探索数学学习领域

1、探索數學學習領域評析能力之行動研究辦理機關：新竹縣教育研究發展暨網路中心指導教授：新竹教育大學 蔡文煥教授、林碧珍教授研究單位：新竹縣鳳岡國小研究主持人： 古富禎校長、蔡寶桂老師研究成員： 新湖國小 蔡寶桂老師中華民國九十四年十月二十四日探索數學學習領域評析能力之行動研究摘要本研究採行動研究之方式，探索評析能力於教學現場之教學策略與具體表現。然而，於五年級的數學教學實踐中，歷經班級討論文化的經營、研究者依循課程設計、教材教學角度詮釋評析的慣性，造成僅見教學者評析而不見學習者之評析的現象，再加上學童評析能力的培養需以數學知識為基礎，非短期教學活動可達成，因此，在實務與理論的交替實踐下，深感僅從數

2、學課程層面瞭解評析是不足的。因此，研究者再度從後設認知、批判思考和省思三個理論層面探索評析的內涵，且察覺身為現場教師服鷹於課程權威之霸權下，而未能真正從研究層面檢視我國課程綱要之數學能力內容的適切性。整個研究歷經評析內涵的來回質疑、檢視、辯證後，重拾評析之能力的面向，以建構有利班級討論文化之學習環境，營造評析思維之意向養成，掌握學童之數學學習先備知識，奠定後設監控、推論、澄清之基礎能力，方能幫助學習者展現評析能力，進一步探索評析能力的具體表現。關鍵詞：評析、後設認知（metacongnition）、批判思考(critical thinking)、反思(reflect)壹、 旁白九年一貫課程中雖

3、以能力指標取代原有之課程標準，然而在課程的實踐與修訂的思維上，仍然忽略能力養成的意涵，僅從數學知識面上做教學時間的調整，造成現場教學中紛擾不斷的課程綱要銜接問題。因此，如何在現場的教學中，跳脫以數學知識為教學目標的方式，改以能力面向的養成，始能擺脫教材變與不變的被動因應，改為主動思維學生數學學習能力的培養。然而，數學能力的面向十分複雜，因此，本研究僅以九年一貫數學學習領域課程綱要之連結的評析能力為研究主題，一來進行文獻分析探索評析能力的內涵、二來也在現場教學執行中，將評析能力之內涵具體化，以尋求有效之教學策略。但因本研究為此研究領域之探索性研究，因此，在整個行動研究的歷程中歷經兩次的研究架構調

4、整。進入教學現場之初，將研究的焦點放在教師與學生之間的數學教學現場（如圖1-1），此階段為九十四年四月進入現場，經過三個月的教學後，共計四單元、22堂課，分別以錄影帶紀錄數學教學之外，還包括研究者之研究日誌、學生數學日記、數學作業簿和數學素描簿。由於課程進行中採教師佈題、小組討論，全班討論，而教學錄影主要採定點拍攝方式，因此，在教學錄影資料中，無法清楚辨識各組學童的組內對話。建議日後如果進行此研究，應在各組分別擺放錄音設備為佳。圖1-1：初期之研究架構第二階段則發覺難以在短時間內於教學中催化出評析的能力，且不斷地在現場中摸索、修正研究者對於評析的概念，因此，將對評析的解讀從教學現場轉移到文獻分

5、析中。在這一連串的計畫執行、省思修正迴圈中，最主要的是研究者的詮釋角度，在行動研究中研究者即研究工具，如何能透視研究者之潛在主觀的價值思維，剝離本身之威權信仰和有色眼鏡，以求逐漸清澈之觀點，為研究過程中不斷追求的目標。因此，從研究者對於評析之潛在觀點的轉變，本研究之歷程主要分為信奉課程綱要之權威，詮釋能力指標之教師和破除課程綱要之權威，結構能力指標之教師兩大階段。圖1-2：探索評析內涵的研究架構與歷程貳、 班級討論文化的經營一、 你來唱、我來和進入一位合作教師的班級，彼此間主客的拿捏、互動的默契與對於同一個班級的數學教學期待落差是必然存在的。我已經進入這個班級進行數學教學一個學期了，由於原班的

