高考数学数形结合思想论文

1、数形结合思想论文（11篇）目录、新课程高一数学教学中的“数”与“形”、运用数形结合思想处理一类对称问题、联想为媒- 催化数形之结合、数形结合的思想方法的解题应用技巧、中学数学教学中“数形结合”思想的运用及实施、浅谈数学教学中的数形结合思想、浅谈数形结合思想在数学解题中的几点应用、数形结合在不等式中的应用、数形结合的思想方法-应用篇、数形结合的思想方法-高考题选讲、2010届新课标数学考点预测：数形结合的思想方法、新课程高一数学教学中的“数”与“形”潘晔晨 嘉兴市第三中学摘要： 以往的“数形结合”大多出现在教师的习题课中，以灌输为主，这并不完全符合新课程理念。应寻找一种办法，能使学生在上“数形结

2、合”的习题课之前就自主地发现数形结合的存在，并自然地使用数形结合的方法解题。关键词： 新课程 高一 数形结合一、“数形结合”的重要性“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致。“数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位。关于这一点，查查近年高考试卷，就可见一斑。在多年来的高考题中，数

3、形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍。二、新课程背景下的“数形结合”如此重要的数学思想自然一直被作为重点贯穿于每位数学教师的教学中，笔者发现近年来关于“数形结合”的论文也是数不胜数，但其内容大多是一些可以用数形结合巧解的例题。笔者认为在讲解练习时强化“数形结合”固然是一种常用的有效的方法，但是也有缺点，就是学生是否能在老师提示之前自己想到“数形结合”的解法，如果不能，需要靠老师的提示完成，那么下次学生在碰到可以用“数形结合”巧解的题目时，是否还能想到要用“数形结

4、合”来解。如果说需要强化多次才能使学生掌握这种方法的话，那么需要强化几次强化多久才算够？在课时安排非常紧张的高一阶段能否抽出大量时间去单独讲“数形结合”？如果学生在大量基础内容集中的高一阶段没有掌握好“数形结合”的话，是否会影响到后面的数学学习甚至高考？种种时间上的限制和教学策略上的缺憾使得“数形结合”这一重要数学思想即使只被当作一种解题方法都不容易实现，更别说把它提升到一定的理论高度去指导学生理解数学的结构。“为了每一位学生的发展”是新课改的核心理念，作为一个高中数学教师，笔者对此的理解是：以学生为本，以学生为主体，让学生自主获得更多的知识和能力。所以，对于上面提到的问题，笔者认为：1、数形

5、结合必须要讲，高一开始就要讲。2、应对以前的灌输式教学作一些调整，具体策略是在平时上新课时就有目的地铺设一些细节使学生深入了解“数形结合”。这样做的目的就是让学生在老师提示用“数形结合”的解法前就自己想到用“数形结合”解题。三、 关注细节，让学生主动“数形结合”笔者在去年所教的2008届毕业班学生中，发现一个普遍的问题：一些能用“数形结合”巧解的题目，在自己做题时却想不到用“数形结合”，等老师提示后才恍然大悟，但下次再碰到却还是想不到要用“数形结合”。笔者认为，学生出现这样的问题，老师肯定是有责任的。问题应该是出在前面两年打基础的时候。所以这次教新高一时，在平时上课中（包括新课和习题课），有目

6、的地强化了一些细节，具体做法如下：第一步，在新课中“数”、“形”并进，让学生见“数”想到“形”，见“形”不忘“数”。例如：在必修1第一章“集合”内容中，除了在数集运算中借助于画数轴解决外，还要重视韦恩图的运用。韦恩图作为集合的第三种表示方法，往往容易被学生忽略，如果老师上课时多用用韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，学生就会感受到问题一旦形象化了，运算会很方便。在必修1第二章“函数”内容中，在解释指数函数和对数函数这对反函数时，除了像书本上那样讲之外，再增加一种“形”上的解释。即把一张画了指数函数图像的薄纸翻转过来从反面去观察，从而发现对数函数。在这一过程中（如图1所示），学生感受到了轴和轴的

