2020-2021中考数学易错题精选-相似练习题含答案解析

1、2020-2021中考数学易错题精选-相似练习题含答案解析一、相似1 .如图所示， 4ABC 中，AB=AC, Z BAC=90°, AD± BC, DEL AC, ACDE 沿直线 BC 翻折 至iJCDF连结AF交BE、DE、DC分别于点 G、H、I.(1)求证：AF, BE;(2)求证：AD=3DI.【答案】(1)证明：二.在ABC中，AB=AC, /BAC=90, D是BC的中点, .AD=BD=CD, /ACB=45,°1 .在 ADC 中，AD=DC, DEX AC,.AE=CECDE沿直线BC翻折到CDF,.,.CDEACDF,2 . CF=CE /

2、 DCF=Z ACB=45 ；3 . CF=AE / ACF=Z DCF+/ ACB=90 ,°AB * AC ZBAE = ZACf 在 ABE 与 AACF 中，.任 C/',4 .ABEAACF (SAS ,/ ABE=Z FAC,5 / BAG+Z CAF=90 ,°6 / BAG+Z ABE=90 ；/ AGB=90 ；AFXBE(2)证明：作 IC 的中点 M,连接 EM,由(1) /DEC=Z ECF4 CFD=90四边形DECF是正方形，EC/ DF, EC=DF/ EAH=Z HFD, AE=DFZAHE = zrnEAn =2HF&在 A

3、EH 与 4FDH 中AE Di , .AEHAFDhl (AAS), .EH=DH, / BAG+/ CAF=90 ,° / BAG+Z ABE=90 ；/ AGB=90 ；AFXBE,. M是IC的中点，E是AC的中点，.EM /AI,di dh.而一应：.DI=IM,.CD=DI+IM+MC=3DI,.AD=3DI【解析】【分析】(1)根据翻折的性质和SAS证明AB®4ACF,利用全等三角形的性质得出/ ABE=Z FAC再证明/ AGB=90 ,可证得结论。(2)作IC的中点 M,结合正方形的性质，可证得/EAH=/ HFD, AE=DF利用 AAS证明 AEH与

4、FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。A、B两点(点A在点B的左侧)，与D.2.已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2 (a>0)相交于y轴正半轴相交于点 C,过点A作ADx轴，垂足为(1)若/AOB=60, AB/ x 轴，AB=2,求 a 的值；(2)若/AOB=90，点A的横坐标为-4, AC=4BC求点B的坐标;(3)延长 AD、BO相交于点E,求证：DE=CQ.OA=OB, Z AOB=60 ,.AOB是等边三角形，. AB=2, AB±00,-.AC=BC=1, Z BOC=30,J-5.oc=KlJ,-A (-1, S),把 A (-1, j

5、)代入抛物线 y=ax2 (a>0)中得：a=/3 ;(2)解：如图2,过B作BHx轴于E,过A作AGLBE,交BE延长线于点G,交y轴于AC：,应瓦.AC=4BC,Ab元=4,.AF=4FG,. A的横坐标为-4, .B的横坐标为1,.A (-4, 16a) , B (1, a), / AOB=90 ； / AOD+/ BOE=90 ； / AOD+Z DAO=90 ； / BOE=/ DAO, / ADO=Z OEB=90 ； .ADOAOEB,日一瓦，4 1 4， - 16a2=4,1a=±-,.a>0,1 - a=上；1 B (1,力；(3)解：如图3,设 AC=

6、nBGn倍,由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的则设 B (m, am2),则 A - -mn, am2n2), . AD=am2n2 ,过B作BH x轴于F, .DE/ BF,.,.BOFAEOD,OB OF BI'. OE OD 班.OB m aar I . OE isn DE ,OB 1 二 I-.1.四 口 , DE=am2n ,OB 1.,.留,* n ,1. OC/ AE,.,.BCOABAE,1. CO= 1"" =am2n, . DE=CO.【解析】【分析】(1)抛物线y=ax2关于y轴对称，根据 AB/ x轴，得出A与B是对称 点，可知 AC

7、=BC=1由/AOB=60 ,可证得/AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出 OC的长，就可得出点 A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。(2)过B作BEX x轴于E,过A作AG± BE,交BE延长线于点 G,交y轴于F,根据平行 线分线段成比例证出 AF=4FG根据点A的横坐标为-4,求出点B的横坐标为1,则A (4, 16a) , B(1, a),再根据已知证明 / BOE=/ DAO, ZADO=ZOEB,就可证明 ADOsOEB,得出对应边成比例，建立关于a的方程求解，再根据点 B在第一象限，确定点B的坐标即可。(3)根据(2)可知A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B (

