中考数学压轴题专题复习—圆与相似的综合附答案解析

1、中考数学压轴题专题复习一圆与相似的综合附答案解析一、相似1.如图，在一块长为 a(cm),宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板,得到一个新的矩形.(1)试用含a, b, x的代数式表示新矩形的长和宽；(2)试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由.【答案】(1)解：由原矩形的长、宽分别为 a(cm), b(cm),木板宽为x(cm),可得新矩形的长为(a+ 2x)cm,宽为(b+2x)cma 2x 第(2)解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有 一 匕, 由比例的基本性质，得 ab+ 2bx= ab+ 2ax,2(ab)x= 0.

2、a>b,''' a b w q. . x= 0,又 x>0,原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段.【解析】【分析】(1)根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。x=0,即(2)假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出 可判断。2 .如图，在一个长40 m、宽30 m的矩形小操场上，王刚从A点出发，沿着A- B-C的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距 B地2 ' m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好落在一条直线上.(1)此时两人相距多少

3、米(DE的长)?(2)张华追赶王刚的速度是多少？【答案】(1)解：在RtABC中: . AB=40, BC=3Q .AC=50 m.由题意可得DE/AC, RtA BD& RtA BAC,m.答：此时两人相距m.(2)解：在 RtBDE中:J 16 DB=2& DE=J, .BE=2 m.王刚走的总路程为 AB+BE=42 m.王刚走这段路程用的时间为 3 =i4(s).张华用的时间为14-4=10(s), g /.张华走的总路程为 AD=AB-BD=40-2 '=37'' (m),1，张华追赶王刚的速度是 37。+ 10= 3m/s).答：张华追赶王冈

4、I的速度约是3.7m/s.【解析】【分析】(1)在RtABC中，根据勾股定理得 AC=50 m,利用平行投影的性质得DE/ AC,再利用相似三角形的性质得出对应边的比相等可求得DE长.(2)在RtA BDE中，根据勾股定理得 BE=2 m,根据题意得王刚走的总路程为42 m ,根据时间=路程斑度求得王刚用白时间，减去 4即为张华用的时间，再根据速度=路程却寸间解之即可得出答案.3.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，四边形 ABCD是矩形，点 A、C的坐标分别是A (0,2)和C (2、；0),点D是对角线 AC上一动点(不与 A、C重合)，连结 BD,作， 交x轴于点E,以线段DE、DB为邻

5、边作矩形 BDEF.图m图（2）（1）填空：点B的坐标为;（2）是否存在这样的点 D,使得 DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）求证：的 3 ；设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式（可利用 的结论），并求 出y的最小值【答案】（1） I 切（2）解：存在，理由如下：d,.QA=2,OC=2'；I,tan / ACO毋=,/ ACO=30 ；/ ACB=60 °如图（1）中，当 E在线段 CO上时， DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有 ED=EC/ DCE=Z EDC=30,°/ DBC=ZBCD=60,

6、° .DBC是等边三角形， . DC=BC=Z在 RtA AOC 中， / ACO=30 ； OA=2, .AC=2AO=4,.AD=AC-CD=4-2=2,当AD=2时，ADEC是等腰三角形，如图（2）中，当 E在 OC的延长线上时，4DCE是等腰三角形，只有 CD=CE/ DBC=Z DEC=Z CDE=15,°/ ABD=Z ADB=75 :.ab=ad=2"综上所述，满足条件的 AD的值为2或2g.(3)如图，过点D作MNLAB于点M,交OC于点N。 . A(0.2)和 C(23 ,0), 直线AC的解析式为y=-33x+2,设 D (a, -33a+2)

7、,DN=-33a+2,BM=23-a / BDE=90 , ° / BDM+Z NDE=90 ,Z BDM+Z DBM=90 :/ DBM=Z EDN, / BMD=Z DNE=90 : .BMDADNE, . DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.如图(2)中，作DHI± AB于HoH 8图在 RtAADH 中， . AD=x, ZDAH=ZACO=30,° .DH=12AD=12x, AH=AD2-DH2=32x, .BH=23-32x,在 RtBDH 中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2, . DE=33BD=3312x2+23-32