7、对调，以及互为反函数的两函数图像关于直线对称的性质，更好地理解了反函数的形成。 正面 翻转 背面 （图1） 在必修4第一章“三角函数”内容中，多多强调函数图像的作用，例如在三角函数值比较大小、求三角函数最值等题目中，尽量多用画图的方法解决。在必修4第二章“平面向量”内容中，由于向量同时具有“形”和“数”两个特点，是数形结合的桥梁，所以向量的题目往往有“数”和“形”两种解法。讲解例题时尽量讲两种解法，让学生理解：1、向量的有向线段表示法（即作图法）就是用平面几何知识解决向量问题，2、向量的坐标表示（即线性运算和数量积）可以把几何问题算出来。在必修5第二章“数列”内容中，用函数图像表示出等差等比数

8、列的通项公式，这样学生就能很容易地分辨出等差数列和等比数列的通项公式。把等差数列的前项和公式画成函数图像，就能帮助学生理解等差数列的的最值问题。在必修5第三章“不等式”内容中，在解一元二次不等式时，结合二次函数图像，着重分析其几何意义，从图象上找出题目的答案。在必修2第二章“立体几何”内容中，在时间允许且学生学有余力的情况下，适当介绍建立空间直角坐标系后用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行运算的方法，让学生体会到将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算的妙处。一句话总结，就是在学习偏“数”的内容时别让学生忘记“形”，在学习偏“形”的内容时别让学生忘记“数”。为以后做题时学生的主动“

9、数形结合”打好基础。第二步，习题课中让“数”“形”之妙体现出来。在讲解有关可以用数形结合解题的题目时，调动学生的积极性，运用分组讨论等形式让学生感受到数形结合的便捷和乐趣。还有一类题目也许不能称之为严格意义上的“数形结合”，例如在一些求直线或圆方程的题目中，可以根据画图得出答案，也可以通过计算得到答案。对于这类题目，笔者认为在习题课上应该两种方法都要顾及，然后让学生自己感受两种方法的各自的优点和缺陷，以及如何选择哪种做法、怎样弥补自己解法中的缺陷和错误等等。（板书结构如图2所示）这些做法目的很明确，就是要培养学生的“主动数形结合”能力。经过一年时间的培养，笔者找出去年教高三时保留的几份试卷中的

10、5道可用数形结合解的题目，对今年所教班级的学生进行测试分析，得到对比数据如下： 题号12345去年学生人数112112112112112用到“数形结合”人数6732851154比例（去年）59.8%28.5%75.8%9.8%48.2%今年学生人数157157157157157用到“数形结合”人数125601322985比例（今年）79.6%38.2%84%18.4%54.1%这次的尝试对于提高学生的解题能力是有明显效果的，但笔者认为这样做的好处更多的是把“数形结合”作为一种数学思想，去培养学生的数学分析能力，而不只是一种解题方法。参考文献：1 王君芬. 例谈数学教学中的数形结合J. 黑龙江科

11、技信息, 2009, (14) 2 蔡东兴. 数形结合思想方法的应用J. 高中数学教与学, 2009, (02)3 贾宏伟. 新课标下高中数学学习的几种思想方法J. 新西部, 2008, (11)4 刘军刚. 新数形结合的应用浅析J. 新课程研究(基础教育), 2008, (04)、运用数形结合思想处理一类对称问题牡丹江市第一高级中学 梁玉俊 圆锥曲线上存在两点关于某直线对称求某参数范围问题，已经有许多文章进行了论述。通常都是用函数思想、不等式的思想解决的。即引进新参量，建立函数关系式，转化为函数值域或构造关于参量的不等式，寻求参量的范围。通过教学实践，笔者发现这类问题不仅可以用上述两种思想解

12、决，也可以用数形结合思想解决。设想寻求有关弦中点轨迹，通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系，利用数形结合寻求参量范围，下面举几例加以说明。例1：已知椭圆C：，确定m的取值范围，使C上有不同的两点A、B关于直线L：y=4x+m对称。解：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0) 则有 (1) (2)(1)-(2)得 A、B关于L对称 KAB = y0 = 6x0于是以为斜率的平行弦中点轨迹是直线y=6x在椭圆内部的一段，不包括端点。与联立得两交点A1(),B1()，问题转化为L与线段有交点问题。由图形知，当L过A1点时，m最大值为 ，当L过B1点时，m最小值为 -，例1的解法提供

