中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案

1、中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案一、圆的综合1 .如图，点P在。的直径AB的延长线上，PC为。的切线，点C为切点，连接 AC, 过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交。于点E.(1)如图 1 ,求证：/ DAC=Z PAC(2)如图2,点F (与点C位于直径AB两侧)在。O上，BF ?A，连接EF,过点F作AD 的平行线交 PC于点G,求证：FG=DE+DG在(2)的条件下，如图 3,若AE=2dG, PO=5,求EF的长.3【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) EF=3j2.【解析】【分析】(1)连接OC,求出OC/ AD,求出OC, PC,根据切线的判定推出即可

2、；(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形 HGDE是矩形，求出 DE=HG FH=EH即 可得出答案；(3)设OC交HE于M ,连接OE、OF,求出/ FHO=/ EHO=45 ,根据矩形的性质得出EH/ DG,求出 OM=1AE,设 OM=a,则 HM=a, AE=2a, AE=- DG, DG=3a, 23MO1CO 1求出 ME=CD=2a, BM=2a,解直角二角形得出 tan/MBO=tanP= 设BM 2PO 2OC=k,则PC=2k,根据OP=J5 k=5求出k=J5,根据勾股定理求出 a,即可求出答案.【详解】(1)证明：连接OC,.PC为。的切线, OCX PC, .

3、ADXPC, .OC/ AD,Z OCA=Z DAC, .OC=OA,Z PAC4 OCA,Z DAC=Z PAC(2)证明：连接 BE交GF于H,连接OH,的1. FG/ AD, / FGD+/D=180 ；d D D=90 ；/ FGD=90 ；.AB为。的直径，/ BEA=90 ,°/ BED=90 ,°/ D=/HGD=/BED=90 ,°四边形HGDE是矩形，DE=GH, DG=HE, Z GHE=90 ,°Bf Af ,/ HEF=Z FEA=1 / BEA=- 90° =45 °, 22/ HFE=90 - / HEF=

4、45 , °/ HEF=Z HFE, .FH=EH,.FG=FH+GH=DE+DG(3)解：设OC交HE于M,连接OE、OF1 . EH=HF, OE=OF HO=HO,2 .FHOAEHO,/ FHO=Z EHO=45 ；四边形GHED是矩形, .EH/ DG,/ OMH=/OCP=90 ,°/ HOM=90 - / OHM=90 - 45 =45 ；/ HOM=/OHM,.HM=MO , .OMXBE,.BM=ME,.OM= 1 AE, 2设 OM=a,贝U HM=a, AE=2a, AE=2DG DG=3a3'' / HGC=Z GCM=Z GHE=9

5、0 ； 四边形GHMC是矩形，GC=HM=a, DC=DG- GC=2a, DG=HE, GC=HM,ME=CD=2a, BM=2a,在 RtBOM 中，tanZ MBO=M0- - 1BM 2a 2' EH/ DP,/ P=/ MBO,CO 1tanP=-,PO 2设 OC=k,则 PC=2k, 在 RtPOC 中，OP=*k=5,解得：卜=而，oe=oc=75,在 RtOME 中，OM2+ME2=OE2, 5a2=5, a=1,HE=3a=3,在 RtHFE 中，/HEF=45, 1-EF=72 HE=372 - 【点睛】 考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理

6、等知识点，能综合运用 性质进行推理是解此题的关键.2.如图，点A、B、C分别是。上的点，CD是。的直径，P是CD延长线上的一点,AP=AC(1)若/B=60°,求证：AP是。的切线；(2)若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E, CD=4,求BE AB的值.【答案】(1)证明见解析；(2) 8.【解析】(1)求出/ADC的度数，求出/P、/ACQ /OAC度数，求出/ OAP=90 ,根据切线判定 推出即可；(2)求出BD长，求出4DBE和4ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案.试题解析：连接AD, OA, / ADC=Z B, / B=60 ；/ ADC=60 ；.CD是直径,

