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文档简介
1、阶段性测试题三(导数及其应用)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(2014·北京东城区联考)曲线yx3在x1处切线的倾斜角为()A1BC.D.答案C解析yx3,y|x11,切线的倾斜角满足tan1,0<,.2(2014·三亚市一中月考)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(,2) B(0,3)C(1,4) D(2,)答案D解析f(x)(x3)ex,f(x)ex(x3)ex(x2)ex
2、,由f(x)>0得x>2,选D.3(2014·甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f(x)lnx,则函数g(x)f(x)f(x)的零点所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析由题可知g(x)lnx,g(1)1<0,g(2)ln2ln2ln>0,选B.4(文)(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值,则a()A2B3C4D5答案D解析f(x)3x22ax3,由条件知,x3是方程f(x)0的实数根,a5.(理)(2014·营口三中期中)若a0,b0,且函数f(x)4
3、x3ax22bx在x1处有极值,则ab等于()A2B3C6D9答案C解析f(x)12x22ax2b,由条件知x1是方程f(x)0的实数根,ab6.5(2014·北京东城区联考)如图是函数yf(x)的导函数f(x)的图象,则下面判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在(1,3)上f(x)是减函数C在(4,5)上f(x)是增函数D当x4时,f(x)取极大值答案C解析由导函数yf(x)的图象知,f(x)在(2,1)上先减后增,在(1,3)上先增后减,在(4,5)上单调递增,x4是f(x)的极小值点,故A、B、D错误,选C.6(2014·河北冀州中学期中)已知函数f
4、(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是()A(1,2) B(,3)(6,)C(3,6) D(,1)(2,)答案B解析f(x)3x22axa6,由条件知,方程f(x)0有两不等实根,4a212(a6)>0,a<3或a>6,故选B.7(文)(2014·泸州市一诊)若曲线f(x)x在点(a,f(a)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18,则a()A64 B32C16 D8答案A解析(理)(2014·北京朝阳区期中)由直线x0,x,y0与曲线y2sinx所围成的图形的面积等于()A3 B.C1 D.答案A解析2(1)3.8(文)(
5、2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)是定义在R上的函数,其中f(x)的导函数f(x)满足f(x)<f(x)对于xR恒成立,则()Af(2)>e2f(0),f(2012)>e2012f(0)Bf(2)<e2f(0),f(2012)>e2012f(0)Cf(2)<e2f(0),f(2012)<e2012f(0)Df(2)>e2f(0),f(2012)<e2012f(0)答案C解析函数F(x)的导数F(x)<0,函数F(x)是定义在R上的减函数,F(2)<F(0),即<,故有f(2
6、)<e2f(0)同理可得f(2012)<e2012f(0)故选C.(理)(2014·安徽程集中学期中)已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(x),则()Af(2)<e2f(0) Bf(2)e2f(0)Cf(2)e2f(0) Df(2)>e2f(0)答案D分析所给四个选项实质是比较f(2)与e2f(0)的大小,即比较与的大小,故构造函数F(x)解决解析设F(x),则F(x)>0,F(x)在R上为增函数,故F(2)>F(0),>,即f(2)>e2f(0)9(2014·开滦二中期中)若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有极小
7、值,则实数b的取值范围是()A(0,1) B(,1)C(0,) D(0,)答案D解析f(x)3x26b,f(x)在(0,1)内有极小值,在(0,1)内存在点x0,使得在(0,x0)内f(x)<0,在(x0,1)内f(x)>0,由f(x)0得,x22b>0,0<b<.10(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x22x3)f(x)>0的解集为()A(,2)(1,)B(,2)(1,2)C(,1)(1,0)(2,)D(,1)(1,1)(3,)答案D解析由f(x)的图象知,在(,1)上f(x)>0,在
8、(1,1)上f(x)<0,在(1,)上f(x)>0,又x22x3>0的解集为(,1)(3,),x22x3<0的解集为(1,3)不等式(x22x3)f(x)>0的解集为(,1)(1,1)(3,)(理)(2014·浙江杜桥中学期中)函数f(x)的图象大致为()答案B解析令h(x)ln(x1)x,则h(x)1,h(x)在(1,0)上单调递增,在(0,)上单调递减,最大值为h(0)0,h(x)<0,即f(x)<0,且f(x)在(1,0)上单调递减,在(0,)上单调递增,故选B.11(2014·枣庄市期中)若1,3为函数f(x)x3bx2cx
