2019高考数学一轮复习第3章导数及应用第3课时导数的应用(二)—极值与最值练习理

1、第 3 课时 导数的应用(二)一极值与最值_321函数 y = x - 3x - 9x( 2x2)有()A.极大值为 5,极小值为27B.极大值为 5,极小值为11C.极大值为 5,无极小值D.极大值为27,无极小值答案 C2 2解析 y = 3x 6x 9 = 3(x 2x 3) = 3(x 3)(x + 1) , y= 0 时，x = 3 或 x = 1. 2x2,. x = 1 时，y = 5; x= 1 为极大值点，极大值为 5，无极小值.2.当函数 y = x 2x取极小值时，x =()答案 D当 0 x2 时，f (x)0,Ax=1in?.3.设函数 f(x)=2+ Inx ,则(

2、 xA.x =孑为 f(x)的极大值点1B. x =为 f(x)的极小值点C. x = 2 为 f(x) 的极大值点D. x = 2 为 f(x)的极小值点解析因为 f(x)2=一+ Inx ,所以 f (x) x2 1x2、=-2+ -=厂,且 x0.当 x2 时，f (x)0 ,这时 f(x) xx x为增函数;在区间(一1) = 1，即2017 年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变2eC. e + 1D. e 1答案 D解析 f (x) = ex- 1,令 f (x) = 0，得 x= 0.令 f (x)0 ,得 x0,令 f (x)0 ,得 x0,则函数 f(x)在

3、(_111, 0)上单调递减，在(0 , 1)上单调递增，f( 1) = e1+ 1, f(1) = e 1, f( 1) f(1) = + 2 e?+ 2 ef( 1).故选 D.16.若函数 y = ax3+ bx2取得极大值和极小值时的x 的值分别为 0 和3，则()3A. a 2b = 0B. 2a b = 0C. 2a + b= 0D. a + 2b= 0答案 D12b1解析 y= 3ax2+ 2bx，据题意，0,；是方程 3ax2+ 2bx = 0 的两根，. 丁=二，a+ 2b = 0.33a37.已知 f(x) = 2x3 6x2+ m(m 为常数)在2, 2上有最大值 3，那

4、么此函数在2, 2上的最小值是()A. 37B. 29C. 5D.以上都不对答案 A2解析 f (x) = 6x 12x = 6x(x 2),.f(x)在(2, 0)上单调递增，在(0 , 2)上单调递减.x= 0 为极大值点，也为最大值点 f(0) = m= 3,. m= 3.f( 2) = 37, f(2) = 5,.最小值是一 37,选 A.&若函数 f(x)=x3 3bx+ 3b 在(0 , 1)内有极小值，则 ( )A. 0vbv1B. bv1C. b 0D.1bv2答案 A解析 f(x)在(0 , 1)内有极小值，则 f (x) = 3x2 3b 在(0 , 1)上先负后正

5、，.f (0) = 3bv0.b0.f(1)=33b0,.bv1.综上，b 的取值范围为 0vbv1.9.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为f (x)，且函数 f(x)在 x = 2 处取得极小值，则函数y = xf (x)的图像可能是()VI/一产 7、一 k亠-2P.4yL.UdC& *A Q.【答案 C解析 由 f(x)在 x = 2 处取得极小值可知,当 x 2 时，f (x)0 ;3当一 2x0，则 xf (x)0 时，xf (x)0.10.已知 f(x) = x3+ px2+ qx 的图像与 x 轴相切于非原点的一点，且 f(x)极小值=4,那么 p, q 值分别为

6、()A.6，9B.9，6C. 4, 2D. 8, 6答案 A解析 设图像与 x 轴的切点为(t , 0)(t丰0),3,2，只f (t )= t + pt + qt = 0, 设2f (t )= 3t + 2pt + q= 0,可得出 p= 2t , q=tp? = 4q,只有 A 满足这个等式(亦可直接计算出 t = 3).11.若函数 f(x) =ax3 3x+ 1 对于 x 1, 1总有 f(x) 0 成立，则实数 a 的取值范围为()A. 2 ,+)B. 4 ,+)C. 4 D .2,4答案 C解析 f (x) = 3ax2 3,当 aW0时，f(x)min= f(1) = a 20,

7、 a2,不合题意；21当 00, a2，不合题意;1 2=+ 1 0,解得 a = 4.综上所述，a= 4.12 .若 f(x) = x(x c)2在 x= 2 处有极大值，则常数 c 的值为_ .答案 6解析 f (x) = 3x2 4cx + c2,f ( 2)= 0,Tf(x)在 x= 2 处有极大值，计 f( x) 2),解得 c = 6.f( x) 0(x0, f(x)无极值.当 a = 4, b= 11 时，令 f (x) = 0，得 X1= 1, X2=.3当 x 变化时，f (x) , f(x)的变化情况如下表：r) , f(x)在1, 1上为减函数, a当 a1 时，f( 1