8、m, am2),则A (-mn, am2n2),得出 AD的长，再证明 BOQEOD, BC8 BAE,得对应边成比例，证得 CO=am2n,就可证得 DE=CO3.在矩形 ABCD中，BC= 6,点E是AD边上一点，/ ABE= 30°, BE= DE,连接 BD动点 M 从点E出发沿射线 ED运动，过点 M作MN / BD交直线BE于点N.(2)设MN长为x,以M、N、D为顶点的三角形面积为 y,求y关于x的函数关系式；(3)当点M运动到线段 ED的中点时，连接 NC,过点M作MFXNC于F, MF交对角线BD于点G (如图2),求线段 MG的长.【答案】(1)证明：.。八二炉,

9、期把二3鼠。，上A出=601AE = -BE- fa.(2)解：在也£就仍中，NABE二30.DE BE - 2AE AD EC 6, AE 2DE BE )当点4在线段灯上时，过点猫乍门上于点比b.当点在线段反延长线上时，过点|a作土 如于点-MN - rr； 0 2NI在E中,XE 二6塌-NE - DE - ?-v - -护嵬吃解：连接G，交须于点V1.心为%的中点. EM DMMN .CD 二黜二 ME：皿疯），= J5 ,BN 21cos一切然-二.-4C /3 /I）盛: 60上.4 M 二18。-二/1蜘ZDMC = 180306090的/血.上勒v' - jN

10、ML 9也龙V二包二二C 71,即=«城/源=W*+收=刈' ,.广限小二阳- /泗,上她：1 士力-上加j版4 -城？ ,又 /4此=上如% =好,.11就 sM G ,M 好 入厅 0/3 = .第4'”,即第一 I ,【解析】【分析】（1）过点E作EHLMN于点H，由已知条件易得 EN=EM,解直角三角形 EMH易得MH和EM的关系，由等腰三角形的三线合一可得MN=2MH即可求解；（2）在RtABE中，由直角三角形的性质易得 DE=BE=2AE由题意动点 M从点E出发沿 射线ED运动可知点M可在线段ED上，也可在线段 ED外，所以可分两种情况求解： 当 点M在线

11、段ED上时，过点 N作NILAD于点 I ，结合（1）中的结论 MN=/-EM即可求 解； 当点M在线段ED延长线上时，过点 N作NI'XAD于点I ',解Rt A NI '和火也人上可 I求得NI'和NE,则DM=NE-DE,所以以 M、N、D为顶点的三角形面积 y= MD.NI可求解； （3）连接CM,交BD于点 N',由（2）中的计算可得 MN、CD MC的长，解直角三角形CDM可得/DMC的度数，于是由三角形内角和定理可求得/NMC=，'：/，根据平行线的性/质可得DMN'是直角三角形，根据直角三角形的性质可得MN=MD;则NC的

12、长可求，由已知条件易得 A NMS A MN G 根据所得的比例式即可求解.4.抛物线y=ax2+bx+3 （aw。经过点A （ - 1, 0） , B （ -，0）,且与y轴相交于点 C.(2)求/ ACB的度数；(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE±AC,当4DCE与4AOC相似时，求点 D的坐标.【答案】(1)解：当x=0,y=3,所以C (0,3)设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-幺).将C (0,3)代入得-a=3,解得a=-2所以抛物线的解析式为y=-2x2+x+3(2)解：过点B作BMLAC,垂足为M,过点M作MNL

13、OA,垂足为N,如图1 , . OC=3, AO=1, .tan / CAO=3.直线AC的解析式为y=3x+3. .ACXBM,-3 义 +b=0解得 b=二.BM的一次项系数为设BM的解析式为y=-x+b,将点B的坐标代入得:BM的解析式为y=- J x+1 .将 y=3x+3 与 y=- J x+ E 联立解得：x=- 4 , y= J，MC=BM= ，？MCB为等腰三角形/ ACB=45.°（3）解：如图2所示，延长CD,交x轴于点F. / ACB=45点D是第一象限抛物线上一点， / ECD> 45 :又. ？DCE与？AOC 相似，Z AOC=Z DEC=90,/

