(整理)高等数学个人笔记

1、精品文档集合性质:交换律 AUB=BUA. AnB=BnA: 结合律（AUB）UC= AU（BUC）, （AnB）nc=An（Bno； 分配律（AUH）nc=（Anc）u（Bnc）, （AnB）uc=（AUc）n（Buc）； 对偶律（AU8）二 AnE。（AnB）c' = A''UBC.映射概念：设X,Y是2个非空集合，如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f, 在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，则称f为从X到丫的映射。(y是x的像，x是y的原 像，X叫f的定义域，Y叫f的值域)函数概念：定义 设数集口UR,则称映射/RfR为定义在D上的夔，通甯简记为 &#

2、165; =/(1)*E D.工称为自变量称为因变域，D称为定义城，圮作D/，即D二D.分段函数：一个函数用几个式子来表示。1.函数特性：有界性：函数f (x)在X上有界的充分必要条件是它在X上有上界也有下界。单调性：在区间上 x1,x2-单调增力口，单调减少。奇偶性(偶函数关于 Y轴对称，奇函数关于原点对称)/( 一 ) = /(1)屈了加J x)= fxJ-偶函数-奇函数y= sin x + cos x奇非偶)周期性(sinx, cosx周期为2? (tanx周期为？+ t)= J(a)为最小正周期，并非每个周期函数都有最小正周期狄利克雷(Dirichlet)函数D（t）3、0,没有最小正

3、周期反函数 y=f-1(x)对每个有唯一的hWD,使得欠=)=了，于是有反函数与原函数关于 y=x轴对称设函数人片)，屋了)的定义域依次为以，。2,口 二 口口电力0,则我们可 以定义这两个函数的下列运算士和(差)土 4：(f ± g)(H)=) 土耳(工)，xE D;积广 g;=/(.r )'/;(J)& D;商，目=,£口晨工)=0.WDL赛函数:卫= /"£R是常数），指数函数：* = /（日。且卢1）,对数函数：3= 1口工工5>0且特别当"=七时.记为3 = 1口才） 三角函数：如 y = sin x y cos

4、 .r ,> = tan 上等， 反三角函数；如 y = arcsin . J y 二 arccos r ,y二 arctan k 等.以上这五类函数统称为基本初等函数.sh(m + y) = sh Tch y + ch ,rsh y; sh( l y) 士 sh zchch ,rsh v; ch(i+ y) = ch jch v + sh 1sh v; ch(i - 丁)= & xch y -sh j-sh y.令才二卫,并注意到chO=l,得 ch2 jc f 吕h，= i;令JT = * ,得sh 2x = 2sh ,ch j-；令父二岁,得ch 2x = ch'

5、x + sh2 k .定义设为一数列，如果存在常数和对于任意给定的正数E （不论它 多么小），总存在正整数N,使得当“N时,不等式|- fl I < E都成立，那么就称常数。是数列，七1的极限，或者称数列Lhl收敛于%记为hnx = a .国一»或I八 f 口（f8）.定理1（极限的唯一性如果数列bj收敛,那么它的极限唯一.定理2（收敛数列的有界性）如果数列I工1收敛，那么数列一定有界.根据上述定理,如果数列展无界，那么数列Ik 1 一定发散.但是，如果数 列隆有界，却不能断定数列1工一定收敛，例如数列I,-，1,-1）“"，定理3收敛数列的保号性）如果limH “二

6、口，且口 >0 （或,<。），那么存 在正整数N0,当«>N时，都宥4>0 （或4<0）.推论 如果数列|看从某项起有心?0 （或右W0）,且="那么小>0“T A （或。40）.定理4（收敛数列与其子数列间的美系）如果数列，,"收敛于。，那么它 的任一子数列也收敛，且极限也是白.工函数极限定义1设函数人工）在点心的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A, 对于任意给定的正数 （不论它多么4、）.总存在正数黑使得当H满足不等式 0<|工一时，对应的函数值工）都满足不等式|/（工）- A I <.那么常数A就叫做函数当0

7、时的极限，记作lim /（ jt ） = A 或/（jr） - A （当，f 上。）.上一工,上口-才<<：4,.那么A就叫做函数/（h）当才一.一时的左极限，记作if-f,1lim /（jr ） = A 或 /（i（j ） = A .类似地，在lim/Q，） = A的定义中前0<|.l可<6改为网.£<孔+ 8,那么A就叫做函数/Q）当工时的右极限，记作 lim f（jc） = A 或 /*；） = A.左极限与右极限统称为单侧极限.根据14时函数/（1）的极限的定义以及左极限和右极限的定义，容易 证明工函数当11“时极限存在的充分必要条件是左极限及右