13、了一种解决此类问题的新思路，而且运算过程简单，从图形上可以直观地看出结果，真正体现了数形结合思想的作用。那么此种想法是否适合其它曲线呢？回答是肯定的。例2：曲线C：x-y2-2y=0上存在关于直线L:y=x+m对称两点A、B，求m的取值范围。解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB中点M(x0,y0)，则有-2=0 -2=0 -得 (x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)-2(y1-y2)=0 由题意知 x1-x2¹0，上式两端同除x1-x2，得A，B关于L对称KAB = ，y0 = ,x0 = - m于是以-1为斜率的平行弦中点轨迹为直线y =在抛物线内部的一条射线，不包

14、括端点。将y =代入抛物线方程得交点P(,)，问题转化为L与射线y =(x>)有交点。 将P点坐标代入L方程得m =，由图形知，m取值范围为由例1、例2可以看出，若直线L斜率已知，则可以转化为L与平行弦中点轨迹相交问题处理，关键是寻求与已知直线垂直的平行弦中点轨迹，然后再利用数形结合求参量范围。那么，这种解法可信度如何呢？我们看看上两例，例1中当L与A1B1有交点时，此交点恰是与L垂直的弦中点，就保证了该弦两端点关于L对称。所以只要L与平行弦中点轨迹有交点时，就能保证曲线上存在两点关于L对称。例3、已知椭圆C：，确定k的范围，使C上存在不同的两点A、B关于直线L：对称。解：设，当k=0时

15、，不符题意，所以，将A、B坐标代入椭圆方程得(1) (2)(1)-(2)得 即，有，又M在L上，于是以为斜率的弦中点轨迹为在椭圆内部的一段A1B1，如图，将代入椭圆方程得，问题转化为L与线段A1B1有交点，由图形知例4、已知L：能垂直平分曲线C：某一弦AB，求k范围。解：由抛物线对称性，当k=0时，C上不存在A、B关于L对称，所以，设，将A、B坐标代入抛物线方程得 (1) (2) (1)-(2)得 ，又在L上，于是，消k得斜率为的弦中点轨迹为在抛物线内部一段且过(1,1)点，如图，而L过定点(1,1)。当L与相切时得k=-2，由图形知例5、曲线C：上存在关于L：对称的两点A、B，求k的范围。解

16、：当k=0时，L为x轴，由双曲线对称性知 k=0不符合题意，当时，设，将A、B坐标代入双曲线方程得(1) (2)(1)-(2)得，又，以为斜率的弦中点轨迹方程为x=-2，直线x=-2与双曲线、渐近线交于点A1，B1，C1，D1，由双曲线对称性可以看出，以为斜率的弦中点轨迹应是线段B1C1和以A1，D1为端点的两条射线（在x=-2上），L过定点C(-4 ，0)由图形知，时，L与弦中点轨迹有交点，即C上存在两点A、B关于L对称。所以通过以上几例可以看出，运用数形结合思想解决这类问题，可以使运算过程简化，并具有很强的直观性，处理此类问题思路简单。最后笔者想说的是，数学思想无处不在，只要我们注重挖掘，

17、并能将其运用于解题实践，这样将会给我们带来无穷的乐趣。、联想为媒- 催化数形之结合 浙江省上虞市春晖中学 王启东 数形结合思想是数学中的一种非常重要的数学思想，在解题中运用数形结合，常常可以优化解题思路，简化解题过程。但问题在解题过程中如何进行数形结合呢？即怎样催化数与形的结合呢？最好的方法就是运用数形结合的催化剂联想，运用联想不但可以催化数与形的结合，而且可以培养我们的创新思维和创新能力。本文就如何以联想为媒，介绍一些常用的联想策略。一、联想图形的交点例1、（04湖南高考）设函数，若则关于的方程的解的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4分析：判定方程有几个实根，直接求解难且繁！

18、如能联想图形的交点进行数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。的对称轴为即 又从而作出的图象，可知方程有3个解。例2、（05上海高考题）设定义域为函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ ）分析：同上题方法，联想图象的交点，由的图象可知要使方程有7个解，应有有3个解，有4个解。 故选（C）二、联想绝对值的几何意义例3、（03高考）已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为，如果与有且仅有一个正确，试求的范围。分析：由的结构，联想绝对值的几何意义，进行数形结合，以数助形可巧妙地确定的范围。避免繁琐的运算。：不等式的几何意义为：在数轴上求一点，使到的距离之和的最小值大于1，而到二点的最短距

