2020-2021中考数学—相似的综合压轴题专题复习附答案解析

1、2020-2021中考数学一相似的综合压轴题专题复习附答案解析一、相似1 .如图1,在RtABC中，/C=90； AC=6, BC=8,动点P从点A开始沿边 AC向点C以1 个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/ BC,交AB于点D,连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达 端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t秒(tQ .(1)直接用含t的代数式分别表示：QB=, PD=.(2)是否存在t的值，使四边形 PDBQ为菱形？若存在，求出 t的值；若不存在，说明理由.并探究如何改变 Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一

2、时刻为菱形，求点 Q的速度；(3)如图2,在整个运动过程中，求出线段 PQ中点M所经过的路径长.【答案】(1) 8-2t; y(2)解：不存在在 RtABC 中，/C=90, AC=6, BC=8, .AB=101. PD/ BC,.APDAACB, .BD=AB-AD=10- 3 ,. BQ/ DP,当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形,a 上即 8-2t= J ,解得：t= .1212 16512F X X 6当 t= 3 时，PD= 355, BD=10- 35.DPw B,D，？PDBQ不能为菱形.设点Q的速度为每秒v个单位长度,贝U BQ=8-vt,BD=10-要使四边形当PD

3、=BD时，即-r =10- 3,贝U PD=BD=BQ1G,解得：t=当 PD=BQ t=67时个单位长度时,即16解得：v=足当点Q的速度为每秒lb 飞经过16J秒，四边形PDBQ是菱形.(3)解：如图2,以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.依题息，可知 0Wt04当t=0时，点Mi的坐标为(3, 0),当t=4时点M2的坐标为(1 ,4) .设直线M1M2的解析式为y=kx+b,3k b = 0小人/ ?解得k = - 21 b = 6直线M1M2的解析式为y=-2x+6.点 Q (0, 2t) , P (6-t, 0)忖-,，在运动过程中，线段 PQ中点M3的坐标(，

4、t)把 x= - 代入 y=-2x+6 得 y=-2 x -+6=t,，点M3在直线M1M2上.过点M2作M2N，x轴于点N,则M2N=4, MiN=2. .MiM2=2 .线段PQ中点M所经过的路径长为 2、后单位长度. 【解析】【解答】(1)根据题意得：CQ=2t, PA=t, .QB=8-2t, .在 RtABC 中，/C=90；AC=6, BC=8, PD/ BC, / APD=90 ；【分析】CQ=2t, PA=t, 可得 QB=8- 2t,根据tanA=J ,可以表示PD ;易得 APAACB,即可求得 AD与BD的长，由BQ/ DP,可彳#当BQ=DP时，四边形 PDBQ是 平行

5、四边形；求得此时 DP与BD的长，由D% BQ可判定?PDBQ不能为菱形；然后设点 Q 的速度为每秒 v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD PD=BQ,列方程即可求得答案.以 C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出直线M1M2解析式，证明 M3在直线M1M2上，利用勾股定理求出 M1M2.B,连接AC(1)在y正半轴上求作点 巳使得/APB=/ ACB (尺规作图，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若 tan / APB当点P的坐标为工,求点P的坐标。时，/APB最大(3)若在直线y3 x+4上存在点P,使得/APB最大，求点P的坐标/.OAB【答案】

6、(1)解：/APB如图所示;理解应用:(2)解：如图2中,/ AB./APB=/ ACB, . tan/ACB=tan/ APB= - = Bt . .A (2, 0) , B (6, 0) , ，AB=4, BC=8,，C (6, 8) , ，AC的中点K (4, 4),以K为圆心AK为半径画圆，交 y轴于P和 P；易知 P (0, 2) , P (0, 6) . ; ( 0, 2 %，) 拓展延伸：(3)解：如图3中，当经过AB的园与直线相切时，/APB最大.二直线y=-x+4交x轴于M (- 3, 0),交y轴于 N (0, 4) .MP 是切线，MP2=MA?MB , . MP=3 ,

