中考数学综合题专题复习【旋转】专题解析附答案

1、一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.（操作发现）（1）如图1， ABC为等边三角形，先将三角板中的60。角与NACB重合，再将三角板绕 点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0。且小于30。），旋转后三角板的一直角边与AB交于 点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使N DCE=30。，连接AF, EF.求N EAF的度数：DE与EF相等吗？请说明理由：（类比探究）（2）如图2, ABC为等腰直角三角形，Z ACB=90°,先将三角板的90。角与N ACB重合， 再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0。且小于45。），旋转后三角板的一直 角边与AB

2、交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使 Z DCE=45°,连接AF, EF.请直接写出探究结果：N EAF的度数；线段AE, ED, DB之间的数量关系.【答案】(1) 120°DE=EF： (2)90°AE?+DB2=DE2【解析】试题分析：(1)由等边三角形的性质得出AC=8C, Z BAC=A B=60°,求出Z ACF=A BCD,证明47e ABC。，得出N CAF=N 8=60°,求出N8AC+N G4F=120°：证出N DCE=Z FCE,由SAS证明 DCE竺 FCE,得出DE=

3、EF即可：(2)由等腰直角三角形的性质得出4C=8C, Z BAC=A 6=45°,证出N4CFN8CD,由 SAS 证明 ACF BCD,得出N CAF=A 8=45°, AF=DB,求出N EAF=A BAC+4 CAF=90°； 证出NDCE=NFCE,由SAS证明 DCEW FCE,得出。E=EF；在RSAEF中，由勾股定 理得出入户+八产;上产，即可得出结论.试题解析：解：(1).A8C是等边三角形，Z BAC=N 8=60°. ,/ Z DCF=60。, /. Z ACF=Z BCD.在4 4%和4 BCD 中，AC=BC, Z ACF=Z

4、BCD, CF=CD, ：. ACF BCD (SAS),/. Z CAF=Z 8=60°,. Z EAF=N BAC+Z CAF=120°；DE=EF.理由如下： Z DCF=60°, Z OCE=30°,Z FCE=60° - 30°=30°, Z DCE=N FCE.在 DCE 用必 FCE中,： CD=CF, N DCE=N FCE, CE=CE, ：. DCEW 口 FCE (SAS),二 DE=EF；(2), & A8c是等腰直角三角形,AACB=90 ：,AC=BC,Z BAC=A B=45°

5、. / Z DCF=90%，ACF=N BCD.在4CF 和 ABC。中，AC=BC.Z ACF=A BCD, CF=CD, ：. & ACF BCD (SAS) , Z CAF=N 8=45°, AF=DB,：.Z EAF=4 BAC+N CAF=90Q：(2)AE2WB2=DE2.理由如下：: Z DCF=90°, Z DCE=45°, ：. Z FC£=90° - 45°二45°, /. Z DCE=N FCE.在 DCE FCE 中,/ CD=CF, Z DCE=4 FCE, CE=CE, ：. DCE拶 F

6、CE (SAS) , DE=EF.在 RtA AEF 中，AEAEF2.又.,AF=08, AE2WB2=DE2.2 .在RS ABC中，AB=BC=5, Z B=90%将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的 中点。处，将三角板绕点o旋转，三角板的两直角边分别交AB, BC或其延长线于E, F两 点，如图与是旋转三角板所得图形的两种情况.（1）三角板绕点0旋转，OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即 给出OFC是等腰直角三角形时BF的长）：若不能，请说明理由：（2）三角板绕点0旋转，线段0E和OF之间有什么数量关系？用图或加以证明：（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点

7、P处（如图），当AP:AC=1:4时，PE和PF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论.【解析】【小题1】由题意可知，当F为BC的中点时，由AB=BC=5,可以推出CF和OF的长 度，即可推出BF的长度，当B与F重合时，根据直角三角形的相关性质，即可推出OF 的长度，即可推出BF的长度；【小题2】连接0B,由已知条件推出 OEBW a o条,即可推出OE=OF：【小题3过点P做PM±AB, PN_LBC,结合图形推出 PNF PME, APM- & PNC, 继而推出PM： PN=PE： PF, PM： PN=AP： PC,根据已知条件即可推出PA： AC=PE： PF=1：

