2020-2021中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题含详细答案

1、2020-2021中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题含详细答案一、锐角三角函数1.如图，4ABC 内接于。O, BC 2,ABAC，点D为Ac上的动点，且cosB 10 .10(1)求AB的长度；(2)在点D运动的过程中，弦 AD的延长线交BC的延长线于点E,问AD?AE的值是否变化? 若不变，请求出 AD?AE的值；若变化，请说明理由.DH .在点D的运动过程中，过 A点作AHXBD,求证：BH CD【答案】(1) AB =50 ; (2) AD AE 10 ; (3)证明见解析【解析】【分析】(1)过A作AFL BC,垂足为F,交。于G,由垂径定理可得 BF=1,再根据已 知结合R

2、t AAFESPM求得 AB长；(2)连接DG,则可得AG为。的直径，继而可证明 DA34FAE)根据相似三角形的性质可得 AD?AE=AF?AG连接BG,求得AF=3, FG=1 ,继而即可求得 AD?AE的值；3(3)连接CD,延长BD至点N,使DN=CD,连接AN,通过证明AD8 4ADN,可得AC=AN,继而可得 AB=AN,再卞据 AHXBN,即可证得 BH=HD+CD.【详解】(1)过A作AU BC,垂足为F,交。于G,1 . AB=AC, AF± BC, . . BF=CF=1 BC=1,叽，,W在 RtAAF冲,BF=1, -AB=cosB V10；10(2)连接DG

3、,2 .AFXBC, BF=CF，AG 为。的直径，. / ADG=/ AFE=90 , 又 / DAG=Z FAE DAG FAE,3 .AD: AF=AG: AE,4 .AD?AE=AF?AG连接 BG,贝U/ABG=90,BF± AG, z. BF2=AF?FG-af=/ab"_BF7=3,-1.FG=-，3c- c-10，AD?AE=AF?AG=AF? (AF+FG =3 X=10；(3)连接CD,延长BD至点N,使DN=CD,连接AN,3 / ADB=Z ACB=Z ABC, / ADC+Z ABC=180 ,° / ADN+Z ADB=180 ,/ A

4、DC=Z ADN,4 . AD=AD, CD=ND,5 .ADCAADN,.AC=AN,6 .AB=AC, .1. AB=AN,7 .AHXBN,8 .BH=HN=HD+CD.G【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定 与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键2.如图，在平行四边形ABCD中，"E平分工"""，交"于点平分乙，交仞于点”，"E与"F交于点P,连接EF PD.(1)求证：四边形是菱形；若犯=，叩=6= 口求tan"DP的值.【答案】(1)证明见解析 5【解

5、析】 试题分析：(1)根据AE平分/BAD、BF平分/ABC及平行四边形的性质可得 AF=AB=BE 从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形(2)由菱形的性质可知 AP的长及/PAF=60,过点P作PHI± AD于H,即可得到 PH、DH 的长，从而可求tan/ADP试题解析：(1); AE平分/ BAD BF平分/ABC / BAE=Z EAF / ABF=Z EBF. AD/BC/ EAF=Z AEB ZAFB=Z EBF/ BAE=Z AEB Z AFB=Z ABF ，AB=BE AB=AF，AF=AB=BE1.AD/BC.ABEF为平行四边形又 AB=BE .A

6、BEF为菱形(2)作 PH，AD于 H由 / ABC=60 而已(1)可知 /PAF=60, PA=2,贝U有 PH=百，AH=1, . DH=AD-AH=5.tan/ADP咚考点：1、平行四边形;2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数3.如图，在 4ABC中，/ABC=/ACB,以AC为直径的。0分别交 AB> BC于点M、N,点P在AB的延长线上，且 / CAB=2/ BCP(1)求证：直线CP是。的切线.(2)若 BC=a/ sin/BCP=5 ,求点 B 到 AC 的距离.(3)在第(2)的条件下，求 4ACP的周长.【答案】(1)证明见解析(2) 4 (3) 20【解析】试题分