7、/ DAC=90 ；/ ACO=180-90 -6030 ； . AP=AC, OA=OC/ OAC=Z ACD=30 ； / P=Z ACD=30 ,°/ OAP=180 -30 -30 -3090 ；即 OALAP, . OA为半径， .AP是。O切线.(2)连接 AD, BD,.CD是直径,/ DBC=90 ；2 .CD=4, B为弧CD中点，3=2、ZBD=BC=乙 ,/ BDC=Z BCD=45 ,°/ DAB=Z DCB=45 ； 即 / BDE=Z DAB,3 / DBE=Z DBA,.,.DBEAABD,BD AB."F4 .BE?AB=BD?BD

8、=V2 X 20= 8考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质.3.如图，OA过？OBCD的三顶点O、D、C,边OB与。A相切于点O,边BC与。相交于 点H,射线OA交边CD于点E,交。A于点F,点P在射线 OA上，且Z PCD=2Z DOF,以。为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点 B的坐标为(0, - 2).(1)若/ BOH=30 ,求点H的坐标；(2)求证：直线PC是。A的切线；(3)若OD=&0,求。A的半径.势5【答案】(1) ( 1 ,-石)；(2)详见解析；(3).3【解析】【分析】(1)先判断出OH=OB=2,利用三角函数求出 MH, OM,即可

9、得出结论；(2)先判断出/PCD=Z DAE,进而判断出/PCD=/ CAE,即可得出结论；(3)先求出O3,进而用勾股定理建立方程，r2- (3-r) 2=1,即可得出结论.【详解】(1)解：如图，过点 H作HMy轴，垂足为 M.四边形OBCD是平行四边形，/ B=/ODC 四边形OHCD是圆内接四边形/ OHB=Z ODC/ OHB=Z B.OH=OB=2 在 RtAOMH 中， / BOH=30 ； MH=1oH=1, OM=V3mH=6，.点H的坐标为(1, - J3),(2)连接AC.,.OA=AD,/ DOF=Z ADO/ DAE=2/ DOF / PCD=2Z DOF, / PC

10、D土 DAE OB与。相切于点A OBXOF . OB/ CD CDXAFZ DAE=Z CAE / PCD土 CAE/ PCA=Z PCD+/ACE之 CAE+Z ACE=90 °，直线PC是。A的切线；(3)解：OO的半径为r.11在 RtOED中，DE=-CD=- OB=1, OD=Vl0 ,.OE 3. OA=AD=r, AE=3- r.在RtDEA中，根据勾股定理得，r2- (3-r) 2=1.一 5解得r=一.3【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切 线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键.4.如图1,已知扇形 MON

11、的半径为 J2 , /MON=90，点B在弧MN上移动，联结 BM , 作OD，BM,垂足为点 D, C为线段OD上一点，且 OC=BM,联结BC并延长交半径 OM于 点A,设OA=x, /COM的正切值为 y.(1)如图2,当AB±OM时，求证：AM=AC；(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)当4OAC为等腰三角形时，求 x的值.【答案】(1)证明见解析；(2) yx.(ox 72);(3) x"4 后x ； 22【解析】分析：(1)先判断出/ABM=/DOM,进而判断出 OAXBAM,即可得出结论;(2)先判断出BD=DM,进而得出-DMBDME ,进而得

12、出AE=-1( J2 x),再判断出AE2OAOEOCOD2DMOD即可得出结论;(3)分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论.详解：(1)OD)± BM, AB± OM,/ ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM .Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如图2,过点D作DE/AB,交OM于点E. OB=OM, ODXBM, ，BD=DM.1. DE/AB,DMME1. DE/AB,DMODBDAE,AE=EM. 1. OM = V2.AE=1(V

13、2 x).2OAOEOCOD2DMOD(0<x 亚)111(3) (i)当 OA=OC时. DM BM - OC x .在 RtODM 中,222OD,OMDM yDM，OD1-x2'1 22 -x1 2 -x 4-7r解得x屈后或x后我(舍).X . 222(ii)当 AO=AC时，则 /AOO/ACO. / ACO> / COB, /CO&/AOC, . / ACO>/ AOC,，此种情况不存在.(iii)当 CO=CA 时，贝U ZCOA=ZCAO=a, / CAO> / M , Z M=90° - a, . . a> 90