8、) = a+ 40,且 f( 一) 寸 a解析2f (x) = 3x + 2ax + b,由题意得f (1)= 10,f ( 1)= 0,；2a + a + b+ 1 = 10,2a + b + 3 = 0,解得:=11 或仁3,2017 年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变4x11(m, y)11T11(亍，1)1(1, +m)f+0一0+(x)f(x)极大值极小值32- - -. f(x) = X + 4x - 11x + 16, f(2) = 18.2x p a14. (2018 北京市昌平区一模)若函数 f(x)=-在 x = 1 处取得极值，则 a=_XI1答案

9、3x2_ 2x 一 a解析 f (x) = 丄2，由 f(x)在 x = 1 处取得极值知 f (1) = 0, . a = 3.(x十 I)m3215 .已知函数 f(x)=一十 lnx , g(x) = x 十 x x.x(1)若 m= 3,求 f(x)的极值；1 1若对于任意的 s, t I?, 2，都有 f(s) 10g(t)，求实数 m 的取值范围.答案(1)f(x)有极小值 f(3) = 1 十 ln3，没有极大值1,+m)解析(1)f(x)的定义域为(。，十)，当3j m= 3 时，f(x)= -十 lnxx/ f(x)=31 x 32+ =2, f (3) = 0 ,x xx当

10、 x3 时，f (x)0 , f(x)是增函数， 当 0 x3 时，f (x)0 ,1 g(x)在【2，2上是单调递增函数，g(2) = 10 最大.1 1 1对于任意的 s, t 2， 2 , f (s) 10g(t)恒成立，即对任意, 2, f(x)= 十 lnx 1 恒成立， mx xlnx.x令 h(x) = x xlnx，贝 U h (x) = 1 lnx 1 = lnx.当 x1 时，h (x)0，当 0 x0 , h(x)在(0 , 1上是增函数，在1，十)上是减函数，1 当 xp 2时，h(x)最大值为 h(1) = 1, m 1,即卩 m 1，十).16. (2018 贵州遵

11、义联考)已知函数 f(x) = x3 ax2+ 10.(1)当 a= 1 时，求函数 y= f(x)的单调递增区间；5在区间1 , 2内至少存在一个实数 x，使得 f(x)0，得 x3,2所以函数 y= f(x)在(一g,0)与(3，+)上为增函数，32即函数 y = f(x)的单调增区间是(一g,0)和(3, +m).,22(2)f(x) = 3x 2ax = 3x(x 3 a),23当 3aw1，即 aw2 时，f (x)0在1 , 2恒成立，f(x)在1 , 2上为增函数，故 f(x)min= f(1)= 11 a ,3所以 11 a11，这与 aw矛盾.23当 1ga2，即 2a3 时

12、，22若 1wx-a，则 f (x)0 ; 若 3a0.332所以当 x = 时，f(x)取得最小值，28343433因此 f(抨 0，即 27a3 9a3+ 10 = 27a3+ 103,这与 2a2，即 a3时，f (x)wo在1 , 2恒成立，f(x)在1 , 2上为减函数，9所以 f(x)min= f(2) = 18 4a,所以 18 4a2,满足 a3.9综上所述，实数 a 的取值范围为 q,+g)._x17.已知函数 f(x) = (x k)e .(1) 求 f(x)的单调区间；求 f(x)在区间0 , 1上的最小值.答案(1)减区间(一g,k1)，增区间(k1,+g)(2) kw

13、i时，最小值 f(0) = k;1k 2 时，最小值 f(1) = (1 k)e解析(1)f (x) = (x k+ 1)ex.2017 年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变6令 f (x) = 0,得 x= k 1.f(x)与 f (x)的变化情况如下表：7x(8,k1)k1(k1,+8)f(x)0+f(x)k1e所以 f(x)的单调递减区间是(8, k 1)，单调递增区间是(k 1,.当 k K0,即 kwi时，函数 f(x)在0 , 1上单调递增，所以 f(x)在区间0 , 1上的最小值为 f(0) = k;当 0k 11，即 1k 1, 即卩 k2时，函数 f(x)