14、CAO=/ ECD. .CF=AF.设点F的坐标为（a, 0）,则（a+1） 2=32+a2,解得a=4.F （4,0）.设CF的解析式为y=kx+3,将F （4,0）代入得：4k+3=0,解得k=-:. J，CF的解析式为y=- ' x+3.将y=-，x+3与y=-2x2+x+3联立，解得 x=0 （舍去）或x= 5 .将 x= 6 代入 y=-。x+3 得 y= 32二. D （ 5 ,史）.【解析】【分析】（1）结合已知抛物线与x轴的交点AB,设抛物线的解析式为顶点式，代入点C的坐标求出系数，在回代化成抛物线解析式的一般形式。（2）作垂线转化到直角三角形中利用锐角函数关系解出直线

15、南AC的解析式，再利用待定系数法求出系数得出直线BC的解析式，联立方程得出点M的坐标，根据勾股定理求出MC,BM的长判断出是等腰直角三角形，得出角的度数 CF的解(3)根据相似三角形的性质的出两角相等，再利用待定系数法求出系数得出直线 析式，再联立方程得出点 D的坐标。5.如图，抛物线 y=x2+bx+c经过B(-1, 0), D(-2, 5)两点，与x轴另一交点为 A,点H是线段AB上一动点，过点 H的直线PQ±x轴，分别交直线 AD、抛物线于点 Q、P籥用金(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P,使/APB= 90°,若存在，求出点 P的横坐标，若不存在，说明理由；

16、(3)连接BQ, 一动点M从点B出发，沿线段 BQ以每秒1个单位的速度运动到 Q,再沿 线段QD以每秒(三个单位的速度运动到 D后停止，当点 Q的坐标是多少时，点 M在整个 运动过程中用时t最少？【答案】(1 )解：把B ( 1 , 0) , D ( 2, 5)代入黑二.人第+ J ,得： ,7 - b -f- c = 0b = - 2叮 二也一 '解得：右二九抛物线的解析式为：(2)解：存在点 P,使/APB=90.当 y=0 时，即 x2-2x- 3=0,解得：x1= 1, x2=3,，OB=1, OA=3.设 P(m, m2 2m 3)，则一1WmC§ PH=一 ( m

17、2 2m 3) , BH=1+m, AH=3 m , Z APB=90 ,° PHI± AB,，/PAH=/ BPH=90 ' / APH, / AHP=/ PHB,AAHPAPHB,PH Ah明 科,PH2=BH?AH, . - ( m2 - 2m - 3) 2= (1+m ) ( 3 - m ),解得 m1二* + mJ , m2=1；，点p的横坐标为：i + vJ或，- (3)解：如图，过点 D作DNx轴于点N,DN B则 DN=5, ON=2, AN=3+2=5, . .tanZ DAB=JAr 5 =1 , . . / DAB=45 .过点 D 作 DK/

18、 x 轴，则/ KDQ=Z DAB=45 , DQ=k* QG.由题意，动点 M运动的路径为折线 BQ+QD,运动时间：t=BQ+DQ,t=BQ+QG,即运 动的时间值等于折线 BQ+QG的长度值.由垂线段最短可知，折线 BQ+QG的长度的最小值为 DK与x轴之间的垂线段. 过点B作BHLDK于点H,则t最小=BH, BH与直线AD的交点，即为所求之 Q点. A (3, 0) , D (- 2, 5) , 直线 AD的解析式为：y= - x+3, < B点横坐标为-1, . y=1+3=4, . .Q ( -1,4).【解析】【分析】(1)把点B, D的坐标代入二次函数中组成二元一次方程

19、组，解方程组 即可得到抛物线的解析式；(2)先按照存在点 P使/APB= 90。，先根据抛物线的解析式求 得点A, B的坐标，设出点 P的坐标，根据点 P的位置确定 m的取值范围，再证 AHPAPHB,从而得到PH2=BH?AH,即可列出关于 m的方程，解方程即可得到m即点P的横坐标，且横坐标在所求范围内，从而说明满足条件的点P存在；(3)先证明/DAB=45；从而证得DQ= 2 QG,那么运动时间t值等于折线BQ+QG的长度值，再结合 垂线段最短确定点 Q的位置，再求得点 Q的坐标即可.6.在等腰直角三角形 ABC中,/ACB= 90 ,AC= BC,D是AB边上的中点，RtEFG的直角顶

