以来历年全国高考数学试卷全试题答案解析

1、1951年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x，y.解略：2若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？证：设ABC的重心与外接圆的圆心均为O（图1）OA=OC，E为AC的中点，BEAC；同理，CDAB，AFBC在RtABE与RtACD中，A为公共角，BE=CD=R+R=R（R为外接圆半径），所以ABEACD，AB=AC，同理可得AB=BC由此可知ABC为等边三角形3当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？解略：丈5试题10道，选答8道，则选法有几种？解略：6若一点P的极坐标是（r,），则它的直角坐标如何？解：x

2、=r,y=r7若方程x2+2x+k=0的两根相等，则k=？解：由=b2-4ac=0,得k=18列举两种证明两个三角形相似的方法答：略9当（x+1)(x-2)0时，x的值的范围如何？解略：-1x210若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程解略：bx-ay=011（+)6展开式中的常数项如何？解：由通项公式可求得是T4=2012的通解是什么？解：13系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个14解：原式=15x2-4y2=1的渐近线的方程如何？解略： A A B B B1 C C C116三平行平面与一直线交于A，B，C三点，

3、又与另一直线交于A，B，C三点，已知AB=3，BC=7及AB=9求AC解：如图易证:17有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积略：6立方尺18已知lg2=0.3010,求lg5.略：lg5=1-lg2=0.699019二抛物线y2=12x与2x2=3y的公共弦的长度是多少？解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：20国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？解：由图可知：AFG=C+E=2C,AGF=B+D=2B,A+AFG+AGF=A+2C+2B=5A5A=1800，A=360第二部分：1P，Q，R顺次为ABC中BC，CA，AB三边的中点，求证圆

4、ABC在A点的切线与圆PQR在P点的切线平行证：如图：由AD是大圆的切线，可得： 1=2由RQBC，可得：2=3，由QPAB，可得：3=4由PE是小圆的切线，可得： 4=5由RPAC，可得：5=6综上可得：1=6，故ADPE2设ABC的三边BC=4pq,CA=3p2+q2,AB=3p2+2pq-q2,求B，并证B为A及C的等差中项解：由余弦定理可得：3（1）求证，若方程x3+ax2+bx+c=0的三根可排成等比数列，则a3c=b3.证：设，是方程x3+ax2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：+=-a+=b=-c又因，排成等比数列，于是2=（2）已知方程x3+7x2-21x-27=0的三

5、根可以排成等比数列，求三根解：由可知3=-c，3=27，=3代入+=-7可得+=-10，又由，成等比数列，2=，即=9，故可得方程组：于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-94过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线 Y A ·P（x,y) O X B 证：设抛物线方程为y2=2px过抛物线顶点O任作互相垂直的二弦OA和OB，设OA的斜率为k，则直线OB的斜率为-，于是直线OA的方程为：y =kx直线OB的方程为：设点A（x1 ,y1),点B(x2 ,y2)由，可得：由，可得：x2=2pk2, y2=-2pk设P（x，y）为AB

6、的中点，由上可得： 由可得：由可知：px,代入所以，点P的轨迹为一抛物线1952年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1.因式分解x4 y4 =？解：x4 y4 =(x2+y2)(x+y)(x-y)2.若lg2x=21lgx，问x=？解：2x=x21，x0，3.若方程x3+bx2+cx+d=0的三根为1,-1,则c=？解：由根与系数的关系可知：c=1·（-1）+（-1）·+·1=14.若解：两边平方，得：x2 +7=16，5.解:原式=-246.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？解：设两圆O1及O2之公共弦为AB连

7、结O1O2交AB于点C，则AB A O1 O2 C B 垂直平分O1O2O1C=O1O2=2（寸）连结AO1，则ACO1为直角三角形，7.三角形ABC的面积是60平方寸，M是AB的中点，N是AC的中点，AMN的面积是多少？解：MNBC，AMN的面积=ABC的面积=15（平方寸）8.正十边形的一个内角是多少度？解：由公式此处n=10于是一个内角为：9.祖冲之的圆周率=？答：22/7，355/13310.球的面积等于大圆面积的多少倍？解：球的面积4R2为大圆面积R2的4倍11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？解：圆锥高h=4（尺），故此直圆锥的体积：V锥 =R2h=12（立

