高考数学考点数列的综合应用

1、考点21 数列的综合应用【高考再现】热点一、等差数列与等比数列的综合应用1（2012年高考（陕西理）设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.(1)求数列的公比;(2)证明:对任意,成等差数列.2（2012年高考（福建文）在等差数列和等比数列中,的前10项和.()求和;()现分别从和的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.3（2012年高考（天津文）(本题满分13分)已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且.(I)求数列与的通项公式;(II)记()证明:.4（2012年高考（湖北文）已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.(1)求等差数列的通项公式;

2、(2)若成等比数列,求数列的前项和.5（2012年高考（天津理）已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且=,.()求数列与的通项公式;()记,证明.【方法总结】对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法热点二、数列与其他章节知识的综合应用1（2012年高考（四川文）设函数,是公差不为0的等差数列,则（）A0B7C14D21.2（2012年高考（上海文）若,则在中,正数的个数是（）A16.B72.C86.D100.3（2012年高考（湖北文）定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列,则称为

3、“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:;.则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）ABCD.【答案】C 【解析】设数列的公比为.对于,是常数,故符合条件;对于,不是常数,故不符合条件;对于,是常数,故符合条件;对于, ,不是常数,故不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.4（2012年高考（福建文）数列的通项公式,其前项和为,则等于（）A1006B2012 C503D05（2012年高考（北京文）某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,的值为（）A5B7C9D11 【答案】C【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以

4、应该加入,因此选C.6（2012年高考（上海文）已知.各项均为正数的数列满足,.若,则的值是_.7（2012年高考（四川文）已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.()用和表示;()求对所有都有成立的的最小值;()当时,比较与的大小,并说明理由.8（2012年高考（湖南文）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金

5、为an万元.()用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;()若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).9（2012年高考（四川理）已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.()用和表示;()求对所有都有成立的的最小值;()当时,比较与的大小,并说明理由.10（2012年高考（上海理）对于数集,其中,定义向量集. 若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P. 例如具有性质P.(1)若x>2,且,求x的值;(2)若X具有性质P,求证:1ÎX,且当xn>1时,x1=1;(3)

6、若X具有性质P,且x1=1, x2=q(q为常数),求有穷数列的通项公式.11（2012年高考（大纲理）函数.定义数列如下:是过两点的直线与轴交点的横坐标.(1)证明:;(2)求数列的通项公式.【方法总结】1解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理2从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立

7、数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决【考点剖析】一明确要求1熟练把握等差数列与等比数列的基本运算2掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等3注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法二命题方向1考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题2考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力三规律总结基础梳理1等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都

8、可由a1，d或a1，q确定等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值2.解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中3数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两

9、项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是Sn与Sn1之间的递推关系一条主线数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解 两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们

10、与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)(2)数列与不等式结合时需注意放缩(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想【基础练习】1（经典习题）某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是()A800B820C840 D8602(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100

11、个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ()A6秒钟 B7秒钟C8秒钟 D9秒钟3（经典习题）若a，b，c成等比数列，则函数yax2bxc的图象与x轴的交点的个数为()A0 B1C2 D不能确定【解析】：由题意b2ac(ac0)，b24ac3b20.【答案】： A4（经典习题）5·12汶川大地震后，山东天成书业公司于2008年8月向北川中学捐赠三维设计系列丛书三万册，计划以后每年比上一年多捐5 000册，则截至到2012年，这5年共捐_万册【解析】：由题意知a13，d0.5S53×5×0.520.【答案】205（经典习题）一个凸多边形的内角成

12、等差数列，其中最小的内角为，公差为，则这个多边形的边数为_6(人教A版教材习题改编)已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为()A4 B6 C8 D10【解析】由题意知：aa1a4.则(a22)2(a22)(a24)，解得：a26.【答案】B7（经典习题）已知数列an是各项均为正数的等比数列，数列bn是等差数列，且a6b7，则有()Aa3a9b4b10Ba3a9b4b10Ca3a9b4b10Da3a9与b4b10的大小关系不确定8（经典习题）若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a3bc10，则a()A4 B2 C2 D4【名校模拟】一基础

13、扎实1(2012云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)已知是等比数列的前项和，与的等差中项等于15. 如果，那么（A）（B）（C）（D）2(2012年云南省第一次统一检测理)在等比数列中，与的等差中项等于，. 如果设的前项和为，那么（A）（B）（C）（D）【解析】：设等比数列的公比为，由已知得，化简得，解得. .选（D）.3(湖北武汉2012毕业生五月供题训练（三）文)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为O的等差数列，若a3 =8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是A13 ,12 B13 ,13 C12 ,13 D13 ,144(仙桃市2012年五月高考