8、x2, .矩形 BDEF的面积为 y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12, 即 y=33x2-23x+43,y=33x-32+3 . 33>0,，x=3时，y有最小值3.【解析】【解答】(1) 四边形AOCB是矩形， BC=OA=2, OC=ABa万,/ BCO=Z BAO=90 ;.B (4七,2)【分析】(1)根据点A、C的坐标，分别求出 BC AB的长，即可求解。(2)根据点 A、C的坐标，求出/ACO, ZACB的度数，分两种情况讨论： 如图(1) 中，当E在线段 CO上时， DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有 ED=EC如图 (2)中，当 E在 OC的延长

9、线上时， DCE是等腰三角形，只有 CD=CE, /DBC=/ DEC=Z CDE=15，分别求出 AD的长，即可求解。(3) 如图，过点D作MNLAB于点M,交OC于点N。利用待定系数法求出直线AC的解析式，设D (a,a+2),分别用含a的代数式表不出DN、BM的长，再证明 BMDADNE,然后根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求解；如图(2)中，作DHXAB于H。设AD=x,用含x的代数式分别表示出 DH、BH的长，利用勾股定理求出BD、DE的长再根据矩形的面积公式，列出 y与x的函数关系式，求出顶点坐 标，即可求解。4.定义：如图，若点D在幺ABC的边AB上，且满足上力一3

10、,则称满足这样条件的点为 A ABC的理想点”(1)如图1GL若点D是 d ABC的边AB的中点，AC =入目，AB =，/，试判断点不是 力AB&的 理想点”，并说明理由；(2)如图，在RlABC中，'t-如，AB ，K 九若点D是1ABI.的理想点”，求CD的长；(3)如图，已知平面直角坐标系中，点 A ft 2) , BS, 刀I , C为x轴正半轴上一点， 且满足ACB二百口，在y轴上是否存在一点 D,使点A, B, C, D中的某一点是其余三 点围成的三角形的 理想点”.若存在，请求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由 .【答案】(1)解：结论：点 D是 的理想点 :

11、理由：如图中，3图r D 是 AB 中点，AB -， AD - DB J,:YC?=公5/= s,如，疝=8, 二 AC- =AD 闻，AC AB .而一而,：*/4 ="-5：W ACD s ABd ,：wd a-点D是力M的理想点”，(2)解：如图中,图丁点D是 A“的理想点”， :ACD 或 jECD - 4当|“ACD =B时， ACD + NB =如“ ? : 上BCD = 90° ?上口JB = 90 ° ?当|上ML=金|时，同法证明：CD上皿，在 RL ABC| 中， 1 二ALi =缈 口，处-九 AC 九(3)解：如图中，存在有三种情形:过点A

12、作MA:AC|交CB的延长线于M,:'/，1AC - AOC - - A1B1 - 如” 上ACM ? : -4MC = 4CM = 4屋?. : AM AC,：“ 二MAU '-CAO =如"/的 + NMQ ? :/AC。，二/湎& 4COAtA心，：MH 0A|, OC AH ,设 |C 缸内，：*A0力，be 3), OA =MH J OB 3. AB - 4 OC AI上y轴于H.-朽,-理"VMHZg理想点设山口山人理想点解得a - a或 门舍弃I，, 经检验h - a是分式方程的解，二C电叭OC Y,当上D£A 上皿时，点人是

