高中数学竞赛+完美数学高考指导(二)

1、高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二)高中数学竞赛讲义（十）直线与圆的方程一、基础知识1解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如x2+y2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。2求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。3

2、直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。4直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）两点式：；（6）法线式方程：xcos+ysin=p（其中为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：（其中为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向

3、向上则取正，否则取负）。5到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为，夹角为，则tan=,tan=.6平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。且两者不重合，则l1/l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。7两点P1(x1, y1)与P2(x2, y2)间的距离公式：|P1P2|=。8点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：。9直线系的方程：若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=

4、0与l2：A2x+B2y+C2=0，则过l1, l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2=0；由l1与l2组成的二次曲线方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0().10二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l下方的部分。11解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解

5、。12圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其参数方程为（为参数）。13圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)。其圆心为，半径为。若点P(x0, y0)为圆上一点，则过点P的切线方程为   14根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2

6、-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。二、方法与例题1坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。例1  在ABC中，AB=AC，A=900，过A引中线BD的垂线与BC交于点E，求证：ADB=CDE。证明  见图10-1，以A为原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系。设点B，C坐标分别为（0,2a）,(2a,0)，则点D坐标为（a, 0）。直线BD方程为，  直线BC方程为x+y=2a，   设直线BD和AE的斜率分别为k1, k

7、2，则k1=-2。因为BDAE，所以k1k2=-1.所以，所以直线AE方程为，由解得点E坐标为。所以直线DE斜率为因为k1+k3=0.所以BDC+EDC=1800，即BDA=EDC。例2  半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为600。证明  以A为原点，平行于正三角形ABC的边BC的直线为x轴，建立直角坐标系见图10-2，设D的半径等于BC边上的高，并且在B能上能下滚动到某位置时与AB，AC的交点分别为E，F，设半径为r，则直线AB，AC的方程分别为,.设D的方程为(x-m)2+y2=r2.设点E，F的坐标分别

8、为(x1,y1),(x2,y2)，则，分别代入并消去y得所以x1, x2是方程4x2-2mx+m2-r2=0的两根。由韦达定理，所以|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2=4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2.所以|EF|=r。所以EDF=600。2到角公式的使用。例3  设双曲线xy=1的两支为C1，C2，正PQR三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。证明  假设P，Q，R在同一支上，不妨设在右侧一支C1上，并设P，Q，R三点的坐标分别为且0<x1<x2<x3.

9、记RQP=，它是直线QR到PQ的角，由假设知直线QR，PQ的斜率分别为，由到角公式所以为钝角，与PQR为等边三角形矛盾。所以命题成立。3代数形式的几何意义。例4  求函数的最大值。解  因为表示动点P(x, x2)到两定点A(3, 2), B(0, 1)的距离之差，见图10-3，当AB延长线与抛物线y=x2的交点C与点P重合时，f(x)取最大值|AB|=4最值问题。例5  已知三条直线l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0围成ABC，求m为何值时，ABC的面积有最大值、最小值。解记l1, l2, l3

10、的方程分别为，。在，中取x=-1, y=0，知等式成立，所以A(-1, 0)为l1与l3的交点；在，中取x=0, y=m+1，等式也成立，所以B(0, m+1)为l2与l3的交点。设l1, l2斜率分别为k1, k2, 若m0，则k1?k2=, SABC=，由点到直线距离公式|AC|=，|BC|=。所以SABC=。因为2mm2+1，所以SABC。又因为-m2-12m，所以，所以SABC当m=1时，（SABC）max=；当m=-1时，（SABC）min=.5线性规划。例6  设x, y满足不等式组（1）求点(x, y)所在的平面区域；（2）设a>-1，在（1）区域里，求函数f(x

11、,y)=y-ax的最大值、最小值。解 （1）由已知得或解得点(x, y)所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4.(2) f(x, y)是直线l: y-ax=k在y轴上的截距，直线l与阴影相交，因为a>-1，所以它过顶点C时，f(x, y)最大，C点坐标为（-3，7），于是f(x, y)的最大值为3a+7. 如果-1<a2，则l通过点A（2，-1）时，f(x, y)最小，此时值为-2a-1；如果a>2，则l通过B（3，1）时，f(x, y)取最小值为-3a+1.6参数方程的应用。例7&