6、教學並不重視學童間的討論文化，因此一張張座位排排面向講台、對著老師聽課，是我們進入一個高年級的教室中的常態，而我以來者是客、隨喜、隨緣和感恩的心，以配合原班老師的教學為主、不增加原班老師的負擔為原則，因此，我們之間的互動僅在於我向原班老師說明每次教學處理的用意和尚未完成的部分，至於座位、教學風格等，都維持原狀。那麼對我而言，進入這堂數學教室我獲得的是什麼？不外是對教材處理的親身經歷，並且嘗試自己發展之教學策略、進行數學概念的鋪陳。因此，此時的主角是數學教材、是站在台上的我，反而不是學生！但是，當打算提案進行此研究之時，何謂評析？、如何培養？、該如何問話？等的問題已經提早進入我的教學活動中了。二

7、、 分組教學的開始這件事的轉變應該從教學結束之後談起！雖然心中一直期待能夠改變一對多教師對學生的教學模式，也思索著如何改變目前的教學現場，但心中總掛記著這是希望班導師的班，一般而言，五年級教師總會有時間壓力與教學進度上的壓力，且討論的教學模式一般教師總覺得太浪費時間，而我不應該在兩人互動的數學教學中過於強勢，以免破壞合作氣氛，沒想到老天爺居然給了我這個機會。當我依照原班導師討論後的結論進行教學（希望班導師一直界定我提供孩子正確的概念，而他則針對學童的計算能力進行加強)，加強學童帶分數加減、異分母加減這兩個部分，然原班導師提到進行教學活動之前，他利用上課時間已經把策略性的內容教給學生，可是他又覺

8、得孩子並不太了解，因此希望我針對這個部分的概念進行加強，可是那一天的教學我並不愉快，因為感覺上同學似乎覺得這個議題太過於簡單，再加上我必須在包與柱，以一為單位和以單位分數為單位這兩件事情上進行澄清，而同學表徵上不是漏掉了包，就是無法接受用數字表達，而希望全部把裡面所有的香畫出來，以至於時間上花了很多時間在表徵的澄清上，而祥祥等小朋友的反應讓我覺得這件事對他們而言並不難，可是內心也知道這只是班級上課的假象，班上一定還是有人無法了解。當我向原班導師提出我的困難時，導師也表示班上學生會的和不會的落差很大，是否可以將學生針對能力高低進行分組，討論到這裡我內心不禁暗自開心起來，於是在傾聽完班導師的意見後

9、，也提出我自己的具體做法，並且和班導師討論起分組的安排！也成就了今天的教學！到目前為止，分組教學的座位已經調整過三次，一次為人物的微調，將較能帶動討論氣氛的同學改到氣氛沈悶的組別，之後則為能力分組後高、中、低能力組的位置調整，將能力較高的組別挪到後面，能力中等者往前移。這樣的安排是否為最理想，其實仍待現場實踐中不斷修正。三、 分組後的掌握學童學習狀況之困難四人小組有助於組內的討論進行，然而由原先的五組到七組，教師如何能展現八面如來的千手、千眼之能力，成為我努力的最大方向。針對風雲隊的討論文化一直沒有辦法良善發展，採取了不同的策略。從開始進行分組教學討論起，為了讓瘋狂小子（原本低成就的一組)能順

10、利地進入討論文化經過幾次的經營之後，反倒發現這群孩子他們的直觀能力很強，對於基礎概念的在意程度遠比高成就的孩子還要來得敏銳因此，對於要細膩地照顧、引導一個小組，協助其發展討論文化，亦或是插花式的點綴參與，都是研究者的兩難。雖然在策略上設計了小組討論的紀錄單（登記次數），鼓勵並掌握全班發表的情形，但是對於小組內發表的個別內容和想法，卻遙不可及。再加上，目前同學的討論文化與評析能力皆尚未建立的情況下，提昇有意義的提問內容，增進發言者的自省機會，是需要努力耕耘的部分。如適鼓勵各組知識長的帶領成效，或者根據學生的個性調配角色。連著兩次芬芬的小組的情況皆無法改善，也發現芬芬常不讓同組的同學講話，甚至會利