8、方尺）12.正多面体有几种？其名称是什么？答：共有五种，其名称为：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体13.已知 sin=,求cos2=？解：cos2=1-2sin2=14.方程tg2x=1的通解x=？解：15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？解：塔高=5×tg300=（寸）16ABC的b边为3寸，c边为4寸，A角为300，问ABC的面积为多少平方寸？解：17.已知一直线经过（2，3），其斜率为-1，则此直线方程如何？解：即x+y5=018.若原点在一圆上，而此圆的圆心为（3，4）则此圆的方程如何？解：圆的半径所以，圆的方程为：(x-3)2+(y-4

9、)2=25，也即：x2+y2-6x-8y=019.原点至3x+4y+1=0的距离是什么？解：20.抛物线y2-8x+6y+17=0的顶点坐标是什么？解：原方程可变形为：(y+3)2=8(x-1),故顶点坐标为（1，-3）第二部分：1.解方程x4+5x3-7x2-8x-12=0解：左式=(x4+5x3-6x2）-（x2+8x+12）=(x+6)x2(x-1)-(x+2)=(x+6)(x3-x2-x-2)=(x+6)(x3-2x2)+(x2-x-2)=(x+6)(x-2)(x2+x+1)=0可得原方程的四根为：2.ABC中，A外角的平分线与此三角形外接圆相交于P，求证：BP=CP证：如图，CBP=

10、CAP=PAD又1=2由CAD=ACB+CBA=ACB+CBP+2=ACB+1+CBP=BCP+CBP C 1 P 2 D A B BCP=CBP，BP=CP3.设三角形的边长为=4，b=5，c=6，其对角依次为A，B，C求.问A，B，C三角为锐角或钝角？解：应用余弦定理，可得：由此可知C为锐角；另外，由已知条件，三边边长适合关系式bc，从而可知ABC由于C为锐角，故A，B亦为锐角4.一椭圆通过（2，3）及（-1，4）两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点解：由于椭圆过（2，3）及（-1，4）两点，所以将此两点代入标准方程可得：1954年普通高等学校招生全国统一考试数学1

11、甲、化简解：原式=乙、解解略：x=2b12c6.丙、用二项式定理计算（3.02）4，使误差小于千分之一丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和证：由c2 =2+b2弦上半圆的面积= =勾上半圆的面积+股上半圆的面积戊、已知球的半径等于r，试求内接正方形的体积解：内接正方体的中心即该球的球心正方体过中心的对角线为该球的直径，故其长为2r若设内接正方体的边长为，则有3a2=4r2，己、已知是三角形的一边，及是这边的两邻角，试求另一边b的计算公式解：由正弦定理可知 Y M O N X 2.描绘y=3x2-7x-1的图象，并按下列条件分别求x的值所在的范围： 1）y

12、0， 2）y03.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切证：设O1及O2为互相外切之二圆，其一外公切线为A1A2，切点为A1及A2令点O为连心线O1O2的中点，过O作OAA1A2OA=（O1A1+O2A2）=O1O2，以O1O2为直径，即以O为圆心，OA为半径的圆必与直线A1A2相切同理可证，此圆必切于O1及O2的另一条外公切线 A2 A A1 O1 O O24试由由检验可知，均为其通解5有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a是圆锥的全面积，a是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值解：设直圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为L，则1958年普通高等学校招

13、生全国统一考试数学1甲、求二项式展开式中的系数解：设求的项为乙、求证证：丙、设AB，AC为一个圆的两弦，D为AB的中点，E为AC的中点，作直线DE交AB于M，交AC于N，求证：AM=AN A D E M N B C证：联结AD与AE（如图）AMN=DAM+MDA，ANM=EAN+NEA，又AD=DB，DAB=AED，AE=EC，ADE=EAC，AMN=ANM，AM=AN.丁、求证正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直 D C A E B证：因ABCD是正四面体，各个面都是等边三角形，过A作AEBC，联结DE，则DEBC，BC垂直平面AED，而AD在此平面内，BCAD同理可证ABD

