初二数学.秋.直升班.教师版.第5讲几何变换之平移

1、第五讲几何变换之平移初二数学.秋第5讲目标名校直升班教师版 71平移的性质：1 .经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应 角度相等.2 .平移前后，所对应的图形全等.模块一平行多边形和平移的构造1 .平行四边形与平移变换由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段， 因此，对于已知条件中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处 理.平移沿平行四边形的某条边进行.2 .平行六边形和平移变换因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所 以对于条件中有平行线（或平行线段）的平面几何问题当然也可以考虑用平移变

2、换处 理，平移方向平行于平行线（或平行线段），平移距离则要视具体情况（特别是所要证明的结论）而定.这种平移方式经常用来对分散图形进行集中.AB 和 BC.如图所示，P为平行四边形 ABCD内一点，求证：以 AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于如图所示，将4PAB平移至4QDC的位置，易证DQ = AP , CQ = BP ,则四边形DPCQ 恰好是一个以AP、BP、CP、DP为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD的两条邻边.例2如图2-1,四边形EFGH中，若N1=/2,则N3必然等于N4 .请运用结论证明下述问题: 求证：

3、/7=/8.E如图2-2,在平行四边形 ABCD中取一点P,使得/5=/6,4HFCG 图2-1【分析】此题为信息题，难点在于如何理解已知条件,图2-2经观察我们发现，若21和22,位置为区时，可得出N3和/4相等（本质为四点共圆），图（2）中，N5与26关系并不像条件所示， 因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决.而构造平行四边形， 恰可以达到改变角位置作用，为使/5与/6成岂形，我们可有如下四种方法.解析A，一分别过点B、P作BK II AP , PK II AB,交于点K,连接CK .BK/AP, PK/AB, BK=AP, PK=AB, /5=/BKP, /7=/BP

4、KAB=CD, AB II CD , PK II CD , PK =CD，四边形PKCD为平行四边形，PD =CK , . AD =BC. ADPABCK ,，/8=2BCK在四边形 BKCP 中，/BKP=/5=/6 ,，/BPK=/BCK ,，/7=/8AD8DK（25不动移N6 ）AD6CBZK（26不动移/5 ）K【教师备课提示】 老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的快乐.BC为一边，分别向三角形的外侧作正方形EF、DN、GM为边能否构成三角形？为什么?ABDE、正如图，以4ABC的边AB、AC、方形ACGF、正方形 BCMN .以过点E作PE II DN ,过点N作PN

5、 II DE , PE与PN交于点P,连结PM、PF.PE/DN, DE / PN ,，DE=PN, PE =DN AB II DE , PN II DE , .AB II PN , . BC II MN ,/ABC=/PNM ,AB=DE=PN, BC=NM , ABCAPNMAC =PM =FG , NACB=/PMN , AC II FG II PM ,四边形FGMP是平行四边形， .MG =PF.PEF就是以EF、DN、GM的长为边的三角形.【教师备课提示】 这道题还可以给学生拓展 4PEF的面积为 ABC的3倍.2,则该（方法1）:如图所示，由于六边形的内角都是如图所示，一个六边形的

6、六个内角都是120°,六边形的周长是多少？连续四边的长依次是1、3、3、120口,易知 CD II AF , AB II ED , BC II FE .CEACE1MP AFQ其边长 C1E1 =CE1 -CC1 =DE BA=1 .在此基础上可求得 EF、AF的长， 进而求得六边形的周长：EF =AA1 =AC1 C1A1 =BC -1 =3 -1 =2 , AF =A1E = AE1 +E1E =1 +CD =1 +3 =4 , 故六边形的周长是 1 +3+3+2 +2 +4=15.（方法2）：如图所示，将六边形补全为等边 易得 PQR的边长为1 +3 +3 =7, 贝U EF

7、=7 3 -2 =2 , FA=712=4, 故六边形的周长是 1 +3+3+2 +2 +4=15.在六边形 ABCDEF 中，AB/ DE, BC II EF , CD II AF ,对边之差 BC EF = ED AB=AF -CD >0 .求证：六边形 ABCDEF的各内角均相等.EDA B濠解析平移线段DE到CR,平移线段BC到AQ,平移线段FA易知 PQ =AQ -AP =BC -EF ,到EP,如图所示，得到4PQR.RQ =RC -QC =ED -AB ,PR=PE RE=AF -CD .由于 BC -EF =ED -AB = AF -CD ,.PQ =RQ =PR ,即

8、PQR是等边三角形，/PQR =/QRP =/RPQ =60°.故 ZDEF =/DER +/REF =/QRP +/RPQ =60o+60°=120°./CDE =/CRE =180 J/QRP =180 °-60 °=120 °,同理，/DCB =/CBA=/BAF =/AFE =120°,六边形ABCDEF的各内角均相等.如图所示，在六边形 ABCDEF 中，AB/ ED, AF II CD , BC/ FE , AB = ED ,AF=CD, BC=FE.又知对角线 FD _L BD , FD =24厘米，BD=18

