以 - - -=k(k+2)ak+i,2 13 2 k (

55、k 1)1- =k(k+2)ak+1,k 1的等比数列。一 八-2,2一 -pan冏 +qan=pa2a122、1取c(a2pa1a2qa1) 一即可.q综上，结论成立。例 5 已知 a1=0, an+1=5an+,24a； 1 ,求证：an都是整数，nC N+.1112 2 3所以k- =k(k+2)ak+1k 1，所以1ak+1=-(k 1)(k 2)由数学归纳法可得猜想成立，所以an1n(n 1)例 3 设 0a1.an【证明】 证明更强的结论：1an 1+a.1)当 n=1 时，1a二 1 + a,式成立；2)假设 n=k 时,式成立，即 13, q 0,求证：存在常数 c,使得22

56、nan 1pan 1 an+qancq 0.2an 12 2 2pan 1 ,an+1+qan1an2(pan+1+an+2)+qan1=an+2, (-qan)+qan1/ 2q(ananan r2222)qan 1+an(pqn+1+qan)=q(an 1pan冏qan).廿2右a2pa2al2qa1=0,则对任意22n,an 1pan冏 +qan=0,取 c=0 即可.廿2右a2pa2a1qa20,则 a2 1222panan+qan是首项为a2pa2aqa1，公式为 q所以an12 nqa1) q .2 2 (n 1)(n 2)4 2(n 1)(n 2)【证明】因为 ai=0, a2=

57、l,所以由题设知当n1 时 an+ian.又由 an+i=5an+ J24a21移项、平方得a2110anania210.当 n2 时，把式中的 n 换成 n-1 得a210anan1a2 11 0,即2an 1因为 an-1 2).再由 a1=0, a2=1 及式可知，当 nC N+时，an都是整数。3.数列求和法。数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例 6 已知 an= 一4n0QQ(n=1,2, ), 求 S99=a1+ a2+ .+a99.2【解】【解】因为 an+ a100-n= 42 21004n4100 nJ0042100-410022100(404100 n)2

58、100 999所以 S99=一2n(an1a100 n)992099210?.所以求和:Sn般地,k(k 1)( k 2)k(k 1)(k 1)(k 2)+ +-4 n(n 1)(n 2)k2k2k(k 1)(k2)nSn=k 1k(k 1)( k 2)n(n 1)(n 1)(n 2)10anan 11 0.例 8 已知数列an满足 ai=a2=1,an+2=an+1+an, Sn为数列a .一的刖 n 项和，求证:2nSn2。【证明】由递推公式可知，数列an前几项为 1,1,2,3, 5, 8, 13。因为Sn2238262n1所以1Sn2122223324525an2n 1由-得2Sn22

59、122an2n 1，1所以1Sn24Sn2口1 又因为 Sn-2Sn且an中0,21所以一Sn2所以 Sn2,2xn,所以 xn+1 1)o又22Xn+1-、,2=2-2=(Xn 2)2xn2xn_ 2Xn2Xn2Xn 1, 2Xn2Xn22lg又-尸0,x12由可知对任意XnXn2口-i=0 且1g2所以lg42L是首项为lg221_,公比为 2 的等比数列。Xn.22.2xn2Qn 12. 2xn-2所以lg-2 2- lg -产，所以-=Xn22、2Xn22n 12n 1(2.2)(2.2)2n 1 2n 1(2.2)(2、.2)注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。第六章三角函数一

60、、基础知识定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2 兀弧度。若圆心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|“|二 L,r其中 r 是圆的半径。定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角”的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为（x,y）,到原点的距离为 r,则正弦函数 sin a =2，余弦函数 cos a =4,正切函数