14、C，ACDB戊、求解解：2解方程组则原方程变形为解方程组，可得将的值代回所设，可得都是原方程组的解3设有二同心圆，半径为R，r(R>r），今由圆心O作半径交大圆于A，交小圆于A，由A作直线AD垂直大圆的直径BC，并交BC于D;由A作直线AE垂直AD，并交AD于E，已知OAD=，求OE的长解：在直角OAD中，OD=Rsin，AD=Rcos在直角AAE中， A AE B O D C AE=（R-r）cosDE=AD-AE=Rcos-（R-r）cos=rcos.OE=4已知三角形ABC，求作圆经过A及AB中点M，并与BC直线相切已知：M为ABC的AB的中点.求作：一个经过A、M两点且与BC直线

15、相切的圆. C P O A B M P A B M分析：设O即为合于要求的圆（如图）因O经过A、M两点且与直线BC相切于点P，这样，BP为O的切线，BA为O的割线，所以，应有BP2=BM·BA而BM，BA均为已知，因此，BP的长度可以作出，由此可得点P，于是过A、M、P三点就可确定所求之圆作法：1）作线段ABM，使AB=AB，BM=BM2）以AM为直径作半圆3）过B作AM的垂线BP交半圆于点P4）在ABC的边BC上截取BP=BP5）经过A、M、P三点作O即为所求证明：由作图可知BP2= AB·BM，AB=AB，BM=BM，所以BP2=BM·BA，即BP为O的切线，

16、BMA为其割线，且O经过A、M、P三点，故O适合所要求的条件5已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根证：设AD=k（如图） C A D BAB=2，DB=2-k.由CD2=AD·DB，在直角ACD中，当时，A=300，B=600.当时，A=600，B=300.总之，两锐角一为300，一为600.当x=300时，代入原方程中得当x=600时，代入原方程中得故这个直角三角形的两个锐角是原三角方程的根1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1甲、已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35解：原式=0.8451+1-0.3010

17、=1.5441.乙、求的值.解：丙、解不等式解：原式移项得原不等式的解为丁、求的值解：戊、不在同一平面的三条直线互相平行，A、B为上两定点，求证另两顶点分别在上的四面体体积为定值 D A B O C证：因为A、B为直线上两定点，而直线直线，所以，不论点C在直线的什么位置上，ABC的面积均为一定值（同底等高的三角形等积）又因直线平行于直线，所以，直线平面（已知不在同一平面内），因此，不论点D在直线的什么位置上，从点D到平面的距离为一定值，故四面体ABCD的体积=己、圆台上底面积为，下底直径为，母线为，求圆台的侧面积解：设此圆台上底半径为r，下底半径为R，由已知条件所以r=5(cm).又下底半径R

18、=10cm，母线圆台侧面积=（R+r)=·10·（10+5）=150（cm2).2已知ABC中，B=600，AC=4，面积为，求AB和BC.解：设AB=，BC=，则有故所求AB，BC之长为3已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数解：设所求之三数为则根据题意有故所求三数为4已知圆O的两弦AB和CD延长相交于E，过E点引EFCB交AD的延长线于F，过F点作圆O的切线FG，求证：EF=FG.证：FG为O的切线，而FDA为O的割线， C G 2 F O D 1 A 3 E BFG2=FD·FA又EFCB

19、，1=2.而2=3，1=3，EFD=AFE为公共角EFDAFE，即EF2=FD·FA由，可得EF2=FG2EF=FG.5已知A、B、C为直线上三点，且AB=BC=;P为外一点，且APB=900，BPC=450，求（1）PBA的正弦、余弦、正切;（2）PB的长;（3）P点到的距离.解：过P点作PDAB交AB于点D（如图） P 450 E A D B C（1）过点B作BEAP交PC于点E则PBE=900，PEB=450，PB=BE.CPACEB因PB=BE，又PBA为锐角，（2）（3）综上，所求为（1）PBA的正弦、余弦、正切分别是（2）PB的长为（3）P点到的距离为1957年普通高等学