8、极限各自 存在并且相等，即£卅）= /（1；）.定义2 设函数当51大于某一正数时有定义.如果存在常数Ai对 于任意给定的正数£ （不论它多么小），总存在番正数X,使得当父满足不等式 ll>X时，对应的函数值/"）都满足不等式I 1 ） - A I < ,那么常数月就叫做函数（重）当28时的极限，记作limfjc） = A 或A （当；rf 8）.L3函数极限性质：定理1（函数极限的唯一性）如果limf（一）存在，那么这极限唯一.1 A S.定理2（函数极限的局部有界性）如果lim/（d） =月，那么存在常数M>0和合>0,使得当0<

9、|i - 时，有定理3（函数极限的局部保号性）如果lim/（,/）= A,且A >0 （或A<0）,那么存在常数3>0,使得当0< |I-此,|<台时，有/（x）>0 （或定理T 如果】2/（上）=内（A#0）,那么就存在着才”的某一去心邻域* Fu（*），当j-e u （孔）时，就有>峥L由定理3易得以下推论，推诒 如果在心的某去心邻域内/（）20 （或而且lim/Xi） =A，那么A。（或A宅0）.定理4（函数极限与数列极限的美系） 如果极限1加工）存在"工"为 J-f函数,（1）的定义域内任一收敛于八的数列，且满足）,那么相应

10、的函数值数列1/3;乂必收敛，旦lim/（乙）=k-*g，“L 无穷小和无穷大定义1如果函数八X)当上* (或工一时的极限为零，那么称函数 /(了)为当/ (或8)时的无穷小.定理1 在自变量的同一变化过程工 上“(或If 8)中，函数八工)具有极 限A的充分必要条件是f(l) = A + *其中0是无穷小.定义2 设函数/(上)在当的某一去心邻地内有定义(或|了|大于某一正 数时有定义).如果对于任意给定的正数M (不论它多么大)，总存在正数5 (或 正数X),只要工适合不等式0<<3 (或|工| >X),对应的函数值人才)总满足不等式则称函数/(4为当M或8)时的无穷大.

11、一般的说，如果limf(i) = 8,则直线1二之口是函数的图形的铅 . f V直渐近线.定理2在自变量的同一变化过程中，如果八丁)为无穷大，则:黯为无穷 小；反之，如果人工)为无穷小，且人工)了0,则了方为无穷大.工极限运算法则定理1有限个无穷小的和也是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理3 如果lim/(x) = A Jim音(1)= E,那么(1) lizn/(x) ±g(=lim/(js) ±Limg(x) = A ±Bs(2) lini/(x)1 (x) =)Timg(

12、x) = AB:(3)若又有B#0,则i， /(>r) _ lim/(x) _ A hmg-麻GTE-推论1如果lim/小)存在，而c为常数，则 lim cf(x) = clim/(x).就是说，求极限时，常数因子可以提到极限记号外面.这是因为linir = c.推论2如果limf(工)存在，而是正整数，则= lim/( j)",定理4设有数列I力和1乂1 .如果 lim.rh = A ,lim = B,M * gCK!那么(1) limfx, ± _vri) = A ± B;Rt E lim 才 j y, = A E $ if-« Jr A(3)

13、当v“关0 (" = 1,2)且5/0时，1加=合.一» jy定理 5 如果 p(h)>Mw),而 lim中(h ) = a .limM h) = Z?挪么 ab .-r* W-P"例5、例6、例7是下列一般情形的特例,即当的r0,益声0,相和m为非负 整数时，有. < .Z11*_,，二【也一期,.“.工.十 .工,十.二十=产 第里t" + '工+十01当» > w t ,8 +当丹 泌，定理6(复合函数的极限运算法则)设函数产/8是由函数式=晨外 与函数 f")复合而成J八H)在点/的某去心邻域内有定义

14、，若=入，且存在瓦01当£ J (见,踞)时,有晨及声 LQL.Mq ,则lim fg(i) = lim/(以)=A .1，L 口 0准则I 如果数列八、| 乂 及鼠"满足下列条件】 (1)从某项起，即mWN,当“明1时，有(2) limy, = % lim a t iff 由 s那么数列隆的极限存在，且lim匹,=i. Iff 9准则I 如果(1) 当 j EJ (*n ,r)(或|*l >")时， 屋 1才)(2) limUm右(1)=八，( J*<»)(4” 一 那么lim 八1)存在，旦等于 A. (4rz mo J 推则I及准贝u

