九年级数学二次函数知识点总结及经典例题

1、九年级数学二次函数知识点总结及经典例题一、二次函数概念：1 .二次函数的概念：一般地,形如y =ax2 +bx +c （ a, b, c是常数，a #0）的函数,叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似 ，二次项系数ao0,而b, c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.22 .二次函数y=ax +bx+c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a, b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax2的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0

2、向上（。，0）y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x 的增大而减小；x = 0时，y有最小值0 .a <0问卜（。，。）y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x 的增大而增大；x =0时，y有最大值0 .22. y=ax，c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上（。，c）y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x 的增大而减小；x = 0时，y有最小值c.a <0问卜(0，c)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x 的增大而增大；x =0时，y有最大值c .23

3、. y = a(xh)的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上（h，。）X=hx > h时，y随x的增大而增大；x父h时，y随x 的增大而减小；x = h时，y有最小值0 .a <0问卜（h,。）X=hx > h时，y随x的增大而减小；x < h时，y随x 的增大而增大；x =h时，y有最大值0 .24. y =a(x h)+k 的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(h, k)X=hx > h时，y随x的增大而增大；x < h时，y随x 的增大而减小；x=h时，y有取小值k.a <0问卜(h, k)

4、X=hx > h时，y随x的增大而减小；x < h时，y随x 的增大而增大；x =h时，y有最大值k .三、二次函数图象的平移1.平移步骤:2将抛物线解析式转化成顶点式y =a(x-h ) +k,确定其顶点坐标(h, k )；保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h, k ）处,具体平移方法如下:-2 y=ax2* y=ax2+k向右（h>0）【或左（h<0）】 平移|k|个单位y=a(x-h)2向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或下（k<0）

5、平移|k|个单位向右（h>0）或左（h<0） 平移|k|个单位向右（h>0）或左（h<0）】平移|k|个单位A y=a(x-h)2+k |2.平移规律在原有函数的基础上 概括成八个字“左加右减h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.，上加下减”.六、四、二次函数y = axj +将y = ax+b升峰比较2从角牛析式上看,y =a（x -h ） +k与y =ax2 bx c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者1.二ax 22a4ac -b2b+,其中 h =-4a2a24ac b4a二次函数y =ax2 +bx +c的性质当a >0时，抛物线开口向上，

6、对称轴为x =，顶点坐标为 2a2b 4ac - b2a 4a当x M 一旦时，y随x的增大而减小;2a当x > 时，y随x的增大而增大;2a当x=-2a时，y有最小值竺沪当x<.2a时,y随x的增/2、2.当a <0时，抛物线开口向下,对称轴为x =9，顶点坐标为,4ac-b 2a12a 4a ,2bb4ac _ b大而增大；当x>H时,y随x的增大而减小；当x =1-时，y有最大值b2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1 .一般式：y =ax2+bx+c （ a , b , c 为常数，a ¥0）; 22 .顶点式：y=a（x-h） +k （ a ,

7、h ,k 为常数，a #0 ）;3 .两根式（交点式）：y =a（x-xO（x-x2）（a#0,x,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac之0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种 形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a 当a>0时,抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a <0时,抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.2 . 一次项系数b在二次项系数

8、a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.（同左异右 b为0对称轴为y轴）3 .常数项c 当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为 0； 当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来2决定了抛物线与y轴交点的位置.九、二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2 +bx +c =0是二次函数y =ax2 +bx +c当函数值y = 0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当A=b2 -

9、4ac A0时,图象与x轴交于两点A（x1，0 ）, B（x2 , 0）（x1 #出）淇中的X , x2是一元二次方程ax2 +bx +c =0(a #0 )的两根.当A=0时,图象与x轴只有一个交点；当A <0时,图象与x轴没有交点.1当a >0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y >0 ；2当a <0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0.22 .抛物线丫=2* +bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,c）；15 / 13二次函数对应练习试题一、选择题1 .二次函数y =x2 4x 7的顶点坐标是()A.(2, 11) B.

10、(2,7) C. (2,11) D. (2,-3)2 .把抛物线y = -2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是()._,.、2_,.、2_2._2.A. y = -2(x ' 1) B. y = 2(x -1) C. y = -2x , 1 D. y = -2x -1k3 .函数y =kx2 -k和y = (k。0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()xA4 .已知二次函数y=ax2 当x =1和x=3时，函数1 确的个数是()A.1 个 B.25 .已知二次函数y = ax2 由图象可知关于x的一元+bx+c(a #0)的图象如图所示，则下列结论：a,b同号；值相等；4a + b

11、 = 0当y = 2时，x的值只能取0.其中正 、工 :个 C. 3个D. 4个+bx+c(a #0)的顶点坐标(-1,-3.2 )及部分图象(如图)，那二次方程 ax2+bx+c = 0的两个根分别是 x1=1.3和x2=/，( )A. - 1 .3B.-2.3C.-0.3D.-3.36 .已知二次函数 y =ax2+bx+c的图象如图所示A.第一象PMB.第二象限C.第三象限D .第四象限 227 .方程2x-x =的正根的个数为()A.0 个B.1个C.28 .已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0), 与y轴交十点2A. y = x x -2B.fM1 y Z，则点(ac,bc)在

12、()t I,个.3个C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为y = -x2 +x + 2C. y =x2-x_2或 y = _x2+x+2D. y =-x2 -x-2或 y = x2 + x+ 2二、填空题9 .二次函数y =x2+bx+3的对称轴是x = 2,则b=。10 .已知抛物线y=-2 (x+3)35,如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 11 . 一个函数具有下列性质：图象过点(一 1,2),当X<0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满 足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可)。12 .抛物线y =2(x-2)2 -6的顶点为C,已知直线y = -kx+3过点C

