2020-2021中考数学专题复习锐角三角函数的综合题含答案

1、2020-2021中考数学专题复习锐角三角函数的综合题含答案一、锐角三角函数1 .在4ABC中，AB=BC点O是AC的中点，点 P是AC上的一个动点(点 P不与点 A, O, C重合).过点 A,点C作直线BP的垂线，垂足分别为点 E和点F,连接OE, OF.(1)如图1,请直接写出线段 OE与OF的数量关系；(2)如图2,当/ABC=90时，请判断线段 OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明 理由(3)若|CF-AE|=2, EF=2j3,当POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长.图1图2皆用图【答案】(1) OF =OE (2) OF EK, OF=OE理由见解析；(3) OP的

2、长为J6 J2或2 3.3【解析】【分析】(1)如图1中，延长EO交CF于K,证明4AO三COK,从而可得 OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE(2)如图2中，延长 EO交CF于K,由已知证明 ABEBCF, AAOEACOK；继而可证得4EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF, EK, OF=OE(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】(1)如图1中，延长EO交CF于K, . AEXBE, CFBE, ，AE/ CK,/ EAO=Z KCQ . OA=OC, /AOE=/ COK, .AOECOK, . OE=OK一

3、.一1 _ EFK是直角二角形，.-.OF=- EK=OE(2)如图2中，延长EO交CF于K, / ABC=Z AEB=Z CFB=90 , / ABE+/ BAE=90 ； A ABE+Z CBF=90 ,/ BAE=Z CBF, . AB=BC, .1.AABEABCF, . BE=CF AE=BF, . AOEACOK；，AE=CK OE=OK, . . FK=EF .EFK是等腰直角三角形，.OF，EK, OF=OE;(3)如图3中，点P在线段 AO上，延长 EO交CF于K,彳PH,OF于H,图3 |CF - AE|=2 , EF=2而，AE=CKFK=2,3在 RtEFK中，tan/

4、FEK3, ，/FEK=30, Z EKF=60,3_一 1 _ .EK=2FK=4 OF=-EK=2,OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2,在 RtPHF中，PH=-PF=1, HF=6, OH=2- x/3 ,2，OP=122 . 3 2162.如图4中，点P在线段 OC上，当PO=PF时，/POF=/ PFO=30,/ BOP=90 ；.，op=_3oe=22,33综上所述：op的长为爬J2或2叵.3【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键2.如图，在4AB

5、C中，/ABC= 90,以AB的中点。为圆心，OA为半径的圆交 AC于点D, E是BC的中点，连接DE, OE.(1)判断DE与。的位置关系，并说明理由；(2)求证：BC? = 2CD?OE;314(3)右 cos BAD , BE 求 OE 的长.53B E C【答案】(1) DE为。的切线，理由见解析；(2)证明见解析；(3) OE =一.6【解析】试题分析：(1)连接OD, BD,由直径所对的圆周角是直角得到/ADB为直角，可得出 BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 得到CE=DE从而得/C=/ CDE,再由OA=OD,得/A=/ADO,由R

6、tABC中两锐角互 余，从而可得/ADO与/CDE互余，可得出/ODE为直角，即DE垂直于半径 OD,可得出 DE为。的切线；(2)由已知可得 OE是4ABC的中位线，从而有 AC=2OE再由/ C=/ C, / ABC=/ BDC, 可得ABJBDC,根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；(3)在直角 ABC中，利用勾股定理求得 AC的长，根据三角形中位线定理 OE的长即可求得.试题解析：（1） DE为。的切线，理由如下:连接OD, BD,.AB为。的直径，/ ADB=90 ；在RtBDC中，E为斜边BC的中点,1.CE=DE=BE=BC,/ C=Z ODE,-.OA=OD,/ A=Z