11、用手上的發言條，約束學生的常規。因此，在今天適度地藉由知識長的分享與強調人盡其才的觀念，將芬芬的知識長之頭銜移到光光四、 尋找適合學生評析表現的媒材在進入現場時，不斷地努力經營班上的討論文化和進行數學日誌的命題，心中的預期不外乎是希望能夠讓學童於上課的討論中看到他們的評析內涵，從學童數學日記的解題上看到評析的蛛絲馬跡，然而，這樣的想法在執行數學日記的過程中卻有了迷惑：從教學現場回來之後，突然覺得數學日記是否是最好的管道，培養孩子溝通表達評析能力的管道呢？或許應該是說執行的形式上產生的隔閡。由於自己本身執行數學日記的經驗主要是偏重在教學事件的再憶（如圖4-4），以掌握全班學生對於當時情境的想法與

12、思維。然而也因此學童進行數學日誌的解題和表達也都會有時間延遲的因素，從學童的數學日誌表現中發現學生似乎很難在事隔一天之後，仍然能夠清楚完整的表達出他的看法（或許真的沒看法？也或許我的文字功力不佳，無法有效引導)因此，在數學教學上做了幾個轉變：先幫每位學生添購素描簿，使其兼具數學作業簿可以隨時取出使用的時間彈性優勢，再改良數學作業簿版面過小、文字過小不利討論進行的缺點，以四開素描簿的書寫空間，讓學童不但可以充分表達個人的想法，尚可清晰地與小組內的同學溝通討論，也能在全班討論時展示得更清楚；其次，真正將學習主題回歸給學生，改變教師不斷問話、學生回答的模式，變成在教師佈題之後先進行個人解題、之後小組

13、討論，再進入全班討論。五、 再接再厲、繼續努力時至研究案進行到九十四年的六月底，整個班級的討論文化經營約三個月不到。研究者雖努力於同儕間的互動經營，但是成效不彰，可行的策略也尚未具體化、成果更需用時間去等待。而該班的數學教學雖然已經結束，但是對於如何建立班級討論文化，以及協助此文化於評析能力發展之相互影響，是研究者進入下一個新的教學班級所必須持續努力的。參、 評析內涵的澄清整個研究對於評析內涵的澄清是一個動態的歷程。從一開始在數學教室之教學中尋找評析的具體內容，到跳出教學現場於文獻分析中結構評析的內涵，而第二階段之評析的探討，研究者服鷹於九年一貫課程的能力指標之詮釋，以課程綱要為最高指導原則之

14、想法下，進行文獻的探討，然而，此時的文獻主要是幫助研究者掌握與評析相關的理論背景，但對於評析的認識還是以九年一貫能力指標的條文為主；轉而，在諍友（教授諮詢）的批判思維引導下，警覺自己在進行該研究時之現場實踐教師而非研究者的心態，影響了整個行動歷程中對於評析內涵探索的獨尊課程綱要，而始終在課程綱要所擁有之文字間打轉。再者也在諍友的提醒下，重新思索班級討論文化對於評析內涵的探討為必要或充分條件？而從研究方法的層面進行省思，搭配對於評析之能力或策略的釐清，再一次回到了班級討論文化對於學童評析能力培養之重要性。以下分為信手拈來之評析、評析本尊何在和重回評析能力的型塑三大部分進行描述：一、 信手拈來之評

15、析（一）從統整課程設計中之評析的解讀教學歷程之一評析對研究者而言並不陌生，因為早在三年級擔任教育部深耕種子教師的培訓中，即以數學學習領域之連結主題的能力指標為核心，進行統整課程設計或以數學領域為主的課程設計，亦即將連結視為一個教學流程察覺轉化解題溝通評析。因此，想當然而，所謂評析即是在從生活中的情境（察覺）、發掘問題（轉化）、並依數學方法、策略進行一系列的解題活動後，將個人、或組內、甚至是以班為單位進行解題策略、想法的溝通，之後則進入評析的階段。也就是經由開放解題到善用數學語言、一般語言進行個人解題觀點的溝通、討論後，進入形成共識的階段，而此階段之共識的尋求尚包括解題策略的提昇。如此的評析觀點