14、6; a, a>45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 °，此种情况不存在.即：当4OAC为等腰三角形时，x的值为 E 衣.2点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立 y关于x的函数关系式是解答本题的关键.5.已知AB, CD都是e O的直径，连接 DB,过点C的切线交DB的延长线于点E.1 如图 1,求证： AOD 2 E 1800；2如图2,过点A作AF EC交EC的延长线于点F,过点D作DG AB ,垂足为点G,求证：DG CF;-DG 3-3如图3,在2的条件下，当 一时，在e O外取

15、一点H,连接CH、DH分别交CE 4e O于点M、N,且 HDE HCE，点P在HD的延长线上，连接 PO并延长交CM于 点Q,若PD 11, DN 14, MQ OB ,求线段HM的长.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3） 873 7【解析】【分析】(1)由 /D+/E=90°,可得 2/D+2/E=180°,只要证明 /AOD=2/D 即可；(2)如图2中，作OR，AF于R.只要证明 4AO宅 ODG即可；(3)如图 3 中，连接 BG OM、ON、CN,彳BTL CL于 T,作 NK±CH于 K,设 CH 交 DE 于W.解直角三角形分别求出 KM

16、, KH即可；【详解】1证明：如图1中，QeO与CE相切于点C,OC CE, OCE 900, D E 900,2 D 2 E 180°,Q AOD COB, BOC 2 D , AOD 2 D , AOD 2 E 1800 2证明：如图2中，作OR AF于RQ OCF F ORF 900,四边形OCFR是矩形，AF/ /CD , CF OR ,A AOD , 在VAOR和VODG中，Q A AOD, ARO OGD 90°, OA DO , VAOR VODG , OR DG , DG CF ,3解：如图3中，连接BC OM、ON、CN,彳BT CL于T,作NK CH于K

17、,设CH 交DE于W.设 DG 3m,则 CF 3m, CE 4m ,Q OCF F BTE 90o,AF/ /OC/ /BT ,Q OA OB,CT CF 3m,ET m ,QCD为直径，CBD CND 90o CBE ,E 90oEBT CBT ,tan E tan CBT ,BT CT ， ET BTBT 3mm BTBT J3m（负根已经舍弃），tan E 避m 6, mE 60°,Q CWD HDE H , HDE HCE ,H E 60°，MON 2 HCN 60°,QOM ON ,VOMN是等边三角形，MN ON ,QQM OB OM ,P 180&

18、#176; H 120°,MOQ MQO ,Q MOQ PON 180° MON 120°,MQOPON P,ON NP 14 11 25,CD 2ON 50, MN ON 25,在 RtVCDN 中，cn Jcd2 DN2 &02 1 42 48，CN 48在 RtVCHN 中，tan h 可生 V3,HN HNHN 16百，在 RtVKNH 中，KH -HN 8H NK HN 24,22在 RtVNMK 中，mk Jmn2 NK2，252 242 7，HM HK MK 873 7 .【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定

19、理、等边三角形的 判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题 的关键.6.在平面直角坐标系 xOy中，点M的坐标为(X1, y1)，点N的坐标为(X2, y2),且 xw2, yW2,以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的坐标菱形(1)已知点A (2, 0) , B (0, 2向)，则以AB为边的坐标菱形”的最小内角(2)若点C (1, 2),点D在直线y=5上，以CD为边的 坐标菱形”为正方形，求直线 CD 表达式；(3)。的半径为 J2,点P的坐标为(3, m).若在。上存在一点Q,使得以QP为【答案】(1) 60