7、ADO, / ABO=90 ；/ C+/ A=90 ; / ADO+Z ODE=90,/ ODE=90 ； .DEXOD,又OD为圆的半径， .DE为。O的切线；(2) 是BC的中点，O点是AB的中点,.OE是 ABC的中位线，.AC=2OE, / C=Z C, / ABC=Z BDC,.ABCABDC,即 BC2=AC?CDBC2=2CD?OE /3(3)解：cos/ BAD=-,BC 4 .sin / BACh =,AC 514 口28 又.BE=V, E是BC的中点，即 BC 3335.AC=. J又 AC=2OE_ 1 _ 35 OE AC .26考点：1、切线的判定；2、相似三角形的

8、判定与性质；3、三角函数 3.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5 分）已知：如图， AB是半圆O的直径，弦CD/AB,动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ OP , AP的延长线与射线 OQ相交于点E、与弦CD相交于点F （点F与（1）求证：AP OQ ;（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当 OPE是直角三角形时，求线段 OP的长.3 33x2【答案】（1）证明见解析；（2） y 丝60x 300 50( x 10); ( 3) OP 813（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件,OP DQ ,联结O

9、D后还有OA DO,再结合要证明的结论 AP OQ ,则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO即可；（2）根据 PFCs PAO ,将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3)分4成二种情况讨论，充分利用已知条件cos AOC 、以及（1） （2）中已证的结论，注5意要对不符合（2）中定义域的答案舍去.【详解】（1）联结 OD，: OC OD ,OCD CD/AB ,OCDPOA在AOP和COA, QDO . ODQ 中,OP DQ POA QDO , OA DOAOP ODQ ,AP OQ ;(2)作 PH OA,交 OA于 H , cos AOC 5-4-43

10、OH-OPx,PHx,555c1cS A0P AO PH 3x . CD/AB ,PFCs PAO(2,x y3x2 60x 300 t 一 1，当F与点D重合时,. CD2OC cos OCD 2 10416, 510 x3x21 y 一10 的/日 50一,解得x 一161360x 300 / 50(nx 10)；(3)当 OPE 90o时,OPA 900,OPOA cos AOC 10POE90。时，CQcos QCOcos10AOC10 2542 ，5OPDQCD CQCD 251622525013OPOP2 (舍去);PEO 90o 时，CD/AB,AOQ DQO ,AOP ODQ

11、,DQO APO ,AOQ APO,AEO AOP 90，此时弦CD不存在，故这种情况不符合题意，舍去;综上，线段OP的长为8.4.如图，在 RtABC中，/BAC=90, Z B=60, BC=16cm, AD是斜边 BC上的高，垂足为D, BE=1cm.点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点 N从点E出发，与点 M 同时同方向以相同的速度运动，以 MN为边在BC的上方作正方形 MNGH.点M到达点D 时停止运动，点 N到达点C时停止运动.设运动时间为 t (s).(1)当t为何值时，点 G刚好落在线段 AD上？(2)设正方形MNGH与Rt ABC重叠部分的图形的面积为 S,当重

12、叠部分的图形是正方形 时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量 t的取值范围.(3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段 AC交于点P,连接DP,当t为何值时，;(3) t=9s 或 t= (15 63)s.t.BM的距离，进而求出相应的时EN的长度即可求出时间，再通过正试题分析：(1)求出ED的距离即可求出相对应的时间 (2)先求出t的取值范围，分为 H在AB上时，此时 间.同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出 方形的面积公式求出正方形的面积 .(3)分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由 EN的长度便可求出t的值.试题解析：= / BAC=90 , / B=60, BC=16c

13、m . AB=8cm, BD=4cm, AC=8%cm, DC=12cm, AD=4?cm.(1)二.当G刚好落在线段 AD上时，ED=BD- BE=3cmt=3s=3s.(2)二当MH没有到达AD时，此时正方形 MNGH是边长为1的正方形，令 H点在AB 上，则/HMB=90 , /B=60, MH=1BM= C cm. 1-1= S s.当MH到达AD时，那么此时的正方形 MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令 G点在AC上，0设 MN=xcm ,则 GH=DH=x, AH= x,AD=AH+DH= x+x= x=4 ,x=3.当 * wtw园,SMiNGN=1cm2.当 4V tw