20、校招生全国统一考试数学1甲、化简解：原式=乙、求适合不等式的实数x的范围解：原式为解为：-2<x<1.故x的范围为-2<x<1.丙、求证证： A S P D R C B Q丁、在四面体ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，求证：PQRS为一个菱形证：由于点P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得而由题设，AC=BD，PQ=QR=RS=SP，故 PQRS为一个菱形 M E B A D C N F 戊、设为异面直线，EF为的公垂线，为过EF的中点且与平行的平面，M为上任一点，N为上任一点求证线

21、段MN被平面二等分证：过直线作平面/（如图）过直线及公垂线EF作一平面，在此平面内作MCEF，且与平面，分别交于B、C两点设EF、MN分别与平面交于点A、D点A是EF的中点，又MEBACF，点B是MC的中点又DBNC，D是MN的中点另法：如图，连接EN，AB,BD由由A是EF的中点得,D为MN的中点此即线段MN被平面二等分2解方程组解：由（1）可得由（2）可得将（4）代入（3）可得再将（5）代入（4）可得化简，得将x值代入（5）此即因为所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为3设ABC的内切圆半径为r，求证BC边上的高 A E O B C D证：在直角ABC中，另外，4设ABC为锐

22、角三角形，以BC为直径作圆，并从A作此圆的切线AD与圆切于D点，由在AB边上取AE=AD，并过E作AB的垂线与AC边的延长线交于F，求证：（1）AE:AB=AC:AF.（2）ABC的面积=AEF的面积.证（1）：设AB与O相交于点G，联结EC，CG，BF. A G E D B G O FEFAB，CGAB，GCEF，AC:AF=AG:AE又AD是O的切线，AD2=AG·AB，也即AG:AD=AD:AB但AD=AE，AG:AE=AE:AB由、可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF，则ECBF，EBC的面积=EFC的面积ABC的面积=AEC的面积+EBC的面积

23、=AEC的面积+EFC的面积=AEF的面积5求证方程的一个根是1设这个方程的三个根是ABC的三个内角的正弦求A、B、C的度数以及Q的值解：将x=1代入这个方程式，则，故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除用x-1除方程左边后得商式根据题设条件（即有一个根为1，不妨设）及根与系数的关系可得由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A，代入（2）得1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1甲、化简解：原式=乙、求适合不等式的实数x的范围解：原式为解为：-2<x<1.故x的范围为-2<x<1.丙、求证证： A S P D R

24、C B Q丁、在四面体ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，求证：PQRS为一个菱形证：由于点P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得而由题设，AC=BD，PQ=QR=RS=SP，故 PQRS为一个菱形 M E B A D C N F 戊、设为异面直线，EF为的公垂线，为过EF的中点且与平行的平面，M为上任一点，N为上任一点求证线段MN被平面二等分证：过直线作平面/（如图）过直线及公垂线EF作一平面，在此平面内作MCEF，且与平面，分别交于B、C两点设EF、MN分别与平面交于点A、D点A是EF的中点，又MEBAC

25、F，点B是MC的中点又DBNC，D是MN的中点另法：如图，连接EN，AB,BD由由A是EF的中点得,D为MN的中点此即线段MN被平面二等分2解方程组解：由（1）可得由（2）可得将（4）代入（3）可得再将（5）代入（4）可得化简，得将x值代入（5）此即因为所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为3设ABC的内切圆半径为r，求证BC边上的高 A E O B C D证：在直角ABC中，另外，4设ABC为锐角三角形，以BC为直径作圆，并从A作此圆的切线AD与圆切于D点，由在AB边上取AE=AD，并过E作AB的垂线与AC边的延长线交于F，求证：（1）AE:AB=AC:AF.（2）ABC的面积