16、與楊德清（2003）在行政院國家科學委員會九十二年度專題研究計畫成果報告中之九年一貫數學學習領域能力指標之詮釋：國小連結主題之教學實例的探究相仿。因此，對於研究者而言，讓學童比較不同解題策略、從不同的解題策略討論中可以自我修正、甚至接受更高級的數學解題即是評析在課室中的出現。在這樣的觀點之下，其實評析是每節數學概念學習之後必經的歷程。但是，之前的著眼點是從教師教學的觀點看待評析，且這樣的評析解讀似乎完全漠視其認知理論、心理層面的種種問題，那麼也就無從發揮評析於學童數學能力啟發的功能。因此，轉而期待從後設認知、批判思考的角度看待進入教室後，在教師提問與學生回答之間的師生對話中，所隱含著的評析。（

17、二）從各國數學課程分析出發之評析數學能力之一警覺自己對於評析的理解僅偏重在本身之數學教學活動設計上，即使進行過各國數學課程的分析，仍然只是知識內容，仍未對我國數學課程之連結主題中的評析有更進一步的認識。因此，回頭檢視各國數學課程時，都以評析能力指標中之文字進行比較，如從能力指標之動詞和名詞兩個角度進行分析。此外，因為將連結視為教學活動流程中的一環，因此在評析之前的溝通活動需要藉由語言符號的輔助，但是探討學童的評析表現又何嘗不需要用到語言符號的輔助呢？因此，除了從各國數學課程中抽離評析的動詞和名詞之外，也針對溝通和評析進行比較。（三）從數學教學現場探索之評析霧裡看花1、數學知識影響學童的評析表現

18、（1）表徵多元卻難以判斷正確與否在分數列式表徵的分組討論前，提醒同學可以提出的問題，例如：你的算式是什麼意思？你的圖形在表示什麼？你的包在哪裡？等，釐清單位的問話，並規定發表的順序，且知識長要協助發表次數的紀錄。而由於研究者希望在分組討論時能夠幫助低成就這一組的互動，以免造成彼此乾瞪眼的狀況，所以參與了他們的討論，也看到令人欣慰的結果，同學可以在組內發展出多元表徵，但是在全班討論時卻無法針對他人的表徵方式提出質疑，即使單位表達已經出現錯誤，而在下課鐘聲的催促下，一次又一次的嘗試，總是原地盤整。(2)課程銜接造成填鴨與窄化的解題思維對於能夠回答出問題的同學，也缺乏回到問題、回到原先的解題策略重新

19、評估，而多偏重在形式回答，再者學生對於數學解題的方法上並未存在著多元的趨近路線。如等值分數與分數乘法之數學日記的表現上，學生都傾向名詞或者事後結果的說明上，而無法從數學內涵的角度進行評析。此可能與五年級學童在歷經九年一貫暫綱與正式綱要之間的銜接補強，使得學生對於數學學習的價值都偏重在最後能夠獲得結果，而老師如何提供一條能減少學童認知負荷的路線供其學習，而非學生如何在學習的過程中做腦力開發的最大激盪。這樣的現場數學氛圍的流露，將扼殺整個數學能力培養的學習環境。2、過於偏重教材處理的評析階段的二、 評析本尊何在？然而，以上之評析解讀的發展階段似乎陷入了個人的喃喃自語而迷惘。因此，在九十三學年度下學

20、期結束後，跳脫現場思維，從文獻閱讀中找尋自己迷失的道路。而此時，對於文獻的詮釋分成兩個不同的立場，一為以我國連結主題為主，尋找文獻的支撐；但經由教授的醍醐灌頂後，暫時拋開我國能力指標之約束，從理論和實證研究的觀點重新檢視評析。（一）回歸文獻探討重新出發裹著我國數學課程的纏腳布在此階段進行了各國數學課程比較和後設認知以及批判思考的探討（參見第二章文獻探討），而此部分的文獻探討仍然逃不出評析字眼上的比較，即使是閱讀後設認知理論或以批判思考的角度進行閱讀，都只是期待能從中獲得解釋、或瞭解、掌握評析的內涵和精神，殊不知一條又臭又長的纏腳布已經一圈又一圈的束敷了自己。讓一紙課程綱要的所有遣詞用句，掩蓋了