19、离为，即而：函数在上单调递减，即由题意可得：三、联想一次函数例4、已知，求证：分析：本题如直接证明较难，联想一次函数进行数形结合，以数助形。把看成变元，看成常数，构造一次函数而又又（2）令 同理可得从而即四、联想二次函数例5、已知关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围为分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。设。又为偶函数，由图可知五、联想反函数的性质例6、方程的实根分别为，则=分析：本题不好求解，联想原函数与反函数的图象性质进行数形结合，以数助形可巧妙求解令互为反函数，其图象关于对称，设 即六、联想函数的单调性例7、已知实数（为自然对数的底），证

20、明：分析：本题直接证较难，利用函数单调性，进行数形结合转化为函数问题，以数助形可轻松获证考虑函数在上的单调性即在上单调递减，七、联想函数奇偶性例8、（05天津高考）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则分析：本题由于不明确，故的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知，又且的图象关于直线对称，则奇函数可得：，则又由对称性知：同理：0八、联想斜率公式例9、实系数方程的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。分析：这个问题表面上看是方程、不等式问题，但直接求解麻烦！数形结合由的结构特征，联想二次函数性质及的几何意义来求解，以形助数

21、，则简洁明了。令，则由已知有得到这个二元一次不等式组的解为内的点的集合由的几何意义为过点和点的直线的斜率由此可以看出：即的取值范围是。例10、计算：分析：本题直接用三角公式计算较繁！如能由的结构形式联想斜率公式，数形结合，以形助数，即可巧妙探求。本式可以看成二点连线的斜率，如图，借助单位圆，则，设倾斜角为则九、联想两点间的距离公式例11、设，求证：分析：本题直接证明较繁！如能由的结构形式，联想到两点间的距离公式，数形结合，以形助数，则抓住了知识间的内在联系，解法新颖，巧妙简洁。不妨设，构造如图的，其中则在中，有十、联想点到直线的距离公式例12、（02北京高考）已知是直线上的动点，是的两条切线，

22、是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。分析：直接求解较难，如能联想点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则更简洁。要使面积最小，只需最小，即定点到定直线上动点距离最小即可即点到直线的距离，而例13、方程表示的曲线是分析：直接化简较繁！如能联想到点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则简洁明了。原方程可化为：即动点到定点的距离与到定直线的距离相等方程表示的曲线是抛物线十一、联想直线的截距例14、已知，求的取值范围。分析：此题直接求解较难，数形结合联想直线的截距。结合直线与圆的位置关系即可求。可看作斜率为-2，过半圆上点的直线在轴上的截距，由图可知：即注：本题也可用三角换元。例15、求函数的最

23、值。分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。令，则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又十二、联想定比分点坐标公式例16、已知是定义在上的单调函数，实数，若，则（ ）（05年辽宁高考）A. B. C. D. 分析：本题如何探求，不知道，直接求解困难。若能联想到定比分点坐标公式，数形结合，以形助数，则很易求。不妨设，易知为有向线段的分点，又是定义在上的单调函数及可知为有向线段的外分点，。故选（A）、数形结合的思想方法的解题应用技巧修水一中 徐永忠数形结合就是把

24、抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。数形结合是中学数学中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考题采用此法解决，可起到事半功倍的效果。在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含

25、的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。其基本模型有：1、 距离函数2、 斜率函数3、AxBy 截距函数4、5、6、 双曲线例题分析例1 函数yxcosx的部分图像是（ ）分析：这是一道以数解形的题，显然y=xcosx为奇函数，可排除A、C，取x0.1，y0.1cos0.1<0，图象在x轴下方，排除B. 故选D.xyo91例2已知数列满足最大时，n。分析 考虑函数：的图像，注意到有n9时，最大。例3已知满足不等式;试求f（2）的取值范围。错解：由得：; +得： ；（1）×+得：由、得：错因：等号成立的条件

26、不同，不等式变换是不等价变换，实质上扩大了解的范围。下面用线性规划思想解决此题：错解：约束条件： 目标函数： z4a2b正解：约束条件： 目标函数： z4a2b，即1.530X4a2b04a2b34a2b12Y1.5错解4a2b100Y1.51.53X4a2b04a2b5正解从上面二图可以看出：错解扩大了可行域，导致解的范围扩大。yx0C DAB 例4已知那么下列命题正确的是（ ）A、若、是第一象限角，则B、若、是第二象限角，则C、若、是第三象限角，则D、若、是第四象限角，则分析 考察选项A，作单位圆，如图，OA、OB分别为角、的终边，OC为的余弦线，OD为的余弦线，则有知A错，依11A C

