十年全国高中数学联合竞赛试题(解析版经典收藏)

1、- 1 -二二二年全国高中数学联合竞赛二年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准试题参考答案及评分标准说明：说明：1 评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设 6 分的分的 0 分两档，填空题只设分两档，填空题只设 9 分和分和 0 分两档，其它各题的评阅，请严分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。2 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分，可以如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步

2、骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分，可以 5 分分为一个档次，不要再增加其它中间档次。为一个档次，不要再增加其它中间档次。一、一、 选择题（本题满分选择题（本题满分 36 分，每小题分，每小题 6 分）分）1、 函数 f(x)=的单调递增区间是)32(log221 xx(A) (-，-1) (B) (-，1) (C) (1，+) (D) (3，+)解：由 x2-2x-30 x3，令 f(x)=, u= x2-2x-3，故选 Au21log2、 若实数 x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则 x2+y2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 32解：B3、 函

3、数 f(x)=221xxx(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数解：A4、 直线椭圆相交于 A，B 两点，该圆上点 P，使得PAB 面积等于 3，这样的点134yx191622yxP 共有(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个解：设 P1(4cos,3sin) (0)，即点 P1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形 P1AOB 的面积 S。2S=6(sin+cos)=11OBPOAPSScos4321sin3421)4sin(26 Smax=62 SOAB=6 626)(max1ABPS

4、3626 点 P 不可能在直线 AB 的上方，显然在直线 AB 的下方有两个点 P，故选 B5、 已知两个实数集合 A=a1, a2, , a100与 B=b1, b2, , b50，若从A 到 B 的映射 f 使得 B 中的每一个元素都有原象，且 f(a1)f(a2)f(a100)，则这样的映射共有(A) (B) (C) (D) 50100C5090C49100C4999C解：不妨设 b1b2b50，将 A 中元素 a1, a2, , a100按顺序分为非空的 50 组，定义映射 f：AB，使得第 i 组的元素在 f 之下的象都是 bi (i=1,2,50)，易知这样的 f 满足题设要求，每

5、个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射 f 的个数与 A 按足码顺序分为 50 组的分法数相等，而 A 的分法数为，则这样的映射共有，故选 D。4999C4999C6、 由曲线 x2=4y, x2= 4y, x=4, x= 4 围成图形绕 y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为 V1，满足x2+y216, x2+(y-2)24, x2+(y+2)24 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V2，则xyOABP1- 2 -(A) V1=V2 (B) V1=V2 2132(C) V1=V2 (D) V1=2V2解：如图，两图形绕 y 轴旋转所得的旋转体夹在

6、两相距为 8 的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，则所得截面面积S1=(424|y|) , S2=(42y2)4(2|y|)2=(424|y|) S1=S2由祖暅原理知，两个几何体体积相等。故远C。二、二、 填空题（本题满分填空题（本题满分 5454 分，每小题分，每小题 9 9 分）分）7、 已知复数 Z1,Z2满足|Z1|=2, |Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为 60，则= 。2121zzzz解：由余弦定理得|Z1+Z2|=, |Z1Z2|=, =1972121zzzz71338、 将二项式的展开式按 x 的降幂排列，若前三项系数成等

7、差数列，则该展开式中 x 的指nxx)21(4数是整数的项共有 个。解：不难求出前三项的系数分别是，) 1(81,21, 1nnn) 1(811212nnn当 n=8 时， (r=0,1,2,，8)43161)21(rrrnrxCT r=0,4,8,即有 3 个9、 如图，点 P1,P2,P10分别是四面体点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1, Pi, Pj, Pk)(1ij0，所以只须求 xy 的最小值。令 xy=u 代入 x24y2=4 中有 3y22uy+(4u2)=0 yR 03 u 当时，u=，故|x|y|的最小值是33, 334yx3312、 使不等式 sin2x+acos

8、x+a21+cosx 对一切 xR 恒成立的负数 a 的取值范围是 。解：sin2x+acosx+a21+cosx4) 1()21(cos222aaaxa0,当 cosx=1 时，函数有最大值2)21(cosaxy2)211 (aa2+a-20a-2 或 a14) 1()211 (222aaaa1)，使得存在 tR，只要 x1,m，就有 f(x+t)x解：f(x-4)=f(2-x) 函数的图象关于 x= -1 对称 b=2a12ab由知当 x= 1 时,y=0，即 ab+c=0由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即工+了+以=1，又 ab+c=0a= b= c=412141f(x)