7、析：(1)利用直径所对的圆周角为直角，2/CAN=/ CAB, /CAB=2/ BCP判断出/ ACP=90 即可；(2)利用锐角三角函数，即勾股定理即可.试题解析：(1) - ZABC=Z ACB,.AB=AC,.AC为。O的直径，/ ANC=90 ； / CAN+/ ACN=90 ； 2/ BAN=2/ CAN=Z CAB, / CAB=2A BCP, / BCP玄 CAN,/ ACP=ZACN+Z BCP之 ACN+Z CAN=90 ； 点D在。O上,，直线CP是。的切线；(2)如图，作BF,AC . AB=AC, /ANC=90；1.CN= CB=.,团 /BCP玄 CAN, sin/

8、BCP=$ ,肉 sinZ CAN=-1 ,.AC=5,.AB=AC=5,设 AF=x,则 CF=5- x,在 RtABF 中，BF?=AB2-AF2=25-x2,在 RtCBF中，BF2=BC?-CF?=2O- (5x) 2, .-25-x2=2O- (5-x) 2,.x=3, .BF2=25 - 32=16,BF=4,即点B到AC的距离为4.考点：切线的判定4.在矩形ABCD中，AD>AB,点P是CD边上的任意一点(不含 C, D两端点)，过点 P作PF/ BC,交对角线BD于点F.(1)如图1,将PDF沿对角线BD翻折得到aDF, QF交AD于点E.求证：4DEF是等腰三角形;(2

9、)如图2,将4PDF绕点D逆时针方向旋转得到 P'DF',连接P'C, F'B.设旋转角为 a (0°< a< 180°). 若0°VaV/BDC,即DF在/BDC的内部时，求证： DP'g DF'B. 如图3,若点P是CD的中点，DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan/DBF的值,如果不能，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；1或Y3 .23【解析】【分析】(1)根据翻折的性质以及平行线的性质可知/DFQ=/ ADF,所以 DEF是等腰三角形；(2) 由于PF/

10、 BC,所以DPFDCB,从而易证 ADP 的 DCB;由于DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论.【详解】(1)由翻折可知：/DFP1 DFQ,1. PF/ BC,/ DFP=Z ADF,/ DFQ=Z ADF,.DEF是等腰三角形；(2) 若0°V “V/BDC,即DF'在/ BDC的内部时，. /P' DFf PDF,./P' DFZF' DC=PDF- /F' DC./P' D C=F' D B由旋转的性质可知：DP国DPF, 1. PF/ BC,.,.DPFADCB.

11、.DP' c-FADCBDCDBDP'DF ''.DP'ADF'B;当 / F' DB=9W,.DF， =DF=BD,2如图所示,DF ' 1BD 2当/DBF =90；此时DF'是斜边，即DF>DB,不符合题意;当/ DF B=90寸，如图所示,.DFDF=BD,2 / DBF ' =30 .tan/DBF'立3【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定 理、运用分类思想进行讨论是解题的

12、关键.5.如图13,矩形ASCD的对角线AC , BD相交于点。，1C0D关于CD的对称图形 为ACED.（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接 ME ,若 xJ=6em ,=求sin/E仞的值；若点F为线段NE上一动点（不与点 A重合），连接8F , 一动点2从点8出发，以 加5的速度沿线段0P匀速运动到点，再以的速度沿线段巴看匀速运动到点 T,到达点 工后停止运动.当点 。沿上述路线运动到点 3所需要的时间最短时，求 刁尸的 长和点Q走完全程所需的时间.【答案】（1）详见解析；（2）sinZW =1二二和。走完全程所需时间为32【解析】试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（

13、2）构造直角三角形求; 先确定点。沿上述路线运动到点 M所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.试题解析：解：（1）证明：:四边形X5CD是矩形.-.AC = BD: AC与3白交于点。，且3C0D、aC£D关于CD对称:.D0 =C0=D0 = DE:0C = EC:.DO = OC = EC = ED 二四边形OCED是菱形.（2）连接口工,直线OE分别交AJS于点F ,交DC于点GaCOD关于CQ的对称图形为ICED /.OE±DC= t DC二.必'.OFL。二心 二在矩形.4CD中，G为0。的中点，且。为ac的中点A 0G 为2CW 的中位线0G =