27、B0yx次判断知选D。例5设、分别是方程的根，则。分析 依题意，分别作出函数yx4 及的图像，如图，曲线与、与的交点B、A的横坐标即为、 ，可知B、A关于直线yx对称，由方程组得点C的坐标为（2,2），4P0yXC例6如果实数x、y满足等式，那么的最大值为（ ）A、 B、 C、 D、分析 初看此题，形式上是一道代数题，站在代数的角度看，令人茫然无措，对关系式化为，很自然地与圆的方程联系起来，而恰为点（x，y）与原点连线的斜率，这便把问题与“形”结合起来。问题相当于如下的几何问题：动点P（x，y）在圆C上运动，求直线OP的斜率的最大值。观察图形易得：当P在第一象限，并且OP与圆C相切时，OP的斜

28、率最大，这时，XA0yXA-5即OP的斜率的最大值为。例7不等式解集为。分析 若把不等式转化为不等式组：分别解这两个不等式组，这运算量较大，且费时，但是运用数形结合法，问题较易解决，分别作出:y=x与y得图像。y204x 结合图形易见：当时，因此只需求出方程的根即可，解方程得，故原不等式的解集为。例8函数的值域是。分析 此题用一般得方法很难求出u的范围。由于右端根号内同为一次函数，故可令消去t得：所给函数化为含参数u的直线系yxu，它与椭圆（在第一象限的部分，包括端点）右公共点。如图知，当直线与椭圆相切于第一象限时u取最大值，此时由方程组，由因直线过第一象限，故所求函数的值域为。例9关于x的方

29、程在（1,1）内恰有一个实根，则k的范围是。分析 该问题直接用二次函数的根的分布相关知识解题，学生不易把握其等价的充要条件且运算量偏大；若采用数形结合法，则问题可转化为抛物线与直线yk的交点个数问题，作出这两个函数的图像，则可得y5/209/16-1-1/2x1例10解方程例11过抛物线y2=2px的焦点F作两条互相垂直的直线，分别交抛物线的准线于C、D两点，又过C、D分别作抛物线轴的平行线，分别交抛物线于A、B求证：A、F、B共线分析 本题若用解析法，须求出A、B的坐标，再证kFA=kFB，这会引起复杂的计算现用几何法证明：设角度如图1316所示由抛物线定义有：AF=AC，BF=BD坝1=3

30、，2=4又ACOF，BDOF，则3=5，4=6由此得1=5，2=6又因为CF证得A、F、B三点共线例12若a10求证：分析 由不等式左边联想到两点间距离的平方建立平面直角坐标系如图所示构造直线l：x+y+1=0，则A(a2，b2+1)、由于ABd(d为点A到直线l的距离)，例13 在ABC中，巳知ABAC，AD是中线，AE是角A的平分线，求证：分析 此题用三角法证明较难寻找解题途径，用解析法则非常巧妙如图所示，建立直角坐标系，以A为原点，角平分线AE例14 已知实数x、y满足不等式组思路分析 由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x2y2=4的右半圆（含边界），可改写为y3=z（x1），把z

31、看作参数，则此方程表示过定点P(-1，-3)，斜率为z的直线族则所求问题的几何意义是：求过半圆域x2y24(x0)内或边界上任一点与点P(-1，-3)的直线斜率的最大、最小值由图显见，过点P和点A（0,2）的直线斜率最大，过点P向半圆作切线，切线的斜率最小设切点为B(a，b)，则过B点的切线方程为axby=4又B在半圆周上，P在切线上，则有解得因此。综上可知函数的值域为。例15 设f(x)是定义在R上的周期为2的周期偶函数，已知当x2，3时，f(x)=x求x-2，0时f(x)的解析式分析 先画出x2，3时f(x)的图象；再由周期性可画出f(x)在0，1和-2，-1上的图象，再由偶函数图象关于y