13、,则这条直线与两坐标轴所围成的三角 形面积为。13 .二次函数y =2x24x-1的图象是由y =2x2+bx+ c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位 得到的，贝U b= ,c=。14 .如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥 的高度是 J兀取3.14).三、解答题：515 .已知二次函数图象的对称轴是x+3 = 0，图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,-).2(1)求这个二次函数的解析式；(2)当x为何值时，这个函数的函数值为 0?(3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值 y随x的增大而增大？1216 .某种爆竹

14、点燃后，其上升图度h (米)和时间t (秒)符合关系式h = v0t- gt(0<tw2),其中重力2加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升，(1)这种爆竹在地面上点燃后 ，经过多少时间离地15米？(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.217 .如图，抛物线y=x +bx-c经过直线y = x-3与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为 C,抛物线顶点为 D.(1)求此抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上的一个动点，求使S浅pc : S小cd =5 : 4的点P的 坐标。18 .红星建材店为

15、某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润，准备采 取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加 7. 5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为 x (元)，该经销店的月利润为y (元).(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(3)该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销

16、售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.二次函数应用题训练1、心理学家发现，学生对概念的接受能力 y与提出概念所用的时间x (分)之间满足函数关系：y = -0.1x2+2.6x + 43 (0<x<30).(1)当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当 x在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱?(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少?(3)第几分钟时，学生的接受能力最强?2、如图,已知 ABC是一等腰三角形铁板余料 ,其中AB=AC=20cm,BC=24c诒在 ABC上截出一次I形零件 DEFG, 使EF在BC上，点D G分别在边AR AC上.问矩形DEFG勺最大面积是多少

17、？3、如图，4ABC中，/ B=90° ,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q 从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q同时出发，问经过几秒钟 PBQ勺面积最大？最大面积是多少？4、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.-

18、4m 5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m?(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少 的比较(1)(2)的结 果，你能得到什么结论?6、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m（件）与每件的销售价x（元） 满足关系：m=140 2x.（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多

19、少？二次函数专题复习图像特征与a、b、c、符号的关系1、已知二次函数y = ax2+bx+c,如图所示，若a <0,c>0 ,那么它的图象大致是（）C a+ b+ c> 0 d a- b+ c< 04、二次函数y=ax2+bx+c （aw0）的图象如图所示，则下列结论： a>0;c>0; ?b2-4ac>0其中正确的个数是（）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个c5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1,则点M （b, a）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限26、二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示，则（）22A

20、、a >0 b -4ac<0b、a >0 b -4ac>022C、a <0 b -4ac <0d、a <0 b -4ac >07、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（A、acv 0B、a-b+c>0C、b=-4aD、关于x的方程ax2 +bx+c=0的根是x1二-1,x2=5 8、已知二次函数 y=ax 2 +bx+c （ aw 0）的图象如图所示，有下列结论:b2 -4ac>0; abc> 0; 8a+c>0; 9a+3b+cv0其中，正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、4二次函

21、数对应练习试题参考答案一，选择题、1 .A 2.C 3. A 4.B 5.D 6.B 7.C 8.C二、填空题、9. b = Y 10 . Xv-3 11 .如 y =2x2+4,y =2x+4 等(答案不唯一)12. 1 13 . -8 7 14.15三、解答题=32aa b c = -65c =-.215. (1)设抛物线的解析式为 y=ax2 +bx+c,由题意可得 b.一 151c 5斛得 a = _,b =_3,c =所以 y = _x -3x-2222(2) x = 1 或-5 (2)x <-31216. (1)由已知得，15 = 20t 父10勺2,解得t1 =3,t 2

22、= 1当t =3时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后12秒离地15米.(2)由题意得，h = 5t2+20t = 5(t 2)2+20 ,可知顶点白Wt坐标t=2,又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升.，、一9 3b-c = 0b= -217. (1)直线y = x3与坐标轴的交点 A (3,0) ,B (0, 3).则<解得<-c = -3c = 3所以此抛物线解析式为y =x2 -2x3 . (2)抛物线的顶点D(1, 4),与x轴的另一个交点C( 1,0).21212设 P(a,a2 2a 3),贝U (万父4父,2 2a 3):与父4M

23、4) = 5: 4.化简得 a22a 3=5当 a2 -2a 3 >0 时，a2 -2a 3=5得 a = 4, a = 2，P (4,5 )或 P ( 2,5 )当a22a3 <0时，-2+2a+3 =5即a2+2a + 2 = 0 ,此方程无解.综上所述，满足条件的点的坐标为(4,5)或(2,5).18. (1) 45 +260 240 m7.5=60 (吨).(2) y=(x100)(45 +260 -xM7.5),化简得：10103 23 232y = x +315x-24000. (3) y=-x +315x24000 =(x-210) +9075.4 44红星经销店要获

24、得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.5 4)我认为，小静说的不对.理由：方法一：当月利润最大时,x为210元，而对于月销售额W =x(45 +2600x H7.5) =-3(x160)2 +19200来说，当x为160元时，月销售额 W最大.，当x为210元时，月销售额 W不是最大.，小静说的不对.方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；而当x为200元时，月销售额为18000 元.17325V 18000, 当月利润最大时，月销售额 叱是最大.，小静说的不对.二次函数应用题训练参考答案1、(1) 0<x< 13,13<x< 30; (2) 59; (3) 13.2、过 A 作 AM LBC 于 M,交 DG 于 N,则 AM=也02 -122 =16cm.设 DE=xcm,S 矩形=ycm2,则由 ADG AABC,故纲二胆曰=吟DGJ(16-x).AM BC 16242y=DG - DE= 3(16-x)x=- 3 (x2-16x)=-3 (x-8)2+