12、#160; 如图10-5所示，过原点引直线交圆x2+(y-1)2=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。解  设直线OP的参数方程为（t参数）。代入已知圆的方程得t2-t?2sin=0.所以t=0或t=2sin。所以|OQ|=2|sin|，而|OP|=t.所以|PQ|=|t-2sin|，而|PM|=|2-tsin|.所以|t-2sin|=|2-tsin|. 化简得t=2或t=-2或sin=-1.当t=±2时，轨迹方程为x2+y2=4；当sin=1时，轨迹方程为x=0.7与圆有关的问题。例8  点A，B，C依次在直线l上，

13、且AB=ABC，过C作l的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，AB为半径作圆，MT1与MT2是这个圆的切线，确定AT1T2垂心 的轨迹。解  见图10-6，以A为原点，直线AB为x轴建立坐标系，H为OM与圆的交点，N为T1T2与OM的交点，记BC=1。以A为圆心的圆方程为x2+y2=16，连结OT1，OT2。因为OT2MT2，T1HMT2，所以OT2/HT1，同理OT1/HT2，又OT1=OT2，所以OT1HT2是菱形。所以2ON=OH。又因为OMT1T2，OT1MT1，所以ON?OM。设点H坐标为（x,y）。点M坐标为(5, b)，则点N坐标为，将坐标代入=ON?OM，再由得在

14、AB上取点K，使AK=AB，所求轨迹是以K为圆心，AK为半径的圆。例9  已知圆x2+y2=1和直线y=2x+m相交于A，B，且OA，OB与x轴正方向所成的角是和，见图10-7，求证：sin(+)是定值。证明  过D作ODAB于D。则直线OD的倾斜角为，因为ODAB，所以2?,所以。所以例10  已知O是单位圆，正方形ABCD的一边AB是O的弦，试确定|OD|的最大值、最小值。解 以单位圆的圆心为原点，AB的中垂线为x轴建立直角坐标系，设点A，B的坐标分别为A(cos,sin),B(cos,-sin)，由题设|AD|=|AB|=2sin，这里不妨设A在x轴上方，则

15、(0,).由对称性可设点D在点A的右侧（否则将整个图形关于y轴作对称即可），从而点D坐标为(cos+2sin,sin)，所以|OD|=因为，所以当时，|OD|max=+1；当时，|OD|min=例11  当m变化且m0时，求证：圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。证明  由消去m得a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线x-2y+1=0上。设公切线方程为y=kx+b，则由相切有2|m|=，对一切m0成立。即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0对一切m0成立所以即当k不存在时直线为

16、x=1。所以公切线方程y=和x=1.三、基础训练题1已知两点A(-3,4)和B(3,2)，过点P(2,-1)的直线与线段AB有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是_.2已知0,，则的取值范围是_.3三条直线2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0围成一个三角形，当点P(x, y)在此三角形边上或内部运动时，2x+y的取值范围是_.4若三条直线4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能围成三角形，则m的范围是_.5若R。直线(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0与点P(-2,2)的距离为d，比较大小：d_.6一圆经过A(4,2), B(-1,3)两点，且在两个坐标轴上的 四

17、个截距的和为14，则此圆的方程为_.7自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，则光线l所在的方程为_.8D2=4F且E0是圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切的_条件.9方程|x|-1=表示的曲线是_.10已知点M到点A（1，0），B（a,2）及到y轴的距离都相等，若这样的点M恰好有一个，则a可能值的个数为_.11已知函数S=x+y，变量x, y满足条件y2-2x0和2x+y2，试求S的最大值和最小值。12A，B是x轴正半轴上两点，OA=a，OB=b(a<b)，M是y轴正半轴上的动点。（1）求AMB的最大值