14、阳寸,SMngh= (t-3) 2cm2It-3)2(4 6).s关于t的函数关系式为：-.(3)分两种情况：二,当DP=PC时，易知此时 N点为DC的中点，MN=6cmEN=3cm+6cm=9cm. t=9s故当t=9s的时候，4CPD为等腰三角形；当 DC=PC时，DC=PC=12cm .NC=6 cm1. EN=16cm- 1cm - 6cm= (15-6口)cm.t= (15-6、3)s故当t= (15-6V% s时，CPD为等腰三角形.综上所述，当1=9$或1= (15-63)s时，4CPD为等腰三角形.考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的

15、性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.(1)求 tan/DBC 的值；(2)点P为抛物线上一点，且5.如图，抛物线y= - x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上 且横坐标为3./DBP=45,求点P的坐标.，-3【答案】(1) tan / DBC=_ ；【解析】试题分析：(1)连接CD,过点D作DE，BC于点E.利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得 CD/AB, OB=OC,所以/ BCO=Z BCD=Z ABC=45.由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得bc=4/2，be=bc- dea2

16、 .由此可知,DE 3tan / DBC=一RE 5(2)过点P作PHx轴于点F.由/DBP=45及/ABC=45可得/ PBF=/DBC,利用(1)中一_3一 。的结果得到：tan/PBF.设P (x, - x2+3x+4),则利用锐角三角函数定义推知=,通过解方程求得点P的坐标为(-,4-X5+ 上3试题解析：(1)令 y=0,贝U- x2+3x+4=- (x+1) (x-4) =0,解得 x1 = 1 , x2=4.A (T, 0) , B (4, 0).当 x=3 时，y= - 32+3 x 3+4=4.D (3, 4).如图，连接 CD,过点D作DE BC于点E.- C (0, 4)

17、,.CD/AB,/ BCD=Z ABC=45 :在直角 OBC中，-，OC=OB=4, BC=4VI .在直角CDE中，CD=3.,CE=ED,c 5J2 BE=BC- DE=.7, DE 3 tan Z DBC=一;RE 5(2)过点P作PHx轴于点F. / CBF=/ DBP=45 ；/ PBF=Z DBC,，一 m . tan Z PBF-.5设 P (x, x2+3x+4),贝U T :=-4-x52解得 xi= - 1 , x2=4 (舍去)，2 66p( - w,丞)考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数6.如图，已知正方形 PM匚在直角坐标系中，点小、分别在黑轴、丁轴的正

18、半轴上，点 门在坐标原点.等腰直角三角板。叼的直角顶点在原点，E、H分别在仇!、8上，且54 = 4, 0 = 2一将三角板。斤产绕0点逆时针旋转至F1的位置，连结，尸1，瓯(1)求证：八Ei三也。仃Y(2)若三角板绕。点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得求出此时“点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，场凡户或%。-6,【解析】(1)证明：:四边形门/丹。为正方形，= 4三角板是等腰直角三角形,0E=叫又三角板绕。点逆时针旋转至EiFi的位置时，LAOEy = zCOFil &。力E|三 0匚卜oa(2)存在4分沁n过点与平行的直线有且只有一条，并与 OF垂直

19、，又当三角板|EF绕I9点逆时针旋转一周时，则点 F在以“为圆心，以OF为半径的圆上， 5分.过点!与垂直的直线必是圆门的切线，又点。是圆门外一点，过点q与圆q相切的直线有 且只有2条，不妨设为6F1和匚乃I，此时，F点分另I在加点和6点，满足阳口叫，5 II%7分当切点的在第二象限时，点 灯在第一象限，在直角三角形 5。 0二=4；0 = 2.门A 1 cosOFi = - = ，“叫=6。叫二评 ，点网的横坐标为: me， 点防的纵坐标为：% = 2sE6(P =、3 点0的坐标为口，。9分当切点&在第一象限时，点在第四象限， 同理可求：点g的坐标为Kl 一%冏 综上所述，三角板门口F绕。