7、作 PC OA 于以赵 4 3 HI J根邓K. .ON/PK, .序=格=的，.巧=挣=入片，.PQ 万,MK= 3 ,，OK=万-3, . P ( 5 - 3,5 ).【解析】【解答】解：(1)当。K与y轴相切时，/APB的值最大，此时 AK=PK=4, AC=8, BC=月一.蛙=4 /，C (6, 4 1,，K(4, 2 4),，P(0, 2 V11).【分析】(1)因为CB x轴于点B,所以/ ABC4/。要使/APB=/ ACB,只需这两个角 是同弧所对的圆周角。所以用尺规左三角形 ABC的外接圆，与y轴相交，其交点即为所求 作的点P;Ab /(2)由(1)知，/APB=/ ACB

8、,所以 tan/ACB=tan/ APB=* =，已知 A (2, 0) , B (6, 0),所以 AB=4, BC=8,则C (6, 8) , AC的中点K (4, 4),以K为圆心 AK为半 径画圆，交y轴于P和P,易得P (0, 2) , P (0, 6); 当。K与y轴相切时，/APB的值最大，此时 AK=PK=4 AC=8,在直角三角形 ABC中， 由勾股定理可得 BCA超二篇=内3则C (6,八口)，K (4, 2),而P在y轴上，所 以 P (0, 2;(3)由(2)知，当经过 AB两点的圆与直线相切时，/APB最大。设直线y=5x+4交x轴于M交y轴于N,则可得M ( - 3

9、, 0) , N (0, 4),因为MP是切线，所以由切割线定 理可得 MP2=MA?MB ,可求得 MP=3,氏 作PK OA于K.所以ON/ PK,由相似三角形的ON 0M 幽_ 5.象 胞判定定理可得比例式 外 麻 必,即凰网工解得PK=5，MK= 5 ,所以可得942945必5OK=岳-3,则 P ( - -3,$ )。3.如图，抛物线y= _ x2+bx+c与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于 点C,顶点为D且它的坐标为(3, - 1).%备用圄(1)求抛物线的函数关系式；(2)连接 CD,过原点 O作OELCD,垂足为 H, OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE

10、, AD,并延长 DA交y轴于点F,求证：OA&4CFD;(3)以(2)中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点巳过点P作。E的切线，切点为 Q,当PQ的长最小时，求点 P的坐标，并直接写出 Q的坐标.【答案】(1)解：二顶点D的坐标为(3, - 1).b 4ac 一 切-%, 抬 =1,解得 b= - 3, c=二， 抛物线的函数关系式：y=三x2- 3x+ W ；(2)解：如答图1,过顶点D作DGy轴于点G,则G (0, - 1) , GD=3,令 x=0,得 y=, C (0,耍，CG=OC+OG= +1 = J , Id tanZ DCG=J ,设对称轴交x轴于点M

11、,则OM=3, DM=1, AM=3- （3-=用, 由 OEL CD,易知 /EOM=/DCG,掰 2tan / EOM=tan / DCG=?V J ,解得EM=2,.DE=EM+DM=3,在 RtAEM 中，AM= EM=2,由勾股定理得： AE=A AMN= SA ABN- SA BMN =/J112-BN L QA - -BN W - - X (n * 2) X 4 -X (n 2) X (n * 2) (J4if1.I(n 3尸=5+5, _ 5 0,n=3时，S有最大值，.当AAMN面积最大时，N点坐标为(3, 0).【解析】【分析】(1)用待定系数法可求二次函数的解析式；(2)

12、因为抛物线交 x轴于 日C两点，令y=0,解关于x的一元二次方程可得点B的坐标，然后计算 AB、BC AC的长，用勾股定理的逆定理即可判断；(3)由(2)可知AC的长，由题意可知有 4种情况：在x轴负半轴，当 AC=AN叱 在x轴负半轴，当 AC=NC时；在x轴正半轴，当 AN=CN时； 在x轴正半轴， 当AC=NC时；结合已知条件易求解；(4)设点N的坐标为(n, 0),则BN=n+2,过M点作MDx轴于点D,由平行于三角 BMDsBAO,于是有比形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得BM 甥 W叫次,所以3 M,将已知线段代Mb例式丑q 一.，根据平行线分线段成比例定理可得