20、点E在AB边上移动.mimrnj(1)如图1,若点D与点E重合且EG± AC、DF± BC,分另1J交 AC BC于点M、N, 易证EM=EN;如图2,若点D与点E重合，将 EFG绕点D旋转，则线段 EM与EN的长度还相等吗？若相等请给出证明，不相等请说明理由；(2)将图1中的RtEGF绕点D顺时针旋转角度 “(0V “V45 ),如图2,在旋转过程中，当 /MDC=15°时，连接MN,若AC= BC= 2,请求出线段 MN的长；B重合)，当AB=3AEEM与EN的数量关系（3）图3,旋转后，若RtEGF的顶点E在线段AB上移动（不与点D、 时，线段EM与EN的数

21、量关系是 ;当AB= m-AE时，线段 是.【答案】（1）解：EM=EN原因如下：3 / ACB= 90 ° AC= BC D是 AB 边上的中点.DC=DB /ACD=/B=45° Z CDB= 90 °4 / CD斗 / FDB= 90 °5 / GDF= 90 °.1. / GDC+ / CDF= 90 二 C CDM= / BDN在CDM和4BDN中/MCD=/B, DC= DB, /CDM=/BDN,6 .CDMABDN DM = DN 即 EM= EN(2)解：作DP,AC于P,则/ CDP= 45 ° CP= DP= A

22、P= 17 / CDG= 15/ MDP = 30 °出. cos/ MDP=妙1厄一方.DM=2',DM=DN,8 MND为等腰直角三角形P- X 二.MN=(3) NE=2ME; EN=(m-1)ME【解析】 【解答】解：(3)NE= 2ME,EN=(m-1)ME证明：如图3,过点E作EP±AB交AC于点PA ED。则4AEP为等腰直角三角形，/ PEB= 90°，AE=PE AB= 3AE . BE= 2AE . BE= 2PE又 / MEP+ / PEN= 90°/ PENI+ / NEB= 90 °/ MEP= / NEB又

23、/ MPE= / B=45°.PMEABNE，EB 二，即 EN= 2EM由此规律可知，当 AB= m-AE时，EN=(m-1) ME【分析】(1) EM=EN;原因如下：根据等腰直角三角形的性质得出DC= DB Z ACD= Z B=45° / CDB= 90°根据同角的余角相等得出/ CDM= / BDN,然后由ASA判断出 CDMABDN根据全等三角形的应边相等得出 DM = DN即EM=EN;(2)根据等腰直角三角形的性质得出/CDP= 45° CP= DP=AP= 1,根据角的和差得出/MDP = 30 ；根据余弦函数的定义及特殊角的三角函数值

24、，由 cos/MDP=的得出DM的 长，又DM = DN,故4MND为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出 MN 的长；(3)NE= 2ME,EN=(m-1)ME,如图3,过点E作EP!AB交AC于点 巳 则4AEP为等腰直角 三角形，ZPEB= 90° ,根据同角的余角相等得出/ MEP = / NEB然后判断出 PMEABNE,根据相似三角形对应边成比例即可得出 u结论，由此规律可知，当 AB = m AE 时，EN= (m-1) ME7.已知，如图1,抛物线y=ax2+bx+ 3与x轴交于点 B C,与y轴交于点A,且AO= CO, BC= 4.Z1(1)求抛物线解

25、析式；(2)如图2,点P是抛物线第一象限上一点，连接 PB交y轴于点Q,设点P的横坐标为t,线段OQ长为d,求d与t之间的函数关系式;备用图(3)在(2)的条件下，过点 Q作直线l，y轴，在l上取一点 M(点M在第二象限)，连接 AM,使AM=PQ,连接CP并延长 CP交y轴于点 K,过点P作PNL于点N,连接 KN、 CN、 CM.若/MCN+/NKQ= 45°时，求 t 值.【答案】(1)解：如图1,图L当 x=0 时，y=3,.A (0, 3),.OA=OC=3,BC=4,.OB=1,B (T, 0) , C (3, 0),/占-b f 3 - 0把B (- 1, 0) , C

26、 (3, 0)代入抛物线y=ax2+bx+3中得：山十池+ 3 -6尸, Jy= - x2+2x+3;解得：,匕?,抛物线的解析式为：(2)解：如图2,却设 P (t, - t2+2t+3) (0<t<3),过P作PGJ± x轴于G,. OQ/ PG,.,.BOQABGP,d=d=- t+3 (0<t< 3)(3)解：如图3,连接AN,延长PN交x轴于G,由(2)知：OQ=3 t, OA=3, .AQ=OA- OQ=3- (3-t) =t, .QN=OG=AQ=t, AQN是等腰直角三角形，/ QAN=45 : AN=t,. PG/ OK, pg a OK a