21、國內外學術界發展多年的理論基礎，基於認知心理學的後設認知和批判理論哲學基礎下的批判思考。這是一位現場教師的原罪，即使在高喊九年一貫課程理念多年的今天，雖然課程鬆綁、權力下放，期待提高教師的教育自主權，但是深埋在教師心中的行政權威依然根深蒂固。直到林碧珍教授從美國NCTM基於數學教育研究基礎而發展出來的課程之特性，和我國課程綱要產出的方式進行比較，幫助研究者自覺看待課程綱要的潛在態度。如此，也開闢了一條更寬廣的空間，讓研究者可以回歸理論基礎，從新檢視評析！（二）跳脫數學課程綱要的評析此時，評析已經不再是由闡釋、審視、提出新觀點、優缺比較、一般化等的字眼，跳脫文字和思維上的限制，從理論基礎談評析的

22、靈魂，應該要從批判理論哲學基礎之批判性思考、省思之角度切入，再從一個人的認知角度來看，這種歷程的調控過程及影響因素。此階段，省思的文獻也進入，即使之前猶豫著能力指標內容中是否有它。而在文獻資料的查閱上，也脫離了以前的窘境，輸入評析、評估後看到寥寥無及甚至全無的研究資料。再者，回到各國數學課程比較的發現中，當時為了以評析為主軸，而將各個分散在不同主題的評析集中起來解釋，但是現在拋開九年一貫的枷鎖後，要思考的是為何這些國家的課程中並未將評析獨立出來？而評析的能力是否可以單獨培養呢？在NCTM中，評析出現在溝通、推理證明，也出現在解題，在The Danish KOM Project中，評析出現在數學

23、思考（Thinking mathematically），或New Zealand 的發展邏輯和推理（Developing logic and reasoning）中。如此也擴展了從實證研究中搜尋評析的廣度！（三）從研究層面出發看評析因此，再從批判思考、後設認知、合作省思和數學解題進行評析的探索（理論文獻部分請參見第二章文獻探討），如此的觀點轉念，剎那間擺脫了之前進行研究的困境，覺得相關的研究文獻一紙難求的現象，也更能夠踩在他人的研究基礎之上來發展評析。以下從上述之觀點的實證研究談起。經搜尋後發現與批判性思考相關的研究僅有六篇，其中包含輔導、視覺藝術鑑賞、寫作、兒童自我態度四篇研究，以及從知識論

24、基礎的角度探討批判性思考教學（吳雪綺，2000）；此外，與探討數學解題與後設認知之研究約有十多篇（葉明達，1998；莊裕庭，2002；張淑娟，1996；劉國芬，1996；薛宏宜，2004；黃莉雯，2004；江美娟，2002；蔣宇立，2000；蔡久瑜，2003；陳淑惠，2004）。其研究方法大都採取自編之數學試題進行筆試後，選取不同數學能力的學生，如高、低或高、中、低能力學生，進行放聲思考的晤談獲得學生想法的原案資料，再進一步進行資料分析，此外，有些研究會再依研究問題之相關研究變項，進行與研究變項相關之量表的施測。就其研究對象和研究目的而言，有高中學生三篇、國中學生四篇，分別針對數學解題與後設認

25、知之表現進行探討，而國小相關之研究雖然也有兩篇，但皆鎖定在一個小的數學概念：如陳淑惠（2004）鎖定國小六年級學童之幾何思考概念發展，進行實物操作與傳統紙筆評量做對照比較；如黃莉雯（2004）也是以國小六年級學童為對象，探討學童數感能力與後設認知能力的現況。然而，在研究發現上雖提出數學能力低之學童後設認知能力表現缺乏，也針對數學能力低之學童的數學解題負面思維進行說明，但是，上述的研究僅只於現況的描述，而無法幫助我們瞭解學童後設認知能力的可能性，以及相關的策略和發展歷程。然而，經過上述的文獻分析的抽絲剝繭之後，評析內涵的輪廓越來越清晰之際，林碧珍教授的一席話如同當頭棒喝般：評析究竟是一種策略、方