9、= 5 分4121412xx假设存在 tR，只要 x1,m，就有 f(x+t)x- 5 -取 x=1 时，有 f(t+1)1(t+1)2+(t+1)+14t0412141对固定的 t-4,0，取 x=m，有f(t m)m(t+m)2+(t+m)+m412141m2(1t)m+(t2+2t+1)0m 10 分tt41tt41 m=9 15 分tt41)4(4)4(1当 t= -4 时，对任意的 x1,9，恒有f(x4)x=(x210 x+9)=(x1)(x9)04141m 的最大值为 9。 20 分另解：f(x-4)=f(2-x) 函数的图象关于 x= -1 对称 b=2a12ab由知当 x=

10、1 时,y=0，即 ab+c=0由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即工+了+以=1，又 ab+c=0a= b= c=412141f(x)=(x+1)2 5 分4121412xx41 由 f(x+t)=(x+t+1)2x 在 x1,m上恒成立41 4f(x+t)-x=x2+2(t-1)x+(t+1)20 当 x1,m时，恒成立 令 x=1 有 t2+4t04t0令 x=m 有 t2+2(m+1)t+(m-1)20 当 t-4,0时，恒有解 10 分令 t= 4 得，m210m+901m9 15 分即当 t= 4 时，任取 x1,9恒有f(x-4)-x=(x210 x+9)=(x1)

11、(x9)04141 mmin=9 20 分二二二年全国高中数学联合竞赛加试试题二年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准参考答案及评分标准说明：说明：1 评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分；评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分；2 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，评卷时可参考本评分标准适当划如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，可以分档次评分，可以 10 分为一个档次，不要再增加其它中间档次。分为一个档次，不要再增加其它中间档次。一、一、 （本题满分（本题满分 5050 分）

12、分） 如图，在ABC 中，A=60，ABAC，点 O 是外心，两条高BE、CF 交于 H 点，点 M、N 分别在线段 BH、HF 上，且满足 BM=CN，求的值。OHNHMH 解：在 BE 上取 BK=CH，连接 OB、OC、OK，BACEFOHKMN- 6 -由三角形外心的性质知 BOC=2A=120由三角形垂心的性质知 BHC=180-A=120 BOC=BHC B、C、HO 四点共圆 20 分 OBH=OCH OB=OC BK=CH BOKCOH 30 分 BOK=BOC=120，OKH=OHK=30 观察OKH KH=OH 40 分30sin120sinOHKH3 又BM=CN，BK=

13、CH， KM=NH MH+NH=MH+KM=KH=OH3 = 50 分OHNHMH 3二、二、 （本题满分（本题满分 5050 分）分） 实数 a,b,c 和正数使得 f(x)=x3+ax2+bx+c 有三个实根 x1,x2,x3，且满足 x2x1=, x3(x1+x2)21求233927233abca解： f(x)=f(x)f(x3)=(xx3)x2+(a+x3)x+x32+ax3+b x1,x2是方程 x2+(a+x3)x+x32+ax3+b 的两个根 x2x1= (a+x)24(x32+ax3+b)=3x32+2ax3+2+4ba2=0 x3(x1+x2)21 ()312431223ba

14、ax 且 4a212b-320 () 10 分 f(x)=x3+ax2+bx+c = 20 分abcaaxbaax31272)3)(3()3(323 f(x3)=0 ()3)(3()3(2723132333axbaaxcaab 由()得 43332312431322223babaax 记 p=，由() 和()可知 p且ba3242)(493227231223ppcaab 令 y=，则 y0 且 30 分42p)43(93227231223yycaab- 7 - =443223yy243)2(432323yy =)()2(2yy 0 40 分3318327231caab233927233abca

15、 取 a=2,b=2,c=0,=2，则 f(x)=x3+ax2+bx+c 有根，0313 13 显然假设条件成立，且 233)336348(81927233abca 综上所述的最大值是 50 分339272abca233三、三、 （本题满分（本题满分 5050 分）分） 在世界杯足球赛前，F 国教练为了考察 A1,A2,A7这七名，准备让他们在三场训练比赛(每场 90 分钟)都上场，假设在比赛的任何时刻，这些中有且仅有一人在场上，并且 A1,A2,A3,A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被 13 整除，如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。解：设第 i