14、GE= 同理可得：F为的中点，0F = ，月产=32sinUAD = siti TEF =4- = 9 3过点P作PM L交AS于点M二0由。运动到户所需的时间为3s2由 可得，AM =，且产3二点O以L5u帆/5的速度从P到A所需的时间等于以1c初 6从M运动到AOP MA 即： 一'-.-二0由O运动到P所需的时间就是 OP+MA和最小.;如下图，当P运动到咛，即咛。二一二时，所用时间最短./. I - 0P +鼻力 - 3-在R 犯皿中,设AU = 2工.建=3M.珥】=力f J + 月必二二（3 y）2 =（2x）:+（止）2解得：> ） -33二月尸二二和。走完全程所需

15、时间为 不A Mi " /考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置6.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5 分）已知：如图， AB是半圆。的直径，弦CD/AB,动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ OP , AP的延长线与射线 OQ相交于点E、与弦CD相交于点F （点F与4点C、D不重合），AB 20, cos AOC .设OP x, CPF的面积为N .5(1)求证：AP OQ ;(2)求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；(3)当 OPE是直角三角形时，求线段 OP的长.、r l3x2【答案】(

16、1)证明见解析；(2) y 丝603(50 x 10); (3) OP 813(1)证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件,OP DQ ,联结OD后还有OA DO ,再结合要证明的结论 AP OQ ,则可肯定需证明三角形全等，寻 找已知对应边的夹角，即POA QDO即可；3)分(2)根据 PFCs PAO ,将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；(4成二种情况讨论，充分利用已知条件cos AOC 、以及(1) (2)中已证的结论，注5意要对不符合(2)中定义域的答案舍去.【详解】(1)联结 OD，: OC OD , CD/AB ,OCDPOACOA,QDO .在AOP和

17、ODQ 中,OCD ODC ,OP DQ POAOA DOA AP OQ ；作PHOA,交 OA 于 H ，PH3一 x, 5cos AOC4 . OH -OP51 S AOP - AO PH 3x . CD/AB ,PFCs PAOyS AOP需2J。x、2(),60x300 lr，当F与点D重合时,x“4 CD 2OC cos OCD 2 10 - 16, 510 的/日 50一,解得x 一16133x2 60x 300 / 50y ( x 1°)；x 13(3) 当 OPE 90o时，OPA 900, 4cOP OA cos AOC 10 - 8； 5“ OC1010 25CQ

18、 当 POE 90° 时，cos QCO cos AOC 4 2 ，5OP DQ CD CQ CD 16 225013OP OP 7 (舍去)；2当 PEO 90o 时，CD/AB,AOQDQO ,AOPODQ ,DQO APO ,AOQ APO,AEO AOP 90o,此时弦CD不存在，故这种情况不符合题意，舍去;综上，线段OP的长为8.7. (2013年四川攀枝花12分)如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD是梯形，AB/ CD,点 B (10, 0) , C (7, 4).直线 l 经过 A, D 两点，且 sinZ DAB=2 .动点 P在线段AB上从点A出发以每秒2个单

19、位的速度向点 B运动，同时动点 Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿 B-CAD的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线 A- D-C相交于点M,当P, Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设点 P, Q运动的时间为t秒(t>0) , 4MPQ的面积为S.(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的 t的取值范围；(3)试求(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出 S的最大值；(4)随着P, Q两点的运动，当点 M在线段DC上运动时，设 PM的延长线与直线l相交 于点N,试探究：当t为何值时，4QMN为等腰三角形？请直接写出 t的值.【答案】解：(1) (

20、-4,0); y=x+4.(2)在点P、Q运动的过程中：当0vt w时，如图1,过点C作CF，x轴于点F,则CF=4, BF=3,由勾股定理得 BC=5.3过点 Q 作 QE，x 轴于点 E,则 BE=BQ?cos/ CBF=5t?=3t.5PE=PB- BE= (14 2t) - 3t=14 - 5t,c 1 一 1 c -、2 ,S=PM?PE=X 2t g45t) =- 5t2+14t.22当1 vt w对，如图2,过点C Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F, E,则CQ=5t- 5, PE=AF- AP- EF=11-2t -(5t 5) =16- 7t.S=1 PM?PE=1 X 2t