20、°； (2) y=x+1 或 y= x+3； (3) 1Wm<域-5<1【解析】 分析：(1)根据定义建立以 AB为边的坐标菱形”，由勾股定理求边长 AB=4,可得30度角，从而得最小内角为 60°(2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45。，得D (4, 5)或(-2, 5),易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3;(3)分两种情况：先作直线y=x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1, PB=5,写出对应P的坐标； 先作直线y=-x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x,如图4,同

21、理可得结论.详解：(1)二,点 A (2, 0) , B (0, 2 百)，QA=2, OB=2 J3 ,在 RtAOB 中，由勾 股定理得：AB=亚(2有 2 =4,ABO=30 °.四边形 ABCD是菱形，Z ABC=2Z ABO=60 °.,AB/ CD,Z DCB=180 - 60 °=120.以AB为边的 坐标菱形”的最小内角为60°.故答案为：60。； (2)如图2.以CD为边的坐标菱形”为正方形，.直线CD与直线y=5的夹角是45 °.过点C作CH DE于E, /.D (4, 5)或(-2, 5),，直线CD的表达式为：y=x+1

22、或y= x+3;(3)分两种情况：先作直线y=x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=x,如图3.0O的半径为 我 ,且OQ'D是等腰直角三角形， OD=72 OQ'=2,P'D=3-2=1 . aDDB是等腰直角三角形，PB=BD=1,P (0, 1),同理可得：OA=2,.AB=3+2=5.ABP是等腰直角三角形，PB=5,，P (0, 5) , 当1前W5时，以QP为边的 坐标菱形”为正方形； 先作直线y=-x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=- x,如图4. OO的半径为 衣，且OQ'D是等腰直角三角形，-od=.2OQ'=2,BD=3- 2=1

23、 . 4口口3是等腰直角三角形，P-B=BD=1,，P'(0, - 1),同理可得： OA=2, .AB=3+2=5. ABP是等腰直角三角形，.PB=5, P (0, - 5) , 当-5前W- 1时，以QP为边 的坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1前W5或-5前w-1.点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P, Q的坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目.7.如图，AB是圆。的直径，射线 AMLAB,点D在AM上，连接 OD交圆。于点E,过点D作DC=

24、DA交圆。于点C （A、C不重合），连接 OC、BC CE（1）求证：CD是。的切线;（2）若圆。的直径等于2,填空: 当AD=时，四边形 OADC是正方形; 当AD=时，四边形 OECB是菱形.【答案】（1）见解析；（2）1 ；J3 .【解析】试题分析：（1）依据SSS证明OAD0OCD,从而得到/OCD=/ OAD=90;（2） 依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；依据菱形的性质得到 OE=CE则4EOC为等边三角形，则 /CEO=60°,依据平行线的性质可知/ DOA=60 ,利用特殊锐角三角函数可求得AD的长.试题解析：解： AMXAB,/ OAD=90 :. OA=OC

25、, OD=OD, AD=DC,.OADAOCD,/ OCD=Z OAD=90 :OCX CD,.CD是。O的切线.(2)二.当四边形OADC是正方形，.AO=AD=1.故答案为：1 .二.四边形OECB是菱形， .OE=CE又. OC=OE.OC=OE=CE/ CEO=60°.1. CE/ AB,/ AOD=60 :在 RtA OAD 中,/ AOD=60 , AO=1, .AD=.自故答案为：不点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等 边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键.8.如图，4ABC是。O的内接三

26、角形，点D,E在。O上，连接AE,DE,CD,BE,CE,/ EAC+/ BAE=180 , °?B CD .(1)判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；(2)求证：ABEDCE;(3)若/EAC=60, BC=8,求。的半径.8-33【答案】(1) BE=CE理由见解析；(2)证明见解析;【解析】分析：(1)由A、B、C、E四点共圆的性质得：/BCE+Z BAE=180,贝U /BCE玄EAC,所以？E= CE，则弦相等；(2)根据SSS证明ABEDCE;(3)作BC和BE两弦的弦心距，证明 RtA GB8 RtAHBO (HL), OH=x,则OB=2x,根据勾股定理列方程求

