中考数学复习《锐角三角函数》专项综合练习含详细答案

1、中考数学复习锐角三角函数专项综合练习含详细答案一、锐角三角函数DC F1.如图，山坡上有一棵树 AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为6J3米，山坡的坡角 为30。.小宁在山脚的平地 F处测量这棵机勺高，点 C到测角仪EF的水平距离CF=1米, 从E处测得树顶部 A的仰角为45,树底部B的仰角为20,求树AB的高度.(参考数值：sin20 0,34:os20 =0.94tan20 =0.3.【答案】6.4米【解析】解：二,底部B点到山脚C点的距离BC为6 3米，山坡的坡角为 30. . DC=BC?cos30 6a/3 9 米, 2,.CF=1 米, .DC=9+1=10 米， .GE=10

2、米， / AEG=45 ； .AG=EG=10 米，在直角三角形BGF中,BG=GF?tan20 =10 x 0.36*6AB=AG-BG=10-3.6=6.4 米,答：树高约为6.4米首先在直角三角形 BDC中求得DC的长，然后求得 DF的长，进而求得 GF的长，然后在直 角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高(1)求/ BPQ的度数;2.如图，从地面上的点 A看一山坡上的电线杆 PQ,测得杆顶端点 P的仰角是45。，向前 P和杆底端点Q的仰角分别是60和30.(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m) .备用数据： 后 三1：,袅14【答案】（1） /BPQ=30;（2）该电线杆

3、PQ的高度约为9m.【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角4APE和直角4BPE中，根据三角函数利用 x表示出AE和BE,根 据AB=AE-BE即可列出方程求得 x的值，再在直角 4BQE中利用三角函数求得 QE的长，则 PQ的长度即可求解.试题解析：延长 PQ交直线AB于点E,(2)设 PE=x米.在直角 APE中，/A=45,贝U AE=PE=W / PBE=60 / BPE=30 在直角 4BPE中，BE=YlpE=Y3x 米， 33,.AB=AE-BE=6 米，则 x-x=6,解得：x=9+3、. 3 .则 BE=

4、 (33+3)米.在直角 4BEQ 中，QE= BE= (373+3) = (3+73)米.33PQ=PE-QE=9+373- (3+百)=6+2 石=9(米).答：电线杆PQ的高度约9米.考点：解直角三角形的应用 -仰角俯角问题.3.在正方形ABCD中，对角线AC, BD交于点。，点P在线段BC上（不含点B）,/1/BPE=- /ACB PE交BO于点E,过点B作BF, PE,垂足为F,交AC于点G.2（1）当点P与点C重合时（如图1）.求证： BO8 4POE;BF（2）通过观察、测量、猜想:,并结合图2证明你的猜想；PE 一BF .（3）把正万形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图 3）

5、,若/ACB引，求一的值.（用含“的式子表示）D AD ADPEBF 1BF 1【答案】（1）证明见解析（2） 空 1 （3） 空 ,tanPE 2PE 2【解析】解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，P与C重合， . OB=OP , / BOC=Z BOG=90 : . PFXBG , / PFB=90, . ./GBO=90 1BGO, /EPO=901BGO. . / GBO=/EPO .ABOGAPOE (AAS).BFPE1一.证明如下:2如图，过 P作PM/AC交BG于M ,交BO于N,/ PNE=Z BOC=9C0, / BPN=Z OCB. / OBC=Z OCB =4巴/

6、NBP=Z NPB.NB=NP./ MBN=900 / BMN , / NPE=903Z BMN ,/ MBN= / NPE. .BMNAPEN (ASA) .BM=PE.1 / BPE=- / ACB, / BPN=Z ACB,/ BPF=Z MPF.2 . PF BM,/ BFP土 MFP=900.又 PF=PFABPFAMPF (ASA) , . BF=MF,即 BF=- BM2 .BF=1PE,2BFPE(3)如图，过 P作PM/AC交BG于点M,交BO于点N,产P/ BPN=Z ACB= / PNE=Z BOC=9C0.1由(2)同理可得 BF=-BM , /MBN=/EPN. Z

