数列通项公式方法总结

1、希望帮助，感谢戴与阅读！数列通项公式方法总结导读：不过一般分小题、有梯度设问，往往是第 1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做 第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位 考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不 同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。一、已知数列的前几项已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列 的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法， 也即是归纳推理。例1、求数列的通项公式(1) 0, 221/3, 321/4, 42+1/5 (2) 9, 99

2、, 999, 分析：(1) 0=121/2,每一项的分子是项数的平方减去 1, 分母是项数加上1, n21/n + 1 = n1,其实，该数列各项可化 简为0, 1, 2, 3,，易知an=n1。(2)各项可拆成 10-1, 102-1, 103-1, ，an=10n1。此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基 础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培 养学生的思维能力。二、已知数列的前n项和Sn希望对您有所帮助，感谢F戴与阅读!已知数列的前n项和Sn,求通项公式an,主要通过an与Sn的 关系转化，即 an - S1 (n=1) Sn -Sn 1 (n&g

3、t;2)例2、已知数列an 的前n项和Sn=2n+3求an分析：Sn=a1+a2 +an1+anSn1 = a1+a2 +an1上两式相减得Sn -Sn1=an解：当 n=1 时，a1=S1=5当 nA2 时，an =Sn -Sn1=2n+3- (2n1+3) =2n1. n=1不适合上式 .an =5 (n=1) 2n1 (n>2)三、已知an与Sn关系已知数列的第n项an与前n项和Sn间的关系：Sn=f (an),求 an。一般的思路是先将Sn与an的关系转化为an与an1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。(1) an=an1+k。数列属等差

4、数列，直接代公式可求通项公 式。例 3、已知数列an,满足 a1=3, an=an1+8,求 an。分析：由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列， 直接代公式可求得an=8n-5。(2) an=kan1 (k为常数)。数列属等比数列，直接代公式 可求通项公式。例 4、数列an的前 n 项和 Sn,a例1, an+1=2Sn+1 (n 6 N+)求数列an的通项公式。分析：根据an与Sn的关系，将an+1=2Sn+1转化为an与an+1 的关系。解：由 an+1=2Sn+1得 an=2Sn-1+1 (n>2)两式相减，得an+1-an=2an .an+1=3an (n>2

5、)va2=2Sn+1=3a2=3a1an是以1为首项，3为公比的等比数列an=3n-1(3) an+1=an+f (n),用叠加法思路：令 n=1, 2, 3, ,n-1得 a2=a1+f (1)a3=a2+f (2)a4=a3+f (3)+) an=an1+f (n-1 )an=a1+f (1) +f (2) + - +f (n-1)例 5、若数列an满足 a1=2, an+1=an+2n则an的通项公式=()解：: an+1=an+2n.a2 =a1+2x 1a3=a2+2x 2a4=a3+2x 3+) an=an1+2 (n-1 )an=a1+2 (1+2+3+- +n-1)=2+2x

6、(1+n-1) (n-1)=n2-n+2(4) an+1=f (n) an,用累积法思路：令 n=1, 2, 3, ,n-1得 a2 =f (1) a1 a3=f (2) a2 a4=f (3) a3x) an=f (n-1) an-1an=a1 f (1) f (2) - f (3) f (n-1)例 6、若数歹U an满足 a1 = 1, an+1=2n+an,贝U an=()解：: an+1=2nan . .a2 =21a1a3=22a2 a4=23a3x) an=2nan=2 -22 -23 2n-1a1=2n (n-1 ) /2(5) an=pan1+q, an=pan1+f (n)

7、an+1=an+p qn (pq#0),an=p (an1) q, an+1=ran/pan+q= (pr?0, q*r)(p、q、r为常数)这些类型均可用构造法或迭代法。an=pan1+q (p、q 为常数)构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列， 然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。将关系式两边都加上x得 an+x=Pan1+q+x=P (an1 + q+x/p )令 x=q+x/p ,得 x=q/p-1 an+q/p-1=P (an1+q/p-1 ) an+q/p-1是以a1+q/p-1为首项，P为公比的等比数列。 an+q/p-1= (a1+q/