18、；（2）当AMB取最大值时，求OM长；（3）当AMB取最大值时，求过A，B，M三点的圆的半径。四、高考水平训练题1已知ABC的顶点A(3,4)，重心G(1,1)，顶点B在第二象限，垂心在原点O，则点B的坐标为_.2把直线绕点（-1，2）旋转300得到的直线方程为_.3M是直线l:上一动点，过M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，则在线段AB上满足的点P的轨迹方程为_.4以相交两圆C1：x2+y2+4x+y+1=0及C2：x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为_.5已知M=(x,y)|y=,a>0,N=(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a>0.MN，a的

19、最大值与最小值的和是_.6圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P，Q两点，O为原点，OPOQ，则m=_.7已知对于圆x2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y)，使x+y+m0恒成立，m范围是_.8当a为不等于1的任何实数时，圆x2-2ax+y2+2(a-2)y+2=0均与直线l相切，则直线l的方程为_.9在ABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别为a,b,c，若lgsinA,lgsinB, lgsinC成等差数列，那么直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的位置关系是_.10设A=(x,y)|0x2,0y2,B=(x,y)|x10,y2,yx

20、-4是坐标平面xOy上的点集，C=所围成图形的面积是_.11求圆C1：x2+y2+2x+6y+9=0与圆C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切线方程。12设集合L=直线l与直线y=2x相交，且以交点的横坐标为斜率。（1）点(-2,2)到L中的哪条直线的距离最小？（2）设aR+，点P(-2, a)到L中的直线的距离的最小值设为dmin，求dmin的表达式。13已知圆C：x2+y2-6x-8y=0和x轴交于原点O和定点A，点B是动点，且OBA=900，OB交C于M，AB交C于N。求MN的中点P的轨迹。五、联赛一试水平训练题1在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若a为无理数，过点(a

21、,0)的所有直线中，每条直线上至少存在两个有理点的直线有_条。2等腰ABC的底边BC在直线x+y=0上，顶点A(2,3)，如果它的一腰平行于直线x-4y+2=0，则另一腰AC所在的直线方程为_.3若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0表示表示条互相垂直的直线，则m=_.4直线x+7y-5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值是_.5直线y=kx-1与曲线y=有交点，则k的取值范围是_.6经过点A(0,5)且与直线x-2y=0, 2x+y=0都相切的圆方程为_.7在直角坐标平面上，同时满足条件：y3x, yx, x+y100的整点个数是_.8

22、平面上的整点到直线的距离中的最小值是_.9y=lg(10-mx2)的定义域为R，直线y=xsin(arctanm)+10的倾斜角为_.10已知f(x)=x2-6x+5，满足的点(x,y)构成图形的面积为_.11已知在ABC边上作匀速运动的点D，E，F，在t=0时分别从A，B，C出发，各以一定速度向B，C，A前进，当时刻t=1时，分别到达B，C，A。（1）证明：运动过程中DEF的重心不变；（2）当DEF面积取得最小值时，其值是ABC面积的多少倍？12已知矩形ABCD，点C(4,4)，点A在圆O：x2+y2=9(x>0,y>0)上移动，且AB，AD两边始终分别平行于x轴、y轴。求矩形A

23、BCD面积的最小值，以及取得最小值时点A的坐标。13已知直线l: y=x+b和圆C：x2+y2+2y=0相交于不同两点A，B，点P在直线l上，且满足|PA|?|PB|=2,当b变化时，求点P的轨迹方程。六、联赛二试水平训练题1设点P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20上任意一点，求x2-xy+y2的最大值、最小值。2给定矩形（长为b，宽为a），矩形（长为c、宽为d），其中a<d<c<b，求证：矩形能够放入矩形的充要条件是：(ac-bd)2+(ad-bc)2(a2-b2)2.3在直角坐标平面内给定凸五边形ABCDE，它的顶点都是整点，求证：见图10-8，A1，B1，

24、C1，D1，E1构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。4在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，试证：存在一个同心圆的集合，使得：（1）每个整点都在此集合的某一圆周上；（2）此集合的每个圆周上，有且只有一个整点。5在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线l1,l2,，ln，的直线族，它满足条件：（1）点（1,1）ln,n=1,2,3,；（2）kn+1an-bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，n=1,2,3,；（3）knkn+10, n=1,2,3,.并证明你的结论。6在坐标平面内，一圆交x轴正半径于R，S，过原点的直线l1,l2都与此圆相交，