7、BNM=Z PNE=9C0, . . BMN2时，S=18- 3h.【解析】试题分析：（1）如图2,由对顶角的定义知,/ BME=Z CMA,要求/ BME的度数，需先求出/CMA的度数.根据三角形外角的定理进行解答即可;（2）如图3,由已知可知 /OBC=/ DEC=30 , 长度；（3）需要分类讨论： hW2时，如图4,作又OB=6,通过解直角BOC就可求出BC的MNy轴交y轴于点 N,作 MFLDE交DE于点 F, S=Sedc- Sa efm；试题解析：解：（1）如图当h2时，如图32,图2A (0, - 6),点 B (6, 0). 在平面直角坐标系中，点.OA=OB,Z OAB=4

8、5 ； / CDE=90, CD=4, DE=4再,/ OCE=60 ,/ CMA=Z OCE- / OAB=60 -45 =15 ；/ BME=Z CMA=15 :如图3,*/ CDE=90, CD=4, DE=4表,/ OBC=Z DEC=30,.OB=6, BC=4月；(3)hW2时，如图4,作MNy轴交y轴于点N,作MF, DE交DE于点F,圄4. CD=4, DE=4石，AC=h, AN=NM , .CN=4- FM, AN=MN=4+h - FM, .CMNACEDCXEV 4+b-EV解得FM=4一正二!方,1，S=Sx edc- Sa efm= X 4湎-(4再4 - h) X

9、 (4) = h2+4h+8,如图3,当h*时，1 1S=SxOBC= - OCX OB= (6-h) X6=1&3h.考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形5.已知RtABC中，AB是。O的弦，斜边 AC交。O于点D,且AD=DC,延长CB交。O 于点E.(1)图1的A、B、C D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段 明理由；(2)如图2,过点E作。的切线，交AC的延长线于点F. 若CF=CD时，求sin/CAB的值；CE的长？请说若CF=aCD(a0)时，试猜想sin/CAB的值.(用含a的代数式表示，直接写出结 果)【答案】(1) AE=CE (2)；口+2 .【

10、解析】试题分析：(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得 /ADE=/ ABE=90 ,由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE(2)连接AE、ED,如图2,由/ABE=90可得AE是。的直径，根据切线的性质可得 /AEF=90 从而可证到AD&4AEF,然后运用相似三角形的性质可得 力” =AD?AF. 当CF=CD时，可得月从而有EC=AE=CD,在DEC中运用三角函数可得DC y3sin/CED，根据圆周角定理可得 /CAB=/ DEQ即可求出sin/CAB的值；当CF=aCD(a0)时，同 即可解决问题.试题解析：(1) AE=CE理由：连接 AE、DE,如图 1,

11、. /ABC=90, . . / ABE=90, . . / ADE=/ ABE=90 , AD=DQ.AE=CE(2)连接 AE、ED,如图2, /ABE=90,. AE是。的直径，: EF是。OO的切线，AE AD/ AEF=90,/ ADE=/ AEF=90, 又/ DAE=Z EAF ，AADEAAEF,.=AD?AF. 当 CF=CD时，AD=DC=CF AF=3DC, . =DC?3DC= , .AE= DC, EC=AE DC OC L/J.EC=3DC, .1.sinZ CAB=sinZ CED=/= ;.0+7 当 CF=aCD(a0)时，sin/CAB= + 21 . CF

12、=aCq AD=DC, . . AF=AD+DC+CF=(a+2) CD, . 昨DC? (a+2) DC= (a+2)心,.AE=，G - 2DC,EC=AEEC=/0 + 3DC,DC _ DC I L-ZTT72 .sinZ CAB=sinZ CED=C+ ?”= 口 + ?.图1考点：1.圆的综合题；2.探究型；3.存在型.6.如图，已知点 从工。7出发，以1个单位长度/秒的速度沿1轴向正方向运动，以亿人 为顶点作菱形6M叫使点氏在第一象限内，且“5 = 6(r ；以Pr( 为圆心，”为 半径作圆.设点八运动了 ,秒，求：(1)点。的坐标(用含1的代数式表示)；当点百在运动过程中，所有

13、使。2与菱形口八四的边所在直线相切的4的【答案】解：(1)过q作切1XI轴于q,v 0A = l+t 产+ 1 + 4通1 + 0-0D = 0CCOS60 * = DC = 0cm60 =1 +1+ 0）“点的坐标为* ” 上 ,（2）当op与相切时（如图1）,切点为此时pcoqgl/1 （7C = OPras30p2? ?2 1 当0 P与 P,即与内轴相切时（如图2）iz:图工ITTF1L . nUE 二 kUC过X作P-OP于M,则，1 + t3J3|= OPcos30p =J ,_22-及1-1当。P与p所在直线相切时（如图3）,蕃图mv3（l + t）3 FG = CD = 2则呼