21、 g67t) =7t2+16t. 22当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7,即(2t 4) + (5t 5) =7,解得 t= 16 . 7当2<t< 一时，如图3,MQ=CDDM CQ=7 ( 2t 4) ( 5t 5) =16 7t,S=- PM?MQ= - X 4><16 -7t) =- 14t+32.综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为5t2S 7t214t14t 0<t 116t 1<t 2322<t<162当0Vtw时,S5t2 14t5 t 755. a= - 5< 0,抛物线开口向下，对称轴为直线t=-,5当0

22、v t w时，S随t的增大而增大.当t=1时，S有最大值，最大值为 9.2当 1vtw对，S7t216t7 t 8 空，778a= - 7< 0,抛物线开口向下，对称轴为直线t=,7当t= 8时，S有最大值，最大值为 64 . 当 2vtv /时，S=- 14t+327. k=- 14<0,，S随t的增大而减小.又.当 t=2 时，S=4；当 t=16 时，S=0, .0vSv 4.7综上所述，当t=8时，S有最大值，最大值为 64 .(4) t=20或t=12时，AQMN为等腰三角形.95【解析】(1)利用梯形性质确定点D的坐标，由sin/DAB=Y2,利用特殊三角函数值，得到2

23、 AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点 A、求出直线l的解析式：占八、D的坐标，利用待定系数法,. C (7,4), AB/ CD,D (0, 4). sinZ DAB= ,Z DAB=45 . . . OA=OD=4.2.A ( 4,0)4k b设直线l的解析式为：y=kx+b,则有 b 41.y=x+4.4，点A坐标为(-4, 0),直线l的解析式为:y=x+4.(2)弄清动点的运动过程分别求解：当0vtwM,如图1；当1vtw附，如图2;当2vtv”时，如图3.7(3)根据(2)中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值.(4) 4QMN为等腰三角形的情形有

24、两种，需要分类讨论：如图4,点M在线段CD上，,5DMQ=CDDM CQ=7 ( 2t 4) ( 5t 5) =16 7t, MN=DM=2t - 4,20由 MN=MQ ,得 16 7t=2t -4,解得 t=.9如图5,当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点 D,此时4QMN为等腰三角形，t=.5.当t=20或t=12时，4QMN为等腰三角形.95考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函 数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类 思想的应用.8.如图，已知点 H从0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运

25、动，以亿人 为顶点作菱形如1nq使点氏。在第一象限内，且£出兀=601；以po, 3）为圆心，pc为 半径作圆.设点才运动了 1秒，求：（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；的边所在直线相切的鼠 OD - 0Ccos60* =DC- O(?sm6D0 = LP与。相切时（如图1）,切点为PCLOC图工鼠 0C = OPcos300、口 玲,当°厂与OP,即与、轴相切时（如图2）,则切点为0, PC °r过上作po = op于E1 + t33二 OPCQ 浏"=22当0 P与。P所在直线相切时（如图3）,设切点为1PI, 0 P交”于2,则 |PE 1

26、0CPC = OPsin30” 十 过仃作iy轴于p,则p# * "=pc'1+ t 2 凤1 + t)2 3 (1 + t)*丁) +(2!2- 3)=勺 + _) 化简，得 + 1尸-】30 +1)+ 27 =0, 解得t + 1 =八3±6国v t = q 串-gR -1 。,所求t的值是工 ，八-1和%* + 6外- 1.【解析】(1)过。作匚以轴于",利用三角函数求得 OD、DC的长，从而求得点二的坐标OP与菱形OABC的边所在直线相切，则可与 OC相切；或与 OA相切；或与AB相切，应 分三种情况探讨： 当圆P与OC相切时，如图1所示，由切线的

27、性质得到 PC垂直于 OC,再由OA=+t,根据菱形的边长相等得到OC=1+t,由/AOC的度数求出/POC为30°,在直角三角形 POC中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op ,表示出OC,等于1+t列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；当圆P与OA,即与x轴相切时，过P作PE垂直于OC,又PC=PO利用三线合一得到 E为OC的中点，OE为OC的 一半，而OE=OPcos30,列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；当圆P与AB所在的直线相切时，设切点为F, PF与OC交于点G,由切线的性质得到 PF垂直于AB,则PF垂直于OC,由CD=FG