9、(b,cR)的两个极值点,则曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为()A8B6C4D0答案A解析f(x)x22bxc,由条件知,1,3是方程f(x)0的两个实根,b2,c3,f(1)8,故选A.12(2014·浙江省五校联考)已知函数f(x)x3mx2x的两个极值点分别为x1,x2,且0<x1<1<x2,点P(m,n)表示的平面区域内存在点(x0,y0)满足y0loga(x04),则实数a的取值范围是()A(0,)(1,3)B(0,1)(1,3)C(,1)(1,3D(0,1)3,)答案B解析f(x)x2mx,由条件知,方程f(x)0的两实根为x1,x2且0
10、<x1<1<x2,由得由y0loga(x04)知,当a>1时,1<y0<loga3,1<a<3;当0<a<1时,y0loga(x04)>loga3,由于y0>1,loga3<0,对a(0,1),此式都成立,从而0<a<1,综上知0<a<1或1<a<3,故选B.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)13(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为
11、_答案2xy10解析点(1,3)在曲线yx3x3上,y3x21,曲线yx3x3在点(1,3)处的切线的斜率为y|x1(3x21)|x12,切线方程为y32(x1),即2xy10.(理)(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线yx(3lnx1)在点(1,1)处的切线方程为_答案4xy30解析y|x1(3lnx4)|x14,切线方程为y14(x1),即4xy30.14(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)x3ax23x在区间1,)上是增函数,则实数a的取值范围是_答案(,0解析f(x)x3ax23x,f(x)3x22ax3,又因
12、为f(x)x3ax23x在区间1,)上是增函数,f(x)3x22ax30在区间1,)上恒成立,解得a0,故答案为(,0(理)(2014·河北冀州中学期中)若函数f(x)xasinx在R上递增,则实数a的取值范围为_答案1,1解析f(x)1acosx,由条件知f(x)0在R上恒成立,1acosx0,a0时显然成立;a>0时,cosx恒成立,1,a1,0<a1;a<0时,cosx恒成立,1,a1,即1a<0,综上知1a1.15(文)(2014·三亚市一中月考)曲线y在点(1,1)处的切线为l,则l上的点到圆x2y24x30上的点的最近距离是_答案21解析
13、y|x1|x11,切线方程为y1(x1),即xy20,圆心(2,0)到直线的距离d2,圆的半径r1,所求最近距离为21.(理)(2014·山东省菏泽市期中)函数yx2与ykx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为,则k_.答案3解析由解得或由题意得,(kxx2)dx(kx2x3)|k3k3k3,k3.16(2014·西安一中期中)从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为_cm3.答案144解析设小正方形边长为x,则盒子的容积为vx(102x)(162x),即v4(x313x240x),(
14、0<x<5),v4(3x226x40)4(3x20)(x2),令v4(3x20)(x2)0得,x2,x(不符合题意,舍去),x2是唯一极值点也就是最值点,所以,x2时,盒子容积的最大值为144cm3.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)x3ax2bx(a,bR)的图象过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间解析(1)函数f(x)的图象过点P(1,2),f(1)2.ab1.又函数图象在点P处的切线斜
15、率为8,f(1)8,又f(x)3x22axb,2ab5.解由组成的方程组,可得a4,b3.(2)由(1)得f(x)3x28x3,令f(x)>0,可得x<3或x>;令f(x)<0,可得3<x<.函数f(x)的单调增区间为(,3),(,),单调减区间为(3,)(理)(2014·威海期中)已知函数f(x)x3x22x5.(1)求f(x)的单调区间;(2)若曲线yf(x)与y2xm有三个不同的交点,求实数m的取值范围解析(1)f(x)x23x2,令f(x)0,解得x1或x2.当x<1或x>2时,f(x)>0;当1<x<2时,f
16、 (x)<0,f(x)的单调递增区间为(,1),(2,),单调递减区间为(1,2)(2)令f(x)2xm,即x3x22x52xm,x3x25m,设g(x)x3x25,即考察函数yg(x)与ym何时有三个公共点,令g(x)0,解得x0或x3.当x<0或x>3时,g(x)>0,当0<x<3时,g(x)<0,g(x)在(,0),(3,)上单调递增,在(0,3)上单调递减,g(0)5,g(3),根据图象可得<m<5. 18(本小题满分12分)(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f(x)x3ax2bx5,若曲线f(x)在点(1,
17、f(1)处的切线斜率为3,且x时,yf(x)有极值(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在4,1上的最大值和最小值解析f(x)3x22axb,(1)由题意得,解得经检验得x时,yf(x)有极小值,所以f(x)x32x24x5.(2)由(1)知,f(x)3x24x4(x2)(3x2)令f(x)0,得x12,x2,f(x),f(x)的值随x的变化情况如下表:f(),f(2)13,f(4)11,f(1)4,f(x)在4,1上的最大值为13,最小值为11.19(本小题满分12分)(文)(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f(x)x2alnx.(1)若a1,求函数f(x)的极值,