27、-产3 J - J 康 = 3 ,OK=3t+3,AK=3t, / QAN=Z NKQ+Z ANK,。 / NKQ+Z ANK=45 ； / MCN+Z NKQ=45 ； / ANK=Z MCN, . NG=CG=3- t, .NGC是等腰直角三角形，.NC=短(3-t) , /GNC=45；/ CNH=Z NCM+Z NMC=45 °,/ NKQ=Z NMC,.AKNANMC, AK 网.届一位，,. AQ=QN=t, AM=PQ,RtA AQMARtA QNP (HL.), MQ=PN= - t2+2t+3 - (3-t) =- t2+3t, 3t2t产+箫7-”，t2- 7t+

28、9=0,ti=2>3, t2=,0<t<3,ti>3,不符合题意，舍去，【解析】【分析】(1)根据函数图像与坐标轴交点的坐标特点，得出 A点的坐标，再根 据点到坐标轴的距离得出 OA=OC=3,又BC=4,从而得出 OB的距离，进而得出 B,C两点的 坐标，再将 B,C两点的坐标代入抛物线 y=ax2+bx+3中得出一个关于 a,b的二元一次方程 组，求解得出a,b的值，从而得出抛物线的解析式；(2)过P作PG±x轴于G,根据P点的横坐标得出 P点坐标设P (t, - t2+2t+3) (0vtv 3),根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原

29、三角形相似，得出 BOQsBGP,根据相似三角形对应边成比例得出OQ： PG=OB： BG从而彳#出d关于t的函数关系式；(3)连接 AN,延长 PN 交 x 轴于 G,由(2)知：OQ=3- t, OA=3,从而得 AQ=OA- OQ=3 -(3-t) =t,进而得 QN=OG=AQ=t,从而判断出AQN是等腰直角三角形，根据等腰直 角三角形的性质得出/ QAN=45 , AN= t ,根据平行线分线段成比例得出PG： OK=CG： OC,故 OK=3t+3, AK=3t,根据等式的性质得出Z ANK=Z MCN,判断出 NGC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出NC=V工(3-t

30、) , /GNC=45,再判断出AKNMNMC,根据相似三角形对应边成比例得出A K ： M N = A N ： N C ,再利用HL 判断出 RtA AQMARtAQNP,故 MQ=PN= - t2+2t+3 - ( 3-t) =-t2+3t,从而得出关于 t的方程，求解并检验即可得出答案8.如图，已知 AB是。的直径，弦 CD与AB交于点E, F为CD的延长线上一点，连接 AF,且 FA2=FD?FC(1)求证：FA为。的切线；(2)若 AC=8, CE ED=6: 5, AE: EB=2: 3,求 AB 的值.【答案】(1)证明：连接BD> AD,如图，.|以-即FC，FA FCF

31、l) FA3 / F=Z F,4 .FADAFCA./ DAF=Z C.5 / DBA=Z C,/ DBA=Z DAF.AB是。的直径，.上里泗二”.上门胡，= 90- 90牡二立2-缈，即af± AB.FA为。O的切线.（2）解：设 CE=6x, AE=2y,贝U ED=5x, EB=3y.由相交弦定理得：EC?ED=EB?EA.3加-你WV 也. . AE _员.=卵二.|再严-寻心小豆.闲 , FC 二浮-：.即倒不 "。（FD +总尸- G屏了. . FD=5x.力声二 H）- FC 出M二侬；叱/淖.'爱二短|.-.AD ED 疝.FADAFCA.AD D

32、F|须.=.* =方，始=%徨=G/除,5x 5x18可必,I，邛解得：陵=5：，=统层=.，二.AB的值为10【解析】【分析】（1）连接BD、AD,根据两边成比例且夹角相等可得FAgFCA;由 FAD FCA及同弧所对的圆周角相等可得 / DBA=Z DAF;再根据直径所对的圆周角是直 角即可得出结论。（2）设CE=6x则ED=5x,用相交弦定理表示出则 AE的长，用勾股定 理及题中的已知条件分别表示出FD> AF、AD的长；再利用 FA2 4FCA即可得出结论。9.如图1,在 ABC中，/BAC=90°, AB=AC=4, D是BC上一个动点，连接 AD,以 AD为 边向右