8、4.3 .如图,在等腰 ABC 和 ADE 中,AB=AC, AD=AE,且N BAC=N DAE=120°.（1）求证： ABD合 & ACE：（2）把 ADE绕点A逆时针方向旋转到图的位置，连接CD,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM,判断 PMN的形状，并说明理由；（3）在（2）中，把 ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4, AB=6,请分别求出 PMN周长的最小值与最大值.图图【答案】（1）证明见解析；（2） PMN是等边三角形.理由见解析；（3）PMN周长 的最小值为3最大值为15.【解析】分析：（1）由N BAC=N DAE=120

9、°,可得N BAD=N CAE,再由 AB二AC, AD二AE,利用 SAS 即 可判定 ABD2 ADE； （2） PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得PM=-CE, PM II CE, PN=-BD. PN II BD,同（1）的方法可得 BD=CE,即可得 PM 二 PN,所22以 PMN是等腰三角形；再由PMHCE, PNII BD,根据平行线的性质可得N DPM=N DCE, N PNC二N DBC,因为N DPN=N DCB+N PNC=N DCB+N DBC, 所以Z MPN=Z DPM+Z DPN=Z DCE+Z DCB+Z DBC=Z BCE+Z DBC=

10、Z ACB+Z ACE+Z DBC=Z ACB+Z ABD+Z DBC=Z ACB+Z ABC,再由N BAC=120 可得N ACB+Z ABC=60 即可得Z MPN=60%所以 PMN是等边三角形；（3）由（2）知， PMN是等边三角形，PM=PN=-BDt所以当PM最大时，ZkPMN周长最大，当点D在AB上时，BD最小，PM2最小，求得此时BD的长，即可得PMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最 大，PM的值最大，此时求得 PMN周长的最大值即可.详解：（1）因为N BAC=Z DAE=120所以N BAD=N CAE,又 AB=AC, AD=AE,所以 ABD合&

11、ADE：（2） PMN是等边三角形.理由：.点P，M分别是CD, DE的中点，1.PM=-CE, PM II CE,2.点N, M分别是BC, DE的中点，1/. PN- BD, PNII BD,2同（1）的方法可得BD=CE,/. PM=PN, PMN是等腰三角形，PM II CE, Z DPM=Z DCE,PNII BD, /. Z PNC=Z DBC,Z DPN=Z DCB+Z PNC=Z DCB+Z DBC, Z MPN=Z DPM+Z DPN=Z DCE+Z DCB+Z DBC=Z BCE+z DBC=Z ACB+Z ACE+Z DBC=Z ACB+Z ABD+Z DBC=Z ACB

12、+Z ABC,Z BAC=120°, J. Z ACB+Z ABC=60°,Z MPN=60°,/. PMN是等边三角形.（3）由（2）知，PMN是等边三角形，PM=PN=LbD,2二.PM最大时，2XPMN周长最大，.点D在AB上时，BD最小，PM最小，/. BD=AB-AD=2. PMN周长的最小值为3：点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，/. BD=AB+AD=10, PMN周长的最大值为15故答案为 PMN周长的最小值为3,最大值为15点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判 定，解决第（3）问，要明确点D在AB

13、上时，BD最小，PM最小， PMN周长的最小； 点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大， PMN周长的最大值为15.4.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上（如图1）,现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程 中，AB边交DF于点M, BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积：（2）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2）,求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3,设AMBN的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请 证明你的结论.n【答案】（1）2 （2） 225。； （3）不

14、变化，证明见解析.【解析】试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋 转，旋转过程中，DA旋转了45°,从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的 而积.（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求 正方形ABCD旋转的度数为225°.延长BA交DE轴于H点，通过证明104三"DCN和/DM"三4DM/V可得结论（1）;A点第一次落在DF上时停止旋转，.DA旋转了 45°.457r x 22 n：.DA在旋转过程中所扫过的面积为360 2（2）, mN II AC,