27、出 x的值，可得半径的长. 本题解析：(1)解：BE=CE理由：. /EAC+Z BAE=180, Z BCE-+Z BAE=180, / BCE玄 EAC,?E= Ce，.BE=CE(2)证明： aB Cd， ab=cd:？e=Ce, Ae Ed，ae=ed由(1)得：BE=CE在 ABE和ADCE中，AE DE AB CD , BE CE.ABEADCE (SSS ;(3)解：如图，二.过 O 作 OGL BE 于 G, OHXBCT H,BH= 1 BCX 8=4 BGBE,222 BE=CE / EBC=Z EAC=60 , ° BEC 是等边三角形,BE=BCBH=BG,.

28、OB=OB,RtAGBO RtAHBO (HL),/ OBH=Z GBO/ EBC=30,°2设 OH=x,贝U OB=2x,由勾股定理得：(2x) 2=x2+42, x=4/3,3.OB=2x=M3 , OO 的半径为 量3 .33点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定 理、直角三角形30。的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的 结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键9.对于平面直角坐标系 xOy中的线段MN和点P,给出如下定义：点 A是线段MN上一个 动点，过点A作线段MN的垂线1,点P是垂线l上的另外一个动点.

29、如果以点 P为旋转中 心，将垂线1沿逆时针方向旋转 60。后与线段MN有公共点，我们就称点 P是线段MN的关联点如图，M (1, 2) , N (4, 2).(1)在点Pl (1,3), P2 (4, 0) , P3 (3, 2)中，线段MN的关联点”有(2)如果点P在直线y x 1上，且点P是线段MN的关联点”，求点P的横坐标x的取 值范围；(3)如果点P在以O (1, 1)为圆心，r为半径的OO±,且点P是线段MN的关联 点”，直接写出OO半彳仝r的取值范围.【答案】(1)P1 和P3；(2)1<x< 亚；(3)冕3wrW3V3./AMN=45 ,求出a即可得出结果;

30、r的最小值，分别求出两【解析】【分析】(1)先根据题意求出点 P的横坐标的范围，再求出P点的纵坐标范围即可得出结果；(2)由直线y=x+1经过点M (1, 2),得出x>,设直线y=x+1与P4N交于点A,过点A作ABMN于B,延长 AB交x轴于C,则在 AAMN中，MN=3,ZANM=30 °,设 AB=MB=a, tan Z ANM= -AB ，即 tan30 = a,BN3 a(3)圆心O到P4的距离为r的最大值，圆心 。到MP5的距离为个距离即可得出结果.【详解】(1)如图1所示：I图1,点A是线段MN上一个动点，过点 A作线段MN的垂线1,点P是垂线l上的另外一个动

31、点，M (1, 2) , N (4, 2),，点P的横坐标1W x/4以点P为旋转中心，将垂线1沿逆时针方向旋转 60后与线段MN有公共点，一 一 MN 3当/MPN=60 时，PM=-= = 73tan60 J3 一 '同理P' N=3 ,，点P的纵坐标为2- J3或2+ J3 ,即纵坐标2-73 <y< 2+3,，线段MN的关联点”有P1和P3；故答案为：Pi和P3 ;(2)线段MN的 关联点午的位置如图所示，直线y X 1经过点m（1, 2）, x> 1.设直线y x 1与P4N交于点a .过点A作ABXMN于B,延长 AB交x轴于C. 由题意易知，在

32、4AMN 中，MN = 3, / AMN = 45； / ANM = 30： 设 AB = MB = a,ABa.tan ANM ,即 tan30 ,解得a 3.2，点A的横坐标为x a 133 333 1x综上(3)223/3 1 .2d 3 .3 11 x .2点P在以O (1, -1)为圆心，r为半径的OO±,且点P是线段MN的关联点”，如图3所示：4 D /r O图3连接P4O交x轴于点D, P4、M、D、O共线，则圆心。到P4的距离为r的最大值，由(1)知：MP4=NP5 = J3,即 OD+DM+MP4=1+2+T3=3+73,圆心。到MP5的距离为r的最小值，作 OEL