26、式？或者是一種能力？腦中閃過的是當初投入這個研究時的初衷，期待從學生能力培養的角度落實九年一貫能力指標的實施，也跳脫一波波不同數學教育理念的課程變動。（四）評析能力？策略？或方法？何謂能力？，從古文解釋的觀點能力即為本領，從張氏心理學辭典（張春興，1983）中將能力定義為：一、指個人在遺傳與成熟的基礎上，經由環境的訓練或教育而獲得的知識與技能。此類能力可由行為上表現出來，做為別人比較高低的依據。像此類實際在行為上表現出的能力，也稱為成就（achievement）；二、指個人學習某事物所具有的潛在能力。此種潛在能力，如採廣義的看法常稱之為能量（capacity）或智力（intelligence）

27、，如採取狹義的看法，則稱為性向（apitude）。何謂策略？即為計畫；方式意指完成某事的一定順序和形式。從上述之三個名詞的解釋而言，能力是從個人的觀點出發，談一個人擁有的本領、且有助於後續優質的表現，是個人學習潛能的累積，深厚學習基石之治本之道；而策略與方式著重在事件本身，皆為完成事件的可行之道，但策略偏重在思維、謀略本身，而方法則偏重於具體的執行層面。以下先從數學能力談起，再從實踐者的角度分辨三者的不同：1、數學能力從數學能力的定義、數學教育、數學評量和各國數學課程（參見第二章文獻探討第一節）四個角度談數學能力的架構，得圖3-1，分為工具使用、生活應用、察覺轉化、解題、數學能量和數學傾向六個

28、方面。圖3-1：數學能力文獻分析摘要綜上所述，評析具有一般化、簡捷、逆向和彈性之思考的數學能力（Krutetskii，1976/1933），也具有策略選擇、適當推理之能力（NRC，2001），因此從數學能力的結構而言，評析是數學能力的其中一種，更可以說是促成此數學能力之數學能量。2、從巨觀、微觀與實踐對象之角度談評析然而，從評析之內涵與向度而言，如何培養這樣的能力？怎樣的表現可被視為擁有評析的能力？就必須藉由人在事的處理策略和方式上觀之，因為能力是內隱的、存在於個人，而策略、方式則是可藉由數學表現之外顯行為，進而成功解決數學問題。因此，從巨觀和微觀的兩個觀點而言，評析本身是一種數學能力，而評析

29、之落實與養成歷程即是一種策略和方法。再者，回到教師在教學現場中之迷惘談起，當教師針對數學課程之鋪陳和概念辯證進行關鍵性問題的引導過程，努力促成學生具體評析思維的表現，但因為思維建構者為教師，對教師而言，本身即不斷自我進行後設認知之監控、調整，與省思之機制，再評估、修正後以期教學活動設計本身有助於學生之評析能力的落實。但是，當學童被動地隨著教師的步調引導與回答問題下，學生充其量是模仿了評析的可行策略和方式。因此，對教師而言，是教學活動與數學概念之評析能力的展現，但教師也必須進一步思索如何將這樣的後設認知、批判、省思之思維能力的實踐者由教師身上轉移到學童本身，培養其主動思考所有解題之相關脈絡，根據

30、自己的質疑、推理、評估與批判後，對自己的解法或他人的解法產生新觀點，而重構出新的數學知識，進而對自己的數學學習產生興趣以及篤學的態度。因此，由學習者的觀點出發，播下能力的種子，方能期待數學概念理解的開花結果！肆、 重回評析能力培養之學習環境的型塑除了上述之評析為能力或策略的探討上，幫助我們重新省思回歸學習主體方能呈現有意義之評析能力的內涵，也從相關研究文獻中省思研究方法論的問題，如採取個案晤談並以大聲思考法的方式對學童進行原案分析，依然可以掌握學童個別的解題表現下之後設認知表現，但是，就一位研究者兼教學者的立場而言，我們期待看到的是教育的力量，基於社會建構主義的觀點，只要教師在營造有利於數學能力的學習環境，並提供有助於數學思維之學習素材，經過一連串教育力量的發揮後，看到學生能力的開花結果，而非