20、点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得0口I”此时点回的坐标为EKL 0)或.，-611分(1)根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；(2)由于AOEF是等腰RtA,若OE/ CF,那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以。为圆心，OE (或OF)长为半径的圆，若 CF OF,那么CF必为。的切线，且 切点为F;可过C作。的切线，那么这两个切点都符合 F点的要求，因此对应的 E点也 有两个；在 RtOFC 中，OF=2, OC=OA=4 可证得 / FCO=30 ,即 / EOC=3 0,已知了 OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解.7.如图，某公园

21、内有一座古塔 AB,在塔的北面有一栋建筑物，某日上午 水平面的夹角为32 ,此时塔在建筑物的墙上留下了高 3米的影子CD.一条直线上），求塔 AB的高度.（结果精确到0.01 米）9时太阳光线与中午12时太阳光线15 米（B、E、C 在与地面的夹角为45。，此时塔尖A在地面上的影子 E与墙角C的距离为参考数据：sin32 =0.5299cos32 = 0.840tan32 =0.6249在 1.4142【答案】塔高 AB约为32.99米.【解析】【分析】过点D作DHLAB,垂足为点H,设AB= x,则AH= x- 3,解直角三角形即可得到结论. 【详解】解：过点D作DHXAB,垂足为点 H.O

22、/ ADH = 32 .=BC, /ABC =/ AHD = 90；设 AB = x,贝U AH = x - 3.在 RtABE 中,/AEB = 45 ；得 tan AEBtan45空1EBEB = AB = x.HD = BC = BE + EC= x + 15.在 RtAHD 中,/ AHD = 90 ；得 tan ADHAHHD即得tan32解得xx 1515 tan32 3 32.99 .1 tan32AB约为32.99米.本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题 的关键.8.已知：如图，AB为。的直径，AC与。相切于点 A,连接BC交圆于点D,

23、过点D作 OO的切线交AC于E.(1)求证：AE= CE(2)如图，在弧 BD上任取一点F连接AF,弦GF与AB交于H,与BC交于M,求证： ZFAB+Z FBM= / EDC.为圆上一点，连接 FN交AB于L,满足/ NFH+Z CAF= /ECAE_C(AHG,求LN的长. wB(3)如图，在(2)的条件下，当 GH= FH, HM = MF 时，tan/ABC= 3 , DE=时，N44【答案】(1)详见解析;(2)详见解析；(3)NL还13余角相等，得到/ C= / EDC进而得证结论(2)由同角的余角相等，得到 /BAD=/(3)先由条件得到 AB=26,设HM = FM =得至U

24、GH?HF= BH?AH,从何出 FH, BH, 出HL, AL, BL, FL,再由相交弦定理得到【详解】解：(1)证明：如图1中，连接AD.AE_C O图1. AB是直径，.C,再通过等量代换，角的加减进而得证结论.=a, GH= HF=2a, BH= -a,再由相交弦定理3AH,再由角的关系得到 HFgHAF,从而求LN?LF= AL7BL,进而求出 LN的长.【解析】【分析】(1)由直径所对的圆周角是直角,得/ADC= 90,由切线长定理得 EA= ED,再由等角的/ ADB= / ADC= 90 ,EA、ED是。的切线,EA= ED,/ EAD= / EDA, Z C+Z EAD=

25、90 , / EDO/ EDA= 90 , . . / C= / EDC, .ED=EC, .AE= EC.(2)证明：如图2中，连接AD.A E C.AC是切线，AB是直径,/ BAC= / ADB= 90 ； / BAD+Z CAD= 90 , / CAD+Z C= 90 ,/ BAD= / C, / EDC= / C,/ BAD= / EDC / DBF= / DAF, / FBM+Z FAB= / FBM+Z DAF= / BAD, / FABZ FBM= / EDC(3)解：如图3中,E卸GH由(1)可知,39DE= AE= EC DE=,4. tanZ ABC=ACAB39AB.A