13、入比例式可将 MD用含n的代数式表不出来，根据三角形的构成可得Saamn= Saabn- Sabmn = -? BN?OA-BN?MD,将BN、MD代入可得关于n的二次函数，配成顶点式根据二次函数的 性质即可求解。5.在正方形 被1中，股白，点月在边上，点 是在射线出上的 一个动点，过点 匕作AB的平行线交射线 &于点由，点方在射线3方上，使麻始终与直线 囹垂直.(1)如图1,当点片与点工重合时，求同的长；9C(2)如图2,试探索： 正的比值是否随点I5的运动而发生变化？若有变化，请说明你的 理由；若没有变化，请求出它的比值；aR D MBC(3)如图3,若点|，C在线段 用上，设 网 工，川

14、，求/关于5的函数关系式，并写出它的定义域.BC【答案】(1)解：由题意，得 随=应切 s ,2r 二 -z-兆在Rt庆苗中，上=如PCtQ/FBC = TtaZPBC :- JJT 6 尸产 J徵s，制PB PCRP 胤6推(2)解：答:理由：如图,血的比值随点的运动没有变化SC.脓/同 z 二/二e.湍=/ =叱.I.；-；上为建ZABC =上ABP +/理 = 90.|/；祥不范.眯s也5R薄 PGFT % S眼 JR魂.旗的比值随点G的运动没有变化，比值为./同,版/ AB.汽/豳：.而丁, 3,T I4楣:丁 Je .踞=7V，用V -才又 ，93T + 1201260 x W 它的

15、定义域是I5【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得出 A B = B C = C D = A D = 8 , Z C = Z A = 90 ；在Rt B C P中，根据正切函数的定义得出 tan / P B C = P C : B C,又tan / P B C 口= 从而得出PC的长，进而得出 RP的长，根据勾股定理得出 PB的长，然后判断出 P BC P R Q根据相似三角形对应边成比例得出PB： RP=PC： PQ,从而得出PQ的长；(2) RM : MQ的比值随点 Q的运动没有变化，根据二直线平行同位角相等得出/ 1 = / AB P , / Q M R = /A,根据等量代换得出 /

16、 Q M R = / C = 90 ,根据根据等角的余角相等得 出/R Q M = / P B C,从而判断出 R M Q p C B,根据相似三角形对应边成比例， 得出PM : MQ=PC： BC从而得出答案；(3)延长B P 交 A D 的延长线于点N,根据平行线分线段成比例定理得出PD ： AB=ND ： NA,又N A = N D + A D = 8 + N D ,从而得出关于 ND的方程，求解即可得出ND,根据勾股定理得出PN,根据平行线的判定定理得出PD/ MQ,再根据平行线分线段成比例定理得出 PD： MQ=NP ： NQ,又 RM : MQ=3 : 4,RM=y,从而得出 MQ

17、=Jy,又 P D = 2 , N 16Q = P Q + P N = x +；,根据比例式，即可得出 y与x之间的函数关系式。图嵌图6.定义：如图心：，若点D在I ABC的边ab上，且满足|ACD -B ,则称满足这样 条件的点为 A ABC的理想点”(1)如图若点D是 ABC的边AB的中点，K 二%三，AB 二九试判断点D是 不是 力AB&的理想点”，并说明理由；(2)如图 ，在Rt H ABC中，上t二如二AB - d , AC =,若点D是 ARC的 理想点”，求CD的长；(3)如图，已知平面直角坐标系中，点, RS,一幻,C为x轴正半轴上一点，且满足-跖，在y轴上是否存在一点 D,使

