(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习系统题型——平面向量的数量积及应用讲义(含解析)

1、第2课时系统题型一一平面向量的数量积及应用平面向量数量积及其性质的应用典例感悟1. （2019 宝鸡金台区质检）在直角三角形 ABC中，角C为直角，且 AC= BC= 1,点P一 . ， , *是斜边上的一个三等分点，则CP CB+ CP CA=（）B.1A. 0C.4解析：选B以点C为坐标原点，分别以"CA,"CB的方向为x, y轴的正方向建立平面直角坐标系，则 Q0,0） , A（1,0） , B（0,1）,不妨设a ,所以 cp cb+ 3» > > >CP - CA =112 1 一，3+ 1 = 1.故选 B.2.已知向量a, b均为单

2、位向量,若它们的夹角为60° ,则 |a +3b| 等于(A. ：7C. 13B. 10D. 4解析：选1C依题意得a , b= 2|a + 3b| =a2+9b2+6a b =仃，故选C.3. (2019江西三校联考）若忸|=2, |b| =4,且（a + b） La,则a与b的夹角为（）解析：选兀b.tD 27tA (a + b) ±a, (a + b) - a = a2 + a - b=0, 1. a - b= 4, cos a, ba b 41 .| a | b |2X4 2'a, b =,故选 A.34. （2019 深圳高级中学期中）已知向量m （入+1

3、,1）, n=（入+2,2），若（饼n） ±（m一 n),则入=()B.-3A. - 4C. - 2D. - 1解析：选 B .1(mi+ n) ±(mi-n), . ( mn)(mi-n)=m2-n2=(入 + 1) 2+1 (入 + 2)2 4=0,解得入=3.故选B.方法技巧1.平面向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角e时，可利用定义法求解，即 a - b= | a| - | b| cos 0适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a=(X1, y1) , b=(X2, y2),则a

4、 - b= X1X2 + y/2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题2.利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a 2= a a= |a| 2 或同=班,a.(2)|a ±b|=Ja± b2 = qa2±2a b + b2. 若 a=(x, y),则 |a| =x2+y2.3 .向量夹角问题的 2个注意点(1)切记向量夹角的范围是0 ,.(2)a与b夹角为锐角？ a - b>0且a, b不共线，a与b夹角为钝角？ a - b<0且a, b不 共线.4 .两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是a±b? a - b=0? |a b|

5、 =|a + b|.0 平面向量数量积的应用问题能力要求较高,平面向量数量积的应用中,常考查向量的模或数量积的最值或范围问题, 综合性强.考法一 平面向量模的最值或范围问题例1(1)(2019 衡水中学调研)已知向量a, b, c满足|a| = |b| =a-b=2, (a -c) - ( b-2c) =0,则|b c|的最小值为(A.7- .32B.V3-1 2-C.,32D.(2)(2019 长春模拟)已知a, b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足(a-c) (b c)=0,则|c|的最大值是()A. 1B.2C. 2D.当，一，-，兀解析(1)由|a| =|b| =a b=2

6、,知a, b的夹角为 y,可设 a=(2,0) , b=(1 ,小)，c=(x, y),(a c) ( b 2c) = 0,(2-x, y) (1 2x,会2y)=0,即 2x2+2y25xJ3y+2=0.方程2x2 + 2y2 5x >y3y +2=0表示圆心为 *,半径为的圆，|b - c| = 7 x-17一y-32表示圆2x2+2y25x，3y+2=0上的点到点(1 ,3)的距离，所以ib_ci的最小值为y 512+号炉 T=2A(2)因为回=|b| =1, a b=0,(a c) ( b c) = c (a + b) + |c| 2= |c|a + b| - cos 0 + |

7、c| 2= 0,其中 8 为 c 与a+b的夹角，所以 |c| = |a + b|cos 8 = J2cos §所以|c|的最大值是小.答案(1)A(2)C方法技巧求向量模的最值(范围)的2种方法代数法把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解几何法弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解考法二数量积的最值或范围问题是()11A. - 2, 1B. - 1, 2C. -1,1D. -1,0(2)(2019 宝鸡模拟)在等腰直角 ABC43, Z ABC= 90° ,重合)为ac边上的两个动点，且满足 |称| =，2,则"BM 33A. 2, 2

8、B. 2, 233C. 2, 2D.+8解析(1).在直角梯形 ABC珅，DA= AB= 1, BC= 2,BD=啦.如图所示，过点A作ACL BQ垂足为Qiic|AB= BC= 2, M N 不与 A CBN的取值范围为()=1, BC= 2,点P在阴影区域（含边界）中运动，则"PA "BD的取值范围例2 （1）（2019 南昌调研）如图，在直角梯形 ABCDJ43, DA= AB4则 PA= PO+ OA, OA - BD=0,> > > > > > >PA BD=( PO+ OA) - BD= PO - BD. r r,r一八

9、,，一一，当点P与点B重合时，PA - BD取得最大值,即"PA - "Bd ="PO - "BD=1x.J2x出=1；当点P与点D重合时，PA Ibd取得最小值，即言 "Bd=- 2x2x=- 1. "Pa - -Bd的取值范围是1,1.(2)以等腰直角三角形的直角边BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B(0,0),直线AC的方程为x+ y= 2.设 Ma, 2 a),则 0< a <1 , N(a+ 1,1 -a)，BM=(a,2 a), BN=(a+1,1 a),BM , BN =