26、B=26,. GH=FH, HM = FN,设 HM = FM=a,4GH=HF= 2a, BH= -a3 ，.GH?HF= BH?AH, -4a2= a (26- a), .FH=12, BH=8, AH=18, .GH= HF,ABXGF,/ AHG= 90 ； / NFH+Z CAF= Z AHG, / NFH+Z CAF= 90 / NFH+Z HLF= 90/ HLF= / CAF,1. AC/ FG/ CAF= /AFH,/ HLF= / AFH, / FHL= / AHF,2 .HFLAHAF,.-.fh2=hl?ha,-.122=HL?18,=4而,.HL=8, .AL=10,

27、 BL= 16, FL= .FH1HL23 LN?LF= AL?BL,.4 ,13 ?LN= 10?16,40、石LN=13【点睛】 交弦定理；相似三角形性质与判定等，熟练掌握圆的相关性质是解题关键本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识有:切线的性质；切线长定理；圆周角定理；相9.在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点 E是边BC上的一点（不与点 C重合），连接 AE,将4ABE沿BC方向平移，使点 B与点C重合，得到 DCF,过点E作EGAC于点G,连接 DG, FG.B E C（1）如图，依题意补全图；判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为 6,当/A

28、GD= 60时，求BE的长.【答案】（1）见解析，FG=DG, FG DG,见解析；（2） BE 2星.【解析】【分析】（1）补全图形即可， 连接BG,由SAS证明BE84GCF得出BG= GF,由正方形的对称性质得出 BG= DG, 得出FG= DG,在证出ZDGF= 90,得出FG DG即可，（2）过点D作DHL AC,交AC于 点H.由等腰直角三角形的性质得出 DH= AH = 3j2，由直角三角形的性质得出 FG= DG= 2GH= 2而，得出DF= J2DG=4J3,在RtDCF中，由勾股定理得出 CF= 2 J3 ,即可 得出结果.【详解】解：（1）补全图形如图1所示，FG = D

29、G, FG DG,理由如下，连接BG,如图2所示，四边形ABCD是正方形，/ ACB= 45 ；-.EG AC,/ EGC= 90 ； CEG是等腰直角三角形，EG= GC,/ GEC= ZGCE= 45 ；/ BEG= / GCF= 135 ；由平移的性质得：BE= CF,BE CF在 ABEG和 GCF中，BEG GCF ,EG CG.-.BEGAGCF （SAS , BG= GF,. G在正方形ABCD对角线上，BG= DG, FG= DG, / CGF= / BGE, / BGE+/ AGB= 90 ； / CGF-+Z AGB= 90 ; / AGD+Z CGF= 90 ,/ DGF

30、= 90 ；.-.FG DG.AD(2)过点D作DHAC,交AC于点H.如图3所示, 在 RtA ADG 中, / DAC= 45 ； .DH=AH=3 72 , 在 RtA DHG 中，Z AGD= 60,DH 3,2-一 GH= J6 , .DG=2GH=2 76,本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角 形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解 题的关键.10.如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且 / PDA=/ PBD.延长 PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为。的切线，并说

31、明理由；(2)如果 / BED=60, PD=73,求 PA 的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段 DF,点F正好在圆O上，如图2,求证：四 边形DFBE为菱形.EB图1【答案】(1)【解析】【分析】证明见解析；(2)(1)连接OD,由AB是圆O的直径可得ZADB=90 ,进而求得 出直线PD为。的切线；(2)根据BE是。的切线，则/EBA=90,即可求得/ P=30 , /PDO=90 ；根据三角函数的定义求得 OD,由勾股定理得OP, (3)根据题意可证得 /ADF=/ PDA=/ PBD=/ ABF,由AB是圆/ADO+/PDA=90 ,即可得再由PD为。的切线，得 即可得

32、出PA；O的直径，得 /ADB=90,设/ PBD我，则可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x, Z DBF=2x ,由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出4BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线PD为。的切线，理由如下：如图1,连接OD,.AB是圆O的直径，/ ADB=90 ； / ADO+Z BDO=90 ； 又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=Z PBD,/ BDO=Z PDA, / ADO+Z PDA=90 ；即 PD OD, 点D在。O上， 直线PD为。的切线；(2) .BE是。的切线，/ EBA=90 ； / BED=60 ,/