16、 名队员上场的时间为 xi分钟(i=1,2,3,7)，问题即求不定方程 x1+x2+x7=270 在条件 7|xi (1i4)且 13|xj (5j7)下的正整数解的级数。 若(x1,x2,x7)是满足条件的一组正整数解，则应有 =7m =13n m,nN41iix75jjx m,n 是不定方程 7m+13n=270 在条件 m4 且 n3 下的一组正整数解。 10 分 7(m-4)+13(n-3)=203 令 m=m 4 n=n 3 有 7m+13n=270 求满足条件 m4 且 n3 的正整数解等价于求的非负整数解。 易观察到 72+13(-1)=1 7406+13(-203)=203 即

17、 m0=406 n0= 203 是的整数解 的整数通解为 m=406 13k n= 203+7k kZ 令 m0 n0,解得 29k31 20 分 取 k=29,30,31 得到满足条件的三组非负整数解： 029nm716nm143nm 从而得到满足条件的三组正整数解： 30 分333nm1020nm177nm 1)在 m=33,n=3 时，显然 x5=x6=x7=13 仅有一种可能， 又设 xi=7yi (i=1,2,3,4)，于是由不定方程 y1+y2+y3+y4=33 有组正整数解。496033214133CC 此时有满足条件的=4960 组正整数解。332C 2)在 m=20,n=10

18、 时，设 xi=7yi (i=1,2,3,4)，xj=13yj (j=5,6,7)- 8 - 由 y1+y2+y3+y4=20，有组正整数解；以及 y5+y6+y7=10，有组正整数解。319C29C 此时有满足条件的=34884 组正整数解。29319CC 3) 在 m=7,n=17 时，设 xi=7yi (i=1,2,3,4)，xj=13yj (j=5,6,7) 由 y1+y2+y3+y4=7，有组正整数解；以及 y5+y6+y7=17，有组正整数解。40 分36C216C 综上所述，满足条件的正整数解的组数为 =4960+34884+2400=42244 50 分216363931933

19、2CCCCC2003 年全国高中数学联合竞赛试卷一选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每题均给出A、B、C、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分)。1删去正整数数列 1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第 2003 项是A2046B2047C2048D2049答（ ）2设 a，bR，ab0，那么直线 axyb0 和曲线 bx2ay2ab 的图形是 yyyyxxxx A B C D 答（ ）3过抛物线 y2

20、8(x2)的焦点 F 作倾斜角为 60o的直线，若此直线与抛物线交于 A、B 两点，弦 AB的中垂线与 x 轴交于 P 点，则线段 PF 的长等于A B CD31638331638 答（ ）4若，则的最大值是)3,125(x)6cos()6tan()32tan(xxxyABCD5212621163115312答（ ）5.已知 x，y 都在区间(2，2)内，且 xy1，则函数的最小值是229944yxuABCD答（ ）5811247125126.在四面体 ABCD 中，设 AB1，CD，直线 AB 与 CD 的距离为 2，夹角为，则四面体33ABCD 的体积等于得分评卷人 - 9 - ABCD答

21、（ ）23213133二填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。7不等式 | x | 32x24| x | 3 0 的解集为log2x112 A2，3) B(2，3 C2，4) D(2，4 4设点 O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( ) OA OB OC 0 A2 B C3 D 32535设三位数 n=，若以 a，b，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数 abcn 有( ) A45 个 B81 个 C165 个 D216 个- 16 -6顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三

22、角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，ABOB，垂足为 B，OHPB，垂足为 H，且PA=4，C 为 PA 的中点，则当三棱锥 OHPC 的体积最大时，OB 的长为 ( ) A B C D 二填空题(本题满分 54 分，每小题 9 分)7在平面直角坐标系 xOy 中，函数 f(x)=asinax+cosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数 g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；a2 + 18设函数 f：RR，满足 f(0)=1，且对任意 x，yR，都有 f(xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，则f(x)= ；9如图，正方体 ABCDA1

23、B1C1D1中，二面角 ABD1A1的度数是 ；10设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得也是一个正整数，则 k= k2pk；11已知数列 a0，a1，a2，an，满足关系式(3an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 ；ni= 01ai12在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M(1，2)和 N(1，4)，点 P 在 x轴上移动，当MPN 取最大值时，点 P 的横坐标为 ；三解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分)13一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数的和大于 2n，则算过关问： 某人在这项游戏中最多能过几关？ 他

24、连过前三关的概率是多少？14在平面直角坐标系 xOy 中，给定三点 A(0， )，B(1，0)，C(1，0)，点 P 到直线 BC 的距离是43该点到直线 AB、AC 距离的等比中项 求点 P 的轨迹方程； 若直线 L 经过ABC 的内心(设为 D)，且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取值范围15已知，是方程 4x24tx1=0(tR)的两个不等实根，函数 f(x)=的定义域为，2xtx2 + 1 求 g(t)=maxf(x)minf(x)； 证明：对于 ui(0， )(i=1，2，3)，若 sinu1+sinu2+sinu3=1，则+an+14，nN*； 证明有 n