32、轴对称的性质，可画出x-3，-2和x-1，0的图象由图象不难求出因此当x2，0时，f(x)=3-x1例16 已知n为自然数，实数a1解关于x的不等式logax-4loga2x12loga3xn(-2)n-1loganx分析 此题直接求解非常困难，可创设函数，再利用函数的图象求解不等式由数列求和公式可知，原不等式可变形为当n为奇数时，不等式等价于logaxloga(x2-a)；当n为偶数y2=loga(x2-a)，并作出它们的示意图(图1326)由x2-a=x，解形数结合是研究数学问题并实现问题的模型转换的一种基本思想和基本方法，它能沟通数与形的内在联系在解题中学会以形论数、借数解形、数形结合，

33、直观又入微，提高形数联想的灵活性，有助于思维素质的发展，有利于提高解题能力、中学数学教学中“数形结合”思想的运用及实施数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学（恩格斯语）。数学中两大研究对象“数”与 “形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问

34、题开辟了一条重要的途径。因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。而课堂中多媒体的应用更有利于体现数形结合的数学思想方法，有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，为学生创设愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学。1“数”“形”结合是推动数学发展的动力 （1）“数”产生于各种“形”的计算, “数”又借助于“形”得以记录、使用、计算。解决“形”的问题可使用“数”作为工具，而“数”的关系可以用“形”来证明。例如解析几何中几何问题的代数化，就是用代数方法解决几何问题，如关于直线斜率、关于距离、关于线段定比分点

35、等等。“解析几何”这个名词本身就意味着“解析方法”与“几何方法”的结合，而正是这种结合开创了数学的新局面。(2)对“形”的相互关系的比较、度量，促进了“数”的概念的发展，丰富了计算方法。典型例子是无理数的发现：正方形的边长与其对角线的长度之间不存在公度线段，即不存在一条线段,用它去量一个正方形的边长及其对角线的长都正好得到整数倍，由此导致无理数的发现。一些代数恒等式也可由几何方法给出证明，例如，利用下图，可以导出代数恒等式 2数形结合在教学中的运用“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教

36、学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。数形结合渗透在中学数学的每个部分，根据数形结合的观点，可以通过对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可利用图形的性质来反映变量之间的相互关系，因此数形结合可以使数和形相互启发、相互补充、相互印证。为了培养学生形成数形结合的思维习惯，在初一代数教学中就要有意识地渗透数形结合的思想和方法。在有理数一章中，数轴就是把数和形结合在一起的内容。这样，在讨论相反数、绝对值、倒数的几何意义时,形象易记。下面具体分析一下。（1）利用图象，创造学习负数情境。初一学生通过温度计引出数轴概念，能够具体、直观地掌握负数的意义。利用数轴把点与数的对应

37、关系揭示出来，这样数量关系常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。（2）相反数 在数轴上,相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数。零的相反数是它本身即原点。如图： （3） 绝对值 在数轴上,一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。在下图中，A点到原点的距离比B点到原点的距离大。（4） 倒数在数轴上表示a与1的位置关系。可以结合数轴来加以分析，把0、+1、-1作为分界点，然后再作讨论。观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征。例如，利用数轴可以比较两个有理数大小，学生在学习两个负数比较大小时，常常转不过符号关，利用数轴学生可以准确、快速地确定结论。相反数概念的引入、

38、理解，都依赖“数轴”，特别是教材第一次出现字母表示数：数的相反数是时，学生会出现思维难点，利用数轴可以帮助学生理解：可以是正数、0、负数。数、形在一定的条件下的相互转化是数学中最常见的规律之一，在高中数学教学的内容中，把数和形结合起来研究的方法贯穿始终。在介绍函数概念时,介绍集合-用文氏图表示集合的关系；用数轴的全体或部分来表示定义域、值域,也是几何形象；函数关系与图象-用平面点集组成的曲线来描述函数的性质:奇偶性-关于原点或坐标轴的对称性,单调性-图象的走势升降,最大值-最高点,最小值-最低点,有界性-是否存在平行线或直线,周期性-图象能否有规律地重复出现或叠合等等。在代数的核心内容函数教学