14、1叫2,& v1 +0，PC=PF= （?Psin30 0 4 _.过C作轴于P,则P炉* C/=PC, i+t2 风i + o 23 m（i +“亍）+（-3 =,则切点为0, PC = CP ,设切点为H.C交低于J2：?化简，得 |(+ I)2-18(14 1) + 27 =0 解得L + 1 =936/,v t =- 6%- 1 /3 ,可得t的值；当/EDB=90时，如图3,根据AGXEGD,彳导AC=DE由AC/ ED,得四边形 CAED是平行四边形，所以 AD=CEf 即t=3；(3) BCE中，由对称得：AC=CE=3所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以 4BCE 面积的变

15、化取决于以 CE作底边时，对应高的大小变化， 当4BCE在BC的下方时， 当4BCE在BC的上方时，分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论.【详解】解：(1)如图1,连接AE, 由题意得：AD=t, / CAB=90 ； / CBA=30 ； BC=2AC=6 -AB=762孑=3/3, 点A、E关于直线CD的对称，CD垂直平分AE,.AD=DE,BDE是以BE为底的等腰三角形，DE=BD,1 .AD=BD,2 .t=AD= 3-1 ;2(2) BDE为直角三角形时，分两种情况：当/DEB=90时，如图2,连接AE,.CD垂直平分AE,.AD=DE=t, / B=30 ；BD=2DE=2t,

16、 .AB=3t=3 石， 仁，3 ; 当/EDB=90时，如图3,连接CE.CD垂直平分AE,，CE=CA=3 / CAD=Z EDB=90 ； .AC/ ED,/ CAG=/ GED,. AG=EG, /CGA=/ EGD, .AGCAEGD,.AC=DE,1. AC/ ED,四边形CAED是平行四边形， .AD=CE=3,即 t=3;综上所述， BDE为直角三角形时，t的值为J3秒或3秒；(3) 4BCE中，由对称得：AC=CE=3所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以 4BCE 面积的变化取决于以 CE作底边时，对应高的大小变化， 当4BCE在BC的下方时，过 B作BHXCE,交CE的

17、延长线于 H,如图4,当AC=BH=3 时，此时 Sbce=1AE?BH=1 X 3X 9=,222易得 AACGAHBG, .CG=BG/ ABC=Z BCG=30 ,/ ACE=60 - 30 =30 :. AC=CE AD=DE, DC=DC. .AC* ECD,/ ACD=Z DCE=15 tan / ACD=tan15 = =2 - J3 ,3t=6 - 3 y13 ,由图形可知：0vtv6-3点时，ABCE的BH越来越小，则面积越来越小, 当4BCE在BC的上方时，如图 3, CE=ED=3且CE1 ED,此时 & bce= - CE?DE=1 X 3 X 9=,此时 t=3,22

18、2【点睛】本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问 题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题， 学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题.10.抛物线 y=ax2bx+4 (awQ 过点 A(1, - 1), B(5, - 1),与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线表达式；(2)如图1,连接CB,以CB为边作？CBPQ若点P在直线BC下方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且 ？CBPQ的面积为30,求点P坐标； 过此二点的直线交y轴于F,此直线上一动点 G,当GB+GF最小时，求点G坐标.(3)如图2,。01过点A、B、C

19、三点，AE为直径，点 M为上的一动点(不与点 A, E重 合)，/MBN为直角，边BN与ME的延长线交于 N,求线段BN长度的最大值21I【答案】(1) y=x2- 6x+4 (2)P(2, -4)或 P(3,-5)G(0,-2) (3) 3质【解析】【分析】(1)把点A (1, -1) , B (5, -1)代入抛物线y=ax2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表达式；(2)如图，连接PC,过点P作y轴的平行线交直线 BC于R,可求彳#直线BC的解析式1为：y=-x+4,设点 P (t, t2-6t+4) , R (t, -t+4),因为？CBPQ的面积为 30,所以 Sapbc=-2X (