25、0N*，使得对nn0，都有ABPOHCB1A1BCDAC1D1EFBCDAGHK- 17 -+n2004b2b1b3b2bnbn1bn+ 1bn三(本题满分 50 分)对于整数 n4，求出最小的整数 f(n)，使得对于任何正整数 m，集合m，m+1，m+n1的任一个 f(n)元子集中，均至少有 3 个两两互素的元素- 18 -2004 年全国高中数学联赛试卷第一试一选择题(本题满分 36 分，每小题 6 分)1设锐角使关于 x 的方程 x2+4xcos+cot=0 有重根，则的弧度数为 ( ) A B或 C 或 D612512651212解：由方程有重根，故 =4cos2cot=0，14 00

26、 的解集为log2x112 12 A2，3) B(2，3 C2，4) D(2，4 解：令 log2x=t1 时， t2t1，2)，x2，4)，选 Ct1324设点 O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的 OA OB OC 0面积的比为( ) A2 B C3 D 3253解：如图，设AOC=S，则OC1D=3S，OB1D=OB1C1=3S，AOB=OBD=1.5SOBC=0.5S，ABC=3S选 C5设三位数 n=，若以 a，b，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角 abc形，则这样的三位数 n 有( ) A45 个 B81 个 C165 个 D216 个解：

27、等边三角形共 9 个； 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为 a，b)，有 36 种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，ba0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数 g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；a2 + 1解：f(x)= sin(ax+)，周期=，取长为，宽为 2的矩形，由对称性知，面积之半a2 + 12a2aa2 + 1即为所求故填2aa2 + 1又解：1sin(ax+)dx=(1sint)dt=10 a2 + 12pa a2 + 18设函数 f：RR，满足 f(0)=1，且对任意 x，yR，都有 f(xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，则

28、f(x)= ；解：令 x=y=0，得，f(1)=110+2，f(1)=2令 y=1，得 f(x+1)=2f(x)2x+2，即 f(x+1)=2f(x)x又，f(yx+1)=f(y)f(x)f(x)y+2，令 y=1 代入，得 f(x+1)=2f(x)f(x)1+2，即 f(x+1)=f(x)+1比较、得，f(x)=x+19如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 ABD1A1的度数是 ；解：设 AB=1，作 A1MBD1，ANBD1，则BNBD1=AB2，BN=D1M=NM=A1M=AN= AA12=A1M2+MN2+NA22A1MNAcos，12= + + 2 cos，cos= 23

29、23132312=6010设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得也是一个正整数，则 k= ；k2pk解：设=n，则(k )2n2=，(2kp+2n)(2kp2n)=p2，k= (p+1)2k2pkp2p241411已知数列 a0，a1，a2，an，满足关系式(3an+1)(6+an)=18，且 a0=3，则的值是 ni= 01ai；解：=+ ，令 bn=+ ，得 b0= ，bn=2bn1，bn= 2n即1an+ 12an131an132323=，= (2n+2n3)1an2n+ 113ni= 01ai13MNB1A1BCDAC1D1- 20 -12在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M(

30、1，2)和 N(1，4)，点 P 在 x 轴上移动，当MPN 取最大值时，点 P 的横坐标为 ；解：当MPN 最大时，MNP 与 x 轴相切于点 P(否则MNP与 x 轴交于 PQ，则线段 PQ 上的点 P使MPN 更大)于是，延长NM 交 x 轴于 K(3，0)，有 KMKN=KP2，KP=4P(1，0)，(7，0)，但(1，0)处MNP 的半径小，从而点 P 的横坐标=1三解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分)13一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数的和大于 2n，则算过关问： 某人在这项游戏中最多能过几关？ 他连过前三关的概

31、率是多少？解： 设他能过 n 关，则第 n 关掷 n 次，至多得 6n 点，由 6n2n，知，n4即最多能过 4 关 要求他第一关时掷 1 次的点数2，第二关时掷 2 次的点数和4，第三关时掷 3 次的点数和8第一关过关的概率= = ；4623第二关过关的基本事件有 62种，不能过关的基本事件有为不等式 x+y4 的正整数解的个数，有 C个 (亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计 6 种，过关的概率=1= ；2466256第三关的基本事件有 63种，不能过关的基本事件为方程 x+y+z8 的正整数解的总数，可连写 8 个1，从 8 个空档中选 3 个空档的方法为 C