39、中,充满了几何语言、几何形象的描述及其对我们理解应用的帮助。三角函数、复数、微积分与立体几何等内容中，都可以利用数形结合，帮助我们更快、更好地解决问题。在中学数学教学中，数形结合已成为一条重要的教学原则。3数形结合在解题中的运用作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题,引入坐标系或寻找其数量关系式,用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题,分析其几何意义,借助形的直观来解。（1） “数”中思“形”例1. 如果实数满足等式，那么的最大值是什么？ 解：设点在圆上，圆心为,半径等于。如图，则是点与原点连线的斜率。当与相切，且切点落在第一象限时，有最大值，即有

40、最大值。因为 =， =，所以 =，所以 = =。例2. 解不等式：解: 设 ，即 对应的曲线是以(,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数的图象是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是。 （2）“形”中觅“数”例3.求方程的解的个数。分析：此方程解的个数为的图象与的图象的交点个数。 因为, 所以在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。例4.已知直线 和双曲线 有且仅有一个公共点，求k的不同取值个数。分析：作出双曲线 的图象，并注意到直线是过定点（ ）的直线系，双曲线的渐近线方程为

41、 。所以过（ ）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同值，此外，过（ ）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同的值，故有四个不同取值。 例5.设复数满足= ,求的最大值。 解：要求的最大值，即求的最小值，由复数模的几何意义知即求复数对应的点到点和点的距离和的最小值。如图满足=复数对应的复平面上的点的轨迹是以为端点，倾斜角为的射线。由图可知，最小值为 =,故的最大值是=。在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。当然在教学渗透数形结合的思想时，应指导学生掌握以下几点： 1.善于观察图形，以揭示图形中蕴含

42、的数量关系。 2. 正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。3. 切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。4多媒体技术为数形结合的实施架设了桥梁对于一些较复杂、抽象、需有一定想象能力、老师光用嘴和笔说不清的问题，借助于多媒体将数学实验引入课堂教学，可以活跃课堂气氛，减轻教学负担，激发学生的探究欲望，培养学生观察、归纳、猜想、发现的能力。多媒体技术使数学的实验手段丰富起来。计算机强大的计算、图形、图像、动画等能力，能为抽象思维提供直观模型，使数学关系的静态结构表现为时空中的动态过程。数学实验能使学生加深对数学概念的理解，通过相应的技术手段，为数学的学习提供了绝好的工具和途径。学生

43、通过实验，能探索数学规律，发现数学命题，提高创新能力。例如，利用几何画板画图后，马上就可以测算出数值，并能把图形变化过程中的数量关系的变化（哪怕是微小的变化）直观地显示出来，数与形的变化同时进行，数形结合，为数学的学习提供了绝好的试验工具，这在传统数学教学中根本无法办到，几何画板是帮助学生学通数学的有效工具。例如，利用计算机做下列数学实验，学生一人一机，机内装有显示一般正弦函数y=Asin(x+)的图象的应用软件（操作界面见图2）。启动该软件后，学生可用鼠标任意改变画面中的点C、点J、点F的位置，亦即改变参数A、的值，使图象产生相应的变化。学生手、眼、脑并用，通过考察函数式y=Asin(x+)

44、中三个参数A、对函数图象的影响，对图象的振幅变换、周期变换、相位变换产生感性认识。整个过程直观、形象，充分显现数与形相互依赖的变化过程，对于学生更好的理解和掌握正弦函数的图象和性质，从理论上探究相关的数学规律打下坚实的基础。 下面是一例发现三角形内接矩形的面积变化规律的“数学实验”的做法。如图3，在ABC中，E是OB边上的任意一点，以E为顶点作ABC的内接矩形EFGH，使矩形的一边EH在OB上，使点E在OB上运动，矩形面积随之变化。设OE为x，建立x与矩形面积间的函数关系，让学生观察，当x变化时，矩形面积的变化特点及是否有最大值。然后显示当E点运动时，对应的动点K(x，S)(S为矩形面积)的运

45、动轨迹(其轨迹为开口向下的一段抛物线)。最后改变ABC的形状，研究ABC的底边BC或BC边上的高变化时，对抛物线形状有什么影响。计算机强大的图形、图像功能，把“数”与“形”紧紧结合在一起，使抽象的数学变得形象、生动、有趣，大大激发了学生的学习兴趣和认知主体作用的发挥。总之，教师可以通过各种形式有意识的使学生领会到“数形结合”方法具有形象、直观易于说明等优点，并初步学会用“数形结合”观点去分析问题，解决问题。但如何进一步提高数形结合法解题的能力，必须积累解题的经验,才能享受到成功的喜悦。 、浅谈数学教学中的数形结合思想摘 要：数形结合思想是重要的数学思想方法之一，“数”和“形”是事物本质的两个表