25、l1交圆于A，B，l2交圆于D，C，直线AC，BD分别交x轴正半轴于P，Q，求证：高中数学竞赛讲义（十一）圆锥曲线一、基础知识1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即(0<e<1).第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, bR+且ab。从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2

26、于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。2椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为  (a>b>0)，参数方程为（为参数）。若焦点在y轴上，列标准方程为  (a>b>0)。3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，

27、与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由c2+b2=a2知0<e<1.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。4椭圆的焦半径公式：对于椭圆1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为；2）斜率为k的切线方程为；3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为的弦的长为。6双曲线的定义，第一定义：满足|PF1|-|PF2|=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点P的轨迹；第二定义：到定点

28、的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。7双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为，参数方程为（为参数）。焦点在y轴上的双曲线的标准方程为。8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(a, b>0),a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e>1。两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。9双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线

29、，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为的弦长是。10抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px(p>0)，离心率e=1.11抛物线常用结论：若P(x

30、0, y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|=；2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为的弦长为。12极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=,xOP=，则由（，）唯一确定点P的位置，（，）称为极坐标。13圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0<e<1，则点P的轨迹为椭圆；若e>1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。二、方法与例题1与定义有关的问题。例1 

31、已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。解  见图11-1，由题设a=5, b=4, c=3,.椭圆左准线的方程为，又因为，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定义知，则|PF|=|PQ|。所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)3|AM|(AM左准线于M)。所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得，又x<0，所以点P坐标为例2  已知P，为双曲线C：右支上两点，延长

32、线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。求证：F1K=KF1Q. 证明  记右准线为l，作PDl于D，于E，因为/PD，则，又由定义，所以，由三角形外角平分线定理知，F1K为PF1P的外角平分线，所以=KF1Q。2求轨迹问题。例3  已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。解法一  利用定义，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：=1（a>b>0）.F坐标为(-c, 0).设另一焦点为。连结，OP，则。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.所以点P的轨迹是以F

33、，O为两焦点的椭圆（因为a>|FO|=c），将此椭圆按向量m=(,0)平移，得到中心在原点的椭圆：。由平移公式知，所求椭圆的方程为解法二  相关点法。设点P(x,y), A(x1, y1)，则，即x1=2x+c, y1=2y. 又因为点A在椭圆上，所以代入得关于点P的方程为。它表示中心为，焦点分别为F和O的椭圆。例4  长为a, b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。解 设P(x, y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A(x-,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 记O为原点，

34、由圆幂定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐标表示为，即当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；当a<b时，轨迹为焦点在y轴上的两条等轴双曲线。例5  在坐标平面内，AOB=，AB边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。解  设xOB=,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B(3, 3tan),A(3,3tan(-),设外心为P(x,y)，由中点公式知OB中点为M。由外心性质知 再由得×tan=-1。结合上式有?tan=    

35、  又    tan+=       又     所以tan-=两边平方，再将，代入得。即为所求。3定值问题。例6  过双曲线(a>0, b>0)的右焦点F作B1B2轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。证明  设点B，H，F的坐标分别为(asec,btan), (x0, 0), (c, 0)，则F1，B1，B2的坐标分别为(-c, 0), (c,

36、), (c, )，因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以  所以   。由得代入上式得即   （定值）。注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。例7  设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC/x轴。证明：直线AC经过定点。证明  设，则，焦点为，所以，。由于，所以?y2-y1=0，即=0。因为，所以。所以，即。所以，即直线AC经过原点。例8  椭圆上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：为定值。证明  设|OA

37、|=r1,|OB|=r2,且xOA=,xOB=，则点A，B的坐标分别为A(r1cos, r1sin),B(-r2sin,r2cos)。由A，B在椭圆上有即             +得（定值）。4最值问题。例9  设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。解  由题设a=1，b=,记|OA|=r1,|OB|=r2,，参考例8可得=4。设m=|AB|2=,因为，且a2>b2，所以，所以br1a，同理br2a.