33、侧作等腰直角 4ADE,其中/ADE=90.(1 )如图2 , G , H分别是边AB , BC的中点，连接DG, AH , EH.求证： AGDsMHE；(2)如图3,连接BE,直接写出当BD为何值时，4ABE是等腰三角形;(3)在点D从点B向点C运动过程中，求 4ABE周长的最小值.【答案】(1)证明：如图2,由题意知4ABC和4ADE都是等腰直角三角形,/ B=/DAE=45.H为BC中点,AHXBC./ BAH=45 =/ DAE./ GAD=Z HAE.在等腰直角 BAH和等腰直角4DAE中，X-AH= - AB= 把 AG, AE=- AD.AH JE .AGDAAHE; 当AB=

34、AE时，如图4,此时E与C重合,(2)解：分三种情况： 当B与D重合时，即BD=0,如图3,此时AB=BE;.BD= B BC=2- -;当AB=BE时，如图 5,过E作EH，AB于H,交BC于M,连接 AM,过E作EG,BC于G,连接DH, . AE=BE EHL AB,.AH=BH,.AM=BM , / ABC=45 ；.AM ±BC, ABMH是等腰直角三角形， . AD=DE, /ADE=90,°易得ADM0DEG,.DM=EG, / EMG=Z BMH=45 ； EMG是等腰直角三角形，.ME=/ MG,ME ,- - % 工由（1）得：AHDsAME,且切 ,，

35、/AHD=/ AME=135 ； ME=把 DH,/ BHD=45 ； MG=DH, BDH是等腰直角三角形，.BD=DH=EG=DM=;综上所述，当BD=0或1'2或2*，时，4ABE是等腰三角形;(3)解：当点D与点B重合时，点E的位置记为点 M,连接CM,如图6,N此时，ZABM=ZBAC=90, Z AMB= Z BAM=45 , BM=AB=AC.，四边形ABMC是正方形./ BMC=90 ；/ AMC=Z BMC-/ AMB=45 ； / BAM=Z DAE=45 ；Z BAD=Z MAE,在等腰直角 BAM和等腰直角 DAE中，AM=并 AB, AE=M AD.AM AE

36、M如,.ABDAAME./ AME=Z ABD=45 °.点E在射线MC上，作点B关于直线MC的对称点N,连接AN交MC于点E', BE+AE=NE+AE > AN=NE ' +AE =BE ' +AE ' ABE就是所求周长最小的 ABE.在 RtABN 中，. AB=4, BN=2BM=2AB=8,.an=W炉*城=脑. i ABE周长最小值为 AB+AN= 4+4N ; .【解析】【分析】(1 )由等腰直角三角形的性质可得 / B=Z DAE=Z BAH=45 ,所以AH AB/GAD=/ HAE,计算可得比例式：和，根据有两对边对应相等，

37、且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得 AG3 AHE;(2)根据等腰三角形的定义可知分3种情况讨论：当B与D重合时，即BD=0,此时AB=BE 当AB=AE时，此时E与C重合，用勾股定理可求得 BD的值；当AB=BE时，过 E作EHI± AB于H,交BC于 M,连接 AM,过E作EG, BC于G,连接 DH,由已知条件和(1)的结论可求解；(3)当点D与点B重合时，点E的位置记为点 M,连接CM,作点B关于直线MC的对称 点N,连接AN交MC于点E',由已知条件易证四边形 ABMC是正方形，由已知条件通过计AM Ah算易得比例式：，根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等的

38、两个三角形相似可得ABA4AME,则/AME=/ABD=45 ,于是可得点 E在射线 MC上，根据轴对称的性 质可得 ABE就是所求周长最小的 ABE,在RtAABN中，用勾股定理即可求得 AN的值， 则 ABE周长最小值=AB+AN即可求解。10.如图，在 RtABC中，/C=90°,顶点A、C的坐标分别为(-1,2), ( 3, 2)，点 B在x轴上，点B的坐标为(3, 0),抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两点.J门=将点A (-1,2) , B (3,0),代入可得,'沏，力 0 ,解得 2 ，直线AB为y二设点P (x,/ * 子5),过点 P作PN±