13、£ BCD,的:D© /皿，|上。瓜二忑山B,：氏小 DQ,二子二D/4 D.U ?；UI ，川二向-W加4 J/ ?解得U1二必，J DJ0,切.当-TBCA -/Q时，点a是BCDe的易知：/LD汨=75 ".：ODp = 0C = 6.当上BCA =上ADy：时，点8是 ACDm的理想点”.易知：力=尸，| 二 003 0C 6 ? : D3 侑-6).综上所述，满足条件的点D坐标为(0, 12)或色G)或|他 6).【解析】【分析】(1)结论：点 D是| / A0C的理想点"，|只要证明| £ ACD s| ABC 即可解决问题；(2)

14、只要证明CD 1 AB即可解决问题；(3)如图中，存在.有三种 情形：过点 A作MA上AC交CB的延长线于 M,作MHT轴于H.|构造全等三角形，禾 用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分三种情形求解即可解决问题；5.(1)【探索发现】如图 1, 4ABC中，点D, E, F分别在边BC, AC, AB上，且AD, BE,CF相交于同一点 O.用"羲示三角形的面积，有SxABD： SACD= BD: CD,这一结论可通过AO - M* C通S>A ABD： Sa ACD=4以下推理得到：过点 B作BMXAD,交AD延长线于点 M,过点C作CNI± AD于点N

15、,可得,又可证 ABDM-ACDN, . BM : CNI= BD: CD,Saabd: Sa acd= BD: CD.由此可得 Sabao: Sabca; Sacao: Sacbo=; 若 D, E, F 分别是 BC, AC, AB 的中点，则 Sabfo： Saabc=.f J(2)【灵活运用】如图2,正方形ABCD中，点E,F分别在边AD,CD上，连接AF,BE和CE, AF分别交BE, CE于点G, M.若AE= DF判断AF与BE的位置关系与数量关系，并说明理由；(3)若点E, F分别是边AD, CD的中点，且 AB=4.则四边形EMFD的面积是多少？(4)【拓展应用】如图 3,正

16、方形ABCD中，AB=4,对角线 AC, BD相交于点O.点F是边CD的中点.AF与BD相交于点P, BGAF于点G,连接OG,请直接写出 Sxogp的值.5C图3【答案】 (1) AE: EC; AF: BF; 1: 6(2)解：结论：AF= BE, AF± BE.理由：如图2中，B却1 四边形ABCD是正方形，AB= AD, / BAE= / ADF= 90 ；2 .AE= DF,3 .BAEAADF (SAS ,.BE=AF, /ABE=/DAF,4 / ABE+Z AEB= 90 °,5 / DAF+Z AEB= 90 °,/ AGE= 90 ； AFXB

17、E.(3)解：如图2 1中,连接DM.ECr根据对称性可知DME, DMF,关于直线 DM对称,Sadme= Sadmf , .AE= DE,Saaem= Sa dme= Sa dmf , . Saadf= 3 X 4W尔1S Saaem= Sa dme= Sa dmf= J ,/. S四边形EMFD=故答案为.Jim(4)拓展应用：如图 3中,BC图$ 四边形ABCD是正方形，,-.AB= BC= CD= AD=4, AC= BD= 4 避,OA= OB= OD= OC= 2 ", .DF= FC,.DF= FC= 2,1. DF/ AB,DF DP 1 = tAB 加 二 r ?

18、 .OP: OB= OP: OA= 1: 3, . BGXPA, AOXOB,/ AGB= / AOB= 90 °, / OAP+/ APO= 90 ； / PBG+Z BPG= 90 °,/ PAO= / PBG, / APO= / BPG, .AOPABGP,OP PA.GP PROP 倒 网 走， / GPO= / BPA.,.GPOABPA,s d 司 oM iSa abp=S>A ABD=s Sa gop=【解析】【解答】（1）探索发现：由题意：Sa bao: Sabco= AE: EC; S/ cao: Sacbo= AF:BF;若 D, E, F分别是