38、所以。又函数f(x)=x+在上单调递减，在上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当或时，|AB|取最大值。例10  设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆C：1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。解  设A，B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为，半径|CA|=1，因为|AB|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值，所以|BC|最大值为因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,t，椭圆方程为，并设点B坐标为B(2tcos,tsin)，则|BC|

39、2=(2tcos)2+=3t2sin2-3tsin+4t2=-3(tsin+)2+3+4t2.若，则当sin=-1时，|BC|2取最大值t2+3t+，与题设不符。若t>,则当sin=时，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.所以椭圆方程为。5直线与二次曲线。例11  若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。解  抛物线y=ax2-1的顶点为(0,-1)，对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P(x1,y1)，(-y1,-x1)，满足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相减得x1+y1=

40、a(),因为P不在直线x+y=0上，所以x1+y10,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+所以此方程有不等实根，所以，求得，即为所求。例12  若直线y=2x+b与椭圆相交，（1）求b的范围；（2）当截得弦长最大时，求b的值。解 二方程联立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由>0，得<b<；设两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2)，由韦达定理得|PQ|=。所以当b=0时，|PQ|最大。三、基础训练题1A为半径是R的定圆O上一定点，B为O上任一点，点P是A关于B的对称点，则点P的轨迹是_.2一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2(>0)，则动

41、点的轨迹是_.3椭圆上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是_.4双曲线方程，则k的取值范围是_.5椭圆，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足F1PF2=600，则F1PF2的面积是_.6直线l被双曲线所截的线段MN恰被点A（3，-1）平分，则l的方程为_.7ABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，点A（2，8），且ABC的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率为_.8已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为_.9已知曲线y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线

42、的倾斜角为450，那么a=_.10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点，的取值范围是_.11已知椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，设P是它们的一个焦点，求F1PF2和PF1F2的面积。12已知（i）半圆的直径AB长为2r；（ii）半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，设|AT|=2a(2a<)；（iii）半圆上有相异两点M，N，它们与直线l的距离|MP|，|NQ|满足求证：|AM|+|AN|=|AB|。13给定双曲线过点A（2，1）的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2，求线段P1P2的中点的轨迹方程。四、高考水平测试题1双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程

43、是=0，则此双曲线的标准方程是_.2过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，则A1FB1=_.3双曲线的一个焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线上任一点，以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_.4椭圆的中心在原点，离心率，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M横坐标为-1，M到此准线异侧的焦点F1的距离为_.54a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆恰有一个公共点的_条件.6若参数方程（t为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是_.7如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的范围是

44、_.8过双曲线的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_条.9过坐标原点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F，则直线l的倾斜角为_.10以椭圆x2+a2y2=a2(a>1)的一个顶点C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的三角形最多可作_个.11求椭圆上任一点的两条焦半径夹角的正弦的最大值。12设F，O分别为椭圆的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的任意弦AB，点O都在以AB为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。13已知双曲线C1：(a>0)，抛物线C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1。（1）求证：C1，C2总

45、有两个不同的交点。（2）问：是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使AOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的方程与SAOB的最值，若不存在，说明理由。五、联赛一试水平训练题1在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是_.2设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，OPQ面积为_.3给定椭圆，如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OPOQ，则离心率e的取值范围是_.4设F1，F2分别是双曲线(a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过F1作F1PF2平分线的垂线，

46、垂足为M，则M的轨迹为_.5ABC一边的两顶点坐标为B（0，）和C（0，），另两边斜率的乘积为，若点T坐标为(t,0)(tR+),则|AT|的最小值为_.6长为l(l<1)的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_.7已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),ab0,b22pa，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为_.8已知点P（1，2）既在椭圆内部（含边界），又在圆x2+y2=外部（含边界），若a,bR+,则a+b的最小值为_.9已知椭圆的内接A