33、 MP5于E,连接OP5, 则OE为r的最小值，MP5= JmN2_NP52 =s/32(6)2 =2向,OM=OD+DM=1+2=3, OMP5 的面积=-OE?MP5=-OM?MN，即X OEXV3 = X 3内3 2222解得：oe=23,23'32【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握 关联点”的含义，作出关于 MN的 关联点”图是关键. - & r w 33 .10.如图，AC是。的直径，OB是。的半径，PA切。于点A, PB与AC的延长线交 于点 M , / COB= / APB.(1)求证：PB是。的切线；(2)当M

34、B=4, MC=2时，求。的半径.(2) 3.【解析】【分析】(1)根据题意 /M + /P= 90°,而/COB=/APB,所以有 /M + /COB= 90°,即可证明 PB 是。的切线.(2)设圆的半径为r,则OM=r+2,BM=4,OB=r,再根据勾股定理列方程便可求出r.【详解】证明：(1) .AC是。的直径，PA切。O于点A, PAX OA在 RtA MAP 中，/ M + / P= 90 ；而 ZCOB= / APB,/ M+/ COB= 90 °,/ OBM=90 °,即 OB± BP,.PB是。的切线；(2)设OO的半径为r,

35、OM r 2 ,OB r ,BM 4Q OBM为直角三角形.OM2 OB2 BM2,即(r 2)2 r2+42解得：r=3,OO的半径为3.【点睛】本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径，另一种是 证明半彳5垂直.11.如图，DABCD勺边AD是4ABC外接圆。的切线，切点为 A,连接AO并延长交BC 于点E,交。O于点F,过点C作直线CP交AO的延长线于点 P,且/BCP=/ACD.(1)求证：PC是。的切线；(2)若/B= 67.5 °, BC= 2,求线段PC, PF与弧CF所围成的阴影部分的面积 S.【答案】(1)见解析；(2) 1【解析】【分析

36、】(1)过C点作直径CM,连接MB,根据CM为直径，可得/M+/BCM=90°, 再根据AB/ DC可得/ ACD= / BAC,由圆周角定理可得 / BAC= / M, / BC之ZACD,从 而可推导得出PCM= 90。，根据切线的判定即可得；(2)连接OB,由AD是。的切线，可得 /PAD= 90°,再由BC/ AD,可得API BC,从而得BE= CE= 1 BC= 1 ,继而可得到 /ABC=/ACB= 67.5 ；从而得到Z BAC= 45°,由圆周2角定理可得Z BOC=90,从而可得Z BOE= Z COE= Z OCE= 45 °,根据

37、已知条件可推导得出OE= C曰1 , PC= OC= JOE2 CE2 J2，根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影部分的面积.【详解】(1)过C点作直径CM,连接MB,.CM为直径，/ MBC= 90 ;即 / M+ / BCM= 90 °, 四边形ABCD是平行四边形， .AB/DC, AD/ BC,/ ACD= / BAC, / BAC= ZM, / BCP= / ACD,. . / M = / BCP, / BCP匕 BCM= 90 ；即/ PCM= 90 °, CMXPC, .PC与。O相切；(2)连接OB,.AD是。的切线，切点为 A,OAXAD,即 / PAD

38、= 90 ；4_1八/AEB=/PAD= 90 , /.API BC. . BE= CE= - BC= 1,2.AB= AC,Z ABC= Z ACB= 67.5 ；/ BAC= 180 ABC / ACB= 45 °,/ BOC= 2/ BAC= 90 ;-. OB= OC, APXBC,/ BOE= / COE= / OCE= 45 / PCM= 90 ；/ CPO= / COE= / OCE= 45 ,°.OE=CE= 1 , PC= OC= Joe2 ce26，S= Sa poc- S 扇形 ofc= 1 3602【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径

