2020版高考数学大一轮复习-第6节离散型随机变量及其分布列讲义(理)(含解析)新人教A版

1、第6节离散型随机变量及其分布列考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.|间识百U佰验川颖数大史实武知识梳理1 .离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为邕散型随机变量.2 .离散型随机变量的分布列及性质,Xn, X取每一个值(2)离散型随机变量的分布列的性质:8pi0(i=1, 2,，n)；p2+ pn = 1.3 .常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量 X服从两点分布，其分布列为,其中p=P(X= 1)称为成功概率X件次品，

2、则RX=_ _ _*n, M NC N,称随(2)超几何分布：在含有 M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有xk) = cn , k=0, 1, 2,，mj 其中 m= min M n,且 nw N, Me N,机变量X服从超几何分布X01mP0 n-0 CMCN- mCTcMcN- M cTmnmCMCN- MCN基础自测娠支那桥1.判断下列结论正误(在括号内打或“X”)(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.()(3)如果随机变量 X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点

3、分布.()(4) 一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放 回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X,则X服从超几何分布.()解析 对于(1),离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1,故(1)不正确；对于(2),因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故 (2)不正确；对于(3) , X的取值不是。和1,故不是两点分布， (3)不正确；对于(4),因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确.答案 (1) X (2) X (3) X (4) X

4、教材近比42 .(选彳2- 3P49练习2改编)抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面向上次数 X的所有可能取值是.答案 0, 1, 23 .(选彳2- 3P77A1改编)已知离散型随机变量X的分布列为X012P0.51 2q2q则常数q =.解析由分布列的性质得0.5 + 1 2q + q2= 1,解得q=1乎或4= 1+乎(舍去).答案 1 考题彼验-4 .(2019 荷泽联考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则RX= 4)的值为()127C 2721A. 220B.55C.220D.55一 C3G9 27解

5、析 X= 4表布从盒中取了2个旧球，1个新球，故 RX= 4)=k = B.C12220答案 C5 .(2019 郑州二模)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则 P( X= 0) =.解析 由已知得X的所有可能取值为0, 1,且 RX= 1) = 2P(X= 0),由 P(X= 1)+P(X= 0) = 1,得 RX= 0)=1. 3J1答案36 .(2019 杭州二模改编)设随机变量X的概率分布列为X1234P13m1416则 R| X- 3| =1) =.解析 由j+7= 1,解得 m=1, P(| X 3|=1) = RX= 2)+RX= 4) =+

6、=. 34 644 6 12答案152|考点聚焦突砥 分工心，以例来考点一离散型随机变量分布列的性质k【例1】 设随机变量X的分布列为PX=- =ak(k=1, 2, 3, 4, 5).5求a的值;(2)求 Px；517求 P3=PX= 3+PX= 4+P(X= 1)=3X ；1+4XL+5X 三=4.555151515 51 w 7 w 1 w 2 w 3123 2 Pi0Xw 10 =PX= 5 +PX= 5 +PX=5 =15+15+证=5.规律方法分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的

7、，利用这一点可以求随机变量在某个 范围内的概率.0二d1, 0w：+dw2, 3333=1) = a+c=.又a=司一d, c=-+ d,根据分布列的性质，得 333一, 11所以一d 7) = P(X= 8) + P(X= 9) + P(X= 10)= 0.28 +0.29 +0.22 =0.79.答案 C3.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为E ,则表示“放回5个红球”事件的是()A. E =4B. E = 5C. E = 6D.己 W5解析 “放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故 =6.答

8、案 C4.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是()4 A.- 35B.112C.一36 D.-解析 如果将白球视为合格品， 红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P=c3c4 12-cT= 35.答案 C5.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量E表示所选3人中女生的人数，则R己W1）等于（）1 A.52B.54d.5解析P（己 W1） = 1P（己=2） = 1 c4c24Cf516答案 D二、填空题6.若离散型随机变量X的分布列为X01P29c -c3-8c则常数c的值为 解析根据离散型随机变量分布列的性质知

9、一2 一 一9c c 0 得 c= 0.329c c+ 3 8c= 1,3- 800,1答案37.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取 4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分,设得分为随机变量己，则RW6） =解析答案1335C3C3 C413R E W6）= R取到3只红球1只黑球）+R取到4只红球）=-d +=35.8.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定： 对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得1分）；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X的所有可能取值是解析 X= 1,甲抢到一题但答错了X=