47、BC的边AB，AC分别过左、右焦点F1，F2，椭圆的左、右顶点分别为D，E，直线DB与直线CE交于点P，当点A在椭圆上变动时，试求点P的轨迹。10设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P。（1）求实数m的取值范围（用a表示）；（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0<a<时，试求OAP面积的最大值（用a表示）。11已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1，0）和B（0，8）关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线的方程。六、联赛二试水平训练题1在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，在CD上取一点E，B

48、E与AC相交于F，延长DF交BC于G，求证：GAC=EAC。2求证：在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段长都为1的闭折线，它的每个顶点坐标都是有理数。3以B0和B1为焦点的椭圆与AB0B1的边ABi交于Ci(i=0,1)，在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1，交AB0的延长线于。求证：（1）点与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；（2）P0，Q0，P1，

49、Q1共圆。4在坐标平面内，从原点出发以同一初速度v0和不同发射角（即发射方向与x轴正向之间 的夹角）(0,)射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程（确定变量取值范围）。5直角ABC斜边为AB，内切圆切BC，CA，AB分别于D，E，F点，AD交内切圆于P点。若CPBP，求证：PD=AE+AP。6已知BCCD，点A为BD中点，点Q在BC上，AC=CQ，又在BQ上找一点R，使BR=2RQ，CQ上找一点S，使QS=RQ，求证：ASB=2

50、DRC。高中数学竞赛讲义（十二）立体几何一、基础知识公理1  一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内则这条直线在这个平面内，记作：aa公理2  两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P，则存在唯一的直线m，使得=m,且Pm。公理3  过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面推论l  直线与直线外一点确定一个平面推论2  两条相交直线确定一个平面推论3  两条平行直线确定一个平面公理4  在空间内，平行于同一直线的两条直线平行定义1  异面直线及成角：不同在

51、任何一个平面内的两条直线叫做异面直线过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离定义2  直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外定义3  直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直定理1  如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直定理2 

52、 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行定理3  若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直定理4  平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离定义5  一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角结论1  斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角定理4  (三垂线

53、定理)若d为平面。的一条斜线，b为它在平面a内的射影，c为平面a内的一条直线，若cb，则ca逆定理：若ca，则cb定理5  直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a平行定理6  若直线。与平面平行，平面经过直线a且与平面a交于直线6，则a/b结论2  若直线。与平面和平面都平行，且平面与平面相交于b，则a/b定理7  (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等定义6  平面与平面的位置关系有两种：平行或相交没有公共点即平行，否则即相交定理8  平面a内有两条相交直线a，b都与

54、平面平行，则/. 定理9  平面与平面平行，平面=a，=b，则a/b定义7  (二面角)，经过同一条直线m的两个半平面,(包括直线m，称为二面角的棱)所组成的图形叫二面角，记作m，也可记为Am一B，AB等过棱上任意一点P在两个半平面内分别作棱的垂线AP，BP，则APB(900)叫做二面角的平面角它的取值范围是0，特别地，若APB900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即.定理10  如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直定理11  如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内定理12  如

55、果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直定义8  有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边(称为侧棱)都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱两个互相平行的面叫做底面如果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱底面是矩形的直棱柱叫做长方体棱长都相等的正四棱柱叫正方体定义9  有一个面是多边形(这个面称为底面)，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥定理13  (凸多面体的欧拉定理)设多

56、面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则V+F-E=2定义10  空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面球面所围成的几何体叫做球定长叫做球的半径，定点叫做球心  定理14  如果球心到平面的距离d小于半径R，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球心的连线与截面垂直设截面半径为r，则d2+r2R2过球心的截面圆周叫做球大圆经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离定义11  (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度用经过南极和北极的平面去截地

57、球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经定理15  (祖  原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.定理16  (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角其中任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于3600定理17  （面积公式）若一个球的半径为R，则它的表面积为S球面=4R2。若一个圆锥的母线长为l，底面半径为r，则它的侧面积S侧=rl.定理18  （体积公式）半径为R的球的体积为V球=；若棱柱（或圆柱）的底面积为s，高h，则它的体积为V=sh；若棱锥（或圆锥）的