32、 =56 种，不能过关的概率=，能过关的概率=；3887632156637272027连过三关的概率= =2356202710024314在平面直角坐标系 xOy 中，给定三点 A(0， )，B(1，0)，C(1，0)，点 P 到直线 BC 的距离是43该点到直线 AB、AC 距离的等比中项 求点 P 的轨迹方程； 若直线 L 经过ABC 的内心(设为 D)，且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取值范围解： 设点 P 的坐标为(x，y)，AB 方程：+=1，4x3y+4=0， x13y4BC 方程：y=0， AC 方程：4x+3y4=0， 25|y|2=|(4x3y+4

33、)(4x+3y4)|，25y2+16x2(3y4)2=0，16x2+16y2+24y16=0，2x2+2y2+3y2=0或 25y216x2+(3y4)2=0，16x234y2+24y16=0，8x217y2+12y8=0 所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y2=0， 或双曲线：8x217y2+12y8=0 但应去掉点(1，0)与(1，0) ABC 的内心 D(0， )：经过 D 的直线为 x=0 或 y=kx+ 1212(a) 直线 x=0 与圆有两个交点，与双曲线没有交点；(b) k=0 时，直线 y= 与圆切于点(0， )，与双曲线交于(， )，即 k=0 满足要求121258 212(c

34、) k= 时，直线与圆只有 1 个公共点，与双曲线也至多有 1 个公共点，故舍去12MNPKOxyD-111BCAyxOKP- 21 -(c) k0 时，k 时，直线与圆有 2 个公共点，以代入得：(817k2)x25kx=012254当 817k2=0 或(5k)225(817k2)=0，即得 k=与 k= 所求 k 值的取值范围为0，15已知，是方程 4x24tx1=0(tR)的两个不等实根，函数 f(x)= 的定义域为，2xtx2 + 1 求 g(t)=maxf(x)minf(x)； 证明：对于 ui(0， )(i=1，2，3)，若 sinu1+sinu2+sinu3=1，则+21g(t

35、anu1)1g(tanu2)1g(tanu3)解： +=t，= 故0当 x1，x2，时，14 f (x)= =而当 x，时，x2xt0，即2(x2 + 1)2x(2xt)(x2 + 1)22(x2xt) + 2(x2 + 1)2f(x)在，上单调增 g(t)= =2t2 + 12t2 + 1(2t)(2 + 1)(2t)(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1)()t( + )2+ 222 +2 +2 + 1 = g(tanu)= =，8secu(2sec2u+ 3)16sec2u+ 916 + 24cos2u16cosu+ 9cos3u +163+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3

36、)= 1g(tanu1)1g(tanu2)1g(tanu3)759(sin2u1+sin2u2+sin2u3)而 (sin2u1+sin2u2+sin2u3)()2，即 9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)313sinu1 + sinu2 + sinu33+(753)= 由于等号不能同时成立，故得证1g(tanu1)1g(tanu2)1g(tanu3)- 22 -二试题一(本题满分 50 分)在锐角三角形 ABC 中，AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H，以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点，FG 与 AH 相交于点 K，已知 BC=25，BD

37、=20，BE=7，求 AK 的长解： BC=25，BD=20，BE=7， CE=24，CD=15 ACBD=CEAB， AC= AB， 65 BDAC，CEAB，B、E、D、C 共圆，AC(AC15)=AB(AB7)， AB( AB15)=AB(AB18)，6565 AB=25，AC=30AE=18，AD=15 DE= AC=1512延长 AH 交 BC 于 P， 则 APBC APBC=ACBD，AP=24连 DF，则 DFAB， AE=DE，DFABAF= AE=912 D、E、F、G 共圆，AFG=ADE=ABC，AFGABC， =，AK=AKAPAFAB9242521625二(本题满分

38、 50 分)在平面直角坐标系 XOY 中，y 轴正半轴上的点列An与曲线 y=(x0)上的点2x列Bn满足|OAn|=|OBn|= ，直线 AnBn在 x 轴上的截距为 an，点 Bn的横坐标为 bn，nN*1n 证明 anan+14，nN*； 证明有 n0N*，使得对nn0，都有+0)1n2bn1n 0bn且 bn递减，n2bn=n(n)= =单调增12n2n2 + 1 0n且 tn单调减bn2由截距式方程知，+=1，(12n2bn=n2bn2)bnan an=()2+()=tn2+tn=(tn+)2 (+)2 =42212212且由于 tn单调减，知 an单调减，即 anan+14 成立亦