26、=AEF的面积.证（1）：设AB与O相交于点G，联结EC，CG，BF. A G E D B G O FEFAB，CGAB，GCEF，AC:AF=AG:AE又AD是O的切线，AD2=AG·AB，也即AG:AD=AD:AB但AD=AE，AG:AE=AE:AB由、可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF，则ECBF，EBC的面积=EFC的面积ABC的面积=AEC的面积+EBC的面积=AEC的面积+EFC的面积=AEF的面积5求证方程的一个根是1设这个方程的三个根是ABC的三个内角的正弦求A、B、C的度数以及Q的值解：将x=1代入这个方程式，则，故知1是原方程的一个

27、根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除用x-1除方程左边后得商式根据题设条件（即有一个根为1，不妨设）及根与系数的关系可得由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A，代入（2）得1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1甲、化简解：原式=乙、求适合不等式的实数x的范围解：原式为解为：-2<x<1.故x的范围为-2<x<1.丙、求证证： A S P D R C B Q丁、在四面体ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，求证：PQRS为一个菱形证：由于点P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，根

28、据三角形两边中点连线的性质可得而由题设，AC=BD，PQ=QR=RS=SP，故 PQRS为一个菱形 M E B A D C N F 戊、设为异面直线，EF为的公垂线，为过EF的中点且与平行的平面，M为上任一点，N为上任一点求证线段MN被平面二等分证：过直线作平面/（如图）过直线及公垂线EF作一平面，在此平面内作MCEF，且与平面，分别交于B、C两点设EF、MN分别与平面交于点A、D点A是EF的中点，又MEBACF，点B是MC的中点又DBNC，D是MN的中点另法：如图，连接EN，AB,BD由由A是EF的中点得,D为MN的中点此即线段MN被平面二等分2解方程组解：由（1）可得由（2）可得将（4）代

29、入（3）可得再将（5）代入（4）可得化简，得将x值代入（5）此即因为所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为3设ABC的内切圆半径为r，求证BC边上的高 A E O B C D证：在直角ABC中，另外，4设ABC为锐角三角形，以BC为直径作圆，并从A作此圆的切线AD与圆切于D点，由在AB边上取AE=AD，并过E作AB的垂线与AC边的延长线交于F，求证：（1）AE:AB=AC:AF.（2）ABC的面积=AEF的面积.证（1）：设AB与O相交于点G，联结EC，CG，BF. A G E D B G O FEFAB，CGAB，GCEF，AC:AF=AG:AE又AD是O的切线，AD2=AG&

30、#183;AB，也即AG:AD=AD:AB但AD=AE，AG:AE=AE:AB由、可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF，则ECBF，EBC的面积=EFC的面积ABC的面积=AEC的面积+EBC的面积=AEC的面积+EFC的面积=AEF的面积5求证方程的一个根是1设这个方程的三个根是ABC的三个内角的正弦求A、B、C的度数以及Q的值解：将x=1代入这个方程式，则，故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除用x-1除方程左边后得商式根据题设条件（即有一个根为1，不妨设）及根与系数的关系可得由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=9

31、00-A，代入（2）得1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1甲、化简解：原式=乙、求适合不等式的实数x的范围解：原式为解为：-2<x<1.故x的范围为-2<x<1.丙、求证证： A S P D R C B Q丁、在四面体ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，求证：PQRS为一个菱形证：由于点P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得而由题设，AC=BD，PQ=QR=RS=SP，故 PQRS为一个菱形 M E B A D C N F 戊、设为异面直线，EF为的公垂线，为过EF的中点且与平