39、定理、扇形面积等，综合性较 强，准确添加辅助线是解题的关键.12.如图，线段BC所在的直线 是以AB为直径的圆的切线，点 D为圆上一点，满足 BD= BC,且点C、D位于直径AB的两侧，连接 CD交圆于点E.点F是BD上一点，连接EF,分 别交AB、BD于点G、H,且EF= BD.(1)求证：EF/ BC;(2)若 EH= 4, HF= 2,求？E 的长.2 【答案】见解析；(2) - . 33 '【解析】【分析】(1)根据EF= BD可得EF= ?d ,进而得到BE = DF,根据 在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.(2)连接DF,根据切线的性质及

40、垂径定理求出GF、GE的长，根据 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 ”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出ZBHG,进而求出/BDE的度数，确定 BE所对的圆心角的度数，根据 /DFH= 90°确定DE为直径，代入 弧长公式即可求解.【详解】 ; EF= BD, Ef= ?d Be = Df/ D= / DEF 又 BD= BC,/ D= / C,/ DEF=/ CEF/ BC(2) .AB是直径，BC为切线，ABXBC又 EF/ BC,ABXEF7,弧 BF=M BE,1GF= GE= 2(HF+EH)=3, HG=1DB 平分 / EDF,又 BF/ CD,/ F

41、BD= / FDB= / BDE= / BFH.-.HB=HF= 2HG 1cos/ BHG= = , / BHG= 60 .HB 2/ FDB= / BDE= 30 °，/DFH= 90； DE为直径，DE= 4后，且弧BE所对圆心角=60°.12，弧 be= - x 4-73 = - J3 63【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键13.在直角坐标系中，。为坐标原点，点 A坐标为(2, 0),以OA为边在第一象限内作 等边AOAB, C为x轴正半轴上的一个动点(OC&g

42、t;2),连接BC,以BC为边在第一象限内 作等边 BCD,直线DA交y轴于E点.(1)求证：OBCABD(2)随着C点的变化，直线 AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变,请求出直 线AE的解析式.(3)以线段BC为直径作圆，圆心为点 F,当C点运动到何处时，直线 EF/直线BO；这时 O F和直线BO的位置关系如何？请给予说明.【答案】(1)见解析；(2)直线AE的位置不变，AE的解析式为：y 4x 2第；(3) C点运动到(4,0)处时，直线EF/直线BO;此时直线BO与。F相切，理由见解析. 【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可得到OB=AB, BC=BD, Z OBA=Z

43、 DBC,等号两边都加上/ABC,得到/OBC=/ ABD,根据“SAS到 OBX ABD. (2)先由三角形全等，得到 /BAD=/ BOC=60 ,°由等边 ABCD,得至U / BAO=60 ,°根据平角定义及对顶角相等得到 /OAE=60 在直角三角形 OAE中，由OA的长，根据tan60的定义求出OE的长，确定出 点E的坐标，设出直线 AE的方程，把点 A和E的坐标代入即可确定出解析式.(3)由EA/ OB, EF/ OB,根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得到 EF与EA重 合，所以F为BC与AE的交点，又F为BC的中点，得到 A为OC中点，由A的

44、坐标即可 求出C的坐标；相切理由是由 F为等边三角形 BC边的中点，根据 主线合一 ”得到DF与BC 垂直，由EF与OB平行得到BF与OB垂直，得证.【详解】(1)证明：4OAB和4BCD都为等边三角形， .OB=AB, BC=BD /OBA=/ DBC=60 ,° / OBA+/ ABC=Z DBC+Z ABC, 即 / OBC=Z ABD,在OBC和ABD中，OB ABOBC ABD , BC BD.,.OBCAABD.(2)随着C点的变化，直线 AE的位置不变， -/OBCAABD,/ BAD=Z BOC=60 ；又 / BAO=60 ,/ DAC=60 ；/ OAE=60 ；

