2015高考数学人教A版本（导数及其应用）一轮过关测试题

1、阶段性测试题三(导数及其应用)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014·北京东城区联考)曲线yx3在x1处切线的倾斜角为()A1BC.D.答案C解析yx3，y|x11，切线的倾斜角满足tan1，0<，.2(2014·三亚市一中月考)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)答案D解析f(x)(x3)ex，f(x)ex(x3)ex(x2)ex

2、，由f(x)>0得x>2，选D.3(2014·甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f(x)lnx，则函数g(x)f(x)f(x)的零点所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析由题可知g(x)lnx，g(1)1<0，g(2)ln2ln2ln>0，选B.4(文)(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a()A2B3C4D5答案D解析f(x)3x22ax3，由条件知，x3是方程f(x)0的实数根，a5.(理)(2014·营口三中期中)若a0，b0，且函数f(x)4

3、x3ax22bx在x1处有极值，则ab等于()A2B3C6D9答案C解析f(x)12x22ax2b，由条件知x1是方程f(x)0的实数根，ab6.5(2014·北京东城区联考)如图是函数yf(x)的导函数f(x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在(1,3)上f(x)是减函数C在(4,5)上f(x)是增函数D当x4时，f(x)取极大值答案C解析由导函数yf(x)的图象知，f(x)在(2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x4是f(x)的极小值点，故A、B、D错误，选C.6(2014·河北冀州中学期中)已知函数f

4、(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)答案B解析f(x)3x22axa6，由条件知，方程f(x)0有两不等实根，4a212(a6)>0，a<3或a>6，故选B.7(文)(2014·泸州市一诊)若曲线f(x)x在点(a，f(a)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a()A64 B32C16 D8答案A解析(理)(2014·北京朝阳区期中)由直线x0，x，y0与曲线y2sinx所围成的图形的面积等于()A3 B.C1 D.答案A解析2(1)3.8(文)(

5、2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f(x)满足f(x)<f(x)对于xR恒成立，则()Af(2)>e2f(0)，f(2012)>e2012f(0)Bf(2)<e2f(0)，f(2012)>e2012f(0)Cf(2)<e2f(0)，f(2012)<e2012f(0)Df(2)>e2f(0)，f(2012)<e2012f(0)答案C解析函数F(x)的导数F(x)<0，函数F(x)是定义在R上的减函数，F(2)<F(0)，即<，故有f(2

6、)<e2f(0)同理可得f(2012)<e2012f(0)故选C.(理)(2014·安徽程集中学期中)已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，则()Af(2)<e2f(0) Bf(2)e2f(0)Cf(2)e2f(0) Df(2)>e2f(0)答案D分析所给四个选项实质是比较f(2)与e2f(0)的大小，即比较与的大小，故构造函数F(x)解决解析设F(x)，则F(x)>0，F(x)在R上为增函数，故F(2)>F(0)，>，即f(2)>e2f(0)9(2014·开滦二中期中)若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有极小

7、值，则实数b的取值范围是()A(0,1) B(，1)C(0，) D(0，)答案D解析f(x)3x26b，f(x)在(0,1)内有极小值，在(0,1)内存在点x0，使得在(0，x0)内f(x)<0，在(x0,1)内f(x)>0，由f(x)0得，x22b>0，0<b<.10(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x22x3)f(x)>0的解集为()A(，2)(1，)B(，2)(1,2)C(，1)(1,0)(2，)D(，1)(1,1)(3，)答案D解析由f(x)的图象知，在(，1)上f(x)>0，在

8、(1,1)上f(x)<0，在(1，)上f(x)>0，又x22x3>0的解集为(，1)(3，)，x22x3<0的解集为(1,3)不等式(x22x3)f(x)>0的解集为(，1)(1,1)(3，)(理)(2014·浙江杜桥中学期中)函数f(x)的图象大致为()答案B解析令h(x)ln(x1)x，则h(x)1，h(x)在(1,0)上单调递增，在(0，)上单调递减，最大值为h(0)0，h(x)<0，即f(x)<0，且f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故选B.11(2014·枣庄市期中)若1,3为函数f(x)x3bx2cx

9、(b，cR)的两个极值点，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为()A8B6C4D0答案A解析f(x)x22bxc，由条件知，1,3是方程f(x)0的两个实根，b2，c3，f(1)8，故选A.12(2014·浙江省五校联考)已知函数f(x)x3mx2x的两个极值点分别为x1，x2，且0<x1<1<x2，点P(m，n)表示的平面区域内存在点(x0，y0)满足y0loga(x04)，则实数a的取值范围是()A(0，)(1,3)B(0,1)(1,3)C(，1)(1,3D(0,1)3，)答案B解析f(x)x2mx，由条件知，方程f(x)0的两实根为x1，x2且0