14、仿真模拟试题文)已知，若等差数列的第5项的值为，则。 【答案】：4【解析】：5(2012北京海淀区高三年级第二学期期末练习理)（本小题满分13分）已知公差不为的等差数列的前项和为，且成等比数列. （）求数列的通项公式； （）求数列的前项和公式.6(2012年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试文) (本小题满分12分）已知等比数列an的前n项和为Sn，a1=2, S1 2S2 3S3成等差数列.(I )求数列an的通项公式;(II )数列是首项为-6，公差为2的等差数列，求数列bn的前n项和.7(山西省2012年高考考前适应性训练理)（本小题满分12分）已知数列是公差不为零的等差数列，且，成等比数

15、列（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【解析】：8(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知等差数列的前项和为，公差成等比数列（）求数列的通项公式；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.9(成都市2012届高中毕业班第二次诊断性检测文) (本小题满分12分）巳知数列an的前n项和为，且，数列bn满足，(I)证明：数列an为等比数列；(II)求数列an和bn的通项公式；(III)记，数列cn的前n项和为Tn，比较2Tn与的大小.10(湖北省武汉市2012届高中毕业生五月供题训练（二）理)（本小题满分12分）在数列中，（c为常数，），又成公比不为l的等比数列（I）求证

16、：为等差数列，并求c的值；（）设满足，证明：数列的前n项和11(湖北八校文2012届高三第二次联考)（本题满分12分）已知公差不为0的等差数列的前3项和9，且成等比数列。（1）求数列的通项公式和前n项和（2）设为数列的前n项和，若对一切恒成立，求实数的最小值。二能力拔高 1. (北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）理)定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为( )（A） （B） （C） （D）2. （湖北襄阳五中2012高三年级第二次适应性考试文）已知函数,把方程的根按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（）A B CD3. (北京市西

17、城区2012届高三下学期二模试卷文)（本小题满分13分）在等差数列中，（）求数列的通项公式；（）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和4. (2012年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试理) (本小题满分12分）已知Sn是等比数列an的前n项和，S4、S10、S7成等差数列.(I )求证而a3,a9,a6成等差数列；(II)若a1=1，求数列Wa3n的前n项的积5. （2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)文）(本小题满分12分) 已知数列为公差不为零的等差数列，=1，各项均为正数的等比数列的第1 项、第3项、第5项分别是、 (I)求数列与的通项公式； ()求数列的前项和6. (2

18、012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 理) (本小题满分12分) 已知数列为公差不为零的等差数列，=1，各项均为正数的等比数列的第1 项、第3项、第5项分别是、 (I)求数列与的通项公式； ()求数列的前项和7(2012年高三教学测试（二）理)（本题满分14分）在等差数列和等比数列中，()，且成等差数列，成等比数列（）求数列、的通项公式；（）设，数列的前和为，若恒成立，求常数的取值范围8（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学2012届第三次模拟理）(本小题12分)已知四个正实数前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个与第三个的和为8，第二个与第四个的积为36. ()

19、求此四数； （）若前三数为等差数列的前三项，后三数为等比数列的前三项，令，求数列的前项和9（四川成都2012高三第二次诊断性检测理）(本小题满分12分）已知数列an和bn，b1=1，且，记.(I)证明：数列an为等比数列；(II)求数列an和bn的通项公式；(III)记，数列cn的前n项和为Tn，若恒成立，求k的最大值.【解析】10（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）(本小题满分12分) 已知等差数列数列的前项和为，等比数列的各项均为正数，公比是，且满足：.（）求与；（）设，若满足：对任意的恒成立，求的取值范围.11(湖北武汉2012毕业生五月供题训练（三）文)（奉小题满分12分）某

20、同学在暑假的勤工俭学活动中，帮助某公司推销一种产品，每推销1件产品可获利润4元，第1天他推销了12件，之后加强了宣传，从第2天起，每天比前一天多推销3件问：（I）该同学第6天的获利是多少元？（）该同学参加这次活动的时间至少达到多少天，所获得的总利润才能不少于1020元？三提升自我1. (江西省2012届十所重点中学第二次联考文)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(B)A1升 B.升 C.升 D. 升2. (襄阳五中高三年级第一次适应性考试理)已知定义在上的函数是奇函数且满足，数列满足，且，（其中

21、为的前项和）。则( )A B CD3. (浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期4月联考试题理 )对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是_4. （海淀区高三年级第二学期期末练习文）（本小题满分13分）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列. （）求数列的通项公式；（）求数列的前项和公式.5.（怀化2012高三第三次模拟考试文）（本小题满分13分） 6(浙江省2012届浙南、浙北部分学校高三第二学期3月联考试题理)（本小题满分14分）已知函数的导函数,数列的前项和为,点均在函数的图象上.（）求数列的通项公式及的最大值；（）令,其中,求的前项和7（山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试文）（本小题满分12分）已知数列是等差数列，满足数列的前n项和是Tn，且（1）求数列及数列的通项公式；（II）若，试比较与的大小.8(湖北武汉2012适应性训练理)（本小题满分12分）已知前项和为的等差数列的公差不为零，且，又，成等比数列（）求数列的通项公式；（）是否存在正整数对，使得？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由（注:若用枚举法，最后4分中，得到一