15、r称为夹词唯则.下面讲判定极限存在的两个选则以及作为应用准则的例子，讨论两个重要极限4m包十=1及1皿(1 +工丫 =已 LU JrL3 J /例2 求Hm 1 与才 口 j*arcsin hr 啊im精品文档解 令工二arcsin h，则工工sin £,当0时.有£-0.于是由复合函数的极限运算法则得. srcstn j . L km= lim fmH1 r_*i) sin f准90单调有界数列必有极限牛顿二项公式:e = 2.718 281 828 459 045,1 ,- l)(n -2) 1/ +3!r+ +"(- 1 )(打一打 + I )1/vIim（

16、l + 之）W=lim （ 1 + I = e.工一0才-*8 JC ）例 4 求 lim f 1 -）,解令上=-工，则当8时，£f 8 于是准则r 设函数在点的某个左邻域内单调并且有界，则在 看的左极限）必定存在.柯西极限存在准则数列|工收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正 数E,存在着这样的正整数N,使得当»N"N时，就有I XH - Xlti I < .L 无穷小比较定义：如果而且=0,就说/?是比口高阶的无穷小，记作/?=。3）；如果lim旦=8,就说？是比q低阶的无穷小，如果limC = rHO,就说。与。是同阶无穷小；如果limg =

17、63;H4）/0,就说。是关于q的E阶无穷小.如果lim §=1,就说g与口是筌姬熨少，记作。氏显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即c = l的情形.定理1 #与。是等价无穷小的充分必要条件为当 工f 0 时.sin 1 t tan h j* ,arcsin x x, 1 " cos jc =定理2 设/，且lim2存在，则a B' Jim Lim a a定理2表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来 代替.因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化.一例4求痴粤解 当0时,sin工，无穷小13 + 3=与它本身显然是等价的,所

18、以例5求He d- 7 ros * - L解 当 0 时 , (1 + /)了 - 1 -yj-2 ,ros a, - L。工*,所以1r 3 COS T - 1hm ：于.L。1232XL 函数的连续性和间断性定义 设函数y = /G)在点判的某一邻域内有定义，如果 lim Ay = lim + ix ) - /( x0 ) = 0,A.rOAjTI那么就称函数在点.Tu连续.设函数沙=/(l)在点土。的某一邻域内有定义，如果lim /(x) = /(4) .L“ 口那么就称函数人工)在点劭连续.如果Jim八=)存在且等于4)，即/(K) = fG3就说函数人工)在点工。左连续.如果lim

19、J")=/(K)存在且等于/(工“)，即AT IO就说函数了(工)在点A右连续.在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在 该区间上连续.如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端 点连续是指右连续.间断点设函数/（1）在点4的某去心邻域内有定义.在此前提下,如果函数/（X） 有下列三种情形之一:（1）在X = 没有定义；（2）星在工=有定义，但imQ）不存在； 虽在£ =外有定义，且存在，但Um/（且”，“），则函数/（上）在点/为不连续，而点小称为函数人工）的不连续点或间断点.riW*4KrtiTWiwL 连续函数运算与初等函数连续

20、性定理1设函数/"）和晨H）在点连虢，则它们的和（差）/土g、积fg 及商（当晨与）羊。时）都在点孔连续.定理2如果函数.7 =人工）在区间L上单调增加（或单调咸少）且连续，那 么它的反函数宓=/1了）也在对应的区间1“丁=/（），eu上单调增 加或单调减少）且连续.定理3设函数、=/工）由函数=晨M）与函数y=f（H）复合而成，U 3JUDL若limg（k）= I小而函数沙= /（w）在我=心连续，则 L。lim/tjfCx） = lim/（ w） = /（ ul（）.L,L”lim/g（41）l = / limff（x）.定理4设函数）=屋）是由函数二以工）与函数了 =“）复合而

21、 成, Uhu）UDm ,若函数廿二以X）在H = H”连饿.且耳（再1）= hd.而函数y = 人工力在“二。连续，则复合函数3=/屋工）在父二心也连献基本初等函数在它们的定义域内都是连续的例6求limj- *n】阻(1 + H )I- 1og.fl + .r)i1hm= hmk)& 1 + h ) # = 1阻 e = r1.jcr-*uIn a例7求lim三_ ,L" X'解令白T =小则工=1困（1中。，当上f 0时上f 0,于是lim 二 lim 1。+ -a JC j-ni log” （l + O例8 求Hm（l+2"）京.解因为（1十2打）系=