18、点A, B, C, D中的某一点是其余三 点围成的三角形的 理想点”.若存在，请求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由 .【答案】(1)解：结论：点 D是/ AB&的理想点”.理由：如图二中，D是AB中点，ABAD - DB - d.二 AC2 = AD ABAC AB 二 AD AC二 ACDA ABd二|点D是I G ABC的理想点”,(2)解：如图中,图门点D是I $ ABC的理想点”，4ACD或上BCD当 I/ACD -B 时，:ACD , fBCD = 90 9:上 M 0 +=如,Rim = 90当|zKD =时，同法证明：CD上 即，在 Rl ABC中，:* 上KB - 90 A

19、B 5 ,(3)解：如图I中，存在,有三种情形:了 / dL AO - 90?AO + 4co = 90? : J1AH /AC0 ,：/AHMz COAAAS，,：皿 OA, OC AH ,设C应力，:A依刀，B心一刀，Bll U - J,J 0A = MU J 0B 3 池- B OC = AH a ） ）丁 mh/.oc,MH BHOC - OBH 3 ,解得丹d或-八舍弃1,经检验a - d是分式方程的解，C/切，0C 8当上1仆二/AB（：时，点A是2次口的理想点丁上D/CA /I比： J /，】）出CD? - D/A D出 : UI .=加-2） （m 牛 3）,解得川二H ,|：

20、蚀.当5c二）田时，点a是G欢心的理想点易知：zt D5O : 3 ,J 0以=0C = 6二D?色扬.当zfB（ A=AUH时，点b是Z! 的理想点”1设山口 111）,易知：4DjO = 46,J OD j - OC - 6 ?J仇:位-6） .综上所述，满足条件的点D坐标为他或色况或I很 .【解析】【分析】（1）结论：点D是I / A0C的理想点|只要证明|色ACD s ABC 即可解决问题；（2）只要证明CD 1他即可解决问题；（3）如图 周 中，存在有三种 情形：过点A作皿上AC交CB的延长线于M,作MH轴于H.|构造全等三角形，利 用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分三

21、种情形求解即可解决问题；7 .如图，/C=90,点A、B在/C的两边上，CA=30, CB=20,连结 AB.点P从点B出发， 以每秒4个单位长度的速度沿 BC方向运动，到点 C停止.当点P与B、C两点不重合时，作PD BC交AB于D,作DE，AC于E.F为射线 CB上一点，且 / CEF4 ABC设点P的运动时间为x (秒)(1)用含有x的代数式表示CE的长；(2)求点F与点B重合时x的值；(3)当点F在线段CB上时，设四边形 DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为 方单位).求y与x之间的函数关系式；(4)当x为某个值时，沿 PD将以D、E F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形,

22、这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形.请直接写出所有符合上述条件的【答案】 (1)解：-. zc=9cr, PDXBC,y (平用x彳1.DP/ AC,.DBPABC,四边形 PDEC为矩形,CE=PD.CA X PB 30 X 4xPD -二-二 3CB20 .CE=6k(2)解：/CEF4 ABC, /C 为公共角,当点F与点B重合时,CF=CB 9x=20.26解得(3)解：当点 F与点 P重合日BP+CF=CB 4x+9x=20,26 解得 73 .第t? V X 一 当时，PD(PF DE) 6x(20 73x + 20 - 4x) r -|22=-51x2+120x.当

23、j3AB,根据等腰三角形的三线合一 ”定理，可得OB=OA=3,而BDx轴交抛物线于点 D,则D点的横坐标为3,当x=3时求得y的值，即 可得点D的坐标。(2)当4CMN是直角三角形时，有两种情况：/CMN=90 ,或/ CNM=90 ,则可得 CMNsCOB,或CMNscbq 由对应边成比例，设 M (0, m),构造方程解答即 可。(3)求AM+AN的最小值，一般有两种方法：解析法和几何法；解析法：用含字母的函数 关系式表示出 AM+AN的值，根据字母的取值范围和函数的最值来求；几何法：将点 A, M, N三点移到一条直线上；此题适用于几何法：观察图象不难发现，AC=BD=5,CM=BN,