33、P=30 ； .PD为。的切线，/ PDO=90 ；在 RtA PDO 中,/ P=30, PD=,y3 ,“0 OD tan 30,解得 OD=1,PO PD2 OD2 =2， .PA=PO- AO=2- 1=1；(3)如图2,依题意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF, / PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF,.AB是圆O的直径，/ ADB=90 ；设 / PBD=x ,贝U / DAF=Z PAD=90 +x, / DBF=2x , 四边形AFBD内接于OO, / DAF+Z DBF=180 ,即 90+x+2x=18

34、0,解得 x=30,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF=30 ,.BE、ED是。的切线， . DE=BE / EBA=90 ；/ DBE=60 ,4BDE是等边三角形，.BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / DBF=2x =60, .BDF是等边三角形，bd=df=bf.DE=BE=DF=BF 四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档 题，难度较大.11.如图，在正方形 ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且 CF AE ,连接 DE, DF, EE

35、 FH 平分 EFB 交 BD于点 H.(1)求证：DE DF ;(2)求证：DH DF :(3)过点H作HM EF于点M,用等式表示线段 AB, HM与EF之间的数量关系，并 证明.证明详见解析.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3) EF【解析】【分析】(1)根据正方形性质，CF AE得到DE DF .2AB 2HM ，(2)由 zXAED ACFD ,得 DE DF .由得 DBF 45 .因为FH平分 EFB,所以ABCEFH90 , BD平分BFH .由于ABC,DHF DBF BFH 45 BFH ,DFHDFE EFH 45 EFH ,所以DH DF .(3)过点H作HN

36、 BC于点N ,由正方形 ABCD性质，得bd Jab2 ad2 72AB.由 fh 平分 efb, hm ef, hn bc ,得HM HN .因为 HBN 45 , HNB 90 ,所以 BHHN V2HN &HMsin 45由 EF DF夜DF V2DH ,得 EF 2AB 2HM .cos45【详解】(1)证明：四边形ABCD是正方形，AD CD , EAD BCD ADC 90 .EAD FCD 90 . CF AE。AAEDACFD . ADE CDF .EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90DE DF .(2)证明：AAEDACFD ,DE DF . EDF 90

37、, DEF DFE 45 . ABC 90 , BD 平分 ABC, DBF 45 .FH 平分 EFB , EFH BFH .DHF DBF BFH 45 BFH ,DFH DFE EFH 45 EFH , DHF DFH .DH DF .(3) EF 2AB 2HM .证明：过点H作HN BC于点N ,如图，.正方形 ABCD 中，AB AD , BAD 90 ,BD JABAD2,2AB. FH 平分 EFB , HM EF, HN BC, HM HN .HBN 45 , HNB 90 ,HN 一：-BH2HN, 2HM .sin 45DH BD BH . 2AB .2HM . EF D

38、F72DF QdH ,cos45 EF 2AB 2HM .【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数12.如图1,以点M ( 1, 0)为圆心的圆与 y轴、x轴分别交于点 A、B、C、D,直线y怛M=x x-与。M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.(1)请直接写出 OE、OM的半径r、CH的长；(2)如图2,弦HQ交x轴于点P,且DP:PH= 3:2,求cos/ QHC的值；(3)如图3,点K为线段EC上一动点(不与 E、C重合)，连接BK交。M于点T,弦AT 交x轴于点N.是否存在

39、一个常数 a,始终满足 MIN- MK=a,如果存在，请求出 a的值；如 果不存在，请说明理由.F图J【答案】(1) OE=5, r=2, CH=2I3a cosQHC =- (2)与(3) a=4 【解析】 【分析】咫H(1)在直线y= 3 x *中，令y=0,可求得E的坐标，即可得到 OE的长为5；连接 MH,根据4EMH与EFO相似即可求得半径为 2;再由EC=MC=2 / EHM=90 ,可知CH 是RTA EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上白中线等于斜边的一半即可得出CH的长；(2)连接DQ、CQ.根据相似三角形的判定得到 CH/QPD,从而求得 DQ的长，在直 角三角形CDQ