19、BC, AC, AB 的中点，则 Sbfo: Saabc= 1 : 6,故答案为：AE: EC, AF: BF, 1: 6.【分析】【探索发现】利用等高模型，解决问题即可 .【灵活运用】（1）结论：AF= BE, AF± BE证明BAEADF （SAS?）即可解决问题 .（2）根据对称性可知 ADME, DMF , 关于直线DM对称，推出Sadme=Sadmf ,由AE= DE,推出Sxaem= S dme= S dmf ,求出巾 OP3 I6.D ADF的面积即可解决问题.【拓展应用】由 GPOsBPA,推出5会 "即 可解决问题国正方形AEFG的两边分别在正方形 ABC

20、D的边AB和AD上，连接CF.写出线段CF与DG的数量关系；写出直线CF与DG所夹锐角的度数（2）拓展探究：如图，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利将正方形AEFG绕点A逆时针旋转, 用图进行说明.（3）问题解决如图， ABC和 ADE都是等腰直角三角形，/BAC=/ DAE=90； AB=AC=4, O为AC的中点.若点D在直线BC上运动，连接 OE,则在点D的运动过程中，线段 OE的长的最小值.（直接写 出结果）【答案】（1）CF= 7三DG,45匚（2）解：如图：RAE中4二产d L TC , 'D 连接AC、AF在正方形 ABCD中，延长 CF交DG与H点， /Z

21、CAD= - Z BCD=45 二,设 AD=CD=a 易得 AC= . a= . AD,同理在正方形AEFG中，/ FAG=45二，AF=事AG,I I CAD=Z FAG, - / CAD-/2=/FAG-/2,I " 1 = /3又 r ad 业，- ACAF DAG,CF ACII =' 玳=, " CF=:石 DG;由CA。DAG,二 /4=/5,r /ACD=/4+/6=45 二, 二 Z5+Z6=45 二，, Z5+Z 6+Z 7=135 二，在ACHD中，ZCHD=180二-135二=45匚，：(1)中的结论仍然成立(3) OE的最小值为隹.Ac -

22、 EB 5c【解析】【解答】（3）如图:由 / BAC=/ DAE=90 口，可得 / BAD=/ CAE又 AB=AC,AD=AE,可得BA4 4CAE,二 | /ACE玄 ABC=45 二,又 r /ACB=45、,：| / BCE=90二，即 CEL BC,根据点到直线的距离垂线段最短，-：I OE± CE时，OE最短，此时 OE=CEAOEC为等腰直角三角形，1I ： I OC= AC=2,由等腰直角三角形性质易得，OE= ,二I OE的最小值为值.【分析】（1）易得 CF=BDG45 口 ；（2）连接 AC、AF在正方形 ABCD中，可得 CA。DAG, 丽 疝，=p,:

23、CfM DG,在 4CHD 中，/ CHD=180二-135 二=45二，（1）中的结论是否仍然成立；（3） OE± CE时，OE最短，此时 OE=CEAOEC为等腰直角三角形，OC=- AC=2可彳导OE的值.7.如图，正方形 如在、等腰后B汽的顶点|/在对角线AC上（点忸与.4、/不重合），好 与加交于1,逗延长线与血交于点k,连接-.（i）求证：4 P - a.（2）求证：用="（3）若AP:K',求lan/f设 的值.（2）解：.用改工是正方形,|/r四=/期/=/5，T|, AD AB =比=圆,|业/15a是等腰三角形，. /QPB = 15；.|上/我

24、: 1800 -比- 18T 75 -上此二 135 - 比，.|/壁尸二ISO ' ZPAB &180° /尸 上例,|"1 即 ZFPA AAFP - J.4A5.肝”产=呢.枪,4户二都TR,JA = AF AL(3)解：由得CQ AF , .-.QCP = 90a,ZPAB - ZBCQ b,由(2) ZAPF ;呼 . 匕1即="血， APF = ZCK ,. 2%二/t班, 在电而吸中,r.anZf?V【解析】 【分析】（1）证出/ABP=/ CBQ由SAS证明ABPCBQ可得结论；（2 ）根据正方形的性质和全等三角形的性质得到加-期尸