39、可由=bn+2=，得 an=bn+2+， 1n2bnbn + 22 bn + 2 由 bn递减知 an递减，且 an0+2+=422 即证(1)2004nk = 1bk+ 1bk1=k2( )2()2)bk+ 1bkbkbk+ 1bk1k1k+ 124187252015EFBCDAGHKP- 23 - 2k+ 1(k+ 1)22k+ 1(k+ 1)2121k+ 2(1)( + )+( + + + )+ + + +nk = 1bk+ 1bknk = 11k+ 2131415161718121212只要 n 足够大，就有(1)2004 成立nk = 1bk + 1bk三(本题满分 50 分)对于整

40、数 n4，求出最小的整数 f(n)，使得对于任何正整数 m，集合m，m+1，m+n1的任一个 f(n)元子集中，均至少有 3 个两两互素的元素解： 当 n4 时，对集合 M(m，n)=m，m+1，m+n1，当 m 为奇数时，m，m+1，m+2 互质，当 m 为偶数时，m+1，m+2，m+3 互质即 M 的子集 M 中存在 3 个两两互质的元素，故 f(n)存在且 f(n)n 取集合 Tn=t|2|t 或 3|t，tn+1，则 T 为 M(2，n)=2，3，n+1的一个子集，且其中任 3 个数无不能两两互质故 f(n)card(T)+1但 card(T)=+故 f(n)+1 n +12n +13

41、n +16n +12n +13n +16由与得，f(4)=4，f(5)=55f(6)6，6f(7)7，7f(8)8，8f(9)9现计算 f(6)，取 M=m，m+1，m+5，若取其中任意 5 个数，当这 5 个数中有 3 个奇数时，这 3个奇数互质；当这 3 个数中有 3 个偶数 k，k+2，k+4(k0(mod 2)时，其中至多有 1 个被 5 整除，必有 1个被 3 整除，故至少有 1 个不能被 3 与 5 整除，此数与另两个奇数两两互质故 f(6)=5而 M(m，n+1)=M(m，n)m+n，故 f(n+1)f(n)+1 f(7)=6，f(8)=7，f(9)=8 对于 4n9，f(n)=

42、 +1 成立 n +12n +13n +16设对于 nk，成立，当 n=k+1 时，由于M(m，k+1)=M(m，k5)m+k5，m+k4，m+k在m+k5，m+k4，m+k中，能被 2 或 3 整除的数恰有 4 个，即使这 4 个数全部取出，只要在前面的 M(m，k5)中取出 f(n)个数就必有 3 个两两互质的数于是当 n4 时，f(n+6)f(n)+4=f(n)+f(6)1故 f(k+1)f(k5)+f(6)1=+1，k+ 22k+ 23k+ 26比较，知对于 n=k+1，命题成立对于任意 nN*，n4，f(n)= +1 成立n +12n +13n +16又可分段写出结果：f(n)= 4

43、k+ 1，(n =6k， k N N * )，4k+ 2，(n =6k+ 1，k N N * )，4k+ 3，(n =6k+ 2，k N N * )，4k+ 4，(n =6k+ 3，k N N * )，4k+ 4，(n =6k+ 4，k N N * )，4k+ 5，(n =6k+ 5，k N N * )二二五年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案五年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案 - 24 -一、选择题1.使关于 x 的不等式k 有解的实数 k 的最大值是（）A.B.C.D.2.空间四点 A、B、C、D，满足、，则的取值（）A.只有一个 B.有两个 C.有四个 D.有无穷多个 3.ABC 内

44、接于单位圆，三个内角 A、B、C 的平分线交此圆于 A1、B1、C1三点，则的值是（）A.2 B.4 C.6 D.84.如图，ABCDABCD为正方体，任作平面 与对角线 AC垂直，使 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为 S，周长为 l，则（）A.S 是定值，l 不是定值 B.S 不是定值，l 是定值 C.S、l 均是定值 D.S、l 均不是定值5.方程表示的曲线是（）A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线6.记集合 T=0,1,2,3,4,5,6，将 M 中的元素按从大到小顺序排列，则第 200