10、 0,甲没抢到题，或甲抢到 2题,但答时一对一错.X= 1时，甲抢到1题且答对或甲抢到X= 2时，甲抢到2题均答对.X= 3时，甲抢到3题均答对.答案1, 0, 1, 2, 3三、解答题9.(2019 济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.解(1)设事件A：选派的三人中恰有2人会法语，则RA) =C2C2 4CT=7.(2)依题意知X的取值为0, 1, 2, 3,C44C4C3 18RX= 0)=CT3? RX

11、=而 c4d 12C31RX= 2)=E=3? RX= 3)=C7=3?x的分布列为X0123P4181213535353510.有编号为1, 2, 3,，n的n个学生，入坐编号为 1, 2, 3,n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为时，共有6种坐法.(1)求n的值；(2)求随机变量X的概率分布列.解(1)因为当X= 2时，有C2种坐法，所以 C2= 6,即一2 = 6,n2 n12=0,解得 n=4 或 n=3(舍去)，所以 n=4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,由题意知X的可能取值是0, 2, 3, 4,11C2X

12、16 1所以 P(X= 0)=A4=27, P(X= 2) = 7AT=24=1X,已知X= 2RX= 3)=C4X2F82413,RX= 4)=1124338所以X的概率分布列为:X0234P111324438能力提升题组(建议用时：20分钟)11 .若 P(七 WX2)= 1 B , RE X1)= 1 a ,其中 X1X2,则 P(X1W 七 WX2)等于(B.1 ( a + 3 )D.1 一 (1 一 a )A.(1 a )(1 )C.1 a (1 3 )解析由分布列的性质得P(X1 w e X1) 1=(1 ) + (1 a) 1=1 ( a + 3 ).答案 B12 .一只袋内装有

13、 m个白毛nm个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，(n ni Am设此时取出了 X个白球，下列概率等于 -一要妙的是()AnA.P(X= 3)B.F(X 2)C.P(X 3)D.RX= 2)解析 当X= 2时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，有 Am#取法,再任意拿出1个黑球即可，有 d-m#取法，而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列,-人,_oAmCn m ( n mi Am顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即An, P(X= 2)= V A3J .AnAn答案 D13 .口袋中有5只球，编号为1, 2, 3, 4, 5,从中任取3只球，以X表示取出的

14、球的最大号码，则X的分布列为.解析 X的取值为3, 4, 5.1C2又 R X= 3) = C3= 0.1 , R X= 4)=0.3 ,c4RX= 5) =Ci=0.6.所以X的分布列为X345P0.10.30.6答案X345P0.10.30.614.(2019 长沙模拟)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了 50人，将调查结果进行整理后制成下表:年龄/岁15 , 25)25 , 35)35 , 45)4

15、5 , 55)55 , 65)65 , 75频数510151055赞成人数469634(1)若从年龄在15, 25)和25, 35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为 己，求随机变量 己的分 布列.解(1)由表知，年龄在15 , 25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在25, 35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为C4 C1 - C1 C24 C2 424 6622P= CT 丁+CT C20=而x45+而x45=75.(2)己的所有可能取值为0, 1, 2, 3.C2 C2

16、615 1R.0)=CT CT而*45=5，_C1 c C2C1 c6 _4_15 _6_ 24 34P(=1) =c5 C20+ cT C20 =10X45+ 10X45= 75,22RE =2) = 75PH = 3)=C1 C44 64-2 , h = - X -=C2 C2 0 10 45 75 E的分布列是0123P1342245757575新高考创新预测15.（多填题）某公司有A, B, C, D四辆汽车，其中 A车的车牌尾号为 0, B, C两辆车的车牌尾号为6, D车的车牌尾号为 5,已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知A, D31两辆汽车每天出车的概率为 4，B, C两辆汽车每天出车的概率为且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下:理汽车车牌尾号，车辆限行日0和5,星期一1和6,星期二2和7,星期三3和8,星期四4和9,星期五（1）该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率为 ;（2）设E表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，则E的分布列为（列表）.解析（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出