24、且/BCO=/ DBC,连接 AD,可证得ACM0DBN,贝 U AM=DN,而 DN+AN AD(当且仅当点 A、N、D共线时取等号)，求 AD的长即可。10.如图，第一象限内半径为2的。C与y轴相切于点A,作直径AD,过点D作。C的切线l交x轴于点B, P为直线l上一动点，已知直线 PA的解析式为：y=kx+3.(1)设点P的纵坐标为p,写出p随k变化的函数关系式.(2)设。C与PA交于点M,与AB交于点N,则不论动点 P处于直线l上(除点B以外) 的什么位置时，者B有 AMNsABP请你对于点 P处于图中位置时的两三角形相似给予证 明；32(3)是否存在使 AAMN的面积等于5的k值？若

25、存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由.【答案】 (1)解：轴和直线l都是。C的切线，.-.QAX AD, BD AD;又; OALOB,/ AOB= / OAD= / ADB= 90 ,四边形 OADB 是矩形；; O C 的半径为 2,AD= OB=4；点P在直线l上，点P的坐标为(4, p);又二点P也在直线 AP上，p=4k+3(2)解：连接 DNAD是。C 的直径，/AND=90, / ADN= 90 - / DAN, / ABD= 90 / DAN,/ ADN= / ABD,又/ ADN= / AMN ,/ ABD= / AMN , Z MAN = / BAP, AMN s

26、ABP(3)解：存在.理由：把 x= 0 代入 y= kx+3 得：y=3,即 OA=BD=3, AB = 中至=J八* = BSaabd =AB?DN=归 AD?DB，DN=&=53 , . .AN2 = AD2 - DN2 =.12 225625/T -. AMNAABP, . 5 当点P在B点上方时，AN,ANS $ M S 八好-,即心 AP2 = AD2+PD2= AD2+ (PB BD) 2= 42+ ( 4k+3 3 ) 2= 16(k2+1),或 AP2= AD2+PD2=AD2+ (BDPB) 2= 42+ (3 4k 3) 2= 16 (k2+1),/ /Saabp= -

27、PB?AD=1 ( 4k+3) 乂4 2 (4k+3), S a ABP 256 X 2 (4k + 3)32 (4k + 3)上25 X 16( + 1)25( + 1)整理得：k2- 4k- 2=0,解得 ki=2+k2=2-当点P在B点下方时，-，AP2= AD2+PC2= 42+ (3 - 4k- 3) 2= 16 (k2+l), Sa abp= -2 (4k+3)PB?AA 上(4k+3) X与AV - S a ASP 256 * 2 (4k + 刃 32化简彳导:k2+1= - ( 4k+3),解得：k= - 2,综合以上所得，当 k=2小或k=- 2时，4AMN的面积等于【解析】

28、【分析】（1）由切线的性质知 Z AOB= Z OAD= Z ADB= 90。，所以可以判定四边形OADB是矩形；根据 OO的半径是2求得直径AD= 4,从而求得点 P的坐标，将其代入直线方程y=kx+3即可知p变化的函数关系式；（2）连接DNJ直径所对的圆周角是直 角，./AND=90。，根据图示易证 /AND= /ABD;然后根据同弧所对的圆周角相等推知 / ADN= / AMN ,再由等量代换可知 / ABD= / AMN ;最后利用相似三角形的判定定理AA证明AMNsABP; （3）存在.把x= 0代入y=kx+ 3得y=3,即OA= BD= 3,然后由勾股定理求得 AB=5;又由相似

29、三角形的相似比推知相似三角形的面积比.分两种情况进行讨论：当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k2-4k-2 =0,解关于k的二次方程；当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2 + 1 = - （4k + 3）,解关于k的11.如图某学校智慧方园(1)如图”数学社团遇到这样一个题目:1 ,在 ABC 中，点 O 在线段 BC 上，/ BAO=30 , / OAC=75 , AO=CO=1: 3,求 AB 的长.经过社团成员讨论发现，过点B作BD/AC,交AO的延长线于点 D,通过构造4ABD就可以解决问题（如图2）.请回答：ZADB= , AB=.（2）请参考以上解决思路，解决