20、-t+4-t2+6t-4) 书 15,解得t的值，即可得出点 P的坐标；当点P为(2,-4)时，求得直线QP的解析式为：y=-x-2,得F (0, -2) , / GOR=45,因为GB+Y22GF=GB+GR所以当G于F重合时，GB+GR最小，即可得出点 G的坐标；当点P为(3,- 5)时，同理可求；(3)先用面积法求出 sin/ACB=Z3, tan/ACB=2,在RtABE中，求得圆的直径，133因为 MBLNB,可得 /N=/AEB=/ ACB,因为 tanN=MB = 2,所以 BN=- MB,当 MB 为 BN 32直径时，BN的长度最大.【详解】 解：(1)二.抛物线 y=ax2

21、+bx+4 (aw。过点 A (1, -1) , B (5, -1),1= a b 41= 25a 5b 4a=1b= 61抛物线表达式为 y=x2- 6x+4.(2)如图，连接PC,过点P作y轴的平行线交直线 BC于R,设直线BC的解析式为y=kx+m,. B (5, -1) , C (0, 4),1= 5k m k= 1 ,解得4= mm= 4，直线BC的解析式为：y=-x+4,设点 P (t, t2-6t+4) , R (t, -t+4), .?CBPQ的面积为30, Sapbc=- X (-t+4-t2+6t-4) X= 15,解得t=2或t=3 ,当 t=2 时，y=-4当 t=3

22、时，y=-5, 点 P坐标为（2,-4）或（3, -5）;当点P为（2,-4）时， 直线 BC解析式为：y=-x+4, QP/ BC, 设直线QP的解析式为：y=-x+n,将点P代入，得-4=-2+n, n=-2, 直线QP的解析式为：y=-x-2, .F （0, -2） , /GOR=45； .GB+-GF=GB+GR当G于F重合时，GB+GR最小，此时点 G的坐标为（0, -2）,同理，当点P为（3, -5）时，直线QP的解析式为：y=-x-2, 同理可得点G的坐标为（0, -2）,）.A （1, -1） , B （5,-1） C （0, 4）,1一 ABX 5,2 1-AC=/26 ,

23、BC=5a/2，. . Saabc= 1 ACX BCsM ACB=sin / ACB=, tan / ACB=一,133.AE 为直径，AB=4,/ ABE=90. sin / AEB=sinZ ACB=213 =, 13 AE .AE=2A, . MBXNB, /NMB=/EAB,/ N=/AEB=/ ACB,.-.tanN=MB=2, BN 3 .BN=3MB, 2当MB为直径时，BN的长度最大，为 3 而.【点睛】题考查用到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，圆周角定理，锐角三角函数定义，平行四边形性质.解决(3)问的关键是找到 BN与BM之间的数量关系.11.已知 RtAAB

24、C, /BAC= 90。，点 D 是 BC 中点，AD= AC, BC= 4 J3 ,过 A, D 两点作 OO,交AB于点E,(1)求弦AD的长；(2)如图1,当圆心O在AB上且点M是。上一动点，连接 DM交AB于点N,求当ON 等于多少时，三点 D、E、M组成的三角形是等腰三角形？(3)如图2,当圆心 O不在AB上且动圆。与DB相交于点 Q时，过 D作DHLAB (垂 足为H)并交。于点P,问：当。变动时DP- DQ的值变不变？若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由.却） KI2 【答案】(1) 2J3(2)当ON等于1或 -1时，三点D、E M组成的三角形是等腰三角形(3)不变，理由见

25、解析【解析】 【分析】 (1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；(2)连DE、ME,易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE DM,易得到4ADC为等边三角形，得 /CAD=60,则/ DAO=30 , / DON=60 ,然后根据含30的直角三角形三边的关系得DN=1AD=J3, ON=DN=1;23当 MD=ME, DE 为底边，作 DHAE,由于 AD=2 强，/ DAE=30,得到 DH=J3 ,/ DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1,又/M=/DAE=30, MD=ME,得到 / MDE=75 ,贝U / AD

26、M=90 -75 =15,可得到/DNO=45；根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=J3,则ON=j3-1;(3)连AP、AQ, DP, AB,彳导AC/ DP,则/ PDB=/ C=60 ,再根据圆周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,则/PAQ=60, / CAQ=/ PAD,易证得AQ84APD,得到 DP=CQ 则 DP-DQ=CQ-DQ=CD 而 4ADC 为等边三角形， CD=AD=273 ,即可得至U DP-DQ 的 值.【详解】 解：(1) Z BAC= 90,点 D 是 BC 中点，BC= 473 , .AD= 1-BC= 2/3 ；(2)连 DE、ME,如