9、厘米.请你回 答：六边形 ABCDEF的面积是多少平方厘米？将 DEF平移到 BAG的位置；将4BCD平移到4GAF的位置，则长方形BDFG的面积等于六边形 ABCDEF的面积.易知长方形BDFG的面积等于24x18=432 （平方厘米）， ，六边形ABCDEF的面积是432平方厘米.设凸六边形 ABCDEF的三组对边分别平行.求证: ACE的面积与 4BDF的面积相记六边形ABCDEF的面积为S, RD"'的面积为同样，如果我们作另外三个平移变换将六边形用类似的方式剖分为三个平行四边形与瀚解析如图，将B、D、F分别沿CD、EF、AB 平移至B'、D'、F&#

10、39;,则F'在BB'上，B 在 DD '上， D'在 FF '上，且 dF'=AB-DE , fB'=CD-FA ,BD '=|EF -BC .T.因四边形 FABF'、BCDB'、DEFD一个三角形 ACE',则有 ACq AB-DE |, C'EHCDFA|, eA'=|EF-BC|.1因而AAC E的面积也为T,于是也有SA ace =-（S +T）,故SA bdf =Sa ace .2模块二共端点的平移构造如果两条相等线段既不平行也不共线，则其中一条线段不可能是另一条线段在某 个平

11、移变换下的像.但我们可以通过平移变换移动其中的一条线段，使两条线段有一 个公共端点，然后通过等腰三角形的性质再加上其他相关条件使问题得到解决.如图所示，两条长度为 1的线段AB和CD相交于O点，且/AOC=600,求证:AC+BD>1.谖）解析考虑将AC、BD和AB集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系.作CB'/ AB且CB'=AB,则四边形 ABBC是平行四边形，从而 AC = BB'.在 ABBU 中可得 BB+ BD 'B D （当 AC/ BD寸，BB+ B D 'B D 即 AC +BD> BD ,由于 CD=AB=CB&

12、#39;=1, /BCD =/AOC =60。，所以 4BCD 是等 边三角形，故BD =1 ,所以AC +BD > 1 .求证：2DEABC.如图， ABC 中，AB = AC , D、E 是 AB、AC 上的点且 AD=CE.A方法一：通过构造平行四边形把DE和1BC平移成共顶点的线段（如下图，作中位线2利用斜边大于直角边）方法二：通过构造平行四边形平移DE,使得DE和BC共顶点.下面写出方法二的解析：(如下图2)过点 B 作 BF II DE ,且 BF =DE ,连接 EF、FC .Z DAE =/ CEF , AE=BD=EF又AD=EC -A ADEECF ,，DE=CFBF

13、 +CF > BC即2DE > BC ,当且仅当DE为ABC的中位线时，取到等号.另外，此题还可以如图 1, 3, 4那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等腰三角形.A图3图1A图4D、E 是 AB、(1)如果 AB = AC组相等的线段；(2)如果 ABaACAC上的点，若AD=AE,请你写出此图中的另D、E 是 AB、AC上的点，若BD=CE,请你确定 DE与BC的数量关系，并证明你的结论.(1) DB=EC;(2)结论：BODE .过E点作EF II AB ,截取EF =DB ,连结BF,作NCEF的平分线EN交BC于N,连结 NF.力8=£

14、;尸，又 DB = EC , ，EF=EC.EN 平分 /CEF，/FEN =/CEN .在 ENF 和 AENC 中，EF =EC , /FEN =/CEN , EN 为公共边，. .ENF ENC .MMFBsMCHMiDBi* EF BisEFHiMUDEiiiAMAUiMMEBsAiM在 BFN 中，BN +FN >BF ，即 BN +CN >DE ,所以 BC >DE .MIMI1复习巩固模块平行多边形和平移的构造演练1CM2二 BMDMA已知：矩形 ABCD内有定点M,试证：AM2+CM2AC解析连接CE, ME, BC交ME于点F.过点B、点M分另1J作AM、A

15、B的平行线，交于点E,. AB II EMAM II BE .AM =BEAB =EM AB =CD ,AB II CD .EM II CDEM =CDECDM为平行四边形，CE=DM. EM _BC.222- BM =BF FM一 2.22CM =CF FMCE2 =EF2 +CF2 , BE2 = BF2 EF22_2.AMCM =BM盒演练2 . 如图所示，设ABCD是矩形，K为矩形所在平面上的一点，连接 KA与KD均与BC相 交.由点B向直线DK引垂线，由点 C向直线AK引垂线，两垂线相交于 M,求证MK _LAD .检解析如图，过点 K作KP / AB,且KP =AB .连接 PB,

16、 PC, KM .PK/BA, PK=BA四边形PKAB为平行四边形. BP/ KA又 CF_LAK, CF_LPB又在矩形 ABCD 中，AB/CD, AB=CD. PK II CD , PK =CD四边形PKDC为平行四边形. PC II KD又 BE_LKD , . BE _LPC .M为PBC的重心 .PM _BC又 AB _L BC , AB II PK , . PK _L AB .P , K , M三点共线且 KM _BC又AD II BC , .KM _LAD .模块二共端点的平移构造演练3 »»如图A、B两地在一条河的两岸， 现要在河上造一座桥 MN。桥造在何处才能使从B的路径