46、现形式，理解并领悟这点是数学学习的重要方面，并常极有利于解决问题；要注意正确地应用它，才能达到应有的目的。关键词：数学教学；数形结合引言“数”与“形”是数学的基本研究对象，他们之间存在着对立辩证统一的关系。数形结合是一种重要的数学思想，是人们认识、理解、掌握数学的意识，它是我们解题的重要手段，是根据数理与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻求解决问题的方法的一种数学思想。它是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的，它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，解决数学问题能起到促进和深化的作用。一、 数形结合思想的实质、地位所谓数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，一方面借助数

47、的精确性来阐述形的某些属性，另一方面借助形的直观性来阐述数量之间的关系。“书缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻，透彻的阐释。集体的说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征或使“数”的问题，借助“形”去观察；或将“形”的问题，借助“数”去思考，这种解决的思想称为数形结合思想。事实上，数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适应的图形，利用图形的性质和规律，解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转化成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化成数量关系来解决。利用数形结合，能够有效地讲解有关基本概念

48、、定理，培养学生的能力，解题中运用它能够使复杂的问题“形象”、明了化，提高学生分析，解决问题的能力等。二、 数形结合的原则数形结合一般遵循以下三个原则：1、等价原则等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何的转化应是对应的，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性。例题 方程的实数根的个数为（）A、3个 B、5个 C、7个 D、9个错解：图象法，作函数与的草图。由于两个函数均为奇函数，故只需要作的部分，又因为x>8时，>2。故图形只需取就行了（如图1）。除原点外还有一个交点，再由奇偶性知有7个交点，故选C。 图1 图2分析：当时，。因此在内还有一个交点，所以正确的答案为

49、D，如图2所示。2、双向性原则双向性原则是指几何形象直观的分析，进行代数计算的探索。3、简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何形象优美又使代数计算简洁，明了。三、 数形结合的途径数形结合是一柄双刃的解题利剑，下面简单介绍一下数形结合的途径1、由数到形的转换途径（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。（2）利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质。（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将与正方形的面积互化，将与体积互化，将与勾股定理沟通等等。（4）利用解析几何中的曲线

50、与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。2、由形到数的转换途径（1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。（3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。四、数形结合在数学教学中的应用1、与不等式有关的问题应用数形结合思想解不等式，要充分了解所求

51、不等式的几何意义。例题1设变量、在区间中取值，试证：分析：本题直接证不好证明，由左边的轮换式可以联想到面积，由于变量、在区间中取值构造一个边长为1的正三角形。将这些关系统一在一个不等式中，可得到如下简洁而优美的解法。解：如图，正三角形边长为1，设点、分别在边、和上，且有，则，+即，结论得证B2、与方程的根有关的问题应用数形结合思想解方程，应当注意曲线与方程的对应关系。例题2、方程的实根个数是（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个分析：这道题若直观通过解1个3次方程来解，比较麻烦。可在同一个坐标系下画出与的图象。由图象观察可知，两函数图象只有一个交点。故选A3、与函数有关的问题例题3、求二

52、元函数的最小值分析：可将的表达式看作是两点、之间距离的平方且，所以可将、分别看作圆与双曲线上一点 易知4、与复数有关的问题例题4、的2次方程中，均为复数且，设这个方程的两个根为和，满足，求的最大值、最小值分析：由韦达定理，得结合已知得，即复数在以为圆心，7为半径的圆上原点在上述圆内，连接延长交圆于点与点则， 5、在解析几何上的应用例题5、设 、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上有点使且，则双曲线的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、分析：利用双曲线的图形来反映数量之间的关系解：由已知根据双曲线的定义：，得在中，由勾股定理得即双曲线的离心率6、在解决实际问题方面的应用在现实生活中我们常会遇到一些关于数学方面的问题，此时若能对数学知识理解掌握好，巧用数形结合的思想，在现实生活中有些问题便迎刃而解。例6、某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元，2 千元。甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工甲产品所需要的时间分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500，如何安排生产可使收入最大？解：设加工甲产品x件，加工乙产品y件目标函数