8、p-1 ) Pn-1 . an= (a1+q/p-1 ) Pn-1-q/p-1迭代法：an=p (an1+q) =p (pan-2+q) +q=p2 ( (pan-3+q) +pq+q例7、数歹!J an的前n项和为Sn,且Sn=2an-n (nW N+)求an解析：由 Sn=2an-n 得 Sn-1=2an-1- (n-1)(nA2,n 6 N+)两式相减得an=2an-1+1两边力口 1 得 an+1=2 (an-1 + 1)( n>2, n N+)构造成以2为公比的等比数列an+1an=Pan-1+f (n)例 8、数列an中，al 为常数，且 an=-2an-1+3n-1 (&g

9、t;2, n6N)证明：an= (-2) n-1a1+3n+ (-1 ) n 3 2n-1/5分析：这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用 构造法和迭代法来证明。方法一：构造公比为-2的等比数列an+入 3n用比较系数法可求得入=-1/5方法二：构造等差型数列an/ (-2) n。由已知两边同以(-2) n,得 an/ (-2) n=an-1/ (-2) n=1/3 - (-3/2 ) n,用叠加法处理。方法三：迭代法。an=-2an-1+3n-1=-2 (-2an-2+3n-2 ) +3n-1二(-2) 2an-2+ (-2) 3n-2+3n-1二(-2) 2 (-2an-3+3

10、n-3 )+(-2) 3n-2+3n-1二(-2) 3an-3+ (-2) 3n-3+ (-2) 3n-2+3n-1= (-2)n-1a1+ (-2) n-1 3+(-2)n-3 -+32+ (-2) -3n-2+3n-1=(-2) n-1a1+3n+ (-1 ) n-2 3 2n-1/5an+1 = 1 an+p qn (pq#0)希望帮助，感谢戴与阅读！(i)当入=qn+1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列an/qn。例 9、在数列an中，a1=4, an+1+2n+1,求 an。分析：在 an+1=2an+2n+1 两边同除以 2n+1,得 an+1/2n+1=an/2n+1an

11、/2n是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。(ii)当入# q时，等式两边同除以qn+1,令bn=an/qn,得bn+1 = 入/qbn+p,再构造成等比数列求bn,从而求出an。例 10、已知 a1 = 1, an=3an-1+2n-1 ,求 an分析：从an=3an-1+2n-1两边都除以2n,得 an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2令 an/2n=bn则 bn=3/2bn-1+1/2an=p (an1) q (p、q 为常数)例 11、已知 an=1/a an12,首项 al,求 an。方法一：将已知两边取对数得 lgan=2lgan1-lga令 bn=lgan得bn=2

12、bn-1-lga ,再构造成等比数列求bn,从而求出an。方法二：迭代法an=1/a a2n1 = 1/a (1/a a2n2) 2=1/a3 a4n2= 1/a3 (1/a a2n3) 4=1/a7 - an38=a (an3/a)23=a . (a1/a ) 2n 1an+1=ran/pan+q (p、q、r 为常数，pr ?0, q*r)将等式两边取倒数，得1/an+1=q/r T/an+p/r ,再构造成等比 数列求an。例 12、在an中，a1=1, an+1=an/an+2,求 an解：: an+1=an/an+2 . 1/an+1=2 1/an+1两边加上 1,得 1/an+1+1=2 (1/an+1)1/an+1是以1/an+1=2为首项，2为公比的等比数列1/an+1=2 x 2n-1=2nan=1/2n-1以上罗列出求数列通项公式的解题思路虽然很清晰， 但是一般考 生对第三项中的5种类型题用构选法和迭代法都比较困难的。 遇到此 情况，可转化为第一种类型解决，即从an与Sn的关系