10、<x1<1<x2，由得由y0loga(x04)知，当a>1时，1<y0<loga3，1<a<3；当0<a<1时，y0loga(x04)>loga3，由于y0>1，loga3<0，对a(0,1)，此式都成立，从而0<a<1，综上知0<a<1或1<a<3，故选B.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为

11、_答案2xy10解析点(1,3)在曲线yx3x3上，y3x21，曲线yx3x3在点(1,3)处的切线的斜率为y|x1(3x21)|x12，切线方程为y32(x1)，即2xy10.(理)(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线yx(3lnx1)在点(1,1)处的切线方程为_答案4xy30解析y|x1(3lnx4)|x14，切线方程为y14(x1)，即4xy30.14(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)x3ax23x在区间1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案(，0解析f(x)x3ax23x，f(x)3x22ax3，又因

12、为f(x)x3ax23x在区间1，)上是增函数，f(x)3x22ax30在区间1，)上恒成立，解得a0，故答案为(，0(理)(2014·河北冀州中学期中)若函数f(x)xasinx在R上递增，则实数a的取值范围为_答案1,1解析f(x)1acosx，由条件知f(x)0在R上恒成立，1acosx0，a0时显然成立；a>0时，cosx恒成立，1，a1，0<a1；a<0时，cosx恒成立，1，a1，即1a<0，综上知1a1.15(文)(2014·三亚市一中月考)曲线y在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2y24x30上的点的最近距离是_答案21解析

13、y|x1|x11，切线方程为y1(x1)，即xy20，圆心(2,0)到直线的距离d2，圆的半径r1，所求最近距离为21.(理)(2014·山东省菏泽市期中)函数yx2与ykx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k_.答案3解析由解得或由题意得，(kxx2)dx(kx2x3)|k3k3k3，k3.16(2014·西安一中期中)从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_cm3.答案144解析设小正方形边长为x，则盒子的容积为vx(102x)(162x)，即v4(x313x240x)，(

14、0<x<5)，v4(3x226x40)4(3x20)(x2)，令v4(3x20)(x2)0得，x2，x(不符合题意，舍去)，x2是唯一极值点也就是最值点，所以，x2时，盒子容积的最大值为144cm3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间解析(1)函数f(x)的图象过点P(1,2)，f(1)2.ab1.又函数图象在点P处的切线斜

15、率为8，f(1)8，又f(x)3x22axb，2ab5.解由组成的方程组，可得a4，b3.(2)由(1)得f(x)3x28x3，令f(x)>0，可得x<3或x>；令f(x)<0，可得3<x<.函数f(x)的单调增区间为(，3)，(，)，单调减区间为(3，)(理)(2014·威海期中)已知函数f(x)x3x22x5.(1)求f(x)的单调区间；(2)若曲线yf(x)与y2xm有三个不同的交点，求实数m的取值范围解析(1)f(x)x23x2，令f(x)0，解得x1或x2.当x<1或x>2时，f(x)>0；当1<x<2时，f

16、 (x)<0，f(x)的单调递增区间为(，1)，(2，)，单调递减区间为(1,2)(2)令f(x)2xm，即x3x22x52xm，x3x25m，设g(x)x3x25，即考察函数yg(x)与ym何时有三个公共点，令g(x)0，解得x0或x3.当x<0或x>3时，g(x)>0，当0<x<3时，g(x)<0，g(x)在(，0)，(3，)上单调递增，在(0,3)上单调递减，g(0)5，g(3)，根据图象可得<m<5. 18(本小题满分12分)(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f(x)x3ax2bx5，若曲线f(x)在点(1，

17、f(1)处的切线斜率为3，且x时，yf(x)有极值(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在4,1上的最大值和最小值解析f(x)3x22axb，(1)由题意得，解得经检验得x时，yf(x)有极小值，所以f(x)x32x24x5.(2)由(1)知，f(x)3x24x4(x2)(3x2)令f(x)0，得x12，x2，f(x)，f(x)的值随x的变化情况如下表：f()，f(2)13，f(4)11，f(1)4，f(x)在4,1上的最大值为13，最小值为11.19(本小题满分12分)(文)(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f(x)x2alnx.(1)若a1，求函数f(x)的极值，