22、（1十2）±*高/=/'高击,L 闭区间连续函数性质一、有界性与最大值最小值定理先说明最大值和最小值的概念,对于在区间1上有定义的函数/（a）,如果 有使得对于任一 都有则称人工，是函数八1）在区间J上的最大值（最小值）.定理1（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上 有界且一定能取得它的最大值和最小值.定理2（零点定理）设函数金）在闭区间我"上连夔，且/（日）与/（b） 异号（即/（白卜5）0）,那么在开区间（-Q内至少有一点使推论在闭区向上连续的函数必取得介于最大值M与最小值，奴之间的任何值.E定义 设函数（）在区间I上有定义.如果对于任意给定

23、的正数R,总存在着正破3,使得对于区间J上的任意两点不、.巧,当I可一小1占时，就有1/（ J-t）-/3）I E ,那么称函数/（工）在区间1上是一致连续的.定理4（一致连续性定理）如果函数人了）在闭区间*6上连续，那么它在该区间上一致连续.导数与微分定义 设函数了 二/（1）在点的某个邻域内有定义，当自变量H在j处 取得增酸工（点H。+*仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量占y =八芷）一八.4）；如果*与之比当&Tf 0时的极限存在，则称函数二 在点j处可导，并称这个极限为函数,=八1）在点u处的导敷，记为f（QMPLf/" + ）一/（工。）小J （）一 hm 七一J

24、imT,也可记作/I,一dyD，五“或 d/(i)或"7VI函数了（工）在点处可导有时也说成人才）在点/具有导数或导数存在.导致的定义式（4）也可取不同的形式，常见的有'")=limKJ/(xu > h ) "/Cr0 )- h如果函数人工）在开区间（&"）内可导，且£ （1）及，一（6）都存在，就说 人工）在闭区间口，制上可导.导数的定义可知：函数* 二八）在点工0处的导数，（）在几何上表示曲线在点M（4,/（4）处的切线的斜率，即/'D= tan a 根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线¥

25、; =在点M（4，n）处的切线方程为yya =/（x（）（x - jJ-过切点且与切线垂直的直线叫做曲线y = ）在点M处的法线,如果r（*）ro,法线的斜率为一户3,从而法线方程为=一法严一孔）K1=y'|x0在点X0处斜率，法线斜率 K2=-1/K1，如果函数） = /（在点度处可导，则函数在该点必连续.一个函数在某点连续却不一定在该点可导 85定理2如果函数父=/6）在区间b内单调、可导且f*KO,则它的反函数y二JTJ）在区间L = 工|1二（",）6 口内也可导，且'（、或 典=工.（1）U I 'TTy）飘 dH dx'L '

26、9;石反函数的导数等于直接函数导数的倒数.定理3如果* 二屋1）在点x可导，而y二/（占）在点以二-1）可导，则复 合函数屋）在点M可导，且其导数为或柴=务条(C)'=0,(3) (sin xY cos jc .(5) (tan h)' = sec21 (7) (sec h)' = sec itan x ,(9)(aY a1 In a， 3)' = "，(4) (cos r)f - - sin x,(6) (cot r)f = - esc7 , (8)(CSC H)'= - CSC TCOt (10)沁)=e1）（嗨"=需(12)(1

27、3) (arcsin xY = .，1 一工(14) (arccos )'二 一(15) (arctan )'=1 + H*(16)(arccot t)'=1 + j?4.复合函数的求导法则设y 二/（）.而* 二4（）且/（田）及耳（工）都可导，则复合函数屋口的导数为dj票*黑 或 ¥'（工）=/（M）*g（x）设以二£才）心=。（1）都可导，贝U(1) (U ± vY =± V（2）（a）'=c/（。是常数）,(3) (zw )'= u r + 耳 J ,(4)（存0）.(sh j' )* =

28、ch jt , (ch i)' = sh , (th .r)'=不一 ch-j,(arsh xY ,(arch j )' = 7 . . , (anh jtY =-“ -1Jr一般的，函数,=/（工）的导数y'=f（X）仍然是上的函数.我们把丁/'（工）的导数叫做函数丫 : /£）的二阶导数，记作/或欢，即广,或缪4偌卜相应的，把¥ = /（工）的导数/（£）叫做函数了二fQ。的一阶导数.CQS £)"“ = COS/*、(»)一,In(sin jc )- sm | x + 以,彳Un（l +

29、i）尸=（-1），支弋（一）<"=六（刈一1） （- 2）（- n +1）工口 "=，""一1）3=2）一321="！（J?）'"*" =0.莱布尼茨公式（ W）UV）_（n >（ m - t）加（如 1）（士） ,f i=u v- nu 仃 +2ju 已 + *i（界 1）（"一人 + 1出!U V 十 *1 + "V莱布尼茨公式/（）_、-上 （】l 小）（t>uv） - 2j G* V在某些场合，利用所谓嬖螃苦求导数比用通常的方法简便些.这种方法 是先在y=，（工）的两边取