15、乙BMN = ABAC = 45° 乙BNM = BCA = 45°.乙BMN =乙BNM . BM = BN T7.BA = BC . AM = CN , q.DA = DCDAM =乙DCN . ADAMADCN1匕'DM = k（90° - 45。）= 22.5°.LADM = LCDN .2、' 旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为45°-22.5。= 22.5。不变化，证明如下：如图，延长BA交DE轴于H点，则LADE = 450 - LADM lCDN = 90° - 45°

16、 - lADM = 45° - lADM ， ，.LADE = LCDN T7.DA = DC/DAH = 1800-90° = 90° = ADCN . ADAH=ADCN .DH = DNfAH = CN V-.乙MDE =乙MDN = 45°M = DM . ADMH=ADMN.MN = MH = AM + AH . MN = AM + CN . p = MN + BN + BM = AM + CN + BN + BM = AB+ BC = 4 在旋转正方形ABCD的过程中，P值无变化.考点：1 ,而动旋转问题：2.正方形的性质：3,扇形而积的计算

17、：4.全等三角形的判定和性 质.5.己知 ABC是等腰三角形，AB=AC.（1）特殊情形：如图1,当DEIIBC时，有DB_EC.（填”>，"<”或="）（2）发现探究：若将图1中的 ADE绕点A顺时针旋转a （0°<a<180o）到图2位置， 则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由.（3）拓展运用：如图3, P是等腰直角三角形ABC内一点，Z ACB=90°,且PB=1, PC=2, PA=3,求NBPC的度数.【分析】试题（1）由DEII BC,得到丝=生，结合AB=AC,得到DB二EC；AB AC

18、（2）由旋转得到的结论判断出 DAB空a EAC,得到DB=CE：（3）由旋转构造出 CPB合 CEA,再用勾股定理计算出PE,然后用勾股定理逆定理判断出 PEA是直角三角形，在简单计算即可.【详解】（1） / DEII BC,DB _ ECAB - AC ' / AB=AC,/. DB=EC,故答案为=,（2）成立.证明：由易知AD=AE, 由旋转性质可知N DAB=Z EAC,又AD=AE, AB=AC: & DAB合 4 EAC,J DB二CE,（3）如图，将 CPB绕点C旋转90。得 CEA,连接PE,: & CPB合 口 CEA,CE=CP=2t AE=BP=

19、1, Z PCE=90°,/. Z CEP=Z CPE=45°,在RSPCE中，由勾股定理可得，PE=2jI，在 PEA 中，PE2=（2夜）为8, AE2=12=1, PA2=32=9,PE2+AE2=AP . PEA是直角三角形Z PEA=90°, Z CEA=135°,又 CPB合 CEA . Z BPC=Z CEA=135°.【点睛】考点：几何变换综合题：平行线平行线分线段成比例.6小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图 ABC, DEF均为等腰直角三角形， 各顶点坐标分别为 A （1. 1） , B （2, 2） , C （2,

20、1） , D （5/2 , 0） , E （ 2点，0）,F （逑一吏）. 22（1）他们将 ABC绕C点按顺时针方向旋转45。得到 AiBiC.请你写出点A，B】的坐 标，并判断A】C和DF的位置关系；（2）他们将 ABC绕原点按顺时针方向旋转45。，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落 在抛物线y = 20X? + bx +c上.请你求出符合条件的抛物线解析式；（3）他们继续探究，发现将 ABC绕某个点旋转45,若旋转后的三角形恰好有两个顶点 落在抛物线y = x?上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标.请你直接写出点P的 所有坐标.AxC和DF的位置关系是平行.（2） V- ABC绕原