39、x轴，交直线 AB于点 M,则 M (x,(3)J时，如图1,点N在BC的线段上，BN=5 , BM=. MNXAB,/应 ' 掰加 9。： 又. A (-1,2) , B (3,0) , C (3,2), .AC/x 轴,BC/ y 轴,/ ACB=90 ；|/俄I- /蚁；=/，.|/您=,飞也|又 / MBN=Z ACB=90 , BNM-A CAB,BM= / ADN=/ ACB=90 , °Z DAN=/ CAB, .ADN>A ACB, / BDM=Z ACB=90，/ DBM=Z CAB, .BDM-AACB,1 6t - - - -r - Jr 则16解

40、得一彳5 16 r - - 综上，【解析】【分析】(1)将点A (T, 2) , C (3, 2),代入抛物线y=-x2+bx+c中，联立方程组解答即可求出 b和c的值；(2)由A (-1,2) , B (3,0) , C (3,2)可求出直线 AB的解析式和$ 篇，从而求出S a PP设PP (x, -于3 ),过点 P作PN±x工，、一八、一二, *二、 一g- T*乂 受?一麴 一 5,轴，交直线AB于点M,则M (x,1'二)，可得一 代入求出P的横坐标x的值，再代入抛物线的解析式求出点 P的纵坐标；(3)首先要明确 时间t表示点N运动的时间，由点 M, N的速度可求

41、出它们当到达终点时的时间 t,取其 中的较小值为t所能取到的最大值；由点 M只在线段OB上运动，点N在线段BC和线段AC上运动，则要分成两部分进行讨论，当点 N在线段BC上时和当点N在线段AC上时， 并分别求出相应时间 t的取值范围；结合相似三角形的判定和性质得到相应边成比例，列 方程解答即可.11.已知二次函数 y=ax2+bx+3的图象分别与 x轴交于点A (3, 0) , C (-1, 0),与y轴 交于点B .点D为二次函数图象的顶点.(1)如图 所示，求此二次函数的关系式:(2)如图 所示，在x轴上取一动点P (m , 0),且1vmv3,过点P作x轴的垂线分别交二次函数图象、线段

42、AD , AB于点Q、F , E ,求证：EF=EP;(3)在图中，若R为y轴上的一个动点，连接 AR ,则 川BR+AR的最小值(直接写出结果).【答案】(1)解：将 A (3, 0) , C (-1, 0)代入 y=ax2+bx+3,得:J b + 3白，解得： 匕?,此二次函数的关系式为y=-x2+2x+3(2)证明：y=-x2+2x+3=- (x-1) 2+4,.点D的坐标为(1,4).设线段AB所在直线的函数关系式为y=kx+c (kw。，将 A (3, 0) , C (0, 3)代入 y=kx+c,得：3k + c = Gk = - 1-3 ,解得：'-3 ,线段AB所在直

43、线的函数关系式为y=-x+3.同理，可得出：线段 AD所在直线的函数关系式为 y=-2x+6.,一点P的坐标为(m, 0),，点E的坐标为(m, -m+3)，点F的坐标为(m, -2m+6),EP=-m+3, EF=-m+3, .EF=EP(3)【解析】【解答】解(3)如图，连接BC,过点R作RQ± BC,垂足为Q.yjk . OC=1, OB=3, .BC=J.（勾股定理） / CBO=Z CBO, / BOC=Z BQR=90 ； .BQFAAOB,HR 0，即,憎 . RQ=BR, .AR+ BR=AR+RQ亚 当A, R, Q共线且垂直 AB时，即AR+*BR=AQ时，其值最

44、小./ ACQ=Z BCO, / BOC=Z AQC,.CQAACOB,际元故答案为：方.【分析】（1）根据 A, C点的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的关系式；（2）利用待定系数法求出线段 AB, AD所在直线的函数关系式，用 m表示EF, EP的长，可证得 结论；（3）连接BC,过点R作RQ± BC,垂足为 Q,则BQRAOB,利用相似三角形的性质可得出RQ=网BR,结合点到直线之间垂直线段最短可得出当A, R, Q共线且垂直在AB时，即 AR+ 川 BR=AQ时，其值最小，由/ ACQ=/ BCO, / BOC=/ AQC可得出 CQAsCOB,利用相似三角形的性质可求出AQ的值，此题得解.12.已知：如图，在 RtABC 中，/C=90°, AC= 3cm, BC= 4cm,点 P 从点 B 出发 BC向点C匀速运动，速度为lcm/s；同时，点 Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动, 度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ,设运动时间为 t(0vtv2.5),解答下列问题：,沿速(s)(1) BQ =, BP= 设4PBQ的面积为y