30、问题：O, ACAD, AO=1 ,如图3,在四边形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点 /ABC=/ ACB=75,BO: OD=1: 3,求 DC 的长.【答案】（1） 75; 4 /（2）解：过点 B作BE/AD交AC于点E,如图所示. ACXAD, BE/ AD, / DAC=Z BEA=90 . / AOD=Z EOB, .AOEAEOB, BC EC BE=.,. BO: OD=1: 3,EC Bh 1.71 =万一.AO=3 ，EO=百，.AE=4 . / ABC=Z ACB=75 ；/ BAC=30 ； AB=AC, .AB=2BE.在 RtAEB中，BE2+AE2=AB2

31、 ,即(4 W) 2+bW= (2BE) 2 , 解得：BE=4, .AB=AC=8, AD=12.在 RtCAD 中，AC2+AD2=CD2 ,即 82+122=CC2 ,解得：CD=4【解析】【解答】解：（1） .BD/ AC,/ ADB=Z OAC=75 : / BOD=Z COA,.BODCOA,窿 1 a= = J.又 AO=4,7I，OD= J AO=2，AD=AO+OD=4 3 . / BAD=30 ； / ADB=75 ,/ ABD=180 - / BAD- / ADB=75ADB, .AB=AD=4故答案为：75; 4.【分析】(1)利用平行线的性质，可求出 /ADB的度数，

32、证明/ADB=/ OAC,利用相似三 角形的判定定理证明 BODsCOA,得出对应边成比例，求出 OD的长，再求出 AD的 长，然后证明/ABD=/ ADB,可求得AB的长。(2)过点 B作BE/ AD交AC于点E,先证明AODsEOB,得出对应边成比例，求出EO、AE的长，再证明 AB=2BE利用勾股定理求出 BE的长，就可得出 AC AD的长，然后 在RtCAD中，利用勾股定理求出 CD的长即可解答。12.已知，如图，矩形 ABCD中，AD=2, AB= 3,点E, F分别在边 AB, BC上，且 BF=(2)求？DEFG周长的最小值；(3)当？DEFG为矩形时，连接 BG,交EF, CD

33、于点P, Q,求BP: QG的值.【答案】(1)解：如图1所示：图1连接DF,四边形ABCD是矩形，/ C= 90 , AD= BC, AB= DC, . BF= FQ AD= 2; . FC= 1, .AB=3; ，00= 3,在RtDCF中，由勾股定理得,.,DF=曲(/十城 、/ +/-、伉；故？DEFG对角线DF的长中,(2)解：如图2所示:作点F关直线AB的对称点M,连接DM交AB于点N, 连接NF, ME,点E在AB上是一个动点,当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形， .ME+DE MD, 当点E与点N重合时点M、E (N)、D在同一条直线上,.ME+DE= MD由和D

34、E+EF的值最小时就是点 E与点N重合时,.MB=BF,MB= 1 ,.MC=3,又 DC= 3, MCD是等腰直角三角形，md 7密 + 必=-或-W.NF+D已 MD=2 V1 ,1?defg= 2 ( NF+DF) =4 .(3)解： 当AE= 1, BE= 2时，过点 B作BH, EF, 如图3 (甲)所示：?DEFG为矩形，/ A= / ABF= 90 , 又 BF= 1, AD=2, 在4ADE和4BEF中有，AD = BEIZk = /峭 FAE BF .ADEZBEF中(SAS ,.DE=EF, .矩形DEFG是正方形；在RtEBF中，由勾股定理得:又 ABEF AFHB,HF=在 BPH和4GPF中有:4PR 二 4PF1 BHP = GFP.BPhMAGPF (AA), 跖即V上又 EP+PF= EF,又 AB/ BC, EF/ DG,/ EBP= / DQG, / EPB= / DGQ, .EBPADQG (AA), 当AE= 2, BE= 1时，过点G作GH, DC, 如图3 （乙）所示：S F c 郅(乙)