27、图， DMDE, 当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰， OEXDM,又 AD=AC, .ADC为等边三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 , 1在 RtADN 中，DN=1AD=T3 2，在 RtA ODN 中,ON= DN= 1 3， 当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形;当MD=ME, DE为底边，如图3,作DHXAE, . AD=2 73 , ZDAE= 30； .DH=G /DEA= 60 , DE= 2, .ODE为等边三角形,，OE=DE= 2, OH=1,. Z M = Z DAE= 30 ；而 MD=ME,/ MDE= 7

28、5 ,Z ADM =90 - 75 = 15 ,/ DNO= 45 ； NDH为等腰直角三角形，.NH=DH=石，1 ON = yJ3 - 1 ；综上所述，当ON等于1或J3 - 1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形;(3)当OO变动时DP-DQ的值不变，DP - DQ= 2 J3 ,理由如下：连AP、AQ,如图2,. / C= / CAD= 60 ；而 DP, AB,2 .AC/ DP,/ PDB= Z C= 60 ,又 / PAQ= / PDB,/ PAQ= 60 ;Z CAQ= / PAD,1 . AC=AD, /AQC=/P,2 .AQCAAPD,.DP= CQ,3 .DP-

29、DQ= CQ- DQ= C42近.【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相 等的弧所对的圆周角相等.也考查了等腰三角形的性质以及含30。的直角三角形三边的关系.12.已知：如图，在 RtA ABO中，ZB=90 , Z OAB=30 , OA=3.以点 O为原点，斜边 OA 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以点 P (4, 0)为圆心，PA长为半径画圆，OP 与x轴的另一交点为 N,点M在。P上，且满足/MPN=60. OP以每秒1个单位长度的 速度沿x轴向左运动，设运动时间为 ts,解答下列问题：（发现）（1） MnN的长度为多少；（2）当t

30、=2s时，求扇形 MPN （阴影部分）与 RtABO重叠部分的面积.（探究）当OP和ABO的边所在的直线相切时，求点P的坐标.（拓展）当MnN与Rt ABO的边有两个交点时，请你直接写出t的取值范围.Ja%准爸用图1番用图2【答案】【发现】（1）MN的长度为；（2）重叠部分的面积为 卷；【探究】：点p的坐标为（10）;或（述,0）或（ R3,0）;【拓展】t的取值范围是2V t 3或 334 tAQ .2833即重叠部分的面积为一色.8探究 如图2,当。P与直线AB相切于点C时，连接PC,则有PCX AB, PC=r=1.,/OAB=30； AP=2,，OP=OA- AP=3 - 2=1 ；点

31、P的坐标为（1,0）；如图3,当。P与直线OB相切于点D 时，连接 PD,则有 PD OB, PD=r=1, .PD/AB, . . / OPD=/OAB=30 ； . . cos/ OPD PD , . OP OPCOS30坐标为（马巨，0）；3如图4,当。P与直线OB相切于点,连接PE,则有P已OB,同可得:拓展t的取值范围是2vtwq 442,直到OP运动到与AB相切时，RtAABO的边有两个公共点，2t3.如图6,当OP运动到PM与OB重合时,N与Rt ABO的边有一个公共点，此时 t=2；采究得：OP=1, .t 土 3, MN与 1MN与RtAABO的边有两个公共点，此时 t=4；

32、直到OP运动到点N与点。重合时，MN与RtABO的边有一个公共点，此时 t=5;.44e =6,可得OM = 8,根据(1)所求结果可得答案.【详解】(1) CD/ AB,.DEMAOBM,DE DMOB，即OM 10DE 10 m.DE=100 10m;m(2)如图1,连接OC作OPLCD于点P,彳MQXCD于点Q,. OC= OD、OP CD,1/ DOP= / COD,2sin2=5. .sin / DOP=sin/ DMQ =4,-,sin/ODP=5. OM = m、OD=10, .DM = 10 m,(10-m),3.QM = DMsinZ ODP= 一5则 SA DEM= -DE?MQ=一100 10m xm3 x5(10 m)=-23m 60m 300.