28、在直角三角形 OCD中，利用锐角三角函数定义由 OC表 示出CD,即为FG,在直角三角形 OPG中，利用 OP表示出PG,用PG+GF表示出PF,根 据PF=PC表示出PC,过C作CH垂直于y轴，在直角三角形 PHC中，利用勾股定理列出 关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值.9.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y kxA、点B ,且 ABO的面积为8.4交x轴、y轴分别于点将线段OP绕点O顺时针求m与t之间的函数关系象限直线AB上的一个动点，连接 PO, 旋转90。至线段OC ,设点P的横坐标为t,点C的横坐标为m , 式(不要求写出自变量t

29、的取值范围)；(3)在(2)的条件下，过点 B作直线BM OP ,交x轴于点M ,垂足为点N ,点K在线段MB的延长线上，连接 PK ,且PK KB 0P, PMB 2 KPB，连接MC ,求四边形BOCM的面积.【答案】(1) k 1； (2)m t 4； (3)Sybocm 32.【解析】【分析】(1)先求出A的坐标，然后利用待定系数法求出k的值；(2)过点P作PD x轴，垂足为D ,过点C作CE x轴，垂足为E ,证PODOCE可彳导OE PD ,进一步得出m与t的函数关系式；(3)过点O作直线OT AB ,交直线BM于点Q ,垂足为点T ,连接QP ,先证出QTB PTO ；再证出 K

30、PB BPN ；设 KPB x ,通过计算证出 PO PM ;再过点P作PDx轴，垂足为点 D ,根据tan OPD tan BMO得到OD -BO ,PD MO列式可求得t=4;所以OM=8进一步得出四边形BOCM是平行四边形，最后可得其面积为32.【详解】解：(1)把x 0代入yBO 4,1” 一- AO BO 4, AO 4, 2 A( 4,0),把 x 4, y 0 代入 y kx 4,得 0 4k 4,解得k 1.故答案为1；解：把x t代入y x 4 , y t 4,P(t,t 4)如图，过点P作PD x轴，垂足为D,过点C作CEx轴，垂足为E ,PDO CEO 90 ,POD O

31、PD 90 ,二线段OP绕点O顺时针旋转90至线段OC ,POC90 , OP OC,PODEOC 90 ,OPDEOC,PODOE PDm t 4.故答案为mt 4.交直线BM于点Q ,垂足为点T ,连接QP ,(3)解：如图，过点 O作直线OT AB,由（1）知，AO BO 4, BOA 90 ABO为等腰直角三角形,ABOBAO 45 ,BOT 90ABO 45BT TO ,BTO 90 ,TPO TOP 90 , PO BM ，BNOBQTQTBQT TPPOPQTQPT PO PKQB PKQKKQPKPQPQTKQP QPT KPQ ,TQB TPK ,KPB设 KPBBPNPMB

32、 2 KPB ,PMB 2x ,POM PAO APO 45 x , NMO 90 POM 45 x , PMO PMB NMO 45 x POM , PO PM ,过点P作PD x轴，垂足为点D,OM 2OD 2t,OPD 90 POD 45 x BMO ,tan OPD tan BMO ,OD BO t 4，,PD MO t 4 2tti 4, t22 (舍) OM 8,由(2)知，m t 4 8 OM ,CM P y轴，. PNM POC 90 , BM POC ,，四边形BOCM是平行四边形，. Sybocm bo OM 4 8 32.故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综

33、合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适 当的辅助线构造全等三角形是本题的关键.10.如图，在平面直角坐标系 xOy中，点P是。C外一点，连接 CP交。C于点Q,点P关 于点Q的对称点为P',当点P在线段CQ上时，称点P为。C友好点”.已知A(1, 0),B(0, 2), C(3, 3)(1)当。的半径为1时，点A, B, C中是。O友好点”的是;已知点M在直线V= x+2上，且点M是。O友好点”，求点M的横坐标m的取值3范围；(2)已知点D(2，3, 0),连接BC, BD, CD, OT的圆心为T(t, - 1),半彳仝为1,若在 BCD 上存在一点N,使点N是。T友好点