14、在0 , 1上单调递减，所以 f(x)在区间0 , 1上的最小值为 f(1) = (1 k)e.备选题1.(2017 河北辛集中学月考)连续函数 f(x)的导函数为 f (x)，若(x + 1) f (x)0 ,则下列结论中正确的 是()A.x = 1 一定是函数 f(x)的极大值点B.x = 1 一定是函数 f(x)的极小值点C.x = 1 不是函数 f(x)的极值点D.x = 1 不一定是函数 f(x)的极值点答案 B解析 x 1 时，f (x)0 , x 1 时，f (x)0B. m0D. m12017 年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变8则 ex+ m= 0 必有

15、根， m= ex3D. a 3答案 Cax13解析Ty= ae + 3，由 y= 0，得 x = -1n().a a又Ty = aeax+ 3x 有正根,a0，3得 a 3.故选 C. 0 一 1,a，1A.a3C. a 36. 已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x) = (ex 1)(x 1)k(k = 1, 2)，则()A.k= 1 时,f(x)x= 1 处取到极小值B.k= 1 时,f(x)x= 1处取到极大值C.k= 2 时,f(x)x= 1 处取到极小值D.k= 2 时,f(x)x= 1处取到极大值答案当 k= 1 时，f (x) = ex(x 1) + ex 1,此时 f半0

16、,故排除 A、B 项；当 k = 2 时，f (x) = ex(x解析1)2+ (ex 1)(2x 2)，此时 f (1) = 0,在 x= 1 附近左侧，f (x)0，所以x= 1 是 f(x)的极小值点.7.函数 f(x) = x3 ax2 bx+ a2在 x= 1 处有极值 10,则 a, b 的值为()A.a = 3, b= 3,或 a= 4, b= 11B.a = 4, b = 1,或 a= 4, b= 11C. a = 1, b = 5D. 以上都不正确答案 D解析2、,f (x) = 3x 2ax b，依题意有f ( 1)= 0,f (1)= 10,3 2a b = 0,21 a

17、 b+ a = 10.ra 4, 解得b = 11,或 =3,|b = 3.2 _当 a = 3 且 b = 3 时，f (x) = 3x 6x + 30,函数 f(x)无极值点，故符合题意的只有a = 4,b = 11.故选 D.2017 年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变10答案 C2解析 f (x) = 3x - 3 = 0，解得 x= 1,且 x= 1 为函数的极小值点，x = - 1 为函数的极大值点.因为函数 f(x)在区间(a, 6-a2)上有最小值，所以函数f(x)的极小值点必在区间(a, 6- a2)内，即实数 a 满足 a16 a ,且 f(a) =

18、a 3af(1) = 2.由 a16 a ,解得:f5a0,所以(a 1)(a2+ a 2) 0,所以(a 1)2(a + 2) 0,即卩 a 2.故实数 a 的取值范 围是2,1).故选 C.9.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f (x)，且函数 y = (1 x)f (x)的图像如图所示，则下列结论中一解析(1)当 x0.- (1 x)f，(x)0 , f(x)0，即 f(x)在(g,2)上是增函数.当一 2x0.- (1 x)f，(x)0 , f (x)0，即 f(x)在(2, 1)上是减函数.(3)当 1x2 时，1 x0 , f (x)2 时，1 x0.- (1 x)f，

19、(x)0，即 f(x)在(2,+g)上是增函数.综上，f( 2)是极大值，f(2)是极小值.10._下列关于函数 f(x) = (2x x2)ex的判断正确的是.1f(x)0 的解集是x|0 x0,贝 U 0 x2，正确；/ f(x)=ex(x+寸 2)(x -百,f(x)在(g,眾)和(迄，+g)上单调递减，在(迄，J2)上单调递增. f( .2)是极小值，f( .2)是极大值，正确；易知也正确.定成立的是()A. 函数 f(x)有极大值B. 函数 f(x)有极大值C. 函数 f(x)有极大值D. 函数 f(x)有极大值 答案 Df(2)和极小值f(1)f( 2)和极小值 f(1)f(2)和

20、极小值f( 2)f( 2)和极小值 f(2)11.,32411. (2015 重庆)已知函数 f(x) = ax3+ x2(a R)在 x=-3处取得极值.3(1)确定 a 的值；若 g(x) = f(x)eix x,讨论 g(x)的单调性.1答案 (1)a = J (2)g(x)在(一a, 4和1, 0上为减函数，在4， 1和0 ,+)上为增函数2解析 对 f(x)求导得 f (x) = 3ax + 2x,44因为 f(x)在 x = 3 处取得极值，所以 f ( 3) = 0,旳16416a8”口 1即 3ax + 2X( 3)= 3 3 =0,解得a=J.1由(1)得 g(x) = (jx3+ x2)ex.1352(x) = (jx + jx + 2x)e1x=jx(x + 1)(x + 4)e .令 g (x) = 0,解得 x =