25、=/尸ZAPF=Z ABP,可证明APM4ABP,再根据相似三角形的性质即可求解；（3）根据全等三角形的性质得到/BCQ=/ BAC=45°,可得/ PCQ=90°,根据三角函数和已QC AP 1知条件得到2、 爪 比 3 ,由（2）可得上"F,等量代换可得/CBQ=/ CPQ即可求解.8.如图，半径为4且以坐标原点为圆心的圆 。交x轴，y轴于点 B D、A、C,过圆上的 动点不与A重合）作座;两，且比 两金在AP右侧1 .(1)当P与C重合时，求出E点坐标；(2)连接PC,当用-1时，求点P的坐标;(3)连接OE,直接写出线段 OE的取值范围.【答案】(1)解：

26、当P与C重合时，rPEP4,0的半径为4,且PE PA亦在AP右侧， PE =PA 百 : R点坐标为”；(2)解：如图，作PF上A于点F, V:.杷为的直径， : 4FP = 4TA =比|：* 上 PCF /MH"KJ d ACP.CF K - PC AC(3)解：如图，连结 OP, OE, AB, BE, AE,0 =三 : -UAU =PAE 二拓 AB AE ? ? ? : “AF 8国,必 OAPs BAE,OP AO 皿.二- BE AB 2 ? : EE -入工，BE S WOE WBE +OR ,二人居-4 W 0E W队口喉4【解析】 【分析】3 当P与C重合时，

27、因为 Ph ± 13 ,。0的半径为 4,且腔=PA在在ap右侧)，所以PE PA 8 ,所以E点坐标为 力;作 印上K于点F,证明 PCF s H ACP可求得cf长，在Rl PF&中求得pf的 长，进而彳#出点P的坐标；连结OP,OE,AB,BE,AE,证明 MP s BAE ,可得BE -炉,根据BE OB W QE W BE ' OB ,即可得出OE的取值范围.二、圆的综合9.如图，以。为圆心，4为半径的圆与 x轴交于点 A, C在。上，/OAC=60°.(1)求/AOC的度数；(2) P为x轴正半轴上一点，且 PA=OA连接PC,试判断PC与。的位

28、置关系，并说明 理由；(3)有一动点 M从A点出发，在。上按顺时针方向运动一周，当Samao=*cao时，求动点M所经过的弧长，并写出此时 M点的坐标.八【答案】(1)60。；(2)见解析；(3)对应的M点坐标分别为：Mi (2, -2J3)、M2(-2, - 2百)、M3 (-2, 25、M4(2, 2百).【解析】【分析】(1)由于/OAC=60,易证得4OAC是等边三角形，即可得 /AOC=60 .(2)由(1)的结论知：OA=AC,因此OA=AC=Ap即OP边上的中线等于 OP的一半，由 此可证得4OCP是直角三角形，且 /OCP=90,由此可判断出 PC与。的位置关系.(3)此题应考

29、虑多种情况，若 MAO、4OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此 有四个符合条件的 M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行 求解.【详解】(1) OA=OC, Z OAC=60 ,.OAC是等边三角形，故 / AOC=60 .(2)由(1)知：AC=OA 已知 PA=OA,即 OA=PA=AC 1，AC=OP,因此4OCP是直角二角形，且 /OCP=90, 2而OC是。的半径，故PC与O O的位置关系是相切.(3)如图；有三种情况：八6044 取C点关于X轴的对称点，则此点符合 M点的要求，此时 M点的坐标为：M1 (2,-26)；劣弧MA的长为:180一 1204

30、劣弧MA的长为：4 180取C点关于y轴的对称点,2氏）；163当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时 M4 （2, 2庭）；优弧MA的长为：300一418020 取C点关于原点的对称点，此点也符合 M点的要求，此时 M点的坐标为：M2 （-2,2石）；83，此点也符合 M点的要求，此时 M点的坐标为：M3 （-2,八一 2404优弧MA的长为：郅一4180综上可知：当 S»A MAO=S CAO时,标分别为：Mi（2, - 2百）、动点 M所经过的弧长为 ,旦 ,20对应的M点坐 3333M2 （-2, - 273 ）、M3（- 2, 2代）、M4（2,2卮.【点睛】本题考查了切