34、”，求圆心T的横坐标t的取值范围.【答案】 B； 0WmwJ3； (2)-4+3J3&V3 J3.【解析】【分析】(1)限据 友好点”的定义，OB= <2r=2,所以点B是。友好点”;设M(m, - m+2 )，根据 友好点”的定义，OM = Jm23m 222，由此求解即可；N是。T友好点"，NT<r=(2)B(0, 2), C(3, 3), D(2®, 0), OT 的圆心为 T(t, - 1),点BD交于点2,所以点N只能在线段BD上运动，过点T作TNLBD于N,作TH/y轴，与H,易知 /BDO= 30 °, ZOBD= 60 

35、6;, NT= HI-,直线 BD： y= - - x+2,可知 H(t,-231+2),继而可得NT=- It + H3,由此可得关于t的不等式，解出t的范围即可.322【详解】.1=1,，根据友好点”的定义，OB= <2r=2,.点B是。O友好点”，-OC= J32 32 =3 72>2r=2, .点 C 不是 0 ° 友好点A(1, 0)在。上，不是。友好点”，故答案为B;如图，设M（m,一夸 m+2 ），根据 友好点”的定义,.OM =m2 3m 222,整理，得 2m2- 21y3mWQ解得o&y3 ； ，点M的横坐标m的取值范围：0葡 V3 ;(2)蜕

36、0, 2), Q3, 3), D(2j3, 0), OT 的圆心为 T(t, - 1),点 N 是。T 友好点”,-NT<r=2,，点N只能在线段 BD上运动，过点 T作TNBD于N,作TH/ y轴，与BD交于点H.22), D(2W, 0),.B(0,，直线BD： y= -x+2,3 H 点H(t,BD上，-1+2),3HT=- -1+2 _ (_ 1)= -1+3, OB 2.3tan / BDO= ，OD 2,33/ BDO=30 ;/ OBD= 60 ;/ THN=Z OBD=60 ；.NT= HT?sin/ THN=HT,，NT=®HT=立（®+3） 1t

37、+述，223221t+越. 22t - 4 + 3 y/3 ,当H与点D重合时，点T的横坐标等于点 D的横坐标，即t=3j3, 此时点N不是友好点”，. .t<3 73,故圆心T的横坐标t的取值范围：-4+3j3q3j3.【点睛】本题是圆的综合题，正确理解友好点”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键.11. 2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出郑州都市区主城区停车场专项规 划，将停车纳入城市综合交通体系，计划到 2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN/AD

38、,ADDE,CFL AB,垂足分别为 D,F,坡道AB的坡度为1 :J3 ,DE=3米，点C在DE上，CD= 0.5米，CD是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米）， 如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据J2 = 1.41 向=1.73限高一米M SN【答案】该停车库限高约为2.2米.【解析】据题意得出tanB 立 3得出/ 1的正切值，再在【分析】,即可得出tanA,在RtADE中，根据勾股定理可求得DE,即可鼻CEF中，设EF= x,即可求出x,从而得出CF= J3x的长.解：由题意得，tanB. MN / AD,/ A= /

39、 B,tanA=3 .DEXAD,在 RtA ADE 中，tanA= DE ，AD .DE=3,又 DC= 0.5,.CE= 2.5,.CU AB, / FCE/ CEF- 90 ； .DEXAD,/ A+Z CEF= 90 ；/ A= / FCE, c 、,3 tanZ FCE= .3在 RtCEF中，设 EF= x, CF=舟(x>0) , CE= 2.5,5 一 一 一代入得(5) 2 = x2+3x2,2解得 x= 1.25,.CF=、,3x= 2.2，该停车库限高约为 2.2米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角 的正切值.1

40、2.已知：如图，AB为。的直径，AC与。相切于点 A,连接BC交圆于点D,过点D 作。的切线交AC于E.(1)求证：AE= CE(2)如图，在弧 BD上任取一点F连接AF,弦GF与AB交于H,与BC交于M,求证：/FA谕/ FBM= / EDC.(3)如图，在(2)的条件下，当 GH= FH, HM = MF 时，tanZ ABC= 3 , DE=竺时，N44为圆上一点，连接 FN交AB于L,满足/ NFH+Z CAF= / AHG,求LN的长.【解析】(2)详见解析；(3) NL 40A13【分析】(1)由直径所对的圆周角是直角，得/ADC= 90°,由切线长定理得 EA= ED,