30、薇装前求出,的导数.我们通过下而的例子来dy _ “ 矛/ _ ”（£），（力一（、）卬/（,） 乔一一T10）定义 设函数=，（上*）在某区间内有定义，工“及飞+3才在这区间内，如 果增超» =于（。+ Ax） -/（x0）可表示为了 " AAh+ =（）,（1）其中A是不依赖于的常数，那么狒函数丫 二/0）在点为是可微的，而A&r叫做函数了 = fQ）在点孔相应于自变量增量上的逮&,记作d卫，即dy = 4 .由此可见，函数/（1）在点心可微的充分必要条件是函数八工）在点与可 导，且当人外在点心可微时，其微分一定是d了二（2）函数了 = /（才

31、）在任意点工的微分，称为函数的微分，记作dv或廿（=）,即 d.v - r（Jt*）Ax,通常把自变量工的增量A工称为自变量的微分，记作di,即d二了.于是 函数.V =/(m)的微分又可记作dy = f'(i)dN.导数公式 i.(sin xY = cos x(cos xY = - sin x(tan £)'二 aec3 ,r(cot w)' = " CSC'(sec .r V = sec xlan x(esc 工)'二-esc * cot x微分公式d( 一厂兴尸乜工d(sin H)=cos jrd.rd(co« .r

32、) = sin xd,rd(tem x) = sec3xdx<1( col i) = esc2 xdxd(sec 工)=«ec xtan wdid(csc .r) = - esc j:cot xdx导数公式微分公式伽乱工)=羡(In x)/ =x(arcoos x)# = - ._/1 t(arcmn *)' = T I + x(arccot 工)“三一k+ xd(a r) = aT In adxd(eJ ) = eJd.rd( In <r) = dj；xd(arcsin .r) = , -dT71 - x3d(arccos x) = 、L 一.d)d(arctn

33、n h) =工1 + Xd(arccot x) = _ t7tHx1 +1前面说过，如果？=/（1）在点融处的导数,（h/KO,且也11很小时，我 们有= /'（h0）Ah.这个式子也可以写为A.v = /（+ 小工）（*）,（4）或/（%+工）七八见）十（工口）色工-（5）在（5）式中令1 =网十&不,即/ = *-*,那么（5）式可改写为f（工）- J（l）./（工）%/0）+ 60）工.（7）应用（7）式可以推得以下几个在工程上常用的近似公式（下面都假定|工|是 较小的数值）：（I） 6 1 + H = 1 4X ;71（II） sin工工（x用弧度作单位来表达）；（Hi

34、） tan工知父 （x用弧度作单位来表达）:（tv） J % 1 + 工：（V）1口（1 + 如果某个量的精确值为X *它的近似值为叫那么I A - |叫做口的绝对误 差，而绝对误差与|口I的比值匕，叫做。的相对误差.二微分中值定理与导数应用费马引理设函数八工）在点外的某邻域。（事）内有定义，并且在入处可导，如果对任意的hEU（孔），有/（八）（或>/（）,那么，"）= O.罗尔定理如果函数/（M）满足（1）在闭区间日通上连续；（2）在开区间（口，"）内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即。）=/（方）， 那么在（""）内至少有一点£

35、 Q<E<Q,使得/（f）=0.拉格朗日中值定理 如果函数/(1)满足(1)在闭区间上连续.(2)在开区间(口，6)内可导.那么在(口5)内至少有一点S (0<£<，,),使等式 f(b) - f( a)- /(6)(6 a)= /Q),/(* + Ar) -义工)=/(,十0< &< 1),这里数值在。与【之间，所以1十是在与1十之间. 如果记了(£)为y,则(2)式又可写成丁 =/( + 铝父) (0<1).定理 如果函数/(X)在区间I上的导数恒为零，那么/(了)在区间I上是 一个常数一柯西中值定理，如果函数/G)及F

36、Q)满足(1)在闭区间。，力上连续；(2)在开区间3")内可导；(3)对任一工£(叫bLF'G冲Q, 那么在Q")内至少有一点久使等式f(b)-M fy)F(b)-F(a-FrUl洛必达法则定理1设(1)当jr-a时,函数及F(工)都趋于零;(2)在点«的某去心邻域内，/(h)及F'(x)都存在且F'(工)K0;(3) im畀存在(或为无穷大)， 那么(I)当时，函数工)及F(i)都趋于零：(2) S|xi>N 时，Q)与 F'(m)都存在，且 F'(h)MO;(3) 存在(或为无穷大)，.r- r L jt