45、又 OA=2,在 RtAOE 中，tan60 °=OE, OA则OE=2君，点E坐标为（0, -2，设直线AE解析式为y=kx+b,把E和A的坐标代入得：0 2kb2点b 'k ,3解得，_ ,b2 J3直线AE的解析式为：y J3x 2，3.（3） C点运动到（4,0）处时，直线EF/直线BO;此时直线BO与。F相切，理由如下: / BOA=/ DAC=60 ； EA/ OB,又 EF/ OB,则EF与EA所在的直线重合， 点F为DE与BC的交点，又F为BC中点， .A 为 OC 中点，又 AO=2,贝U OC=4, 当C的坐标为（4, 0）时，EF/ OB,这时直线BO与

46、。F相切，理由如下：.BCD为等边三角形，F为BC中点， .DF'BC,又 EF/ OB FBI OB, 直线BO与。F相切，【点睛】本题考查了一次函数；三角形全等的判定与性质；等边三角形的性质和直线与圆的位置关 系.熟练掌握相关性质定理是解题关键 .14.在平面直角坐标系 XOY中，点P的坐标为（xi, yi）,点Q的坐标为（x2, y2）, X1力2,若P、Q为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x轴平行（含重合），则称互为向善点如图1为点P、Q互为向善点”的示意图.已知点 A的坐标为（1, J3）,点B的坐标为（m, 0）（1）在点M （- 1 , 0）、S （2, 0）、T （3

47、, 3 J3）中，与A点互为 向善点”的是；（2）若A、B互为向善点”，求直线AB的解析式;(3) OB的半径为J3,若。B上有三个点与点 A互为 向善点”，请直接写出m的取值范 围.TIV 。Q-s 今“0ird ?"图'I【答案】(1) S, T. (2)直线AB的解析式为y= J3x或y=- J3x+2J3； ( 3)当-2 vmv0或2vmv4时，OB上有三个点与点 A互为 向善点【解析】(1)根据等边三角形的性质结合(2)根据等边三角形的性质结合验后可得出点B的坐标，根据点向善点”的定义，可得出点 S, T与A点互为向善点【分析】向善点”的定义，可得出关于 m的分式

48、方程，解之经检A, B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析A；(3)分OB与直线y=J3x相切及OB与直线y=-J3x+2J3相切两种情况求出 m的值，再 利用数形结合即可得出结论.;红®亘“e,刖60成电Mtan60 1(1)22 13 1点S, T与A点互为恂善点”.故答案为S, T.(2)根据题意得： 30 33, |m 1|解得：m1 = 0, m2=2,经检验，m1=0, m2 = 2均为所列分式方程的解，且符合题意, ，点B的坐标为(0, 0)或(2, 0).设直线AB的解析式为y= kx+b (吐0 ,B (0, 0)或(2, 0)代入 y=kx+b,得:k b

49、k b或b 02kb 0解得:3或 k0 b、31直线AB的解析式为y= 而x或y=-mx+2 73 .(3)当OB与直线y= J3x相切时，过点B作BE,直线y= J3x于点E,如图2所示.，OB=2,，m= - 2 或 m = 2；当OB与直线y=-，3x+2 J3相切时，过点B作BF，直线y= - J3x+2，3于点F,如图3所示.74/同理，可求出 m = 0或m=4.综上所述：当-2vmv0或2vmv4时，OB上有三个点与点 A互为 向善点 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角

50、形的性质结合向善点”的定义，确定给定的点是否与 A点互为向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出 一次函数解析式；（3）分OB与直线y=J3x相切及OB与直线y=-J3x+2J3相切两种情 况考虑.15.（问题情境）如图1,点E是平行四边形 ABCD的边AD上一点，连接 BE、CE请以问题情境”为基础，继续下面的探究(探究应用1)如图2,以平行四边形 ABCD的边AD为直径作OO,。与BC边相切于点 H,与BD相交于点M.若AD= 6, BD=y, AM = x，试求y与x之间的函数关系式.(探究应用2)如图3,在图1的基础上，点 F在CD上，连接 AF、BF, AF与CE相交于点 G,若 AF= CE,求证：BG平分 /AGC.(迁