41、再由等角的余角相等，得到/C/EDC进而得证结论.(2)由同角的余角相等，得到 /BAD=/C,再通过等量代换，角的加减进而得证结论.(3)先由条件得到 AB=26,设HM = FM = a, GH= HF=2a, BH= -a,再由相交弦定理3得到GH?HF= BH?AH,从而求出 FH, BH, AH,再由角的关系得到 HFOHAF,从而求出HL, AL, BL, FL,再由相交弦定理得到 LN?LF= AL?BL,进而求出LN的长. 【详解】解：(1)证明：如图1中，连接AD.图1, AB是直径，/ ADB= / ADC= 90 °, EA、ED是。的切线，EA= ED,/ E

42、AD= / EDA, Z C+Z EAD= 90 °, / EDC+Z EDA= 90 °, / O / EDC,.ED=EC,.AE= EC.(2)证明：如图2中，连接AD.AC是切线，AB是直径，/ BAG= / ADB= 90 ；b / BAD+Z GAD= 90 °, / GAD+Z G= 90 °,/ BAD= / G, / EDG= / G,/ BAD= / EDQ / DBF= / DAF, / FBM+Z FAB= / FBM+Z DAF= / BAD,(3)解：如图3中,由(1)可知, / FA9/ FBM= / EDG39DE= AE

43、= EG DE=,4.-.AG=电,3 AG . tanZ ABG=-=4 AB393 _2_，4 AB.AB=26, . GH=FH, HM = FN,设 HM = FM=a, GH=HF= 2a, BH= 4a, 3 .GH?HF= BH?AH,(26 4 a)3 .FH=12, BH= 8, AH=18, .GH= HF, ABXGF,/ AHG= 90 ； / NFH+Z CAF= Z AHG, / NFH+Z CAF= 90 °, / NFH+Z HLF= 90 ;/ HLF= / CAF, . AC/ FG,/ CAF= /AFH,/ HLF= / AFH, / FHL=

44、 / AHF, .HFLAHAF, .FH2=HL?HA, .122=HL?18,.HL=8, AL=10, BL= 16, FL= VfHHL7 =4而， LN?LF= AL?BL,.4 13 ?LN= 10?16,.ln=4LJ1 .13【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识有：切线的性质；切线长定理；圆周角定理；相 交弦定理；相似三角形性质与判定等，熟练掌握圆的相关性质是解题关键13.如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且 / PDA=/ PBD.延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为。的切线，并说明理由；(2)如果 / BED=60°

45、, PD=J3,求 PA 的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段 DF,点F正好在圆O上，如图2,求证：四 边形DFBE为菱形.【答案】(1)证明见解析；(2) 1; (3)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接OD,由AB是圆O的直径可得/ADB=90,进而求得/ ADO+/PDA=90 ,即可得 出直线PD为。的切线；(2)根据BE是。的切线，则/EBA=90,即可求得/ P=30。，再由PD为。的切线，得 /PDO=90 ；根据三角函数的定义求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根据题意可证得 /ADF=/ PDA=/ PBD=/ ABF,由AB是圆O的直径，得 Z

46、 ADB=90 , 设/ PBD我，则可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x°, Z DBF=2x ,由圆内接四边形的性质得出 x 的值，可得出4BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线PD为。的切线，理由如下：如图1,连接OD, .AB是圆O的直径，/ ADB=90 ； / ADO+Z BDO=90 ；又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=/ PBD,/ BDO=Z PDA, / ADO+Z PDA=90 ；即 PD± OD, 点D在。O上， 直线PD为。O的切线；(2) BE是。的切线，/ EBA=90 ,° / BED=60 ；/ P=30 ; .PD为。的切线,/ PDO=90 ；在 RtA PDO 中,/ P=30°, PD=y3 ,。 OD -，tan 30而"，解得 OD=1,PO . PD2 OD2 =2,PA=PO- AO=2 - 1=1;(3)如图2,依题意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF, / PDA=/ PBD/ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=/ PBD=/ ABF,.AB是圆O的直径， / ADB=9。；设 / PBD=x ,贝U / DAF=Z PAD=90