37、 J那么照二帆FTTT泰勒公式1+H ln(l + a)Ri .凶很小时。力"(*) = "H + 鹿1 O - T|)彳Hi/ +r（ r）九（工）=八2口）+r（“（” -万口）+. 2j（一孔y +一+泰勒（Taybr）中值定理 如果函数义工）在含有小 的某个开区间（口工）内 具有直到（北+ 1）阶的导数，则对任一16（口，6）,有./（ T ） =/（工心）+一小）+'-）十十其中这里£是父口与工之间的某个值.由此可如，当if与时误差1兄（工）1是比（工一工。尸高阶的无穷小，即(6)凡#）工口（工一工0）".这样，我们提出的问题圆稠地得到

38、解决.在不需要余项的精确表达式时，打阶泰勒公式也可写成/（J-）=八工"） + /'（刈）（1 一 Hu）+ I-注口）" + 白（11工口）".< 看（7）R”（i）的表达式（6）称为厩亚诺（Peag）型余项，公式（7）称为/（土）按（工一 右）的第展开的带有偏亚诺型余项的n阶泰勒公式.+(8)在泰勒公式（3）中，如果取上。=0,则名在0与工之间.因此可以令E = fir 从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的麦 克劳林（Maclaurin）公式 -1"> r A. " .xa» "/

39、(r) = /(0) +，(0)M + 争 + +F + D!工在泰勒公式（7）中，如果取q =0,则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式/（工）=/（0） +，'（0）工 + + -把工"+。3 ）.（9）由（8）或（9）可得近似公式f（T）f（o）+，（0）工 + 十,设差估计式（5）相应的变成H）区.力1 IRL（10）函数单调性与凹凸性定理1设函数）= /（1）在"，刈上连续，在内可导.（1）如果在3，6）内，（/）0,那么函数丁 = /（z）在"上单调增加； （2）如果在（*6）内f Q、）0,那么函数、=/（1）在力上单调减少.一般的，如果（，）在

40、某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正 （或负）时，那么八1）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.定义 设在区间/上连续，如果对/上任意两点以，外 恒有.（勺十岁） f（H1 ） + /（壬）那么称/（1）在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧八如果恒有（q *中+ /（*）那么称f（M）在上的图形是（向上）凸的（或凸弧）.定理2设f（i）在o，6上连续，在（口，6）内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在（）内/«父）0,则人才）在上的图形是凹的；（2）若在内，（幻0,则/（）在*力上的图形是凸的.一般的，设了 = /（1）在区间/上连续，小是I的内点.如果曲线）=/（ E ）

41、 在经过点（丸,/（0）九曲线的凹凸性改变了，那么就称点（心，人工口）为这曲 线的拐点.求工）；（2）令，（工）= 0,解出这方程在区间/内的实根,并求出在区间/内/（1） 不存在的点；（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点,打，检查，（工）在 右左，右两侧邻近的符号那么当两侧的符号相反时，点（A J（j）是拐点，当定义 设函数/（工）在点心的某邻域内有定义，如果对于去心邻域U Q%）内的任一1,有fMfM （或）/（*）, 那么就称是函数/（,）的一个极大值（或极小值）.定理1（必要条件）设函数.*1）在Jo处可导，且在割处取得极值，那么 /（Xo）=0.定理2（第一充分条件

42、）设函数6工）在见处连续.且在工u的某去心邻域OU （工U * ）内可导.（1）若 j 6 （ jd - 6,孔）时/（大）0,而+ &）时,，（h）0,则人上）在网 处取得极大值：（2）若工6（工1）一占，工0）时）（工）o,而工£（,4 + a）时'（）o,则 工）在工。处取得极小值：（3）若父£ d（5，a）时,，（）的符号保持不变，则/（工）在 心 处没有 极值.（4）求出各报值点的函数值，就得函数/（1）的全部极值.定理3（第二充分条件）设函数八行在与处具有二阶导数且/（工j = o ，（网）工0,那么（1）当，（见）o时，函数人心在4处取得极大值