10、a (a +1)+(2 a)(1 a) = 2 a 2 a+2,1> > 30<a<1, .当 a = 2时，BM - BN取得最小值 2,3又BM - BN<2,故BM - BN的取值范围为 2, 2 .答案(1)C(2)C方法技巧数量积的最值或范围问题的2种求解方法临界分析法结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围目标函数法将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三 角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围集训冲关1 .考法一已知向量a, b是两个互相垂直的单位向量，且c,a=c,b= 3, |c| = 3/2,1则对任意的正实数

11、t,c+ta +-b的最小值是()A. 2B.2 2C. 4D. 4 2解析：选D因为向量a, b是两个互相垂直的单位向量，所以a - b = 0,又c - a=c - b=3,所以 c+ta +11b 2 = c2 + t2a2 +，b2+ 2(t c a + 11c b + a b) = t2 + J + 6t +； +°16 1._18A32,当且仅当t =7，6t = -,即t = 1时等号成立，故 c + ta +-b的最小值为 42.故选D.2.考法二在 ABC43, AB= 2AC= 6, IBA - IbC = "BA2,点 P是 ABO在平面内一点,则当&

12、quot;PA2+"Pb2+ "PC2取得最小值时， M "BC =解析： "BA - "BC="BA2,"ba "BC-Iba2=> ,> >.> >BA ( BC- BA) = BA AC所示的平面直角坐标系，则A(0,0) , B(6,0) , Q0,3),设P(x, y),则"PA2+丽2+-PC2= x2+y2+(x 6)2+y2+x2+(y3)2=3x212x+3y26y+45=3( x2)2+(y 1)2+10,所以当 x=2, y=1 时，"Pa2+

13、"Pb2+ -Pc2取得最小值，此时 NP -BC=（2,1）（6,3） =9.答案：9平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高 考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.考法一平面向量与几何的综合问题例1 （2019 杭州期末）在四边形 ABCD中，点E, F分别是边 AD BC的中点，设AD - BC= rq AC - BD= n.若AB= ® EF= 1, CD= ® 则()B.2mv 2n=1A. 2m- n= 1C. m-2n= 1D. 2n-2m= 1解析 由题可得

14、，7C "BD =(漏 + -BC) ( "BA + ad)=-疝2+盛 7D AB IBC + AD 后=-漏2+漏(血-后)+m=-漏2+漏(漏 +后 +一4,一.，一一.CD- BC)+m= AB - CD+m又因为点E,F分别是边 AQ BC的中点，所以EF = EA+ AB+ 1BF,肩=而+ -dc +-cf .两式相加得 2亩=庙+-dc,两边同时平方得 4=2+3+ 2相. -DC,所以 血. "DC =-1.则漏. CD = 2,所以元. 1BD = 1+m 所以 n = 2 +m| 即 2n 2m= 1,故选 D.答案D方法技巧平面向量与几何综

15、合问题的求解方法坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有美点与向量就可以用坐标表示，这样就 能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解考法二平面向量与三角函数的综合问题例2 (2019 陕西部分学校摸底)在ABC4设A, B, C的对边分别为 a, b, c,向量 m= (cosA,sinA), n=(，2 sinA,8$用，且|斤|+ n|=2.(1)求角A的大小；(2)若 b=4，2, c=/2a,求ABC勺面积.解(1) n=(g+cos A sin A, cos A+ sin A),，|

16、n| = 7山+cos A sin A 2+ cos A+ sin A 2I 'ii-=1/4 4sin A.兀. |m n| =2, sin A- 丁 =。，A-5=0,PCA兀 * 兀 3兀又0<A<兀，-<A-7彳,兀即 A=.4(2) -, c=2a, A,c sin C 一'a=sin A=出，兀sin C= 1,又 0<C< % , 1- C= y.ABCJ等腰直角三角形，S»A ABC= 2X(4 /)2= 16.方法技巧平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1)向量平行、垂直与三角函数综合此类题型的解答一般是利用向量

17、平行(共线)、垂直关系得到三角函数式， 再利用三角恒 等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解.(2)向量的模与三角函数综合此类题型主要是利用向量模的性质 |a| 2=a2,如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种 方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解.此类题型主要表现为两种形式：利用三角函数与向量的数量积直接联系；利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.集训冲关1 .考法一在矩形 ABC珅,AB= 3, BC= & 靛 =2言，点F在边CD上.若渴 第 =3,则7E Ibf的值为()A. 0B

18、呼C. 4D. 4解析：选 c -Be = 2"ec ? | "BE |=2|"BC |=芈.设旗 与寿 的夹角为 “，33渴 NF = 3? |NF |cos a = 1? |1DF | =1.以A为坐标原点建立平面直角坐标系， AD为 x 轴，AB为 y 轴，则 R0 , 3) , F(4, 1) , E233, 3 .因此"BF =他,-2) , K - 1BF = 平X# 2X3= 2-6=-4,故选 C.32.考法二已知 ABC勺三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.设平面向量 m= (cos B, sin B), n= (cos C, sin C) , m与 n 所成的夹角为 120° .(1)求A的值;(2)若 ABC勺面积S= 芈, 3sin C= 2s