31、线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解.一 .110.如图，已知在 4ABC中，AB=15, AC=20, tanA= 5 ,点P在AB边上，O P的半径为te长.当点P与点B重合时，OP恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，OP与AC边相 交于点M和点N.（1）求。P的半径；（2）当AP=6j5时，试探究 AAPM与4PCN是否相似，并说明理由.【答案】（1）半径为3卡；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD>± AC,垂足为点D, OP与边AC相切，则BD就是。P的半 径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得

32、BD的长；（2）如图，过点P作PHI±AC于点H,作BD±AC,垂足为点D,根据垂径定理得出MP NCMP NCMN=2MH , PM=PN,再利用勾股定理求出 PH、AH、MH、MN的长，从而求出 AM、NC的 长，然后求出 AM、PN的值，得出 "M =EN ,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD>±AC,垂足为点D,.OP与边AC相切,.BD就是。P的半径,1 BD在 RtA ABD 中，tanA=， 2 AD '设 BD=x,则 AD=2x, x2+(2x)2=152,解得：x=3 J5,，

33、半径为3J5；(2)相似，理由见解析，如图，过点 P作PH，AC于点H,作BD)1 AC,垂足为点 D,PH垂直平分MN,，PM=PN,1 PH在 RtAHP 中，tanA=- 2 AH '设 PH=y, AH=2y,y2+ (2y) 2= (6 而)2解得：y=6 (取正数)，.PH=6, AH=12,在 RtA MPH 中，MH= J 375 2 62 =3,MN=2MH=6 ,.AM=AH-MH=12-3=9 ,NC=AC-MN-AM=20-6-9=5,AM 93；5PN3.5 -j=,MP 3.55NC 5AM PN =, MP NC又 PM=PN,/ PMN=Z PNM,/

34、AMP=Z PNC.AMPAPNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较 强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键11.如图，四边形 ABCD内接于。O,对角线AC为。的直径，过点 C作AC的垂线交AD 的延长线于点 E,点F为CE的中点，连接 DB, DF.(1)求证：DF是。的切线；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5点，AD : DE=4 ： 1,求 DE 的长.【答案】 见解析；(2)、. 5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF,再求出ZFDO=ZFCO=900,得出答案即可；(2)首

35、先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用 4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,进 而得出答案.详解：(1)连接OD. OD=CD, . . / ODO/OCD.AC为。O 的直径， / ADO/ EDC=90 °.点 F 为 CE的中点，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切线.(2) AC 为。的直径，Z ADC=ZABC=90°. DB 平分/ADC,Z ADB=Z CDB, ，Ab = ?C，BC=AB=5T2.在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=

36、100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE ADC ACE 1-= ，AC2=AD?AE.AD AC设 DE为 x,由 AD： DE=4： 1, .AD=4x, AE=5x,.100=4x?5x,，x=75, .DE=T5.ac2=ad?ae 是点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出 解题的关键.12.如图1,在RtABC中，AC=8cm, BC=6cm, D、E分别为边 AB BC的中点，连结DE,点P从点A出发，沿折线 AD- DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点 P作PQLAC于点Q,

37、以PQ为边作正方形PQMN.设点P的运动时间为t (s)RB(1)当点P在线段DE上运动时，线段 DP的长为 cm.(用含t的代数式表示)(2)当正方形PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S (cm2),求S与t的函数关系式，并写出 t的取值范围.(3)如图2,若点O在线段BC上，且CO=1,以点。为圆心，1cm长为半径作圆，当点 P 开始运动时，。的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当 。与正方形PQMN的边所 在直线相切时，求此时的 t值.【答案】(1)t-1; ( 2) S=- 3t2+3t+3 (1 vtv4) ； (3)t=10s.83【解析】分析：(1)