40、中，即可求得/D的余弦值，即为 cos/ QHC的值；(3)连接AK, AM,延长AM,与圆交于点 G,连接TG,由圆周角定理可知，/GTA=90, Z3=Z4,故 / AKC=Z MAN,再由AMKsNMA 即可得出结论. 【详解】(1) OE=5, r=2, CH=2(2)如图 1,连接 QC、QD,则/CQD =90, / QHC =/ QDC,图工DP易知CH/DQP,故DQ,口,得 DQ=3,由于 CD=4,QD 3CD 4（3）如图2,连接AK, AM,延长AM, 与圆交于点 G,连接TG,则Vi图1二 2 + 4=90. 3/3 = 9。 由于之丽+以=9。,故，士RK。=上？；

41、而 RK（2 故 士1 入2在MMM和叩A必中，=2；皿故 AMKsNMAMN AM； ;即：:二.二二 J -故存在常数网，始终满足期，a相二日常数a=4解法二：连结BM,证明上红豆； WJKB得二AB 为 20cm, BC为A到CD的距13.现有一个Z型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中 60cm, /ABC= 90, / BCD= 60,求该工件如图摆放时的高度（即 离）.（结果精确到 0.1m,参考数据：23=1.73【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【解析】【分析】过点 A 作 AP，CD 于点 P,交 BC 于点 Q,由/CQP=/AQB、/ CPQ= / B=

42、 90 知 / A= / C = 60,在4ABQ中求得分别求得 AQ、BQ的长，结合 BC知CQ的长，在4CPQ中可得PQ,根据AP = AQ+PQ得出答案.【详解】 解：如图，过点 A作AP，CD于点P,交BC于点Q,Z CQP= ZAQB, /CPQ=/B=90/ A= / C= 60 ,AB 20. 一 r _ = T =4。在4ABQ 中，. AQ=cosH1(cm),2BQ=ABtanA= 20tan60 = 20、巴(cm),.CQ= BC- BQ=60- 20M (cm),在ACPQ中，PQ= CQsinC= ( 60 20*3) sin60 = 30 (%0-1) cm,.A

43、P = AQ+PQ= 40+30 (、？1) = 61.9cm),答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题 的关键.14.在RtABC中，/ACB= 90, CD是AB边的中线，DEL BC于E,连结 CD,点P在射 线CB上(与B, C不重合)(1)如果 /A= 30,如图1, /DCB等于多少度；如图2,点P在线段CB上，连结DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60。，得到线段DF,连结BF,补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3,若点P在线段CB的延长线上，且 /A= a (0

44、 “V 90),连结DP,将线段DP绕点逆时针旋转2 a得到线段DF,连结BF,请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系 (不需证明)【答案】(1)/DCB= 60. 结论：CP= BF.理由见解析；(2)结论：BF- BP= 2DE?tan a理由见解析.【解析】【分析】(1) 根据直角三角形斜边中线的性质，结合ZA=300,只要证明4CDB是等边三角形即可； 根据全等三角形的判定推出 4DC国ADBE根据全等的性质得出 CP= BF,(2)求出 DC= DB = AD, DE/ AC,求出 Z FDB= Z CDF 2a 匕 PDB, DP= DF,根据全等三 角形的判定得出 ADC国DBF,求出CF BF,推出BF- BP= BC,解直角三角形求出 CE= DEtan ”即可.【详解】(1). /A=30, /ACB= 90,/ B= 60 , .AD= DB,-.CD=AD= DB, .CDB是等边三角形，/ DCB= 60 :如图1,结论：CP= BF.理由如下：蜃II . /ACB= 90； D 是 AB 的中点，DEL BC, Z DCB= 60 , .CDB为等边三角形./ CDB= 60