18、并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方解析(1)由于函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)x，令f(x)0得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，f(x)<0，因此函数f(x)在(0,1)上单调递减，当x(1，)时，f(x)>0，因此函数f(x)在(1，)上单调递增，则x1是f(x)的极小值点，所以f(x)在x1处取得极小值为f(1).(2)证明：设F(x)f(x)g(x)x2lnxx3，则F(x)x2x2，当x>1时，F(x)<0，故f(x)在区间1，)上单调递减，又F(1)<0

19、，在区间1，)上，F(x)<0恒成立，即f(x)<g(x)恒成立因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方(理)(2014·北京东城区联考)已知函数f(x)xlnx.(1)求函数f(x)在1,3上的最小值；(2)若存在x，e(e2.71828，e为自然对数的底数)使不等式2f(x)x2ax3成立，求实数a的取值范围；(3)若F(x)的导函数为f(x)，试写出一个符合要求的F(x)(无需过程)解析(1)由f(x)xlnx，可得f(x)lnx1，当x(0，)时，f(x)<0，f(x)单调递减；当x(，)时，f(x)>0，f(x)单调

20、递增所以函数f(x)在1,3上单调递增又f(1)ln10，所以函数f(x)在1,3上的最小值为0.(2)由题意知，2xlnxx2ax3，则a2lnxx.若存在x，e使不等式2f(x)x2ax3成立，则只需a小于或等于2lnxx的最大值设h(x)2lnxx(x>0)，则h(x)1.当x，1)时，h(x)<0，h(x)单调递减；当x(1，e时，h(x)>0，h(x)单调递增h()23e，h(e)2e，h()h(e)2e4>0，可得h()>h(e)所以，当x，e时，h(x)的最大值为h()23e.故a23e.(3)F(x)lnx.20(本小题满分12分)(文)(2014

21、·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)x3ax210.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)在区间1,2内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)3x22x，f(2)14，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率kf(2)8，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为8xy20.(2)解法1：f(x)3x22ax3x(xa)(1x2)，当a1，即a时，f(x)0，f(x)在1,2上为增函数，故f(x)minf(1)11a，所以11a<0，a>11，这与a矛盾；当1<a&l

22、t;2，即<a<3时，若1x<a，则f(x)<0，f(x)单调递减；若a<x2，则f(x)>0，f(x)单调递增；所以xa时，f(x)取最小值，因此有f(a)<0，即a3a310a310<0，解得a>3，这与<a<3矛盾；当a2，即a3时，f(x)0，f(x)在1,2上为减函数，所以f(x)minf(2)184a，所以184a<0，解得a>，这符合a3.综上所述，a的取值范围为a>.解法2：由已知得：a>x，设g(x)x(1x2)，g(x)1，1x2，g(x)<0，所以g(x)在1,2上是减函数g(

23、x)ming(2)，故a的取值范围为a>.(理)(2014·威海期中)已知f(x)ex，g(x)lnx.(1)求证：g(x)<x<f(x)；(2)设直线l与f(x)、g(x)的图象均相切，切点分别为(x1，f(x1)、(x2，g(x2)，且x1>x2>0，求证：x1>1.解析(1)令yf(x)xexx，则yex1，令y0，解得x0，当x<0时y<0，当x>0时y>0，当x0时，ymine001>0，ex>x，令yxg(x)xlnx，y1(x>0)，令y0，解得x1，当0<x<1时y<0，当

24、x>1时y>0，当x1时，ymin1ln11>0，x>lnx，(x>0)，g(x)<x<f(x)21(本小题满分12分)(2014·山东省德州市期中)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为yx3x8(0<x<120)(1)当x64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？解析(1)当x64千米/小时时，要行驶100千米需要小时，要耗油(×643×648)×11.95(升)(2)设22.5升油能使

25、该型号汽车行驶a千米，由题意得，(x3x8)×22.5，a，设h(x)x2，则当h(x)最小时，a取最大值，h(x)x，令h(x)0x80，当x(0,80)时，h(x)<0，当x(80,120)时，h(x)>0，故当x(0,80)时，函数h(x)为减函数，当x(80,120)时，函数h(x)为增函数，当x80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为a200.若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米22(本小题满分14分)(文)(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)x22lnx.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)2tx在x(0,1内恒成立，求t的取值范围解析(1)函数的定义域为(0，)，f(x)2x，由f(x)>0，得x>1，由f(x)<0，得0<x<1，所以，函数f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)(2)