43、；（2）当，（耳）0时，函数人工）在4,处取得极小值.假定函数工）在闭区间口,川上连续，在开区间（*6）内除有限个点外可 导，且至多有有限个驻点.在上述条件下，我们来讨论人）在口速上的最大值 和最小值的求法.首先，由闭区间上连续函数的性质，可知/（丁）在以工上的最大值和最小 值一定存在.其次，如果最大值（或最小值）”外）在开区间（口"）内的点/处取得.那 么，按人工）在开区间内除有限个点外可导且至多有有限个驻点的假定，可知 人看）一定也是了）的极大值（或极小值），从而一定是的驻点或不可 导点.又/（工）的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得.因此，可用如下 方法求人）在上的最大值和

44、最小值.（1）求出/（工）在（。"）内的驻点以，巧，孔及不可导点，工' 工。；（2）计算（"12，加）,"；）（尸1,2,，月）及八鼻）J（外；（3）比较2）中诸值的大小.其中最大的便是网上）在上的最大值，最 小的便是/（工）在-刈上的最小值.函数图形第一步 确定函数y = 工）的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶 性,周期性等），并求出函数的一阶导数，（丁）和二阶导数r（工）二第二步 求出一阶导数，口）和二阶导数，Q）在函数定义域内的全部零 点，井求出函数/的间断点及，（工）和r（a ）不存在的点，用这些点把函数 的定义域划分成几个部分区间；第三步确定

45、在这些部分区间内r（工）和.门1）的符号，并由此确定函数 图形的升降和凹凸，极值点和拐点；第四步 确定函数图形的水平，话直渐近线以及其他变化趋势；第五步 算出r（二）和ri）的零点以及不存在的点所对应的函数值，定 出图形上相应的点；为了把图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点；然后结 合第三四步中得到的结果，联结这些点画出函数了=）的图形.曲率dj = f + y2 d;r h（1）这就是弧微分公式.K 二空 口一小曲率根据曲率K的表达式（2）,有K =严，设曲线由参数方程给出，则可利用由参数方程所确定的函数的求导法，求出了：,及了，代人（3）便 得代 I£ ）-尹一（）'（

46、一） I小一户出一.三、曲率圆与曲率半径设曲线* ="）在点处的曲率为K （K*。）.在点M处的曲线O的法线上，在凹的一恻取一点D,便DMI =春=外 以D为圆心，p为半径作四（图3-35）.这个圆叫撇曲 线在点M处的蜡迪，曲率圆的圆心D叫做曲线在 点M处的曲率中心，曲率圆的半径p叫做曲线在点 M处的曲率半控.设已知曲线的方程是丁二/（工），且其二阶导数/在点工不为零，则曲线在 对应点M（y）的曲率中心D（u,0）的坐标为y 尸（ T 7.y因为点M在曲率圆上，所以 、（X 一口/ ¥ （y = p2;'又因为曲线在点M的切线与曲率圆的半径DM相垂直（图3 -35）

47、,所以； x - a由（6）和（7）消去一工一*,解出（I十/尸当点（hJ（t）沿曲线C移动时，相应的曲率中心。的轨迹曲线G称为曲线C的选图感，而曲鸳C称为曲线G的顿蟋（图 3-37,茴诵线） =:（上）的渐屈线的参访箱为其中沙=/（度），/ = /（工）/ = /（工）行为参数, 直角坐标系虱举与工0*坐标系重合.例4求摆线率不定积分- 定义1如果在区间I上，可导函数F（H）的导函蛾为了（H）,即对任一H £ I ,都有F'（m） = f（工）或 dF（x）那么函数FG）就称为“工）（或在区间I上的原函数.例加，因（sin xY cos,可故sin父是cos上的一个原函数.

48、:连续函数一定有原函数.F（i） + C = /U）定义2在区间I上，函数工）的带有任意常数项的原函数称为fix） （或人工）"）在区间I上的不定积分，记作jy（x）df其中记号称为积分号,/（工）称为被积函数/（工）d工称为被积表达式，工称为 积分变遗.由此定义及前面的说明可知,如果F(i)是/(工)在区间J上的一个原函 数，那么F(x) + C就是八)的不定积分，即1 /(= F(h) + C.d J /(jr)djr =/(x)dj;(1) jAcLr = JU + C (k 是常数)，工出=W + CJ M+1苧= IMM + C,«，2 = arctan x +

49、C,J 1 + T' f,中、=arcsin j + C, J 71-x2cos jrdr = sin x + C, sin xdj - - cos + C,sec"hdjr = tan j: + C,寿=J sin x Jesc2 jrdx = cot 工 + C, sec tan xdj - sec _r + C esc zcot rdx = - esc Jr + C二e+ C, .卜di=a+c.J In a性质1设函数工)及£工)的原函数存在，则f 7()+g(H)dH = /(x)dx + 抹(#)dM.性质2设函数/(*)的原函数存在，A为非零常数，则/