21、点按顺时针方向旋转45。后的三角形即为 DEF,2&（何 + 伍+ c = 0二.当抛物线经过点D、E时，根据题意可得：,，解得2夜 x（2 码一 + 2瓜+ c = 0b = -12< =8万y = 2V2x2-12x+8x/2 .2>/2x（V2）2+>/2b + c = 0当抛物线经过点D、F时，根据题意可得：（q,丫近 正，解得2J+ b + c = -b = -ll'c = 7&，y = 2V2x2-llx+7V2.2丘（2 q+2 4b + c = O当抛物线经过点E、F时，根据题意可得：（3应丫 3>/2解得2V2xJ+ b + c

22、 = Tb = -13（=10万y = 2x2-13x + 10x/2 .（3）在旋转过程中，可能有以下情形：顺时针旋转45。，点A、B落在抛物线上，如答图1所示，易求得点P坐标为（0,上至）.2顺时针旋转45。，点B、C落在抛物线上，如答图2所示，设点夕，。的横坐标分别为右，X2，易知此时WC与一、三象限角平分线平行，.设直线BC的解析式为y=x+b.联立 丫=乂2与 y=x+b 得：x2=x+b,即 x?x b = 0，X)+x2 = 1» XjX2 = -b .,.BC=1, .根据题意易得：|x,-x2| = » A (x,-x2)2=p 即(Xi+x2)2-4x1

23、X2 =l + 4b = l,解得b = - l. 28) 1c2 + J?八2 ，x'-x + - = ot 解得X =乂或乂 =-844,点C的横坐标较小，. X =三二走.4时，y = x2=X-8小(/*), 48顺时针旋转45。，点C、A落在抛物线上，如答图3所示, 设点U, A的横坐标分别为XI, X2.易知此时C7V与二、四象限角平分线平行，,设直线C7V的解析式为y = -x + b. 联立 y=x?与 y = -x + b 得：x2=-x + b，RP x2 + x-b = 0 >/. x. +x, =1, x,x? ="b . J/1 XCW=1,

24、.根据题意易得：|X1-x2| = .(x,-x2)2=i,即22(x1+x2)2-4xlX2=i.A l + 4b = l,解得b = l. 28、 1c /ui-2 + i-2 X- +X + - = () t 解得 X =X 或 X =-844.点c的横坐标较大，. X =二壬2 .4w2 + >/?什2 3 ix =时,y = x- =-.48.p / -2 + >/23-2/248逆时针旋转45。，点A、B落在抛物线上.因为逆时针旋转45。后，直线AB与y轴平行，因为与抛物线最多只能有一个交点，故此种 情形不存在.逆时针旋转45。，点B、C落在抛物线上，如答图4所示，与同

25、理，可求得：P (二2一正,3二2篇).48逆时针旋转45。，点C、A落在抛物线上，如答图5所示，与同理，可求得：p( w，土芋).综上所述，点P的坐标为一。，?），（三（三z【解析】（1）由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解.（2）首先明确 ABC绕原点按顺时针方向旋转45。后的三角形即为ADEF,然后分三种情 况进行讨论，分别计算求解.（3）旋转方向有顺时针、逆时针两种可能，落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点 C、点C和点D三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论，避免漏解.考点：旋转变换的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线的性质，等腰直角三角形 的性质，分类思想的应用.

26、7.如图，在边长为1的正方形网格中，4 （1, 7）、8 （5, 5）、C （7, 5）、D （5,1）.（1）将线段八8绕点8逆时针旋转，得到对应线段8£.当8E与CD第一次平行时，画出 点八运动的路径，并直接写出点A运动的路径长：（2）线段48与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以 得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标.【答案】（1）见解析：/n： （2）旋转中心P的坐标为（3, 3）或（6, 6）.【解析】【分析】（1）依据旋转的方向、旋转角和旋转中心即可得到点A运动的路径为弧线，再运用弧长 计算公式即可解答：（2）连接两对对应点，分别作出它们连线的垂直平分线，其交点即为所求.【详解】 解：（1）点A运动的路径如图所示，出点A运动的路径长为9（“乃2一+4- =舟；180AC本题主要考查了利用旋转变换及其作图，掌握旋转的性质、旋转角以及确定旋转中心的方 法是解答本题的关键.8.在正方