18、并指出是极大值还是极小值;(2)若a1,求证:在区间1,)上,函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方解析(1)由于函数f(x)的定义域为(0,),当a1时,f(x)x,令f(x)0得x1或x1(舍去),当x(0,1)时,f(x)<0,因此函数f(x)在(0,1)上单调递减,当x(1,)时,f(x)>0,因此函数f(x)在(1,)上单调递增,则x1是f(x)的极小值点,所以f(x)在x1处取得极小值为f(1).(2)证明:设F(x)f(x)g(x)x2lnxx3,则F(x)x2x2,当x>1时,F(x)<0,故f(x)在区间1,)上单调递减,又F(1)<0
19、,在区间1,)上,F(x)<0恒成立,即f(x)<g(x)恒成立因此,当a1时,在区间1,)上,函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方(理)(2014·北京东城区联考)已知函数f(x)xlnx.(1)求函数f(x)在1,3上的最小值;(2)若存在x,e(e2.71828,e为自然对数的底数)使不等式2f(x)x2ax3成立,求实数a的取值范围;(3)若F(x)的导函数为f(x),试写出一个符合要求的F(x)(无需过程)解析(1)由f(x)xlnx,可得f(x)lnx1,当x(0,)时,f(x)<0,f(x)单调递减;当x(,)时,f(x)>0,f(x)单调
20、递增所以函数f(x)在1,3上单调递增又f(1)ln10,所以函数f(x)在1,3上的最小值为0.(2)由题意知,2xlnxx2ax3,则a2lnxx.若存在x,e使不等式2f(x)x2ax3成立,则只需a小于或等于2lnxx的最大值设h(x)2lnxx(x>0),则h(x)1.当x,1)时,h(x)<0,h(x)单调递减;当x(1,e时,h(x)>0,h(x)单调递增h()23e,h(e)2e,h()h(e)2e4>0,可得h()>h(e)所以,当x,e时,h(x)的最大值为h()23e.故a23e.(3)F(x)lnx.20(本小题满分12分)(文)(2014
21、·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)x3ax210.(1)当a1时,求曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)在区间1,2内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围解析(1)当a1时,f(x)3x22x,f(2)14,曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线斜率kf(2)8,所以曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为8xy20.(2)解法1:f(x)3x22ax3x(xa)(1x2),当a1,即a时,f(x)0,f(x)在1,2上为增函数,故f(x)minf(1)11a,所以11a<0,a>11,这与a矛盾;当1<a&l
22、t;2,即<a<3时,若1x<a,则f(x)<0,f(x)单调递减;若a<x2,则f(x)>0,f(x)单调递增;所以xa时,f(x)取最小值,因此有f(a)<0,即a3a310a310<0,解得a>3,这与<a<3矛盾;当a2,即a3时,f(x)0,f(x)在1,2上为减函数,所以f(x)minf(2)184a,所以184a<0,解得a>,这符合a3.综上所述,a的取值范围为a>.解法2:由已知得:a>x,设g(x)x(1x2),g(x)1,1x2,g(x)<0,所以g(x)在1,2上是减函数g(
23、x)ming(2),故a的取值范围为a>.(理)(2014·威海期中)已知f(x)ex,g(x)lnx.(1)求证:g(x)<x<f(x);(2)设直线l与f(x)、g(x)的图象均相切,切点分别为(x1,f(x1)、(x2,g(x2),且x1>x2>0,求证:x1>1.解析(1)令yf(x)xexx,则yex1,令y0,解得x0,当x<0时y<0,当x>0时y>0,当x0时,ymine001>0,ex>x,令yxg(x)xlnx,y1(x>0),令y0,解得x1,当0<x<1时y<0,当
24、x>1时y>0,当x1时,ymin1ln11>0,x>lnx,(x>0),g(x)<x<f(x)21(本小题满分12分)(2014·山东省德州市期中)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为yx3x8(0<x<120)(1)当x64千米/小时时,行驶100千米耗油量多少升?(2)若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶多少千米?解析(1)当x64千米/小时时,要行驶100千米需要小时,要耗油(×643×648)×11.95(升)(2)设22.5升油能使
25、该型号汽车行驶a千米,由题意得,(x3x8)×22.5,a,设h(x)x2,则当h(x)最小时,a取最大值,h(x)x,令h(x)0x80,当x(0,80)时,h(x)<0,当x(80,120)时,h(x)>0,故当x(0,80)时,函数h(x)为减函数,当x(80,120)时,函数h(x)为增函数,当x80时,h(x)取得最小值,此时a取最大值为a200.若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶200千米22(本小题满分14分)(文)(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)x22lnx.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)2tx在x(0,1内恒成立,求t的取值范围解析(1)函数的定义域为(0,),f(x)2x,由f(x)>0,得x>1,由f(x)<0,得0<x<1,所以,函数f(x)的单调递增区间为(1,),单调递减区间为(0,1)(2)
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