32、行的平面，M为上任一点，N为上任一点求证线段MN被平面二等分证：过直线作平面/（如图）过直线及公垂线EF作一平面，在此平面内作MCEF，且与平面，分别交于B、C两点设EF、MN分别与平面交于点A、D点A是EF的中点，又MEBACF，点B是MC的中点又DBNC，D是MN的中点另法：如图，连接EN，AB,BD由由A是EF的中点得,D为MN的中点此即线段MN被平面二等分2解方程组解：由（1）可得由（2）可得将（4）代入（3）可得再将（5）代入（4）可得化简，得将x值代入（5）此即因为所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为3设ABC的内切圆半径为r，求证BC边上的高 A E O B C

33、D证：在直角ABC中，另外，4设ABC为锐角三角形，以BC为直径作圆，并从A作此圆的切线AD与圆切于D点，由在AB边上取AE=AD，并过E作AB的垂线与AC边的延长线交于F，求证：（1）AE:AB=AC:AF.（2）ABC的面积=AEF的面积.证（1）：设AB与O相交于点G，联结EC，CG，BF. A G E D B G O FEFAB，CGAB，GCEF，AC:AF=AG:AE又AD是O的切线，AD2=AG·AB，也即AG:AD=AD:AB但AD=AE，AG:AE=AE:AB由、可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF，则ECBF，EBC的面积=EFC的面

34、积ABC的面积=AEC的面积+EBC的面积=AEC的面积+EFC的面积=AEF的面积5求证方程的一个根是1设这个方程的三个根是ABC的三个内角的正弦求A、B、C的度数以及Q的值解：将x=1代入这个方程式，则，故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除用x-1除方程左边后得商式根据题设条件（即有一个根为1，不妨设）及根与系数的关系可得由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A，代入（2）得1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1甲、化简解：原式=乙、求适合不等式的实数x的范围解：原式为解为：-2<x<1.故x的范围为-2<x&l

35、t;1.丙、求证证： A S P D R C B Q丁、在四面体ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，求证：PQRS为一个菱形证：由于点P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得而由题设，AC=BD，PQ=QR=RS=SP，故 PQRS为一个菱形 M E B A D C N F 戊、设为异面直线，EF为的公垂线，为过EF的中点且与平行的平面，M为上任一点，N为上任一点求证线段MN被平面二等分证：过直线作平面/（如图）过直线及公垂线EF作一平面，在此平面内作MCEF，且与平面，分别交于B、C两点设EF、MN分别与平面

36、交于点A、D点A是EF的中点，又MEBACF，点B是MC的中点又DBNC，D是MN的中点另法：如图，连接EN，AB,BD由由A是EF的中点得,D为MN的中点此即线段MN被平面二等分2解方程组解：由（1）可得由（2）可得将（4）代入（3）可得再将（5）代入（4）可得化简，得将x值代入（5）此即因为所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为3设ABC的内切圆半径为r，求证BC边上的高 A E O B C D证：在直角ABC中，另外，4设ABC为锐角三角形，以BC为直径作圆，并从A作此圆的切线AD与圆切于D点，由在AB边上取AE=AD，并过E作AB的垂线与AC边的延长线交于F，求证：（1）

37、AE:AB=AC:AF.（2）ABC的面积=AEF的面积.证（1）：设AB与O相交于点G，联结EC，CG，BF. A G E D B G O FEFAB，CGAB，GCEF，AC:AF=AG:AE又AD是O的切线，AD2=AG·AB，也即AG:AD=AD:AB但AD=AE，AG:AE=AE:AB由、可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF，则ECBF，EBC的面积=EFC的面积ABC的面积=AEC的面积+EBC的面积=AEC的面积+EFC的面积=AEF的面积5求证方程的一个根是1设这个方程的三个根是ABC的三个内角的正弦求A、B、C的度数以及Q的值解：将x=

38、1代入这个方程式，则，故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除用x-1除方程左边后得商式根据题设条件（即有一个根为1，不妨设）及根与系数的关系可得由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A，代入（2）得1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1甲、化简解：原式=乙、求适合不等式的实数x的范围解：原式为解为：-2<x<1.故x的范围为-2<x<1.丙、求证证： A S P D R C B Q丁、在四面体ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，求证：PQRS为一个菱形证：由于点P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得而由题设，AC=BD，PQ=QR=R