38、根据勾股定理求出 AB,根据D为AB中点，求出AD,根据点P在AD上的速 度，即可求出点 P在AD段的运动时间，再求出点 P在DP段的运动时间，最后根据 DE段 运动速度为1 cm/s ,即可求出DP；(2)由正方形PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形，可知点 P在DE上，求出DP=t -1, PQ=3,根据MN/BC,求出FN的长，从而得到 FM的长，再根据 S=S梯形fmhd+S矩形 DHQP,列出S与t的函数关系式即可；(3)当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5-t,然后由r以0.2cm/s的速度不断增大， r=1+0.2t,然后列方程求解即可；当圆与 MN相切时，r=CM=8- t

39、=1+0.2t,从而可求得t的值.详解：（1）由勾股定理可知：ab=Jac2 bc2=io. D、E分别为AB和BC的中点，.DE=-AC=4, AD=-AB=5,22.点P在AD上的运动时间=5=1s,当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（51) s.: DE段运动速度为 1cm/s ,DP= (t - 1) cm.故答案为t-1.（2）当正方形PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示.当正方形的边长大于 DP时，重叠部分为五边形, .3>tT, t<4, DP>0, .t- 1>0, 解得：t>1, - 1 <t<4

40、,DN AC 8 4 ADFNIAABC,=一FN BC 6 3. DN=PN-PD,DN=3- (tT) =4-t,4 t 4 3(4 t)=,FN=-,.FM=3-3(4 t) _3t4- 4S=S 梯形 FMHD+S 矩形 DHQP,，S=1 X(更+3) X (4-t) +3 (t - 1) =- 3 t2+3t+3 ( 1vt<4).248(3)当圆与边PQ相切时，如图：当圆与PQ相切时，r=PE,由(1)可知，PD= (t- 1) cm, ，PE=DE- DP=4 - (t-1) =(5-t) cm.r以0.2cm/s的速度不断增大，. . r=1+0.2t, -1+0.2t

41、=5-t,解得：t=10s.3 当圆与 MN相切时，r=CM.由(1)可知，DP= (t1) cm,贝U PE=CQ= (5t) cm, MQ=3cm, .MC=MQ+CQ=5- t+3= (8-t) cm,-1+0.2t=8-t,解得：t = 35s.6 P到E点停止,.t- 1<4即t ,35 人t= s (舍).6综上所述：当t二一s时，。与正方形PQMN的边所在直线相切.3点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性 质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键.13.如图，。是4ABC的内心，BO的延长线和 ABC的

42、外接圆相交于 D,连结DC DA、OA、OC,四边形OADC为平行四边形.(1)求证：BOCCDA.(2)若AB=2,求阴影部分的面积.【答案】(1)证明见解析;2)3.3【解析】分析：(1)根据内心性质得 /1 = /2, /3=/4,则AD=CD,于是可判断四边形 OADC为菱 形，则BD垂直平分 AC, Z4=Z5=Z6,易得 OA=OG /2=/3,所以OB=OC,可判断点 O 为4ABC的外心，则可判断 ABC为等边三角形，所以 Z AOB=Z BOC=Z AOC=12 0,BC=AC再根据平行四边形的性质得 ZADC=Z AOC=120°, AD=OQ CD=OA=OB则

43、根据“SA院明BOXACDA；(2)作OHU AB于H,如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 / BOH=30 ；根据垂径定理得到 BH=AH=1aB=1,再利用含30度的直角三角形三边的关系2得到OH=_3bH=_3, OB=2OH=2:3,然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用 333S阴影部分=S扇形AOB-S AOB进行计算即可.详解：(1)证明：:。是4ABC的内心，/2=/3, /5=/6, - / 1 = 7 2,/ 1 = 73,由 AD/ CO,AD=CO,/ 4=7 6,.,.BOCACDA (AAS)(2)由(1)得，BC=AQ/3=/4=/6, / AB