45、5 个数是（）A. B. - 25 -C. D.二、填空题7.将多项式 f(x)=1-x+x2-x3+-x19+x20表示为关于 y 的多项式 g(y)=a0+a1y+a2y2+a19y19+a20y20，且 y=x-4，则 a0+a1+a20=_.8.f(x)是定义在(0,+)上的减函数，若 f(2a2+a+1)f(3a2-4a+1)成立，则实数 a 的取值范围是_.9.设 、 满足 02，若对任意 xR，cos(x+)+cos(x+)+cos(x+)=0成立，则 -=_.10.如图，四面体 DABC 的体积为，ACB=45，则 CD=_.11.正方形 ABCD 的一条边在直线 y=2x-1

46、7 上，另外两顶点在 y=x2上，则正方形面积的最小值为_.12.若自然数 a 的各位数字之和为 7，则称 a 是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3，若 an=2005，则 a5n=_.三、解答题13.数列an满足 a0=1，nN，证明：(1)对于任意 nN，a 为整数；(2)对于任意 nN，anan+1-1 为完全平方数.14.将编号为 1、2、3、9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 S，求值 S 达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）.

47、- 26 -15.过抛物线 y=x2一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D，交 y 轴于 B，C 在抛物线上，E 在线段 AC上，F 在线段 BC 上，且 1+2=1，线段 CD 与 EF 交于 P，当 C 在抛物线上移动时，求 P 的轨迹方程.参考答案及评分标准参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档，填空题只设 9 分和 0 分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5 分为一个档次，

48、不要再增加其它中间档次.一、选择题(本题满分 36 分，每小题 6 分)本题共 6 小题，每小题均给出 A，B，C，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分.1.解：令，3x6，则.0y，实数 k 的最大值为.选 D.2.解：注意到 32+112=130=72+92， 由于， 则，即，只有一个值 0.故选 A.3.解：如图，连，- 27 -则.，同理，原式.选 A.4.解：将正方体切去两个正三棱锥 A-ABD 与 C-DBC 后，得到一个以平行平面 ABD 与D

49、BC 为上、下底面的几何体 V，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形 W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将 V 的侧面沿棱 AB剪开，展开在一张平面上，得到一个平行四边形 ABB1A1，而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 AA1平行的线段(如图 EE1)，显然EE1=AA1，故 l 为定值.当 E位于 AB中点时，多边形 W 为正六边形，而当 E移至 A处时，W 为正三角形，易知周长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为与，故 S 不为定值.选 B.5.解：，.，即 sinsin.又， cos0，cos0.cos-cos0，方程表示的曲线是椭圆.(*)，.(*)式0

50、，- 28 -即 sin-sincos-cos.曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆.选 C.6.解：用a1a2akp表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 74，得M=a173+a272+a37+a4，aiT，i=1,2,3,4=a1a2a3a47|aiT，i=1,2,3,4 ，M中的最大数为66667=240010.在十进制数中,从 2400 起从大到小顺序排列的第 2005 个数是 2400-2004=396.而39610=11047，将此数除以 74,便得 M 中的数.故选 C.二、填空题(本题满分 54 分，每小题 9 分)本题共有小题，要求直接将答案写在横线上.7.解：由题

51、设知，f(x)和式中的各项构成首项为 1，公比为-x 的等比数列，由等比数列的求和公式，得.令 x=y+4，得，取 y=1，有.8.解：f(x)在(0,+)上定义，又；3a2-4a+1=(3a-1)(a-1)，仅当 a1 或 a时，3a2-4a+10.(*)f(x)在(0,+)上是减函数，2a2+a+13a2-4a+1，0a5，结合(*)知.9.解：设 f(x)=cos(x+)+cos(x+)+cos(x+)，由 xR，f(x)=0 知，f(-)=0，f(-)=0，f(-)=0，即 cos(-)+cos(-)=-1，cos(-)+cos(-)=-1，cos(-)+cos(-)=-1，cos(-

52、)=cos(-)=cos(-)=-.- 29 -02，-，-，-.又 -，-，只有 -=-=.-=.另一方面，当 -=-=，有 =+，=+. xR，记 x+=0，由于三点(cos,sin)，(cos(+),sin(+)，(cos(+),sin(+)构成单位圆 x2+y2=1 上正三角形的三个顶点，其中心位于原点，显然有cos+cos(+)+cos(+)=0.即 cos(x+)+cos(x+)+cos(x+)=0.10.解：，即.又，等号当且仅当 AD=BC=1 时成立，这时 AB=1，AD面ABC，DC=.11.解：设正方形的边 AB 在直线 y=2x-17 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为