50、(2*)djr = k /(jr)djr , Jd对数函数运算法则1. a(logab)=b2. Logaa=1 3. Loga(mn)=log am+logan4. log a (m/n)=loga m-loga n5. Loga (mn)= n log a m6. log a m 1/n = (log a m)/n定理】 设八)具有原函数，"二中CO可导，则有换元公式=p(Jr)/( J') ( J)dx = J /( u )dw一般的,对于丽式工cos' (&JWN)型函数，总可利用三角恒等式x =15中- cos 2j*) ,cos2 jl = y (

51、1 + cos2h)化成cos 2jc的多项式然后采用例所用的方法求得积分的结果.一般的，对于tanlsec汽r或tan3i-' xsec (A E N* )型函数的积分，可依次 作变换h = tan 1或"=sec h ,求得结果.一般的，对于器in"'L h cos"x或sinl cos2x (其中k W N)型函数的积分 总可依次作变换 =cos m或n =sin工，求得结果.下面将介绍的第二类换元法是：适当地选择变量代换工二奴。，将积分 /(工川1化为积分j/以£)/(£)山.这是另一种形式的变量代换，换元公式 可表达为

52、/(1z)dx= 1/中/(上)<U.定理2设工=以。是单调的、可导的函数，并且“(。金0.又设丹田。 “(£)具有原函数，则有换元公式J /(x)dx = J /力(工)中'(1)dtJ其中厂*Q)是#的反函数. tan j-dx = - In I cos x I + Ct I cot a dx - In I sin x I + C,dj _ .工工厂-=drc&in + C iV a2 x2a=ln( x + x2 a2) + C y jc + a=In I j +- a1 I + C© sec jt,djc = In | sec jc + tan

53、 jt I + Cr esc id工=In | esc m - cot 1 | 十 C 你dH一 1 -j7 = -arctan + C ,-J a + t a a小三£ +g J一工一日 2a x aUV) = « V + LCV »移项，得对这个等式两边求不定积分，得u'vdx.公式（1）称为分部积分公式.如果求f腿/日工有困难，而求f比较容易时,分部积分公式就可以发挥作用了，为简便起见，也可把公式（D写成下面的形式：I udv = uv - vdu .（2）总结上而三个例子可以知道，如果被积函数是扉函数和正（余）弦函数或第 函数和指数函数的乘积，就可

54、以考虑用分部积分法，并设辖函数为口 .这样用一 次分部积分法就可以使林函数的骞次降低一次,这里假定黏指数是正整数.总结上面三个例子可以知道，如果被积函数是塞函数和对数函数或藉函数 和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为有理函数积分两个多项式的商昌R称为有理函数，又称有理分式,我们总假定分子多项 式PQ）与分母多项式QQ）之间是没有公因式的.当分子多项式P 的次数 小于分考多项式QQ）的次数时,称这有理函数为泡运，否则称为殷或.利用多项式的除法，总可以将一个假分式化加二码项式与一福存式之 和的形式，例如第一节例15中的被积函数可化为有理函数的积分率定积分1,曲边梯

55、形的面积 2.变速直线运动的路程定义 设函数/(h)在卜"上有界，在，6中任意插入若干个分点。=Hu < < 之< ,< % 7 < M 6，把区间叫口分成"个小区间,工口，叫,以应,47各个小区间的长度依次为h 11 - H口, Ah?可工口 - hI”,_ N t .在每个小区间(工i ,不上任取一点却(工WEjW箝)，作函数值/(£,)与小 区间长度-，的乘积/(&)- (i = L2,，Q.并作出和S=W/(GAq.(1)Iifi A = max | *，叫，/，如果不论对怎样划分，也不论在小区 间(工1，币上点却怎样

56、选取，只要当4fo时，和S总趋于确定的极限，那么 称这个极限I为函数/(丁)在区间“，6上的定积分(简称积分)，记作/(x)dxt 即4l4:/dx=I = im 次 /(£；)山(2)fJuU 777其中人工)叫做被积函数,/(H)d_T叫做被积表达式，工叫做积分变量，口叫做积 分下限，/,叫做积分上限曰"叫做积分区间.定理1设/(工)在区间明)上连续,则门%)在-。上可积定理2设£)在区间明加上有界，且只有有限个间断点，则八X)在 上可积.定积分近似值的方法称为更形法梯形法公式(5)求得近似值性质 I /(h) ± g(i)di = fix'idx +1*(H)dx J&J ”Jo性质 2 f(x)dx = k f7(.r)d.r ik 是常数) J firJ fi