44、C=Z ACB.AB=AC .ABC是等边三角形 .O是4ABC的内心也是外心.OA=OB=OC设E为BD与AC的交点，BE垂直平分 AC在 RtOCE中，CE=1AC=-AB=1, Z OCE=3O°, 22_120 /2.3、2 1 °,3=()2 360323=43/39点睛：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，： 角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心 就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计 算.14.如图，4ABC内接于OO,且AB为。的直径./AC

45、B的平分线交。于点D,过点 D作。的切线PD交CA的延长线于点 P,过点A作AEL CD于点E,过点B作BF, CD于 点F.(1)求证：DP/ AB;(2)若AC=6, BC=8,求线段PD的长.【答案】详见解析【解析】【分析】(1)连接OD,由AB为。的直径，根据圆周角定理得 /ACB=90,再由 /ACD=/ BCD=45 ；则/ DAB=Z ABD=45 ,°所以 DAB为等腰直角三角形，所以 DOLAB, 根据切线的性质得 ODLPD,于是可得到 DP/ AB.(2)先根据勾股定理计算出 AB=10,由于 DAB为等腰直角三角形，可得到AB 10-,A A , L ,AD

46、至/ 5,2 ;由4ACE为等腰直角三角形'得到AECEAC-26、23J2,在RtAED中利用勾股定理计算出de=4v2，贝uPD PA AD 5、25CD=7T2,易证得.PDAsPCD,得到 PD PA D 学，所以 PA=-PD,PC PD CD 7,27J一PC=-PD,然后禾1J用PC=PA+ACT计算出PD.5【详解】解：(1)证明：如图，连接 OD,.AB 为。的直径，/ACB=90./ ACB 的平分线交 O O 于点 D,Z ACD=Z BCD=45 .° / DAB=Z ABD=45:4DAB为等腰直角三角形.DOXAB.PD 为。的切线，.-.ODXP

47、D.DP/ AB.(2)在 RtACB 中，AB=jACniO，A, “右 一,f AB 10 r EDAB为等腰直角三角形，AD = y=不=$也.A1c6. AEXCD,.ACE为等腰直角三角形.£=£上=了 = ? =3点.PD PA .ADPC = TO" CD=在 RtAED中，DE 二 JAD二-AE：=代厉-0后二短， CD=E4DE三洋"点=彳点. . AB / PD,/ PDA=Z DAB=45 .° . / PAD玄 PCD.又. / DPA=/CPD,APDAAI.PA=7PD, PC= PD. 57又PC=PA+AC -

48、 7 PD+6=5PD57'一 35 解得PD=.415.如图，已知 AB是。的直径，BC是弦，弦 BD平分/ABC交AC于F,弦DELAB于H,交AC于G.求证：AG= GD; 当/ABC满足什么条件时， 4DFG是等边三角形？3 -若 AB=10, sin/ABD= ，求 BC 的长.【答案】(1)证明见解析；(2)当/ABC= 60。时，4DFG是等边三角形.理由见解析； 14(3) BC的长为14 .5【解析】【分析】(1)首先连接AD,由DE，AB, AB是e O的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得 Z ADE=

49、Z ABD,又由弦 BD平分/ABC,可得/DBC=/ABD,根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD;(2)当/ABC=60时，4DFG是等边三角形，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得 /DGF=/ DFG=60 ,即可证得结论；34(3)利用二角函数先求出tan Z ABD , cos/ ABD=,再求出DF、BF,然后即可求出45BC.【详解】(1)证明：连接AD, . DEXAB, AB 是。的直径，Ad Ae ,/ ADE= / ABD,.弦BD平分/ ABC,/ DBC= / ABD, / DBC= / DAC,/ ADE= / DAC, .AG=GD；(2)解：当/ABC