53、 C(x1,y1)、D(x2,y2)，则 CD 所在直线 l 的方程 y=2x+b，将直线 l 的方程与抛物线方程联立，得.令正方形边长为 a，则 a2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2=20(b+1).在 y=2x-17 上任取一点(6,-5)，它到直线 y=2x+b 的距离为 a，.、联立解得 b1=3，b2=63.a2=80，或 a2=1280.12.解：方程的非负整数解的个数为.而使 x11，xi0(i2)的整数解个数为.现取 m=7， 可知，k 位“吉祥数”的个数为 P(k)=.2005 是形如 2abc 的数中最小的一个“吉祥数”，且，对于四位“吉祥数”1ab

54、c，其个数为满足 a+b+c=6 的非负整数解个数，即个，- 30 -2005 是第 1+7+28+28+1=65 个“吉祥数”，即 a65=2005.从而 n=65，5n=325.又，而，从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52000.第 325 个“吉祥数”是 52000，即 a5m=52000.三、解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分)13.证明：(1)由题设得 a1=5，且an严格单调递增.将条件式变形得，两边平方整理得，.-得(an+1-an)(an+1+an-1-7an)=0.an+1an，an+1+an-1-7

55、an=0.由式及 a0=1，a1=5 可知，对任意 nN，an为正整数.10 分(2)将两边配方，得，.记， 由于，从而，式成立.anan+1-1 是完全平方数.20 分14.解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有 8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的方法有种. 5 分下求使 S 达到最小值的放法数：在圆周上，从 1 到 9 有优弧和劣弧两条路径，对其中任一条路径，设 x1，x2，xk是依次排列于这段弧上的小球号码，则|1-x1|+|x1-x2|+|xk-9|(1-x1)+(x1-x2)- 31 -+(xk-9)|=|1-

56、9|=8.上式取等号当且仅当 1x1x2xk9，即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递增排列.因此 S最小=28=16. 10 分由上知，当每个弧段上的球号1,x1,x2,xk,9确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.在 1，2，9 中，除 1 与 9 外，剩下 7 个球号 2，3，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有种情况，每种情况对应着圆周上使 S 值达到最小的唯一排法，即有利事件总数是 26种，故所求概率.20 分15.解一：过抛物线上点 A 的切线斜率为，切线 AB 的方程为 y=2x-1. B、D 的坐标为 B(0,-1)，D(,0).D 是线段 AB 的中点.5

57、 分设，则由知，；.EF 所在直线方程为，化简得.10 分当时，直线 CD 的方程为.联立、解得，消去，得 P 点轨迹方程为.15 分- 32 -当时，EF 方程为，CD 方程为，联立解得也在P 点轨迹上.因 C 与 A 不能重合，.所求轨迹方程为.20 分解二：由解一知，AB 的方程为 y=2x-1，B(0,-1)，D(,0)，故 D 是 AB 的中点. 5 分令，则 t1+t2=3.因 AD 为ABC 的中线，SCAB=2SCAD=2SCBD.而，.P 是ABC 的重心. 10 分设 P(x,y)，因点 C 异于 A，则，故重心 P 的坐标为(x)，消去，得.故所求轨迹方程为.20 分20

58、062006 年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 3636 分，每小题分，每小题 6 6 分）分）1.已知ABC，若对任意 tR，则ABC()A.必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定- 33 -2.设 logx(2x2+x-1)logx2-1，则 x 的取值范围为() A.x1 B.x，x1C.x1D.0 x13.已知集合 A=x|5x-a0，B=x|6x-b0，a,bN，且 ABN=2,3,4，则整数对(a,b)的个数为()A.20B.25C.30D.424.在直三棱柱中，已知

59、G 与 E 分别为 A1B1和 CC1的中点，D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点).若 GDEF，则线段 DF 长度的取值范围为()A. B. C.1,) D.5.设，则对任意实数 a，b，a+b0 是 f(a)+f(b)0 的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.数码 a1,a2,a3,a2006中有奇数个 9 的 2007 位十进制数的个数为()A. B.C.102006+82006D.102006-82006二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 5454 分，每小题分，每小题 9 9 分）分）7.设 f(x)=s

60、in4x-sinxcosx+cos4x，则 f(x)的值域是_.8.若对一切 R，复数 z=(a+cos)+(2a-sin)i 的模不超过 2，则实数 a 的取值范围为_.9.已知椭圆的左右焦点分别为 F1与 F2，点 P 在直线l：x-y+8+2=0 上，当F1PF2取最大值时，比的值为_.10.底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水_cm3.11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+x2004)=2006x2005实数解的个数为_.- 34 -12.袋内有 8 个白